Dokumen tersebut membahas dasar-dasar matematika yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah optimasi, meliputi gradien, matriks Hessian, syarat perlu dan cukup keoptimalan, serta fungsi konveks dan konkaf.
1. 2
DASAR - DASAR MATEMATIKA OPTIMASI
Pada bagian ini akan dibahas dasar – dasar matematika untuk persoalan optimasi.
Materi yang dibahas meliputi gradien, matrik hessian, matrik definit positip, matrik definit
negatif, syarat perlu keoptimalan, syarat cukup keoptimalan, fungsi konveks dan fungsi
konkaf. Dasar – dasar matematika ini sangat diperlukan untuk menyelesaikan
permasalahan optimasi dengan pendekatan analitis.
2.1. Gradien
Didefinisikan )(xf adalah fungsi bernilai skalar yang didefinisikan pada ruang vektor x
=
nx
x
x
x
x
.
3
2
1
Differensial )(xf skalar dim(1x1) terhadap vektor x dim(nx1) akan menghasilkan xd
df
vektor dim(nx1).
Jika )(xf∇ :adalah gradien dari fungsi )(xf , maka
xd
df
x
f
x
f
x
f
xf
n
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
.
.
)( 2
1
Untuk mencari titik-titik optimal dari suatu fungsi )(xf , maka 0)( =∇= xf
xd
df
.
Contoh 2.1
686423)( 2121
2
2
2
1 +−−++= xxxxxxxf
maka,
2.
−+
−+
=
∂
∂
∂
∂
=∇
844
646
)(
21
21
2
1
xx
xx
x
f
x
f
xf
Latihan 2.1
Suatu fungsi 6386242)( 3213221
2
3
2
2
2
1 +−−+−+++= xxxxxxxxxxxf
Tentukan )(xf∇
2.2. Matriks Hessian
Sebelum membahas tentang matik hessian, sebaiknya kita mengingat kembali
tentang differensiasi matrik.
1. Differensial vektor kolom dim(nx1) terhadap skalar dim(1x1) = vektor baris dim(1xn).
2. Differensial vektor kolom dim(mx1) terhadap vektor kolom dim(nx1) = matriks
dim(nxm).
Suatu vektor kolom f dan x didefinisikan sebagai berikut ini
=
=
nm x
x
x
x
x
f
f
f
f
f
.
,
.
3
2
1
3
2
1
Maka differensiasi verktor f terhadap vektor x adalah
=
n
m
nn
m
m
dx
df
dx
df
dx
df
dx
df
dx
df
dx
df
dx
df
dx
df
dx
df
xd
fd
.......
..............................
.......
.......
21
22
2
2
1
11
2
1
1
Contoh 2.2
Diketahui :
=
+−
++
−+
=
2
1
21
2
2
21
21
2
2
2
1
,
464
632
2
)(
x
x
x
xx
xxx
xxxx
xf ,
3. maka
−+−
−
=
66622
4222
212
21
xxx
xx
xd
fd
Didefinisikan )(xH adalah matriks hessian dari )(xf , dimana )(xf adalah fungsi
skalar yang didefinisikan dalam ruang vektor x . Maka )(xH adalah turunan tingkat dua
fungsi )(xf terhadap x .
2
22
)(
x
f
xx
f
xH
ji ∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
=
nnnn
n
n
xx
f
xx
f
xx
f
xx
f
xx
f
xx
f
xx
f
xx
f
xx
f
xH
2
2
2
1
2
2
2
22
2
12
2
1
2
21
2
11
2
.......
..............................
.......
.......
)(
Operator Integral dan differensial mempunyai sifat linier, karena linier maka juga
mempunyai sifat komutatif.
Matriks Hessian merupakan Matriks Simetri (upper diagonal = lower diagonal)
Untuk mengetahui minimum atau maksimum suatu fungsi )(xf , maka 0)(2
2
〉=
∂
∂
xH
x
f
fungsi )(xf adalah minimum dan 0)(2
2
〈=
∂
∂
xH
x
f
fungsi )(xf adalah maksimum.
Contoh 2.3
686423)( 2121
2
2
2
1 +−−++= xxxxxxxf
maka,
4.
=
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
=
44
46
)(
22
2
12
2
21
2
11
2
xx
f
xx
f
xx
f
xx
f
xH
Latihan 2.2
Suatu fungsi 6386242)( 3213221
2
3
2
2
2
1 +−−+−+++= xxxxxxxxxxxf
Tentukan matrik Hessian )(xH
2.3. Matriks Definit Positip dan Definit Negatif
Pada bagian ini, kita akan membahas tentang matrik definit positip dan matrik definit
negatif. Ada dua pendekatan/cara untuk menentukan apakah suatu matrik persegi
merupakan matrik definit positip atau matrik definit negatif atau tidak definit. Pendekatan
pertama lebih bersifat teoritis, seperti dijelaskan berikut ini.
