SlideShare a Scribd company logo
1
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 71
ΘΕΜΑ 1ο
2
• Θεώρημα Fermat
• Μελέτη Συνάρτησης
• Ολοκλήρωμα
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 71
ΑΣΚΗΣΗ:
Α. Να βρείτε την τιμή του α για την οποία η
συνάρτηση:
   
2
( ) 1 2 ln 1 , (0, )f x α x x x x       (1)
είναι γνησίως αύξουσα.
Β. Για 1α  :
Β.1. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη
συνάρτηση f .
Β.2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: 3
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 71
4
Α.
Β. Για 1α  :
Β.1. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη
συνάρτηση f .
Β.2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:
 
 ( ), αν 0,
1 , αν 0 ,
f x x
g x
x
  
 

(2)
είναι συνεχής και
Β.3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν E του χωρίου που
περικλείεται από τη gC , την εφαπτομένη της gC
στο σημείο καμπής της και τον άξονα y y .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 71
Θεώρημα του Fermat
Α. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει α τέτοιος, ώστε η
συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα. Τότε για
κάθε 0 (0, )x   και για όλα τα (0, )x  , με 0x x
θα ισχύει:
0
0
( ) ( )
0,
f x f x
x x



οπότε θα είναι:
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim 0
x x
f x f x
f x
x x

  

.
5
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 71
οπότε θα είναι:
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim 0
x x
f x f x
f x
x x

  

.
Άρα:
 ( ) 0, 0,f x για κάθε x    (3)
6
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 71
Επειδή
 ( ) 2 1 ln , (0, )f x α x x x        , (4)
λόγω της (3), θα ισχύει:
 ( ) (1), 0,f x f για κάθε x   
οπότε, λόγω του θεωρήματος του Fermat, θα είναι
(1) 0f  και επειδή:
1
( ) 2f x a
x
    
 
.
θα είναι 1α  . Συνεπώς, για να είναι η συνάρτηση f
γνησίως αύξουσα πρέπει να ισχύει 1α  .
7
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 71
8
Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι για 1α  η συνάρτηση f
είναι γνησίως αύξουσα.
Πράγματι, για 1α  , είναι:
 ( ) 2 1 ln 0, (0, )f x x x για κάθε x        
με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν 1x  .
Επομένως, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
Άρα, η ζητούμενη τιμή του α είναι η 1α  .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 71
β΄ τρόπος:
Βρίσκουμε το πρόσημο της παραγώγου:
          ( ) 2 1 ln , 0,f x α x x x
για τις διάφορες τιμές του α .
Έχουμε:
       
 
1
( ) 2 , 0,f x α x
x
οπότε διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
9
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 71
οπότε διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
 Αν  0α , τότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα
μεταβολών:
x 0 1 
( )f x  
( )f x

0

( )f x
0
max
Παρατηρούμε ότι για  0α η συνάρτηση f δεν
είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το  0, .
Επομένως οι αριθμοί  ( ,0]α απορρίπτονται.
10
Παρατηρούμε ότι για  0α η συνάρτηση f δεν
είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το  0, .
Επομένως οι αριθμοί  ( ,0]α απορρίπτονται.
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 10 of 71
11
Επομένως οι αριθμοί  ( ,0]α απορρίπτονται.
 Αν  0α , τότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα
μεταβολών:
x 0
1
α

( )f x  0 
( )f x   
 
1
f
α
Όμως:
x 0
1
α

( )f x  0 
( )f x   
 
1
f
α
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 11 of 71
12
Όμως:
           
 
1
2 ln 1 0, για κάθε 0f α α α
α
,
με την ισότητα να ισχύει, αν και μόνο αν 1α .
Επομένως:
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 12 of 71
13
Επομένως:
 Αν  0 1α , τότε θα είναι
   
 
1
0f
α
και , επειδή
η f είναι συνεχής, θα υπάρχει  0δ τέτοιο, ώστε
να ισχύει:
         
 
1 1
0, για κάθε , Δf x x δ δ
α α
,
οπότε η συνάρτηση f θα είναι γνησίως φθίνουσα
στο Δ και, συνεπώς, δεν θα είναι γνησίως αύξουσα
σε όλο το  0, .
Επομένως οι αριθμοί       0, 1α
απορρίπτονται.
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 13 of 71
14
 Αν 1α , τότε
   
