Ηλεκτρομαγνητική θεωρία στις n χωρικές διαστάσεις (2)

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΙΣ η-ΧΩΡΙΚΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΗΛΕΚΣΡΟΜΑΓΝΗΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
΢Ε n-ΦΩΡΙΚΕ΢ ΔΙΑ΢ΣΑ΢ΕΙ΢
&
Ο ΝΟΜΟ΢ ΣΟΤ GAUSS ΚΑΙ ΣΟ
ΑΣΟΜΟ ΢ΣΙ΢ n-ΦΩΡΙΚΕ΢
ΔΙΑ΢ΣΑ΢ΕΙ΢

ΦΙΟΡΕΝΣΙΝΟ΢ ΓΙΑΝΝΗ΢
ΦΤ΢ΙΚΟ΢
MSc. ΘΕΩΡΗΣΙΚΗ΢ ΦΤ΢ΙΚΗ΢

ΑΘΗΝΑ 2011

ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ΢ ΓΙΑΝΝΗ΢

Page 1


Θεωρούμε ηλεκτρομαγνητική θεωρία σε n+1διαστάσεις (η χωρικές και 1
χρονική), η οποία περιγράφεται από τη Λαγκρανζιανή:
1
Ln 1   F F 
4

(1)

Θα επιχειρήσουμε να βρούμε τον αντίστοιχο νόμο του Gauss για το
ηλεκτρικό πεδίο και να υπολογίσουμε το ηλεκτροστατικό δυναμικό ενός
σημειακού ηλεκτρικού φορτίου σε η χωρικές διαστάσεις.
΢τη συνέχεια θα δείξουμε ότι αν τα ηλεκτρόνια κινούνται σε δυναμικό:
V (r )  

e2
r n2

2
2
, r 2  x12  x2  ...  xn

(2),

΢τις η-χωρικές διαστάσεις, για να σχηματισθούν σταθερά άτομα πρέπει να
είναι: n  3 . Δηλαδή μόνον σε 3 χωρικές διαστάσεις μπορούν να υπάρξουν
σταθερά άτομα (και κατά συνέπεια Φημεία, Βιολογία, και τελικά...εμείς).
Carl Friedrich Gauss


Page 2


΢την Λαγκρανζιανή (1):
1
Ln 1   F F 
4

αντιστοιχεί δράση που είναι:
1
S   dx 4 (  F F  )
4

(3)

Η μεταβολή λοιπόν στην δράση (3), θα είναι:
1
4

 S    dx 4 (  F F  ) ,
1
4

1
4

 S   dx 4 [ ( F ) F   F ( F  )]

ή
(4).

Θεωρούμε τώρα τον πρώτο προσθετέο στην (4).
Με δεδομένο ότι: F    A   A

(5),

έχουμε:
1
1
 ( F ) F    (   A    A ) F 
4
4

(6)

΢τη συνέχεια ολοκληρώνοντας κατά μέρη, για να μεταφέρουμε τις
παραγώγους από τα  A και  A στο F  , έχουμε:
1
1
1
 ( F ) F    (   A    A ) F   (  F   A   F   A )
4
4
4

(7)

(Διότι θεωρώντας μηδενική μεταβολή στα δύο ακραία σημεία της τροχιάς, θα
είναι:


Page 3


2

( F   A  F   A )  0 .)
1

΢τη σχέση όμως (7), ο δείκτης μ είναι «βουβός» δείκτης. Έτσι κάνοντας
την αλλαγή:   , η (7) γράφεται:
1
1
 ( F ) F   (  F   A    F   A )
4
4

(8)

(βλέπε ΢ΤΜΠΛΗΡΩΜΑ, σελίδες:17-22).
Όμως: F    F (αντισυμμετρικός τανυστής) και έτσι η (8), γράφεται:
1
1
 ( F ) F   (  F   A    F   A ) 
4
4


1
(  F   A    F   A ) 
4
1
1
 ( F ) F     F   A
4
2

(9)

΢τη συνέχεια ασχολούμαστε με το δεύτερο προσθετέο στη σχέση (4),
δηλαδή με τον όρο:
1
 F ( F  )
4

Έχουμε λοιπόν:
1
1
1
F ( F  )   F  (  A   A )   F (   A    A )
4
4
4

(10)