Didefinisikan A matrik persegii (nxn), maka secara teoritis berlaku :
Karena pembuktian xT
Ax yang harus berlaku untuk semua x bilangan riel sangat sulit,
maka para ahli matematik telah membuktikan cara/pendekatan yang kedua.
Didefinisikan suatu matrik persegi A
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
......
........................
......
......
21
22221
11211
Maka miinor – minor utama dari matrik A adalah sebagai berikut :
[ ]111 aA =
A disebut Definit Positip AxxT 〉 0 n
Rx ∈∀
A disebut Definit Negatif AxxT
〈 0 n
Rx ∈∀
A disebut Semi Definit Positip AxxT
≥ 0 n
Rx ∈∀
A disebut Semi Definit Negatif AxxT
≤ 0 n
Rx ∈∀
5.
=
2221
1211
2
aa
aa
A
=
333231
232221
131211
3
aaa
aaa
aaa
A ...........
=
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
A
....
................
....
....
21
22221
11211
Sehingga cara/pendekatan kedua untuk menentukan kedefinitan suatu matrik adalah
sebagai berikut :
A Definit Negatif -A Definit Positip
AxxT
〈 0 - AxxT 〉 0
( )xAxT
− 〉 0 -A Definit Positip
Cara ini adalah untuk membuktikan A Definit Negatif dengan menggunakan pembuktian
bahwa (-A) Definit Positip.
Suatu matrik persegi A disebut Matrik tidak definit ( indefinite )
⇔ ketentuan-ketentuan definit / semi definit positif / negatif tidak dipenuhi
Contoh 2.4
Suatu matrik
=
44
46
H
maka dapat dihitung determinan minor - minornya
det( ) 661 ==H > 0
det( ) 81624
44
46
2 =−==H > 0
Jadi, matrik H adalah Definit Positip
A disebut Definit Positip det ( )iA > 0 ni ,......,2,1=
A disebut Definit Negatif ( )i
1− det ( )iA < 0 ni ,......,2,1=
A disebut Semi Definit Positip det ( )iA ≥ 0 ni ,......,2,1=
A disebut Semi Definit Negatif ( )i
1− det ( )iA ≤ 0 ni ,......,2,1=
6. Latihan 2.3
Suatu fungsi 6386242)( 3213221
2
3
2
2
2
1 +−−+−+++= xxxxxxxxxxxf
Tentukan apakah matrik Hessian dari fungsi f(x) bersifat definit positip atau negatif?
2.4. Syarat Perlu Keoptimalan
Syarat perlu keoptimalan digunakan untuk mencari calon/kandidat titik-titik optimal
*
x pada pendekatan analitis. Syarat perlu keoptimalan mengatakan bahwa :
Bila *
x adalah titik optimal dari )(xf maka :
( ) 0*
=∇ xf
*
x yang memenuhi persamaan di atas merupakan calon penyelesaian atau disebut juga
titik optimal.
Contoh 2.5
Suatu fungsi :
686423)( 2121
2
2
2
1 +−−++= xxxxxxxf
Maka gradiennya adalah
( )
−+
−+
=∇
844
646
21
21
xx
xx
xf
Dengan memenuhi syarat perlu keoptimalan, yaitu
( ) 0=∇ xf .0646 21 =−+ xx
0844 21 =−+ xx
022 1 =+x
11 −=x 32 =x
Jadi
−
=
3
1*
x adalah titik optimal dari ( )xf
Latihan 2.4
Dapatkan titik optimal *
x dari fungsi :
21
2
2
3
1 1232)( xxxxxf −+=
2.5. Syarat Cukup Keoptimalan
7. Syarat cukup keoptimalan digunakan untuk menentukan apakah titik optimal yang
didapatkan dari syarat perlu keoptimalan merupakan titik minimum atau titik maksimum.
Syarat cukup keoptimalan mengatakan bahwa :
Bila ( ) 0*
=∇ xf dan ( )*
xH definit positip maka *
x titik minimum
Bila ( ) 0*
=∇ xf dan ( )*
xH definit negatif maka *
x titik maksimum
Contoh 2.6
Suatu fungsi :
686423)( 2121
2
2
2
1 +−−++= xxxxxxxf :
Pada contoh 2.5 telah didapatkan calon penyelesaian atau titik optimal
−
=
3
1*
x dan
pada contoh 2.2 dan contoh 2.4 didapatkan matrik Hessiannya adalah :
=
44
46
)( *
xH adalah definit positip
Jadi,
−
=
3
1*
x adalah titik minimum dengan ( ) 362461283*
−=+−+−+=xf
Latihan 2.5
Tentukan titik minimum atau titik maksimum dari fungsi :
21
2
2
3
1 1232)( xxxxxf −+=
2.6. Fungsi Konveks dan Fungsi Konkav
Pada bagian ini kita akan membahas tentang fungsi konveks dan fungsi konkaf.
