1. ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-
ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗΣ ΦΘΙΝΟΥΣΩΝ
ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ-
ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ.
ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Α. ΚΑΡΚΑΝΤΖΑΚΟΣ
ΦΥΣΙΚΟΣ Δ..Ε
ΠΕΡΙΑΝΔΡΟΥ 23 ΚΟΡΙΝΘΟΣ ΤΚ 20100
karkas@sch.gr
ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να ελέγξει την ορθότητα ή μη τριών προτάσεων
που σχετίζονται με την πειραματική διάταξη που αναγράφεται στο σχολικό βιβλίο
Φυσικής Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ τάξης Γενικού Λυκείου για
τη μελέτη και παραγωγή εξαναγκασμένων μηχανικών ταλαντώσεων (&1.6).
Η διάταξη αποτελείται από σφαιρίδιο προσδεμένο στο ένα άκρο ελατηρίου, το άλλο
άκρο του οποίου αναρτάται από σκοινί το οποίο μέσω τροχαλίας προσδένεται σε
τροχό ελεύθερο προς περιστροφή. Η διάταξη αυτή βρίσκεται στο εσωτερικό δοχείου
που περιέχει αέριο του οποίου η πίεση μπορεί να μεταβληθεί με τη βοήθεια αντλίας
(Σχ.1.27, σελ. 22, &1.6).
Κατά την πρώτη πρόταση, το πρόβλημα της κίνησης του σφαιριδίου στην παραπάνω
πειραματική διάταξη, όταν ο τροχός περιστρέφεται ομαλά, ισοδυναμεί με το
πρόβλημα κίνησης αποσβεννύμενου ταλαντωτή που διεγείρεται από εξωτερική
δύναμη που μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο.
Κατά τη δεύτερη, το σημείο από το οποίο ξεκινούν όλες οι καμπύλες στο διάγραμμα
του πλάτους της εξαναγκασμένης ταλάντωσης του σφαιριδίου σε συνάρτηση με τη
συχνότητα του διεγέρτη για διάφορες τιμές της σταθεράς απόσβεσης απέχει από την
αρχή των αξόνων όσο απέχει το σημείο πρόσδεσης του σκοινιού στον τροχό από το
κέντρο του τροχού (σελ.22, &1.6).
Κατά την τρίτη, μεταβάλλοντας την πίεση μέσα στο δοχείο μεταβάλλουμε τη
σταθερά απόσβεσης του ταλαντούμενου συστήματος (Σχ.1.19, σελ.18, &1.5).
Με τη βοήθεια της παρούσας εργασίας αποδεικνύεται ότι:
α. οι δύο πρώτες προτάσεις είναι σωστές υπό την προϋπόθεση ότι η πειραματική
διάταξη ικανοποιεί συγκεκριμένο περιορισμό.
β. η τρίτη, για δοσμένη θερμοκρασία του αερίου, είναι λανθασμένη σε μια πολύ
μεγάλη περιοχή πιέσεών του.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Μια συνήθης πειραματική διάταξη παραγωγής και μελέτης μηχανικών
εξαναγκασμένων ταλαντώσεων απεικονίζεται στο Σχ.1.27 της σελ.22 της &1.6 του
προαναφερθέντος σχολικού βιβλίου. Η διάταξη αυτή αποτελείται από ένα σφαιρίδιο
που είναι προσδεμένο στο ένα άκρο ελατηρίου το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο
με σκοινί το οποίο μέσω τροχαλίας προσδένεται σε τροχό που μπορεί να
περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Η όλη διάταξη βρίσκεται μέσα σε
Σελ. 1/15

