Dokumen tersebut berisi soal-soal tes untuk hari pertama dan kedua yang mencakup analisis real, aljabar linear, analisis kompleks, dan kombinatorika. Pada hari pertama terdapat 5 soal isian singkat dan 5 soal uraian yang membahas konvergensi barisan bilangan, fungsi monoton, operasi grup, dan relasi polinom. Pada hari kedua terdapat 5 soal isian singkat dan 5 soal uraian yang membahas pemetaan linear, nilai eigen matriks, persamaan

1. HARI PERTAMA:
ANALISIS REAL, STRUKTUR ALJABAR, KOMBINATORIKA
TES BAGIAN PERTAMA : ISIAN SINGKAT
WAKTU : 60 MENIT
SOAL
1. Diberikan himpunan A ⊂ R dengan B = {1
x
|x ∈ A}. Jika inf A > 0, maka sup B = . . .
dan jika inf A = 0, maka sup B = . . .
2. Diberikan barisan bilangan real (an), dengan an =
Pn
k=1
k!+4k+1
k!4k , maka limn→∞ an = . . .
3. Misalkan a bilangan asli terkecil yang mengakibatkan
Z[x]/ha, x2
+ 1i
merupakan suatu field/lapangan yang mempunyai lebih dari satu unsur. Jika banyaknya
unsur di lapangan ini adalah b, maka nilai a × b adalah . . .
4. Misalkan G adalah suatu grup berorde 2021. Misalkan juga x dan y merupakan dua unsur
di G yang tidak sama dengan identitas dan memiliki orde yang berbeda. Jika H adalah
subgrup terkecil yang memuat x dan y, maka banyaknya unsur di H adalah . . .
5. Solusi dari relasi rekuren xn = 4xn−1 − 3xn−2 + 2n
, (n ≥ 3) dengan syarat x1 = 1, x2 = 11
adalah . . .

2. HARI PERTAMA:
ANALISIS REAL, STRUKTUR ALJABAR, KOMBINATORIKA
TES BAGIAN KEDUA : URAIAN
WAKTU : 120 MENIT
SOAL
1. Diberikan barisan bilangan real positif (xn) dengan xn+1 ≤ xn − 1
2n , n ∈ N. Buktikan
bahwa barisan (xn) konvergen kemudian tentukan nilai limitnya.
2. Diberikan fungsi kontinu f : R → R. Jika setiap himpunan terbuka G diperoleh f(G)
terbuka, buktikan bahwa fungsi f monoton.
3. Misalkan S himpunan yang memiliki dua operasi biner ◦ dan ?. Diketahui bahwa masing-
masing operasi mempunyai unsur identitas (yang tidak mesti sama) dan untuk setiap
a, b, c, d ∈ S berlaku
(a ? b) ◦ (c ? d) = (a ◦ c) ? (b ◦ d)
Haruskah operasi biner ◦ dan ? merupakan operasi yang sama?
4. Misalkan Z3[x] merupakan gelanggang polinom dengan koefesien-koefesien di Z3. Diberikan
f(x) ∈ Z3[x] dengan x2k
− 1 membagi (f(x))2
− 1 untuk suatu bilangan asli k ≥ 1. Buk-
tikan:
a. (f(x) − 1)(f(x) + 1) = a(x)(x2
− 1) dan (f(x) − x)(f(x) + x) = b(x)(x2
− 1), untuk
suatu a(x) dan b(x) di Z3[x].
b. Jika x2
− 1 tidak membagi f(x) − x dan f(x) + x, maka x2
− 1 membagi f(x) − 1 atau
f(x) + 1
5. Misalkan N adalah suatu bilangan bulat positif, dan j adalah suatu bilangan irrasional.
Buktikan bahwa terdapat bilangan rasional a/b dengan 1 ≤ b ≤ N memenuhi

6. j −
a
b

10. <
1
b(N + 1)

11. HARI KEDUA:
ALJABAR LINEAR, ANALISIS KOMPLEKS, KOMBINATORIKA
TES BAGIAN PERTAMA : ISIAN SINGKAT
WAKTU : 60 MENIT
SOAL
1. Misalkan T pemetaan linear dari R2021
ke R3
sehingga untuk setiap x di R2021
, vektor
T(x) di R3
berbentuk
T(x) =


a
b
a + b


untuk suatu a, b ∈ R. Dimensi terkecil yang mungkin dari kernel T adalah. . .
2. Banyaknya nilai eigen positif dari matriks
M =






−1 3 0 0 0
3 2 −1 0 0
0 −1 2 −1 0
0 0 −1 2 −1
0 0 0 −1 2






adalah . . .
3. Jika a dan b merupakan bilangan real dengan 0 < a < b < 2π yang memenuhi persamaan
eib
+ eia
= i
√
2, maka nilai dari b
a
adalah. . .
4. Fungsi kompleks f(z) = 1
z
memetakan garis Re(z) = 1
4
ke lingkaran dengan jari-jari . . .
5. Kata sandi tanpa perulangan karakter dibentuk dengan menggunakan huruf kapital. Se-
buah kata sandi dikatakan sempurna bila tidak memuat untaian karakter XY Z maupun
ZY X. Besarnya peluang untuk membentuk kata sandi sempurna yang terdiri atas 8
huruf adalah . . .

12. HARI KEDUA:
ALJABAR LINEAR, ANALISIS KOMPLEKS, KOMBINATORIKA
TES BAGIAN KEDUA : URAIAN
WAKTU : 120 MENIT
SOAL
1. (a) Misalkan T : R3
→ R3
suatu pemetaan yang didefinisikan dengan
T(x) =
(
−x, jika x = (1, 0, 0)
x, jika x 6= (1, 0, 0)
.
Buktikan bahwa T pemetaan tidak linear dan jika u · v = 0, maka berlaku T(u) ·
T(v) = 0.
(b) Jelaskan apakah terdapat pemetaan tidak linear T : R3
→ R3
sehingga berlaku
T(u) · T(v) = u · v untuk setiap u, v ∈ R3
!
2. Suatu matriks B berukuran 2×2 dengan komponen real dikatakan menarik jika terdapat
matriks A berukuran 2 × 2 dengan komponen real sehingga
AB − BA = B2
.
(a) Jelaskan apakah matriks B =
0 1
0 0
menarik atau tidak!
(b) Jika matriks B menarik, buktikan bahwa B nilpoten, yakni B2
= 0.
3. Misalkan A = {z ∈ C : |z| ≤ 1} dan B = {z = x + (4 − 2x)i : x ∈ R}. Jika C = {a − b :
a ∈ A, b ∈ B}, maka tentukan inf{|c| : c ∈ C}.
4. Diketahui fungsi f(z) analitik pada domain D. Jika ada konstanta c1, c2 ∈ C yang tidak
semuanya nol sehingga c1f(z) + c2f(z) = 0 untuk setiap z ∈ D, maka buktikan bahwa
f(z) adalah fungsi konstan pada D.
5. Pengubinan dengan panjang n ≥ 1 adalah sebuah cara menutupi lantai berukuran 1 × n
dengan menggunakan ubin berukuran 1 × 1 berwarna merah, putih, hijau, kuning, atau
biru. Sebuah pengubinan dikatakan ideal bila pengubinan menggunakan genap ubin
merah, genap ubin hijau, dan ganjil ubin biru. Tentukan banyaknya pengubinan ideal
dengan panjang n.