Για να φέρουμε τη (10) στη μορφή της (9), πρέπει να «ανεβάσουμε» και να
«κατεβάσουμε» κάποιους δείκτες (χρησιμοποιώντας τη μετρική). Κατ΄αρχάς


Page 4


ας ανεβάσουμε τους δείκτες στον τανυστή. Θα έχουμε:
1
1
 F (   A    A )   g  g F  (   A    A )
4
4

΢τη

συνέχεια

μετακινούμε

το

F  μέσα

στην

παρένθεση

(11)
και

ολοκληρώνουμε κατά μέρη, έτσι ώστε να μεταφέρουμε την παράγωγο στο F 
Θα έχουμε:
1
1
 F (   A    A )   g  g F  (   A    A ) 
4
4




1
g  g [  ( F  ) A   ( F  ) A ] 
4

1
1
g  g   ( F  ) A  g  g  ( F  ) A
4
4

(12)

Ακολούθως κατεβάζουμε τους δείκτες στον τελεστή της παραγώγου και
έχουμε:


1
1
g  g   ( F  ) A  g  g  ( F  ) A 
4
4


1
1
g   ( F  ) A  g   ( F  ) A
4
4

(13)

Κατόπιν κατεβάζουμε τους δείκτες του ανυσματικού δυναμικού και
έχουμε:
1
1
g   ( F  ) A  g   ( F  ) A 
4
4
1
1
  ( F  ) A   ( F  ) A
4
4

(14)


Page 5


Οι δείκτες ρ και σ είναι βουβοί και έτσι μπορούμε να τους αλλάξουμε.
΢το δεύτερο όρο της (14) κάνοντας τις αλλαγές:   και    , έχουμε:
1
1
  ( F  ) A   ( F  ) A 
4
4


1
1
  ( F  ) A    ( F  ) A
4
4

(15)

Με χρήση της αντισυμμετρικότητας του τανυστή F  , η (15) γίνεται:
1
1
  ( F  ) A    ( F  ) A 
4
4


1
1
  ( F  ) A    ( F  ) A
4
4

(16)

Αλλάζοντας τους βωβούς δείκτες (    ,    ) στον πρώτο προσθετέο της
(16) έχουμε:
1
1
  ( F  ) A    ( F  ) A 
4
4


1
1
1
  ( F  ) A    ( F  ) A    ( F  ) A
4
4
2

(17)

Μέσω των σχέσεων (9) και (17), η μεταβολή της δράσης γράφεται:
1
4

1
4

 S   dx 4 [ ( F ) F   F ( F  )] 
1
2

1
2

 S   dx 4 [   F   A    F   A ] 
 S   dx 4   F   A

(18)


Page 6


Απαιτούμε το  S να είναι μηδέν, οπότε (εφ΄όσον το  A όντας αυθαίρετο
δεν μηδενίζεται), είναι τελικά:
  F   0

(19)

Ο τανυστής του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στις 3+1 διαστάσεις και για
c  1 , είναι:

F     A   A  g 

 0

 Ex

 Ey

 E
 z

Ex
0
 Bz
By

Ey
Bz
0
 Bx

Ez 

 By 
Bx 

0 


(20)

( F 00  0, F 10   Ex , F 20   Ey , F 30   Ez ) . Αυτά στις 3+1 διαστάσεις . ΢τις n  1
διαστάσεις, περιμένουμε και πάλι τα στοιχεία F  0 του τανυστή να αντιστοιχούν
στις συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου, για   1, 2,3,..., n .
Για ν=0, έχουμε:
  F  0   0 F 00   x F 10   y F 20   z F 30  0 
0   x Ex   y Ey   z Ez  0 
 
.E  0

(21),

που είναι ο γνωστός μας νόμος του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο, απουσία
πηγής (πυκνότητας ηλεκτρικού φορτίου).
Η ολική στερεά γωνία σε η – διαστάσεις είναι (βλέπε σελίδα: 23):
n

2 2
n 
n
( )
2


(22)

Page 7


Έτσι λοιπόν η επιφάνεια «υπερσφαίρας» ακτίνας r, περιμένουμε να είναι:
n

2 2 n 1
S
r
,
n
( )
2

Δηλαδή είναι:
S  r n 1

Τποθέτοντας λοιπόν ότι ο νόμος του Gauss εξακολουθεί να ισχύει και στις
η – (χωρικές) διαστάσεις, θα έχουμε:
E.S 

q

0

,

ή

n
2

E

2
q
r n 1 
,
n
0
( )
2

E (r ) 