2. δοχείο που στο εσωτερικό του περιέχει αέριο του οποίου μπορούμε να μεταβάλλουμε
την πίεση με την βοήθεια αντλίας. Η διάταξη αυτή παρουσιάζεται στο Σχ.1 που
ακολουθεί.
Η παρουσίαση των φθινουσών και εξαναγκασμένων μηχανικών ταλαντώσεων με
τη βοήθεια της παραπάνω πειραματικής διάταξης στο σχολικό εγχειρίδιο αλλά
και γενικότερα στην τρέχουσα βιβλιογραφία είναι συνοπτική και δε βοηθάει
στην αντιμετώπιση ορισμένων δυσκολιών που συναντούν οι τελειόφοιτοι
μαθητές της Γ λυκείου αλλά και οι φοιτητές των Θετικών και Πολυτεχνικών
σχολών στην προσπάθειά τους να κατανοήσουν τη σχετική ύλη.
Οι δυσκολίες αυτές έχουν κυρίως να κάνουν με την κατανόηση των
προϋποθέσεων κάτω από τις οποίες ισχύουν οι τρείς προτάσεις που ακολουθούν:
1. το πρόβλημα της κίνησης του σφαιριδίου στην παραπάνω πειραματική
διάταξη, όταν ο τροχός περιστρέφεται ομαλά, ισοδυναμεί με το πρόβλημα
κίνησης αποσβεννύμενου ταλαντωτή που διεγείρεται από εξωτερική δύναμη που
μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο.
2. το σημείο από το οποίο ξεκινούν όλες οι καμπύλες στο διάγραμμα του πλάτους
της εξαναγκασμένης ταλάντωσης του σφαιριδίου σε συνάρτηση με τη συχνότητα
του διεγέρτη για διάφορες τιμές της σταθεράς απόσβεσης απέχει από την αρχή
των αξόνων όσο απέχει το σημείο πρόσδεσης του σκοινιού στον τροχό από το
κέντρο του τροχού (σελ.22, &1.6).
3. μεταβάλλοντας την πίεση μέσα στο δοχείο μεταβάλλουμε τη σταθερά
απόσβεσης του ταλαντούμενου συστήματος (Σχ.1.19, σελ.18, &1.5).
Στόχος της παρούσας εργασίας είναι να συμβάλλει στην αντιμετώπιση αυτών
των δυσκολιών καθιστώντας σαφείς τις προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες οι
τρείς αυτές προτάσεις είναι σωστές.
I. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΦΑΙΡΙΔΙΟΥ
Α. Θα επιχειρήσουμε να καταστρώσουμε την εξίσωση κίνησης του σφαιριδίου Σ και
να την επιλύσουμε.
Σελ. 2/15

3. Προς τούτο παρατηρούμε το Σχ.1 όπου Λ το κέντρο της τροχαλίας, Κ το κέντρο του
τροχού και Μ το σημείο τομής της κοινής εφαπτομένης τροχαλίας-τροχού με τον
τροχό, οπότε ΜΚ = R όπου R η ακτίνα του τροχού. Θεωρούμε ότι το άκρο του
νήματος που δεν είναι προσδεμένο στο ελατήριο φέρει θηλιά και ότι ο τροχός φέρει
μια προεξοχή επί της περιφέρειάς του που χρησιμεύει για την πρόσδεση του νήματος.
Αρχικά θεωρούμε τον τροχό ακίνητο με την προεξοχή του στο σημείο Μ. Από
την προεξοχή αναρτούμε το σκοινί και μέσω της τροχαλίας αφήνουμε το σφαιρίδιο
να ισορροπήσει υπό την επίδραση του βάρους του. Τότε το σημείο πρόσδεσης του
νήματος στο ελατήριο βρίσκεται στη θέση Ρ και το σφαιρίδιο στη θέση Σ.
Ακολούθως ελευθερώνουμε τον τροχό από το νήμα και τον θέτουμε σε περιστροφή
ώστε να αποκτήσει σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω και υποθέτουμε ότι τη
στιγμή που η προεξοχή του διέρχεται από το σημείο Μ η θηλιά του νήματος σφίγγει
ακαριαία πάνω της και η εξαναγκασμένη κίνηση του σφαιριδίου ξεκινάει. Τη στιγμή
αυτή θα επιλέξουμε για αρχή των χρόνων, t=0.
Έστω ότι τη χρονική στιγμή t, κατά την οποία ο τροχός έχει στραφεί κατά γωνία
φ = ωt , το σημείο πρόσδεσης του νήματος στον τροχό βρίσκεται στη θέση M′ ,
το σημείο πρόσδεσης του νήματος στο ελατήριο στη θέση Ρ′ και το σώμα στη θέση
Σελ. 3/15