 
1
0f
α
, οπότε θα έχουμε τον
παρακάτω πίνακα μεταβολών:
x 0
1
α

( )f x + 0 +
( )f x
Από τον πίνακα αυτόν προκύπτει ότι για 1α η
συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
 0, .
Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα,
αν και μόνο αν 1α .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 14 of 71
Μελέτη Συνάρτησης
15
Α. …
Β. Αν 1α  , τότε:
Β.1. Η συνάρτηση f γράφεται:
2
( ) 1 2 ln , (0, )f x x x x x      ,
έχει παράγωγο την
 ( ) 2 1 ln 0, (0, )f x x x x      
και, όπως αποδείξαμε προηγουμένως, είναι
γνησίως αύξουσα.
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 15 of 71
16
Επειδή:
 
1 1
( ) 2 1 2 , 0,
x
f x x
x x
        
 
,
η συνάρτηση f είναι:
 Γνησίως κοίλη στο διάστημα  0,1 και
 Γνησίως κυρτή στο διάστημα 1,   .
Τέλος, επειδή:
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 16 of 71
17
Τέλος, επειδή:
 
   
 2
0 0
2
0 0
lim ( ) lim 1 2 ln
lim 1 2lim ln 1
x x
x x DLH
f x x x x
x x x
 
 
   
    
&
 lim ( )
x
f x

 
η συνάρτηση f έχει την ακόλουθη γραφική
παράσταση:
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 17 of 71
18
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 18 of 71
Ολοκλήρωμα
19
Β. Αν 1α  , τότε:
Β.1. Η συνάρτηση f γράφεται:
Β.2. Επειδή
 
 ( ), αν 0,
1 , αν 0 ,
f x x
g x
x
  
 

και
0
lim ( ) 1 (0)
x
g x g

  , η συνάρτηση g είναι
συνεχής στο 0. Επομένως, η gείναι συνεχής σε
ολόκληρο το[0, )  , οπότε θα είναι
ολοκληρώσιμη στο [0,1].
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 19 of 71
20
Επειδή, επιπλέον, [0,1]max ( ) 2g x  , το ζητούμενο
εμβαδόν θα είναι ίσο με:
 
1 1
0 0
2 ( ) 2 ( )E g x dx g x dx     .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 20 of 71
21
 0 0
2 ( ) 2 ( )E g x dx g x dx     .
Αν G είναι μια παράγουσα της g στο [0,1], τότε
θα ισχύει
 
1
0 0
1
0 0
1
2
0
3 2
2
0
( ) (1) (0) (1) lim ( )
lim (1) ( ) lim ( )
lim 1 2 ln ...
11 11
lim ln
6 3 2 6
h
hh h
hh
h DLH
g x dx G G G G h
G G h f x dx
x x x dx
h h
h h h

 


   
  
     
 
       
 



,
οπότε θα είναι
11 1
2
6 6
E    .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 21 of 71
ΘΕΜΑ 2ο
Πρόβλημα ρυθμού μεταβολής
με ολοκλήρωμα
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 22 of 71
23
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 23 of 71
24
ΠΡΟΒΛΗΜΑ:
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το γράφημα του ρυθμού
μεταβολής, ( )T t , της θερμοκρασίας ( )T t ενός τόπου
κατά τη διάρκεια ενός εικοσιτετράωρου.
Δίνεται ότι η θερμοκρασία του τόπου στην αρχή της
ημέρας ( 0)t  ήταν 16 βαθμοί Κελσίου.
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 24 of 71
25
ας της Άνοιξης.
η θερμοκρασία του τόπου στην αρχή της ημέρας ( 0)t  ήταν
μοί Κελσίου:
α) Να βρείτε σε ποια χρονικά διαστήματα της ημέρας
η θερμοκρασία ανέβαινε, σε ποια κατέβαινε, σε
ποια παρέμεινε σταθερή και να υπολογίσετε στην
κάθε περίπτωση τη συνολική μεταβολή της.
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 25 of 71
26
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ:
α) Η θερμοκρασία:
 Μεταβάλλεται στο διάστημα [0, 4] κατά
4
0
(4) (0) ( ) 2 ( )o
T T T t dt C    (ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ)
 Μεταβάλλεται στο διάστημα [4, 14] κατά
14
4
(14) (4) ( ) 7 ( )o
T T T t dt C   (ΑΥΞΑΝΕΤΑΙ)
 Παραμένει ΣΤΑΘΕΡΗ στο διάστημα [14, 16]
 Μεταβάλλεται στο διάστημα [16, 24] κατά
24
16
(24) (16) ( ) 4 ( )o
T T T t dt C    (ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ)
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 26 of 71
27
( )t , της θερμοκρασίας ( )T t ενός τόπου κατά τη διάρκεια μια
έρας της Άνοιξης.
ν η θερμοκρασία του τόπου στην αρχή της ημέρας ( 0)t  ήταν 1
αθμοί Κελσίου:
α)
β) Να βρείτε ποια ώρα της ημέρας παρατηρήθηκε η
υψηλότερη θερμοκρασία και να υπολογίσετε την
τιμή της.
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 27 of 71
28
β) Η υψηλότερη θερμοκρασία παρατηρήθηκε την ώρα
14:00 μέχρι και την ώρα 16:00 και ήταν ίση με:
14 4 14
0 0 4
(14) (0) ( ) (0) ( ) ( )
16 ( 2) ( 7) 21 ( )o
T T T t dt T T t dt T t dt
C
      