1
r n 1

V (r ) 

,
1

r

n2


ή

οπότε:
(23)

Page 8


Προκειμένου τώρα να απαντήσουμε στο ερώτημα για την σταθερότητα ή
μη των ατόμων στις η – (χωρικές) διαστάσεις, ας δούμε κατ΄αρχάς τι συμβαίνει
στις 3 διαστάσεις. Έστω ότι υπάρχει ακτίνα r0 , για την οποία έχουμε ελάχιστη
ενέργεια. Έστω επίσης, για ευκολία, ότι:
p.x   ,

p 

ή


x

Θεωρώντας ότι: x  r0 , τότε:
p 


r0

(24)

Για την κινητική ενέργεια λοιπόν θα έχουμε:
K

(p ) 2
1 2

2m
2m r02

(25)

ενώ η δυναμική ενέργεια είναι:
V (r0 )  

e2
r0

(26),

οπότε η ολική ενέργεια είναι:
(r0 ) 

1  2 e2

2m r02 r0

(27)

Έτσι λοιπόν έχουμε:
d (r0 )
 2 e2
 3  2
dr0
mr0 r0

(28)

Άρα:


Page 9


d (r0 )
 2 e2
0 3  2 0
dr0
mr0 r0
2
e2
 2
mr03 r0

2
r0  2
me

(29)

me4
(r0 )   2
2

(30),

d 2 (r0 ) 3 2 2e 2


dr02
mr04 r03

(31),

d 2 (r0 )
m 3 e8
 6 0
dr02 r  2


(32)

Σότε όμως:

ενώ ταυτόχρονα:

οπότε:

0

Άρα λοιπόν η: (r0 )  

me2

me4
, αντιστοιχεί σε ελάχιστο (minimum), οπότε
2 2

σχηματίζονται (κατά τα γνωστά) δέσμιες καταστάσεις.
Έστω λοιπόν τώρα ότι βρισκόμαστε σε ένα χώρο η διαστάσεων. Σότε η
σχέση (27) γράφεται:
(r0 ) 

1  2 e2

2m r02 r0n  2

(33)

Σότε:


Page 10


d (r0 )
2
e2
  3  (2  n) n 1 ,
dr0
mr0
r0

ή

d (r0 )
2
e2
  3  (n  2) n 1
dr0
mr0
r0

(34)

 Για n  4 (4 χωρικές και μία χρονική), η (33) γράφεται:
(r0 ) 

1  2 e2
2
1
 2 (
 e2 ) 2 ,
2
2m r0 r0
2m
r0

Οπότε η (r0 ) δεν παρουσιάζει ακρότατο. (Μόνο για r0   , (r0 )  0 , ενώ
για r0  0 , (r0 )   ).
Επομένως για n  4 δεν υπάρχει κατάσταση ελάχιστης ενέργειας και κατά
συνέπεια ούτε σταθερά άτομα υδρογόνου κλπ.
 Για n  5 , η σχέση (33) δίνει:
(r0 ) 

1  2 e2
 ,
2m r02 r03

Και αντίστοιχα η (34) δίνει:
d (r0 )
2
e2
  3 3 4
dr0
mr0
r0

(35)

d (r0 )
3me 2
 0  r0  2
dr0


(36)

Έτσι:

Οπόταν:

(r0 ) r  3me2 
0

2

6
0
54m3e4

(37)

καθώς επίσης:


Page 11


d 2 (r0 ) 3 2 12e 2

 5
dr02
mr04
r0

(38)

και
d 2 (r0 )
10

0,
dr02 r  3me2
81m5e8
0

Οπότε στη θέση r0 

2

3me2
, η ενέργεια παρουσιάζει μέγιστο και όχι ελάχιστο.
2

Άρα δεν υπάρχει θέση ελάχιστης ενέργειας.