4. Σ′ . Επιπλέον στο Σχ.1 συμβολίζουμε με Η την απόσταση κατά την κατακόρυφη
έννοια των σημείων Λ και Ρ ενώ θέτουμε χ = ΣΣ′ και yΡΡ
= ′.
Θα θεωρήσουμε ότι το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας και ότι το
μήκος του, έστω L αυτό, παραμένει σταθερό.
Στο Σχ.2 που ακολουθεί εικονίζεται τμήμα της διάταξης τη στιγμή t=0 και τη στιγμή
t κατά την οποία ο τροχός έχει στραφεί κατά γωνία φ=ωt. Επισημαίνουμε ότι οι
τονούμενοι αλφαβητικοί χαρακτήρες, όπως και στο Σχ.1, αναφέρονται στη στιγμή t.
Θα θεωρήσουμε ότι το νήμα χωρίζεται σε τρία τμήματα, στο ενδιάμεσο που
περιλαμβάνει τα σημεία του νήματος που έρχονται σε επαφή με την τροχαλία και σε
δύο ακραία που καταλήγουν στο σημείο πρόσδεσης στο ελατήριο και στο σημείο
πρόσδεσης στο τροχό αντίστοιχα. Τότε στο Σχ.2 Π και Π′ είναι τα σημεία του
νήματος στα οποία περατώνεται το ενδιάμεσο τμήμα του τις στιγμές t=0 και t
αντίστοιχα και για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις ΛΠ = ΛΠ ′ = r , όπου r η
ακτίνα της τροχαλίας, ΛΠ ⊥ ΠΜ και ˆ
ΛΠ′ ⊥ Π′Μ′ , οπότε ΠΛΠ′ = θ
αφού οι ευθείες επί των οποίων βρίσκονται τα ευθύγραμμα τμήματα ΠΜ και
Π′Μ′ τέμνονται υπό γωνία θ.
Το σημείο Ο είναι το σημείο τομής της κοινής εφαπτομένης τροχαλίας-τροχού με
την ευθεία επί της οποίας κείται η διάκεντρός τους, ζ δε είναι η γωνία υπό την οποία
οι δύο αυτές ευθείες τέμνονται.
Σελ. 4/15

5. Επιπλέον ισχύει εκ κατασκευής ˆ
ΚΦ ⊥ ΛΚ , οπότε ΜΟΚ = ΜΚΦ = ζ . ˆ
Τέλος δε Κ ′ είναι το σημείο προβολής του Μ ′ επί της διακέντρου.
Σύμφωνα λοιπόν με το Σχ.2 θα έχουμε
LΗ S ΠΜ Η y S ′Π Μ′ , ′
= + + = − + + (1)
όπου S και S′ τα μήκη του ενδιάμεσου τμήματος του νήματος τις στιγμές t=0 και
t αντίστοιχα.
Από την (1) επιλύοντας ως προς y λαμβάνουμε
y =S′ −SΠ Μ ′ − + ′ ΠΜ. (2) .
Θέτουμε ΟΛ ≡ d και ΛΚ ≡ D οπότε εκ των ορθογωνίων τριγώνων ΟΠΛ
r R
και ΟΜΚ έχουμε ημζ = και ημζ = αντίστοιχα. Από τις δύο
d D+d
rD
τελευταίες σχέσεις επιλύοντας ως προς d λαμβάνουμε d = και στη
R−r
R−r
συνέχεια ημζ = .
D
R
Θεωρούμε ότι ισχύει R ≥ r και = 1.
D
R−r
Αναπτύσσοντας το ημ κατά Taylor γύρω από την τιμή μηδέν της
D
ανεξάρτητης μεταβλητής και κρατώντας όρους μέχρι και πρώτης τάξης ως προς
R−r
λαμβάνουμε
D
R −r R −r
ημ ; ⇒
D D
R −r
ημ ; ημζ ⇒ .
D
R −r
ζ; (3)
D
Εφαρμόζοντας από μια φορά το Πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα
ΛΠ΄Μ΄και Λ Κ΄Μ΄ λαμβάνουμε
Σελ. 5/15

6. Π′Μ′ = ΛΜ′ 2 − r 2
= ( D + Rημ ( φ − ζ ) ) + ( Rσυν ( φ − ζ ) ) − r 2
2 2
R R2 r2
=D 1 + (2ημ φ ( ζ− ) + 2 − ) 2
D D D
 R 
; D  1ημ φ ζ − ) 
+ ( (4)
 D 
Στον προηγούμενο προσεγγιστικό υπολογισμό αναπτύξαμε τη ρίζα σε δυναμοσειρά
κατά Taylor και κρατήσαμε όρους μέχρι και πρώτης τάξης ως προς
R R2 r2
(2ημ φ ( ζ− ) + 2 − ) 2 . Στη συνέχεια κρατήσαμε μόνο τον αρμονικό
D D D
2 2
R  R  και  r  αμελούνται σε
όρο που έχει πλάτος
D
αφού τα μονώνυμα
 D  D
   