     
  
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 28 of 71
29
ας της Άνοιξης.
η θερμοκρασία του τόπου στην αρχή της ημέρας ( 0)t  ήταν 16
θμοί Κελσίου:
α) Να βρείτε σε ποια χρονικά διαστήματα της ημέρας
η θερμοκρασία ανέβαινε, σε ποια κατέβαινε, σε
ποια παρέμεινε σταθερή και να υπολογίσετε στην
κάθε περίπτωση τη συνολική μεταβολή της.
β) Να βρείτε ποια ώρα της ημέρας παρατηρήθηκε η
υψηλότερη θερμοκρασία και να υπολογίσετε την
τιμή της.
γ) Να βρείτε ποια ήταν η θερμοκρασία του τόπου στο
τέλος της ημέρας ( 24)t  .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 29 of 71
30
γ) ΣΥΝΟΛΙΚΑ στο 24-ωρο η θερμοκρασία μεταβλήθηκε
κατά
24
0
4 14 16 24
0 4 14 16
(24) (0) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 2) ( 7) 0 ( 4) 1 ( )o
T T T t dt
T t dt T t dt T t dt T t dt
C
 
      
        

   
Άρα, στο τέλος της ημέρας ( 24)t  η θερμοκρασία ήταν
16 1 17  βαθμοί Κελσίου .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 30 of 71
31
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ (ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ).ggb
υψηλότερη θερμοκρασία και να υπολογίσετε την
τιμή της.
γ) Να βρείτε ποια ήταν η θερμοκρασία του τόπου στο
τέλος της ημέρας ( 24)t  .
δ) Να σχεδιάσετε κατά προσέγγιση το γράφημα της
θερμοκρασίας ( )T t κατά τη διάρκεια ολόκληρου
του εικοσιτετράωρου;
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 31 of 71
ΘΕΜΑ 3ο
• Εξίσωση Εφαπτομένης
• Διαφορική Εξίσωση
• Μελέτη Συνάρτησης
• Απόσταση Καμπυλών
• Εμβαδόν χωρίου
32
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 32 of 71
ΑΣΚΗΣΗ
33
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 33 of 71
34
1. Να αποδείξετε ότι:
 ( ) ln 1 ,x
f x e x   (2)
2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f και να την
παραστήσετε γραφικά.
3. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:
   
22
( , ) 2 ln( 1)α
G α β α β e β     (3)
για τις διάφορες τιμές των ,α β .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 34 of 71
2. …
3. …
4. Αν με Ε( )λ συμβολίσουμε το εμβαδόν του χωρίου
που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης
( )
( ) x
f x
g x
e
 , τους άξονες x x και y y
και την κατακόρυφη ευθεία , με 0x λ λ  , να
αποδείξετε ότι:

 ln 1 1
Ε( ) 2ln2 ln
λ λ
λ λ
e e
λ
e e
 
   και
 lim Ε( ) 2ln2
λ
λ

 .
35
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 35 of 71
Εξίσωση Εφαπτομένης
36
1. Επειδή
1
: ln2
2
ε y x  εφάπτεται της fC υπάρχει
0x  τέτοιο, ώστε να ισχύει:
0
0 0 0 0
( )
0
0
0
1 1
( ) ln2 ( ) ln2
2 2
1 1
( ) 1
2 2
0
(4)
( ) ln2
f x
f x x f x x
f x e
x
f x