 Για n  6 , η ενέργεια είναι:
(r0 ) 

1  2 e2

2m r02 r04

(39)

και αντίστοιχα:
d (r0 )
 2 4e 2
 3  5
dr0
mr0
r0

(40)

Έτσι λοιπόν:
r0  
d (r0 )
0
dr0

2e m
(απορρίπτεται ως αρνητική)




r0 

2e m


Σότε όμως:
(r0 ) r  2e
0

m




4
0
16m2e2

ενώ ταυτόχρονα:


Page 12


d 2 (r0 )
dr02 r  2 e
0


m

6
0,
8m3e4



άρα και πάλιν η (r0 ) παρουσιάζει μέγιστο και όχι ελάχιστο.
Η ίδια ανάλυση μπορεί να συνεχισθεί και για μεγαλύτερες διαστάσεις...

ΠΑΡΑΣΗΡΗ΢Η:
Μπορούμε να δούμε γιατί για n  4 η ενέργεια παρουσιάζει μέγιστο και
όχι ελάχιστο, αν δούμε την «ασυμπτωτική» συμπεριφορά της συνάρτησης για
πολύ μικρά και πολύ μεγάλα r .
Πιο συγκεκριμένα ας θεωρήσουμε (για ευκολία) τη συνάρτηση:
E (r ) 

1
1
 n2
2
r
r

n4

i) Για πολύ μικρά r ( r  0 ), «υπερισχύει» ο όρος 

1
r

n2

και η ενέργεια

προσεγγίζεται από την έκφραση:
E (r )  

1
r

n2

,

ii) Για πολύ μεγάλα r , ( r   ), «υπερισχύει» ο όρος

n4
1
και η ενέργεια
r2

προσεγγίζεται από την έκφραση:
E (r ) 

1
,
r2

δηλαδή η ενέργεια τείνει στο μηδέν από τα θετικά.
Η γραφική παράσταση για (πχ) n  5 , οπότε έχουμε τη συνάρτηση:
E (r ) 

1 1
 ,
r2 r3


είναι:

Page 13


0.15

0.10

0.05

2

4

6

8

10

0.05

Παρόμοια μορφή περιμένουμε και για τις άλλες τιμές του n ( n  4 )

Π.χ. για n  10 , έχουμε:
E (r ) 

1 1
 ,
r 2 r8

με

αντίστοιχη

γραφική

παράσταση:

1

2

3

4

5

1

2

3

4


Page 14


Σημείωση:
Για ευκολία στις πράξεις, θεωρήσαμε ότι k=1. Βέβαια το k δεν είναι
αδιάστατο μέγεθος. ΢το νόμο του Coulomb, στον τρισδιάστατο χώρο έχει
μονάδες: k 

Nm2
. Ας θυμηθούμε πως προκύπτει αυτό. ΢ύμφωνα με το νόμο
C2

του Coulomb: F  k

e2
,
r2

άρα k 

Nm2
Fr 2
, απ΄όπου προκύπτει ότι: k  2 .
C
e2

΢τον (υποτιθέμενο) η – διάστατο χώρο, η δύναμη Coulomb, όπως δείξαμε
προηγουμένως, θα είναι: F  k

e2
Fr n 1
, οπότε τότε: k  2 . Έτσι για τις
r n 1
e

διάφορες τιμές του η, έχουμε αντίστοιχα:
n  4, k 

Nm3
C2

Nm4
n  5, k  2
C

n  6, k 

Nm5
,
C2

κοκ.

Έτσι λοιπόν για παράδειγμα για n  6 , βρήκαμε ότι: r0 

2e m
, οπότε ίσως


αναρωτηθούμε αν δίνει αυτό μονάδες μήκους. ΢υμπεριλαμβάνοντας λοιπό το
k, θα είναι:
r0 

2e mk
,


Nm5
m
m 2 . N .Kg. 2
2
2
C 
s  m .N  m ,
J .s
J
J

C. Kg.

οπότε:

r0 


Page 15


και ομοίως για τις υπόλοιπες περιπτώσεις διαστάσεων που μελετήσαμε
(επιλέγοντας πάντα τις αντίστοιχες μονάδες για το k, όπως περιγράψαμε
παραπάνω).