R
σχέση με το .
D
Αναπτύσσοντας το ημ(φ-ζ) κατά Taylor γύρω από την τιμή φ της ανεξάρτητης
μεταβλητής και κρατώντας όρους πρώτης τάξεως ως προς ζ παίρνουμε
ημ ( φ −ζ ) ; ημφ −ζσυνφ. (5)
Από τις (4),(5) προκύπτει
Π ′ ′;
Μ D+Rημφ. (6)
Από τη σχέση (6) θέτοντας φ=0 λαμβάνουμε
ΠΜ ; D. (7)
Θα προσπαθήσουμε στη συνέχεια να υπολογίσουμε τη διαφορά S΄-S.
Εφαρμόζοντας το θεώρημα του συνημίτονου στο τρίγωνο ΚΜ΄Μ λαμβάνουμε,
φ
ΜΜ′ 2 = R 2 + R 2 − 2R 2συνφ = 2R 2 ( 1 − συνφ ) = 4R 2 ημ 2 . (8) .
2
Έστω Ν το σημείο τομής των ευθειών επί των οποίων βρίσκονται τα ευθύγραμμα
τμήματα ΠΜ και Π΄Μ΄ (βλ.Σχ.3 που ακολουθεί).
Σελ. 6/15

7. Θα θεωρήσουμε, κάνοντας μια εύλογη προσέγγιση, ότι ΝΜ ; ΠΜ και
ΝΜ′ ; Π′Μ′ .
Τότε εφαρμόζοντας το θεώρημα του συνημίτονου στο τρίγωνο ΝΜ΄Μ
λαμβάνουμε με τη βοήθεια των (6),(7)
ΜΜ′2 = ΝΜ′2 + ΝΜ 2 − 2ΝΜ′.ΝΜ.συνθ
Π Μ′
; ′2ΠΜ
+ 2
2Π Μ ′.ΠΜ.συνθ
− ′
 Rθ 
+
; 4D2  1ημφ ημ  2
+ 2
R ημ φ. 2
(9)
 D  2
Από τις (8),(9) λαμβάνουμε
φ  R  2θ
4Rημ 2 2
; 4D 2
1 + ημφ 
 ημ +R ημ φ ⇒
2 2
2  D  2
φ  R  2θ
2
Rημ 4
;D 2
1
 + ημφ 
ημ ⇒
2  D  2
−1/ 2
θ R R  φ
ημ ; 1 + ημφ  ημ 2 .
2 D
 D  2
−1/ 2
 R 
Αναπτύσσοντας κατά Taylor την παράσταση
 +
1ημφ  και κρατώντας
 D 
R
όρους πρώτης τάξης ως προς στο τελικό αποτέλεσμα παίρνουμε,
D
Σελ. 7/15

8. θ R 2 φ
ημ ; ημ ⇒
2 D 2
Rφ
θ; 2 ημ 2 . (10)
D 2
Συνεπώς ισχύει
Rφ 2
S′ −S = rθ ; 2r ημ . (11)
D 2
Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2),(6),(7),(11) λαμβάνουμε
 rφ 
y; Rημφ
 +
2 ημ 2
.
 D 2
r
Αφού σύμφωνα με την παραδοχή μας ισχύει = 1 θα έχουμε
D
y; Rημφ. (12) .
Στη μέχρι τώρα ανάλυσή μας θεωρήσαμε ότι ισχύει R≥r και αποδείξαμε ότι τότε
R
η ανισότητα = 1 αποτελεί ικανή συνθήκη για να ισχύει η (12).
D
Στην περίπτωση που r > R η κοινή εφαπτομένη και η ευθεία επί της οποίας κείται
η διάκεντρος τροχαλίας-τροχού τέμνονται προς τη μεριά του τροχού.
r
Δεχόμενοι ότι = 1 και σκεπτόμενοι ομοίως μπορούμε να αποδείξουμε ότι
D
r−R
ζ; . Για να καταλήξουμε όμως στη σχέση (4) θα πρέπει να δεχτούμε
D
r2 R r2 r r2
επιπλέον ότι
2
= ⇔ = 1. Επειδή όμως ισχύει < η
D D RD D RD
r2
ανισότητα = 1 αποτελεί από μόνη της ικανή συνθήκη για να ισχύει η (12).
RD
Σελ. 8/15