 
     
 
    
  

 

Επομένως, (0) ln2f  .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 36 of 71
Διαφορική Εξίσωση
Για κάθε x ισχύει:
   
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) 1 ( ) 1
1 1
f x f x f x
f x f x
f x e e f x e
e e

      

   
Άρα, υπάρχει c τέτοιος, ώστε να ισχύει:
( )
1 , για κάθεf x x
e c e x    .
Για 0x x , προκύπτει ότι 1c  , οπότε:
 ( ) ln 1 ,x
f x e x   . (5)
37
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 37 of 71
Μελέτη Συνάρτησης
38
Για 0x x , προκύπτει ότι 1c  , οπότε:
 ( ) ln 1 ,x
f x e x   . (5)
2. Ισχύουν:

 
2
( ) 0 & ( ) 0,
1 1
x x
x x
e e
f x f x x
e e
     
 

1
lim ( ) lim ln( 1) limln ln1 0x
x x u
f x e u
  
    

 
    
1
ln 1( )
lim lim lim 1 &
1
lim ( ) lim ln 1
1
lim ln limlnu 0.
x x
xx x DLH x
x
x x
x
xx u
ef x e
λ
x x e
β f x λx e x
e
e


  
 
 

   

    
 
   
 
Άρα η fC έχει ασύμπτωτη στο  την y x
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 38 of 71
39
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 39 of 71
Απόσταση Καμπυλών
1. ….
2. ….
3. Για οποιαδήποτε ,α β ισχύει:
   
22 2
( , ) 2 ln( 1) (ΜΝ)α
G α β α β e β     
με:
  M ,ln 1α
fα e C  &  N 2 ,β β ζ ,
όπου
1
:
2
ζ y x , η ευθεία που είναι παράλληλη
προς την εφαπτομένη
1
: ln2
2
ε y x  της fC 40
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 40 of 71
41
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 41 of 71
προς την εφαπτομένη : ln2
2
ε y x  της fC
ΣΧΗΜΑ 2
42
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 42 of 71
Επομένως, η ελάχιστη τιμή της παράστασης:
   
22
( , ) 2 ln( 1) , ,α
G α β α β e β α β     
είναι ίση με:
 
2
2ln2 4ln 2
min ( , ) (0, ) ΑΒ
5 5
G α β G   .
43
Όμως:
  2 2
0 2ln2 2ln2
ΑΒ (Α, )
51 2
d ζ

  

,
αφού η εξίσωση της ζ παίρνει τη μορφή:
: 2 0ζ x y 
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 43 of 71
Ολοκλήρωμα - Όριο
44
2. …
3. …
4. Για κάθε 0λ  έχουμε:
 
0 0 0
ln 1( )
Ε( ) ( )
x
λ λ λ
x x
ef x
λ g x dx dx dx
e e

  
  
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 44 of 71
45
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 45 of 71
46
Επομένως:
 ln 1 1
Ε( ) 2ln2 ln
λ λ
λ λ
e e
λ
e e
 
   ,
οπότε έχουμε:
 ln 1 1
lim Ε( ) 2ln2 lim lim ln
2ln2 0 0 2ln2
λ λ
λ λλ λ λ
e e
λ
e e  
  
    
 
   
…..
Επομένως:
 ln 1 1
Ε( ) 2ln2 ln
λ λ
λ λ
e e
λ
e e
 
   ,
οπότε έχουμε:
 ln 1 1
lim Ε( ) 2ln2 lim lim ln
2ln2 0 0 2ln2
λ λ
λ λλ λ λ
e e
λ
e e  
  
    
 
   
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 46 of 71
47
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 47 of 71
ΘΕΜΑ 4ο
• Ανισότητα με Κοίλη Συνάρτηση
• Κριτήριο Παρεμβολής
48
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 48 of 71
49
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 49 of 71
ΑΣΚΗΣΗ (Berkeley: Problems in Mathematics):
Να υπολογιστεί το όριο:
2
0
lim
π
xημt
x
x e dt

  .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 50 of 71
ΑΣΚΗΣΗ:
1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
( ) , 0 ,
2
π
f x ημx x
 
   
είναι γνησίως κοίλη και στη συνέχεια ότι η fC
βρίσκεται πάνω από τη χορδή OA που συνδέει τα
άκρα της  Ο 0,0 και Α ,1
2
π 
 