΢ΤΜΠΕΡΑ΢ΜΑΣΑ
΢την παρούσα εργασία είδαμε ότι αν θεωρήσουμε ένα χώρο n+1
διαστάσεων (n-χωρικές και 1 χρονική), η εφαρμογή του νόμου του Gauss μας
οδηγεί σε μια ένταση που είναι ανάλογη του
είναι ανάλογο του

1
r

n2

1
r n 1

και άρα σε ένα δυναμικό που

. ΢τη συνέχεια, χρησιμοποιώντας κβαντομηχανικά

επιχειρήματα (ειδικότερα θεωρώντας την αρχή της απροσδιοριστίας) δείξαμε
ότι για ένα τέτοιο δυναμικό, μπορεί να υπάρξει μια κατάσταση ελάχιστης
ενέργειας ηλεκτρονίου – πρωτονίου (σταθερό άτομο υδρογόνου), μόνο στην
περίπτωση για την οποία n  3 .
΢την περίπτωση που κάνουμε την υπόθεση εργασίας ότι το δυναμικό
εξακολουθεί να είναι ανάλογο του

1
και στις ανώτερες διαστάσεις (όπως
r

δηλαδή είναι στον τρισδιάστατο χώρο), τότε μπορούμε να δείξουμε ότι με
αυτή την ansatz, υπάρχει κατάσταση ελάχιστης ενέργειας για το άτομο του
υδρογόνου (και κατ΄επέκταση και για τα υπόλοιπα άτομα της ύλης) ακόμη και
στις n ( n  3 ) διαστάσεις.


Page 16


΢ΤΜΠΛΗΡΩΜΑ
Α) ΜΕΡΙΚΑ ΢ΣΟΙΦΕΙΑ ΣΑΝΤ΢ΣΩΝ
i)

΢την ειδική θεωρία της σχετικότητας (special theory of relativity) , ο

μετρικός τανυστής του ενοποιημένου «χωρόχρονου» είναι:

g 

 1

0

0

0

0 0 0

1 0 0
0 1 0

0 0 1

(mostly plus)

(41)

Οπότε:
ds 2  dt 2  dx2  dy2  dz 2

(42)

Παρατηρήστε ότι ο χώρος μοιάζει Ευκλείδιος.

Μας τη χαλάει το

πρόσημο – μπροστά απ΄το dt. Γι΄αυτό και ονομάζεται ψευδο-ευκλείδιος
΢ε άλλα βιβλία (και σε μας παρακάτω) προτιμάται η μετρική:

g 

1 0 0 0 


0 1 0 0 

 0 0 1 0 


 0 0 0 1

(mostly minus)

(43)

Οπότε:
ds2  dt 2  dx2  dy 2  dz 2


(44)

Page 17


ii) Για τις Καρτεσιανές συντεταγμένες στο συνηθισμένο τρισδιάστατο χώρο, η
μετρική είναι:
1 0 0


g ab   0 1 0 
0 0 1



(45)


Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε ένα διάνυσμα A στο χώρο αυτό, με
συνιστώσες: A1 , A2 , A3 (οι τρεις συνιστώσες στους άξονες x,y,z).
Πως θα βρούμε τις A1, A2 , A3 ;
Υυσικά, μέσω της μετρικής, με τη βοήθεια της σχέσης:
Aa  gab Ab

(46)

Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να βρούμε πχ τη συνιστώσα A1
Εφαρμόζουμε τη σχέση (19). (Πάντα έχουμε στο μυαλό μας την σύμβαση
Einstein, ότι δηλαδή επαναλαμβανόμενος δείκτης σημαίνει άθροιση σ΄όλες τις
δυνατές τιμές του).
Θα είναι λοιπόν:
A1  g1b Ab  g11 A1  g12 A2  g13 A3 ,

ή

A1  1. A1  0. A2  0. A3  A1 .

Ομοίως βρίσκουμε ότι: A2  A2 και A3  A3 . Δηλαδή στο συνήθη τρισδιάστατο
χώρο και για ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, οι Contravariant και οι


Page 18


Covariant συνιστώσες ενός διανύσματος ταυτίζονται! Αυτός είναι και ο λόγος
που δεν αναφερόμαστε (ούτε καν ονομαστικά) σ΄αυτές.
iii) ΢υνήθως ο μετρικός τανυστής στις τρεις διαστάσεις έχει δείκτες, τους
οποίους συμβολίζουμε με a, b.