Didefinisikan 1
x , 2
x ∈ n
R ; 1
x dan 2
x adalah vektor dengan dimensi yang sama.
Secara matematis vektor sama dengan titik dengan syarat titik referensinya sama. Titik
adalah isitilah pada geometri sedangkan vektor adalah istilah pada space. Perbedaannya,
titik selalu dinyatakan pada koordinat tetap sedangkan vektor dinyatakan dalam koordinat
tertentu yang bisa berubah-ubah (tidak tetap).
2
1
x
x
0
0
8. Kombinasi Konveks dari 1
x dan 2
x adalah titik-titik yang terletak pada garis lurus yang
menghubungkan 1
x dengan 2
x , yang dipenuhi dengan persamaan:
( ) ( ) 21
1 xxx λλλ −+= [ ]1,0∈∀λ
( )xf fungsi konveks ⇔ ( )( ) ( ) ( ) ( )21
1 xfxfxf λλλ −+≤
( )xf fungsi konkav ⇔ - ( )xf adalah konveks
⇔ ( )( ) ( ) ( ) ( )21
1 xfxfxf λλλ −+≥
Suatu Fungsi Linier adalah Fungsi konveks dan Fungsi konkav
⇔ ( )( ) ( ) ( ) ( )21
1 xfxfxf λλλ −+=
λ=1 λ=0.5 λ=0
x1
x2
x1
Vektor/titik konveks yang ada
dalam cone x1
dan x2
x2
f(x) konveks
f(x1
) λf(x1
) f(x(λ)) f(x2
)
+(1-λ)f(x2
)
x1
x(λ) x2
f(x) konveks
g(x)=-f(x) konkav
f(x) linier
x1
x(λ) x2
9. ( )xf fungsi konveks
⇔ matriks Hessiannya adalah Semi Definit Positip
( )xf fungsi konkav
⇔ matriks Hessiannya adalah Semi Definit Negatif
Fungsi konveks dan konkav ini dapat menggantikan syarat cukup semi definit positif dan
negatif.
Suatu himpunan S disebut konveks ⇔ λ x1
+(1-λ) x2
∈ S ∀ x1
,x2
∈ S dan ∀ λ ∈ [0,1]
Contoh 2.7
Suatu fungsi :
686423)( 2121
2
2
2
1 +−−++= xxxxxxxf
Telah dikatahui bahwa
positifdefinitxH →
=
44
46
)(
Karena H(x) definit positip maka f(x) konveks
Latihan 2.6
Suatu fungsi :
142)( 2121
2
2
2
1 +−−++= xxxxxxxf
Tentukan apakah fungsi f(x) konveks atau tidak
x1
x2
S
bukan konveks
x1
x2
S
konveks
10. ________________________________________________________________________
Ringkasan
1. Gradien )(xf∇ merupakan turunan pertama )(xf terhadap x
xd
df
x
f
x
f
x
f
xf
n
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
.
.
)( 2
1
2. Matrik Hessian H(x) merupakan turunan kedua )(xf terhadap x
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
=
nnnn
n
n
xx
f
xx
f
xx
f
xx
f
xx
f
xx
f
xx
f
xx
f
xx
f
xH
2
2
2
1
2
2
2
22
2
12
2
1
2
21
2
11
2
.......
..............................
.......
.......
)(
3. Suatu matrik A disebut definit positip atau definit negatif jika :
4. Syarat perlu keoptimalan :
Bila *
x adalah titik optimal dari )(xf maka ( ) 0*
=∇ xf
5. Syara cukup keoptimalan :
Bila ( ) 0*
=∇ xf dan ( )*
xH definit positip maka *
x titik minimum
A disebut Definit Positip det ( )iA > 0 ni ,......,2,1=
A disebut Definit Negatif ( )i
1− det ( )iA < 0 ni ,......,2,1=
A disebut Semi Definit Positip det ( )iA ≥ 0 ni ,......,2,1=
A disebut Semi Definit Negatif ( )i
1− det ( )iA ≤ 0 ni ,......,2,1=
11. Bila ( ) 0*
=∇ xf dan ( )*
xH definit negatif maka *
x titik maksimum
6. ( )xf fungsi konveks jika dan hanya jika matriks Hessiannya adalah Semi Definit
Positip
7. ( )xf fungsi konkaf jika dan hanya jika matriks Hessiannya adalah Semi Definit Negatif