9. r2 R R r2
Παρατηρώντας ότι ισχύει r≤R⇔ ≤ και R<r⇔ <
RD D D RD
μπορούμε να συνοψίσουμε συμπεραίνοντας ότι η ανισότητα
R r2 
max  , = 1 (13)
D RD 
αποτελεί από μόνη της ικανή συνθήκη για να ισχύει η (12) σε κάθε περίπτωση
Στη συνέχεια θεωρούμε ότι το ελατήριο υπακούει στον νόμο των ελαστικών
παραμορφώσεων του Hooke και ότι οι διαστάσεις του σφαιριδίου είναι αρκετά
μικρές ώστε η δύναμη της αντίστασης να είναι ανάλογη προς την ταχύτητα.
Ακολούθως θα καταστρώσουμε την εξίσωση που εκφράζει το 2ο νόμο του
Νεύτωνα για το σφαιρίδιο.
Προς τούτο επιλέγουμε ως άξονα αναφοράς (χ΄χ) τον κατακόρυφο που περιέχει τον
άξονα του ελατηρίου με αρχή το σημείο Σ και θετική φορά προς τα πάνω. Τότε χ
και y είναι οι αλγεβρικές τιμές των προβολών των διανυσμάτων και
αντίστοιχα πάνω στον άξονα αυτόν.
Όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σφαιρίδιο έχουν ως φορέα τον προηγούμενο
άξονα, είναι δε αυτές:
FΒ = − mg
α. το βάρος του σφαιριδίου με αλγεβρική τιμή
( y χ
β. η δύναμη του ελατηρίου με αλγεβρική τιμή Fελ = kΔl + − ) όπου kη
σταθερά σκληρότητας του ελατηρίου, Δl η επιμήκυνση του ελατηρίου που
προκαλείται μόνο από το βάρος του σφαιριδίου και (Δl+y-χ) η επιμήκυνση του
ελατηρίου τη στιγμή t.
γ. η δύναμη της αντίστασης που ασκείται από το αέριο στο σώμα με αλγεβρική τιμή
Fαντ = − bυ όπου b η σταθερά απόσβεσης και υ η αλγεβρική τιμή της στιγμιαίας
ταχύτητάς του.
Από το δεύτερο Νόμο του Νεύτωνα για το σφαιρίδιο παίρνουμε
mχ = −
&& mg +k ( Δl + y −χ ) −bχ,
& (14)
dχ dυ
όπου χ =
& = υ και χ =
&
& .
dt dt
Για τη θέση ισορροπίας Σ έχουμε
ΣF =0 ⇒mg =kΔl. (15)
Σελ. 9/15

10. Αντικαθιστώντας στην (14) την τιμή της μεταβλητής y από την εξίσωση (12) και
την τιμή του βάρους από την εξίσωση (15) λαμβάνουμε,
mχ = −kχ −bχ +kRημωt.
&
& & (16)
Από την εξίσωση (16) συνάγουμε ότι το πρόβλημά μας ισοδυναμεί με το πρόβλημα
μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης με απόσβεση όπου το σώμα καθοδηγείται από μια
περιοδική εξωτερική δύναμη της μορφής,
F = Fημωt,
0 F0 =kR. (17)
Ανακαλώντας ότι η σχέση (13) αποτελεί ικανή συνθήκη για να ισχύει η σχέση
(12) συμπεραίνουμε ότι η ίδια σχέση αποτελεί ικανή συνθήκη για να αληθεύει η
πρόταση 1.
(Η παραδοχή πού κάναμε κατά την οποία ΝΜ ; ΠΜ και ΝΜ ′ ; Π′Μ ′
μπορεί να δικαιολογηθεί εκ των υστέρων. Πράγματι αντιστρέφοντας τη λογική σειρά
κατά την οποία η παραδοχή προηγείται του συμπεράσματος θα χρησιμοποιήσουμε
την (10) για να δείξουμε, με τη βοήθεια του Σχ.3, ότι
θ θ R φ
Π′Ν = rεφ ; r ; r ημ 2 οπότε λόγω της (6) θα πάρουμε
2 2 D 2
 r 
ΝΜ′ = Π′Μ′ + ΝΠ′ ; D + R  ημφ + ημ 2φ  ; D + Rημφ ; Π′Μ′ .
 D 
Συμπεραίνουμε εκ των υστέρων ότι η σχέση ΝΜ ′ ; Π′Μ ′ είναι σύμφωνη με
τη λογική της προσέγγισής μας. Σκεπτόμενοι ομοίως το ίδιο συμπεραίνουμε και για
τη σχέση ΝΜ ; ΠΜ )
Αξίζει να αναφέρουμε ότι στην περίπτωση που θεωρήσουμε ότι η τροχαλία είναι
σημειακή και ότι το σημείο πρόσδεσης του νήματος στον τροχό συμπίπτει με την
προβολή του πάνω στην διάκεντρο τροχού-τροχαλίας τότε μπορούμε να
φτάσουμε στο ίδιο αποτέλεσμα με στοιχειώδη γεωμετρία και τριγωνομετρία.
Κατά αυτή την έννοια η απόδειξη αυτή θα μπορούσε να παρουσιαστεί σε
τελειόφοιτους του λυκείου.
Β. Για να ελέγξουμε την ορθότητα της δεύτερης πρότασης πρέπει να επιλύσουμε τη
διαφορική εξίσωση (16) η οποία με τη βοήθεια της (17) μπορεί να γραφεί
καλλίτερα στη μορφή,
b k F0
χ&+ 2Λχ + ω0 χ = f0 ημωt, Λ=
& & 2 , ω0 = , f0 = , (18)
2m m m
που είναι η τυποποιημένη γραφή μιας γραμμικής μη ομογενούς διαφορικής
εξίσωσης δεύτερης τάξης. Θα δανειστούμε από τη θεωρία των γραμμικών
Σελ. 10/15