Δηλαδή: a,b=1,2,3. ΢τον τετραδιάστατο

χωρόχρονο (΢χετικότητα) συνήθως επιλέγουμε για τους δείκτες τα γράμματα
μ,ν και μάλιστα θεωρούμε ότι: μ,ν=0,1,2,3.
Έτσι το τετράνυσμα (ή τετραδιάνυσμα) «θέσης» (4-vector) xμ ορί-ζεται ως:
x  ( x0 , x1 , x2 , x3 )

(47)


όπου x0=t (παίρνουμε την ταχύτητα του φωτός c=1), και ( x1, x2 , x3 )  x .
Ένα σπουδαίο τετράνυσμα είναι αυτό της «ενέργειας-ορμής»
(energy - momentum 4-vector). Αυτό είναι:

p   ( E , p)
1

E  ( p 2  m2 ) 2

, όπου για σωματίδιο μάζας

m , η ενέργεια είναι:

, (c=1 ) .

Ένα άλλο σπουδαίο είναι το 4-gradient, που ορίζεται:


   ( 0 , ) ,

0 


t

και:

όπου:

  
 ( 1 , 2 , 3)
x x x


Page 19


Σο εσωτερικό γινόμενο λοιπόν δύο τετρανυσμάτων είναι:
 
A.B  A B  A0 B0  A.B

iv)

Ας δούμε τώρα τι συμβαίνει στην περίπτωση του τετραδιάστατου

χωρόχρονου της Ειδικής Θεωρίας της ΢χετικότητας (Minkowski). Θεωρούμε
Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και επιλέγουμε τη μετρική:

g 

1 0 0 0 


0 1 0 0 

 0 0 1 0 


 0 0 0 1

(mostly minus)

(48)

Θα έχουμε και πάλι:
A  g  A

(49)

Για μια ακόμη φορά να τονίσουμε ότι ισχύει η σύμβαση Einstein.
(Eπαναλαμβανόμενος δείκτης – βουβός δείκτης- σημαίνει άθροιση σ΄όλες τις
δυνατές τιμές του)
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε ένα τετραδιάνυσμα με συ-νιστώσες
A0 , A1, A2 , A3

Θέλουμε να βρούμε τις: A0 , A1 , A2 , A3
Πάμε λοπόν να βρούμε την συνιστώσα A0
Θα έχουμε:


Page 20


A0  g0b Ab  g00 A0  g01 A1  g02 A2  g03 A3

ή,
A0  1. A0  0. A1  0. A2  0. A4  A0

Έχουμε δηλαδή:

A0  A0 .

Πάμε τώρα να βρούμε τη συνιστώσα: A1
Θα έχουμε:
A1  g1b Ab  g10 A0  g11 A1  g12 A2  g13 A3

ή,
A1  0. A0  1. A1  0. A2  0. A3   A1

Βρίσκουμε δηλαδή ότι: A1   A1
Με όμοιο ακριβώς τρόπο βρίσκουμε ότι: A2   A2 και A3   A3

THE EINSTEIN SUMMATION CONVENTION
Η σύμβαση άθροισης του Einstein (Einstein’s summation con-vention) είναι
ένας γρήγορος τρόπος για να γράφει κανείς αθροί-σματα. Όταν ο ίδιος
δείκτης εμφανίζεται δύο φορές (τη μια σαν πάνω και την άλλη σαν κάτω
δείκτης) σε μια έφραση, τότε αυτό σημαίνει άθροιση σε όλες τις δυνατές τιμές
που παίρνει ο δείκτης.


Page 21


Για παράδειγμα:
(τρόπος γραφής χωρίς τη σύμβαση Einstein):
3

AB
i 1

i

i

A1B1  A2 B 2  A3 B3

(τρόπος γραφής με τη σύμβαση Einstein):
Ai Bi  A1B1  A2 B2  A3 B3 ,

Δηλαδή:

3

Ai Bi   Ai Bi
i 1

ΒΟΥΒΟΙ ΚΑΙ ΔΛΔΥΘΔΡΟΙ ΓΔΙΚΤΔΣ

Ένας επαναλαμβανόμενος δείκτης, με τον τρόπο που περιγράφηκε
παραπάνω, λέγεται «βουβός δείκτης» (dummy index) και μπορεί να
αντικατασταθεί με κάποιο άλλο γράμμα, αν αυτό βολεύει. Αντίθετα ένας μη
επαναλαβανόμενος δείκτης χαρακτηρίζεται σαν ελεύθερος (free) και πρέπει να
εμφανίζεται και στα δύο μέλη μιας εξίσωσης.
Για παράδειγμα στην εξίσωση:
S aTab  S cTcb ,

οι δείκτες α και c είναι βουβοί (άθροιση), ενώ ο δείκτης b είναι ελεύθερος. Αν
αλλάξετε το βουβό δείκτη c στο δεύτερο μέλος και τον «κάνετε» α, φαίνεται
αμέσως η ισότητα των δύο μελών.