 
, με εξαίρεση τα
σημεία αυτά (ΣΧΗΜΑ)
51
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 51 of 71
52
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 52 of 71
53
1.
2. Να αποδείξετε ότι:
2
0
lim 0
π
xημt
x
x e dt

  .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 53 of 71
Κυρτές & Κοίλες Συναρτήσεις
ΛΥΣΗ:
1. Είναι:
( ) 0, 0 ,
2
π
f x ημx για κάθε x
       
.
Επομένως, η συνάρτηση f είναι γνησίως κοίλη.
Για να αποδείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να
αποδείξουμε ότι:
2
, 0, .
2
π
ημx x για κάθε x
π
 
   
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 54 of 71
55
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 55 of 71
56
Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση
2
( ) , 0,
2
π
g x ημx x x
π
 
    
αρκεί να θα αποδείξουμε ότι:
( ) 0, 0,
2
π
g x για κάθε x
 
   
.
Πράγματι, επειδή
2
( ) , 0,
2
π
g x συνx x
π
      
,
και
2
0 1
π
  , η gθα έχει ακριβώς μία ρίζα 0 0,
2
π
x
 
 
 
.
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 56 of 71
57
Έτσι, θα έχουμε τον παρακάτω πίνακα μεταβολών:
x 0 0x
2
π
( )g x  0 
( )g x
(0)g
 
0
min
0
min
x 0 0x
2
π
( )g x

0 
( )g x
(0)g
 
0
min
0
min
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 57 of 71
58
Επομένως, είναι
( ) 0, 0,
2
π
g x για κάθε x
 
   
,
οπότε θα ισχύει
2
, 0, .
2
π
ημx x για κάθε x
π
 
   
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 58 of 71
59
Άρα
2
ημt t
π
 , για κάθε 0,
2
π
t
 
  
οπότε για κάθε 0,
2
π
t
 
  
και για κάθε  0,x 
θα ισχύει:
2x
t
x ημt π
e e
 
 

08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 59 of 71
Κριτήριο Παρεμβολής1.
2. Για κάθε  0,x  θα ισχύει:
 
2
2 2
0 0
2 2
0
2
1
2
π π x
t
xημt π
π
x
t
π
x
x e dt x e dt
π
x e
x
π
e
x
 

 

  
 
    
 
  
 
,
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 60 of 71
61
Επομένως,  0 ,για κάθε x   θα ισχύει:
 2
0
0 1
2
π
xημt xπ
x e dt e
x
 
     .
και, επειδή  lim 1 0
2
x
x
π
e
x


   , λόγω του
κριτηρίου παρεμβολής, θα είναι:
2
0
lim 0
π
xημt
x
x e dt

  ■
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 61 of 71
ΘΕΜΑ 5ο
Ανισότητα χωρίς τη χρήση
του Θ. Fermat
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 62 of 71
ΑΣΚΗΣΗ:
Να βρεθεί ο θετικός αριθμός α για τον οποίο ισχύει:
2
3
1 , γιακάθε
2
x x
e x αx x     (1)
63
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 63 of 71
64
ΛΥΣΗ:
Εξετάζουμε αν μπορούμε να εφαρμόσουμε το
Θεώρημα Fermat.
Έστω ότι υπάρχει 0α  , τέτοιος, ώστε να ισχύει η
ανισότητα (1). Τότε θα ισχύει:
2
3
1 0, γιακάθε
2
x x
e x αx x
 
      
 
,
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 64 of 71
65
Επομένως, αν θέσουμε
2
3
( ) 1
2
x x
φ x e x αx
 
     
 
,
τότε θα ισχύει:
( ) (0), γιακάθεφ x φ x  ,
οπότε (Θ. FERMAT) θα είναι:
  2
0
0 0(0) 0 1 3 0x
x
φ e x ax

        .
Άρα δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Θ. Fermat.
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 65 of 71
ΛΥΣΗ:
Έστω ότι υπάρχει 0α  , τέτοιος, ώστε να ισχύει η (1).
Τότε θα ισχύει:
2
3
2
3
2
3
(1 ) , γιακάθε
2
(1 )
2 , γιακάθε 0
(1 )
2 , γιακάθε 0
x
x
x
x
e x αx x
x
e x
α x
x
x
e x
α x
x
    