11. διαφορικών εξισώσεων την πρόταση κατά την οποία η γενική λύση της μη
ομογενούς εξίσωσης ισούται με τη γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς (στην
περίπτωσή μας χ + 2Λχ + ω 0 χ = 0 )
&
& & 2 συν μια οποιαδήποτε μερική λύση της
πλήρους εξίσωσης [1].
Ως γνωστόν η γενική λύση της ομογενούς (η οποία εξαρτάται από τις αρχικές
συνθήκες της κίνησης) μειώνεται εκθετικά με το χρόνο τείνοντας προς το μηδέν
καθώς αυτός αυξάνεται απεριόριστα. Στην πράξη η συνεισφορά της γενικής λύσης
της ομογενούς μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα ύστερα από λίγο χρόνο [1].
Αρκεί λοιπόν να βρούμε μια οποιαδήποτε μερική λύση της πλήρους αφού μόνο αυτή
θα επιβιώσει στο χρόνο, οπότε μετά από ένα σύντομο μεταβατικό στάδιο η κίνηση
του σώματος θα περιγράφεται αποκλειστικά από αυτήν. Είναι θέμα πράξεων να
επιβεβαιώσουμε ότι η
f0 2ωΛ
χ = Αημ ( ωt + φ0 ) , A= , εφφ0 =- , (19)
ω0 − ω
(ω −ω )
2 2 2
2
0
2
+ 4ω 2 Λ2
αποτελεί μερική λύση της (18)[1].
Ύστερα λοιπόν από ένα σύντομο μεταβατικό στάδιο η κίνηση του σφαιριδίου θα
περιγράφεται αποκλειστικά από την εξίσωση (19) που εκφράζει μια αμείωτη
αρμονική ταλάντωση με τη συχνότητα ω του διεγέρτη και με πλάτος που εξαρτάται
από αυτήν.
Από την (19), ανεξάρτητα από την τιμή της σταθεράς απόσβεσης b, συνάγουμε για
το πλάτος,
f0 F / m F0
ω→0 ⇒ Α→ 2
= 0 = = R. (20)
ω0 k / m k
(Προφανώς το σημείο πρόσδεσης του νήματος στον τροχό μπορεί να είναι σε
οποιοδήποτε σημείο του τροχού και τότε το R της ανάλυσής μας θα εκφράζει την
απόσταση του σημείου αυτού από το κέντρο του τροχού.)
Συνεπώς η σχέση (13) αποτελεί ικανή συνθήκη για να αληθεύει και η πρόταση 2
.
II. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΞΑΡΤΗΣΗΣ ΤΗΣ ΣΤΑΘΕΡΑΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ ΑΠΟ ΤΗΝ
ΠΙΕΣΗ ΤΟΥ ΑΕΡΙΟΥ
Η σταθερά απόσβεσης για το κινούμενο σφαιρίδιο μέσα στο αέριο του δοχείου,
σύμφωνα με το νόμο του Stokes, είναι ανάλογη της ακτίνας του σφαιριδίου και
ανάλογη του συντελεστή ιξώδους (ξ) του αερίου. Αρκεί λοιπόν να εξετάσουμε από τι
και πώς εξαρτάται ο συντελεστής ιξώδους του αερίου.
Σελ. 11/15