Page 22


Β) ΣΤΔΡΔΗ ΓΩΝΙΑ ΣΔ n- ΦΩΡΙΚΔΣ ΓΙΑΣΤΑΣΔΙΣ
Για τις σφαιρικές συντεταγμένες σε η – διαστάσεις, έχουμε το στοιχείο
όγκου:

d n r  r n1.sin n2 n1.sin n3 n2 ...sin 2 .dr.dn1...d1 ,

ή


d n r  r n1.dr.d n ,

όπου:
d n  sin n2 n1.sin n3 n2 ...sin 2 .dn1...d1 ,

Είναι το στοιχείο της η – διάστατης στερεάς γωνίας.
Φρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα:
n 1
)
2 ,
sin n  .d   .

n2
0
(
)
2



(

Η ολική στερεά γωνία στις η – διαστάσεις βρίσκεται ότι είναι:
n

2 2
n 
n
( )
2


Page 23


ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΥΙΑ
1. Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική, Κυριάκου Σαμβάκη, β΄ έκδοση εκδόσεις
Leader Books, Αθήνα 2003
2. Quantum Mechanics, Eugen Merzbacher, Third edition, John Wiley &Sons
3.

Κβαντομηχανική II , ΢τέφανου Σραχανά, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις

Κρήτης, 2008
4. The Quantum Theory of Fields volume III, Steven Weinberg, Cambridge
University Press, 2005.
5. The force of symmetry, Vincent Icke, Cambridge University Press 1995.
6. Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs and Mathematical
Tables, M. Abramowitz and I. Stegun, tenth edition, Dover Publications, Inc,
New York 1972.
7. Special functions for Scientists and Engineers, W. W. Bell, Dover Publications,
Inc, New York 2004.
8. Μαθηματικό τυπολόγιο, Murray Spiegel, μετάφραση ΢ωτήρης Περσίδης,
Ε΢ΠΙ, Αθήνα, 1976
9. Tables of Integrals, Series and Products, Gradsthteyn I. S., Ryzhik I. M.,
Academic Press, New York and London 1965.
10. Special functions, G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy, Cambridge University
Press 2007
11. Mechanics (Non – Relativistic-Theory), L. D. Landau, E. M. Lifshitz, ButterWorth – Heinemann, 2003
12. The Cambridge Handbook of Physics Formulas, Graham Woan, Cambridge
University Press 2000.
13. Handbook of Physics, W. Benson, J. Harris, H. Stocker, H. Lutz, Springer
2002


Page 24


14. Methods Of Theoretical Physics, volume I , P. M. Morse and H. Feshbach, Mc
Graw Hill, N.Y. 1953
15. Introduction to Mathematical Physics, Michael T. Vaughn, WILEY-VCH
Verlag GmbH & Co. 2007 (Ειδικά το κεφάλαιο 3: Geometry in Physics)
16. Mathematical Physics, Bruce R. Kusse and Eric A. Westwig, WILEY-VCH
Verlag GmbH & Co. 2006 (Ειδικά το κεφάλαιο 4: Introduction to Tensors)
17. Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Edward M. Purcell, Πανεπιστημιακές
Εκδόσεις Ε.Μ.Π., Αθήνα 2004
18. Κλασσική Ηλεκτροδυναμική, Ι. Δ. Βέργαδος, Εκδόσεις ΢υμεώων, Αθήνα
2002
19. Τα θεμέλια της Ηλεκτρομαγνητικής Θεωρίας, J. R. Reitz, F. J. Milford, R. W.
Christy, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π., Αθήνα 2003
20. Calculus Of Variations With Applications To Physics & Engineering - R.
Weinstock


Page 25

Ηλεκτρομαγνητική θεωρία στις n χωρικές διαστάσεις (2)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Ηλεκτρομαγνητική θεωρία στις n χωρικές διαστάσεις (2)

Similar to Ηλεκτρομαγνητική θεωρία στις n χωρικές διαστάσεις (2) (20)

More from John Fiorentinos

More from John Fiorentinos (20)

Ηλεκτρομαγνητική θεωρία στις n χωρικές διαστάσεις (2)