  
 

 
   

 
66
ΛΥΣΗ:
Έστω ότι υπάρχει 0α  , τέτοιος, ώστε να ισχύει η (1).
Τότε θα ισχύει:
2
3
2
3
2
3
(1 ) , γιακάθε
2
(1 )
2 , γιακάθε 0
(1 )
2 , γιακάθε 0
x
x
x
x
e x αx x
x
e x
α x
x
x
e x
α x
x
    

  
 

 
   

 
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 66 of 71
67
Επομένως, πρέπει
1
6
α  (ΠΙΘΑΝΗ ΤΙΜΗ)
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 67 of 71
Για να αποδείξουμε ότι η τιμή
1
6
α  είναι δεκτή, αρκεί
να αποδείξουμε ότι ισχύει:
2 3
1 0, γιακάθε
2 6
x x x
e x x
 
      
 
μελετώντας τη συνάρτηση:
2 3
( ) 1 ,
2 6
x x x
f x e x x
 
      
 
.
68
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 68 of 71
69
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 69 of 71
70
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 70 of 71
71
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 71 of 71

More Related Content

What's hot

Πλήρεις σημειώσεις στον Ολοκληρωτικό λογισμό (2015 - 16)
Πλήρεις σημειώσεις στον Ολοκληρωτικό λογισμό (2015 - 16)Πλήρεις σημειώσεις στον Ολοκληρωτικό λογισμό (2015 - 16)
Πλήρεις σημειώσεις στον Ολοκληρωτικό λογισμό (2015 - 16)Μάκης Χατζόπουλος
 
Protein diag plus_lyseis
Protein diag plus_lyseisProtein diag plus_lyseis
Protein diag plus_lyseisChristos Loizos
 
Tεστ στα όρια 0/0 του Μάκη Χατζόπουλου
Tεστ στα όρια 0/0 του Μάκη ΧατζόπουλουTεστ στα όρια 0/0 του Μάκη Χατζόπουλου
Tεστ στα όρια 0/0 του Μάκη ΧατζόπουλουΜάκης Χατζόπουλος
 
30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ
30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ
30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠΠαύλος Τρύφων
 
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ ΛυκείουΤελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ ΛυκείουΜάκης Χατζόπουλος
 
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_b
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_bCpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_b
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_bChristos Loizos
 
Trapeza themata01 19_2016
Trapeza themata01 19_2016Trapeza themata01 19_2016
Trapeza themata01 19_2016Christos Loizos
 
Πέντε ασκήσεις για τη Γ Λυκείου από το Θανάση Ξένο
Πέντε ασκήσεις για τη Γ Λυκείου από το Θανάση ΞένοΠέντε ασκήσεις για τη Γ Λυκείου από το Θανάση Ξένο
Πέντε ασκήσεις για τη Γ Λυκείου από το Θανάση ΞένοΜάκης Χατζόπουλος
 
Math pros them_lyseis_2020_palaio_l
Math pros them_lyseis_2020_palaio_lMath pros them_lyseis_2020_palaio_l
Math pros them_lyseis_2020_palaio_lChristos Loizos
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + wordΕπαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + wordΜάκης Χατζόπουλος
 
Η άσκηση της ημέρας - μήνας Οκτώβριος 2015
Η άσκηση της ημέρας - μήνας Οκτώβριος 2015Η άσκηση της ημέρας - μήνας Οκτώβριος 2015
Η άσκηση της ημέρας - μήνας Οκτώβριος 2015Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 2018
Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 2018Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 2018
Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 2018Μάκης Χατζόπουλος
 
Μια ιδέα για έναν υπολογισμό ολοκληρώματος
Μια ιδέα για έναν υπολογισμό ολοκληρώματοςΜια ιδέα για έναν υπολογισμό ολοκληρώματος
Μια ιδέα για έναν υπολογισμό ολοκληρώματοςFanis Margaronis
 

What's hot (20)

Πλήρεις σημειώσεις στον Ολοκληρωτικό λογισμό (2015 - 16)
Πλήρεις σημειώσεις στον Ολοκληρωτικό λογισμό (2015 - 16)Πλήρεις σημειώσεις στον Ολοκληρωτικό λογισμό (2015 - 16)
Πλήρεις σημειώσεις στον Ολοκληρωτικό λογισμό (2015 - 16)
 