12. Θα περιορίσουμε τη μελέτη στην περιοχή πυκνοτήτων και θερμοκρασιών του αερίου
όπου η προσέγγιση του ιδανικού αερίου είναι ικανοποιητική.
Κατά συνέπεια θα δεχτούμε ότι ισχύει η σχέση
P = nkT, (21)
όπου P η πίεση του αερίου, n ο αριθμός μορίων του αερίου ανά μονάδα όγκου,
T η απόλυτη θερμοκρασία του αερίου και k η σταθερά Boltzmann.
Επιπλέον για την περιοχή αυτή πυκνοτήτων θα έχουμε,
l ? d, (22)
όπου l η μέση ελεύθερη διαδρομή των μορίων του αερίου (δηλ. η μέση απόσταση
που διατρέχει ένα μόριο ανάμεσα σε δυο διαδοχικές συγκρούσεις) και d η διάμετρος
ενός μορίου του αερίου.
Κατ’ αρχή θα υποθέσουμε ότι το αέριο είναι μεν αραιό ώστε να ισχύουν οι (21),
(22) αλλά όχι τόσο ώστε τα μόριά του να συγκρούονται συχνότερα με τα τοιχώματα
του δοχείου παρά με τα άλλα μόρια , δηλαδή θα δεχτούμε ότι ισχύει η διπλή
ανισότητα,
L? l ? d, (23)
όπου L η μικρότερη γραμμική διάσταση του δοχείου.
Τότε ο συντελεστής ιξώδους του αερίου, σύμφωνα με την κινητική θεωρία των
αερίων, μπορεί να εκφραστεί με τη βοήθεια μικροσκοπικών παραμέτρων που
χαρακτηρίζουν τα μόρια του αερίου από τη σχέση,
ξ = 2nmυ l , (24)
όπου υ η μέση τιμή του μέτρου της ταχύτητας των μορίων του αερίου, m η μάζα
ενός μορίου του αερίου[2].
Για τη μέση ελεύθερη διαδρομή στην παραπάνω περιοχή πυκνοτήτων ισχύει η σχέση
1
l = , (25)
2σn
όπου σ η ολική ενεργός διατομή σκέδασης[2], δηλ. η επιφάνεια που προσδιορίζει
την πιθανότητα που έχει ένα μόριο να συγκρουστεί μ’ ένα άλλο όταν τα δύο μόρια
πλησιάσουν αρκετά μεταξύ τους, για την οποία ισχύει η σχέση σ = πd 2 . (Πιο
γενικά η σ εξαρτάται από τη μέση σχετική ταχύτητα των μορίων οπότε γίνεται
συνάρτηση της θερμοκρασίας).
Ανακαλούμε από την κινητική θεωρία των αερίων τη σχέση
8kT
υ= . (26)
πm
Συνδυάζοντας τις (24),(25),(26), παίρνουμε τη σχέση
Σελ. 12/15

13. 4 mkT
ξ= , (27)
π σ
από την οποία συμπεραίνουμε ότι για δοσμένη θερμοκρασία ο συντελεστής ιξώδους
προκύπτει ανεξάρτητος της πυκνότητας των μορίων όπως και της πίεσης του αερίου.
Στο φαινομενικά παράξενο αυτό αποτέλεσμα έφτασε πρώτος ο Maxwell το
1860 και το επιβεβαίωσε πειραματικά. Η κινητική θεωρία των αερίων το εξηγεί,
όπως και τη σχέση (24), δεχόμενη ότι η εσωτερική τριβή που εκδηλώνεται σ’
ένα αέριο κατά την ροή του κατά την οποία υπάρχει βαθμίδα ταχύτητας κατά
διεύθυνση κάθετη στη διεύθυνση της, δηλαδή το ιξώδες του, οφείλεται κυρίως
στη διάχυση των μορίων δια της οποίας μεταφέρεται ορμή μεταξύ στρωμάτων
ροής που έχουν διαφορετικές ταχύτητες. Κατά το μηχανισμό αυτό κάθε μόριο
μεταφέρει ορμή σε απόσταση ίση με τη μέση ελεύθερη διαδρομή. Αν λοιπόν
διπλασιαστεί η πυκνότητα των μορίων τότε θα έχουμε διπλάσια μόρια να
μεταφέρουν ορμή όμως η μεταφορά θα γίνει στη μισή απόσταση απ’ ότι πριν,
αφού η μέση ελεύθερη διαδρομή κάθε μορίου θα υποδιπλασιαστεί, συνεπώς το
τελικό αποτέλεσμα θα μείνει το ίδιο. Για μια λεπτομερέστερη ανάλυση και ένα
ενδιαφέρον μηχανικό ανάλογο βλ.[2].
Συνδυάζοντας τις (21),(23),(25) και δεχόμενοι ότι σ = πd 2 παίρνουμε
1 kT 1 d kT
3
? P? 3
. (28)
π 2 d π 2Ld
d
Επειδή στα συνηθισμένα μακροσκοπικά πειράματα ισχύει = 1 η σχέση (28) ,
L
για δοσμένη θερμοκρασία, περιγράφει μια πολύ μεγάλη περιοχή πιέσεων του αερίου
για την οποία ο συντελεστής ιξώδους είναι ανεξάρτητος από την πίεση.
Κατά συνέπεια για την περιοχή πιέσεων που περιγράφεται από την (28) η σταθερά
απόσβεσης είναι ανεξάρτητη της πίεσης και η τρίτη πρόταση είναι λανθασμένη.
(Θα δώσουμε ένα αριθμητικό παράδειγμα, κρατώντας τάξεις μεγέθους στο τελικό
αποτέλεσμα, για ένα τυπικό αέριο στη θερμοκρασία του περιβάλλοντος
(Τ = 300 0Κ) υποθέτοντας ότι η τυπική μοριακή διάμετρος είναι της τάξης
d : 2.10−10 m και ότι L : 1m . Τότε από την (28), ανακαλώντας ότι
k = 1, 38.10−23 j / 0 K , θα πάρουμε 103 atm ? P ? 10−7 atm . Για
το παραπάνω τυπικό αέριο μπορούμε να ισχυριστούμε, με αρκετά μεγάλη ακρίβεια,
ότι ο συντελεστής ιξώδους είναι ίδιος είτε η πίεση είναι ίση με 10 −4 atm είτε
είναι ίση με 1atm.)
Τελικά θα εξετάσουμε την περιοχή πυκνοτήτων όπου το αέριο είναι τόσο αραιό ώστε
τα μόρια να συγκρούονται συχνότερα με τα τοιχώματα του δοχείου παρά μεταξύ
Σελ. 13/15

14. τους. Τότε βέβαια η μέση ελεύθερη διαδρομή προσεγγίζει τη μικρότερη γραμμική
διάσταση του δοχείου , δηλ.
l ; L, (29)
οπότε γίνεται ανεξάρτητη της πυκνότητας των μορίων n και η σχέση (25) παύει να
ισχύει με συνέπεια ο συντελεστής ιξώδους λόγω της σχέσης (24), για δοσμένη
θερμοκρασία του αερίου, να γίνεται ανάλογος της πυκνότητας των μορίων n οπότε
και της πίεσης του αερίου.
Συμπεραίνουμε ότι για δοσμένη θερμοκρασία, στην περιοχή αυτή των πολύ μικρών
πυκνοτήτων συνεπώς και πιέσεων, η σταθερά απόσβεσης είναι ανάλογη της πίεσης
και η τρίτη πρόταση είναι σωστή.
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ
 R r2 
I. Η σχέση max  , = 1 αποτελεί ικανή συνθήκη για να είναι
 D RD 
προσεγγιστικά σωστές οι δύο πρώτες προτάσεις.
Αναλύοντας στις επί μέρους περιπτώσεις έχουμε:
α. αν ισχύει R ≥ r τότε η ανισότητα
R
= 1
D
αποτελεί ικανή συνθήκη για να ισχύουν οι προτάσεις 1και 2.
β. αν ισχύει R < r τότε η ανισότητα
r2
= 1
RD
αποτελεί ικανή συνθήκη για να ισχύουν οι προτάσεις 1και 2.
II. Για δοσμένη θερμοκρασία, μέσα στην περιοχή συνθηκών του αερίου όπου η
προσέγγιση του ιδανικού αερίου είναι ικανοποιητική, συμπεραίνουμε ότι:
α. σε συνθήκες πολύ μικρής πυκνότητας συνεπώς και πίεσης του αερίου όπου τα
μόριά του συγκρούονται συχνότερα με τα τοιχώματα του δοχείου παρά μεταξύ
τους η σταθερά απόσβεσης είναι ανάλογη της πίεσης και η τρίτη πρόταση είναι
σωστή.
β. σε μια πολύ μεγάλη περιοχή πιέσεων του αερίου που περιγράφεται από την
1 kT 1 d kT
ανισότητα, 3
? P? 3
, η σταθερά απόσβεσης είναι
π 2 d π 2Ld
ανεξάρτητη της πίεσης και η τρίτη πρόταση είναι λανθασμένη
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
Σελ. 14/15

15. [1] Στέφανος Τραχανάς, Διαφορικές εξισώσεις, Τόμος 1, , Πανεπιστημιακές
εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 1989, Κεφάλαιο 3 (&1.2), Κεφάλαιο 4 (&6,&7,&8).
[2] Στατιστική Φυσική Πανεπιστημίου Berkeley, Εργαστήρια Φυσικής ΕΜΠ,
&8.1, &8.2.
Σελ. 15/15