Protein diag plus_lyseis
Protein diag plus_lyseisProtein diag plus_lyseis
Protein diag plus_lyseis
 
λύση ασκ. 25
λύση ασκ. 25λύση ασκ. 25
λύση ασκ. 25
 
Tεστ στα όρια 0/0 του Μάκη Χατζόπουλου
Tεστ στα όρια 0/0 του Μάκη ΧατζόπουλουTεστ στα όρια 0/0 του Μάκη Χατζόπουλου
Tεστ στα όρια 0/0 του Μάκη Χατζόπουλου
 
30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ
30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ
30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ
 
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ ΛυκείουΤελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
Τελευταία επανάληψη για τους μαθητές της Γ Λυκείου
 
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_b
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_bCpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_b
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_b
 
104 ερωτήσεις θεωρίας
104 ερωτήσεις θεωρίας104 ερωτήσεις θεωρίας
104 ερωτήσεις θεωρίας
 
Epan 2o apan2015
Epan 2o apan2015Epan 2o apan2015
Epan 2o apan2015
 
Trapeza themata01 19_2016
Trapeza themata01 19_2016Trapeza themata01 19_2016
Trapeza themata01 19_2016
 
14η ανάρτηση
14η ανάρτηση14η ανάρτηση
14η ανάρτηση
 
Ekfoniseis 1 200
Ekfoniseis 1 200Ekfoniseis 1 200
Ekfoniseis 1 200
 
Πέντε ασκήσεις για τη Γ Λυκείου από το Θανάση Ξένο
Πέντε ασκήσεις για τη Γ Λυκείου από το Θανάση ΞένοΠέντε ασκήσεις για τη Γ Λυκείου από το Θανάση Ξένο
Πέντε ασκήσεις για τη Γ Λυκείου από το Θανάση Ξένο
 
Math pros them_lyseis_2020_palaio_l
Math pros them_lyseis_2020_palaio_lMath pros them_lyseis_2020_palaio_l
Math pros them_lyseis_2020_palaio_l
 
1000+1 exercises
1000+1 exercises1000+1 exercises
1000+1 exercises
 
Nέες Αποδείξεις
Nέες ΑποδείξειςNέες Αποδείξεις
Nέες Αποδείξεις
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + wordΕπαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
 
Η άσκηση της ημέρας - μήνας Οκτώβριος 2015
Η άσκηση της ημέρας - μήνας Οκτώβριος 2015Η άσκηση της ημέρας - μήνας Οκτώβριος 2015
Η άσκηση της ημέρας - μήνας Οκτώβριος 2015
 
Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 2018
Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 2018Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 2018
Διαγώνισμα 1ου τετραμήνου 3ο ΓΕΛ Κηφισιάς 2018
 
Μια ιδέα για έναν υπολογισμό ολοκληρώματος
Μια ιδέα για έναν υπολογισμό ολοκληρώματοςΜια ιδέα για έναν υπολογισμό ολοκληρώματος
Μια ιδέα για έναν υπολογισμό ολοκληρώματος
 

Similar to Ζουμ σε βασικές έννοιες της Ανάλυσης

Οι λύσεις μου σε θέματα γνωστών συγγραφέων για το lisari
Οι λύσεις μου σε θέματα γνωστών συγγραφέων για το lisariΟι λύσεις μου σε θέματα γνωστών συγγραφέων για το lisari
Οι λύσεις μου σε θέματα γνωστών συγγραφέων για το lisariFanis Margaronis
 
28 9636diag paragogoi_mexri_rythmo(2015-16)
28 9636diag paragogoi_mexri_rythmo(2015-16)28 9636diag paragogoi_mexri_rythmo(2015-16)
28 9636diag paragogoi_mexri_rythmo(2015-16)Christos Loizos
 
2006 trapeza thematwn_update2018_ (01-22)
2006 trapeza thematwn_update2018_ (01-22)2006 trapeza thematwn_update2018_ (01-22)
2006 trapeza thematwn_update2018_ (01-22)Christos Loizos
 
Mathimatika pros plus_lyseis_oroshmo
Mathimatika pros plus_lyseis_oroshmoMathimatika pros plus_lyseis_oroshmo
Mathimatika pros plus_lyseis_oroshmoChristos Loizos
 
γενικο διαγωνισμα οικονομιασ_θετικησ_2016
γενικο διαγωνισμα οικονομιασ_θετικησ_2016γενικο διαγωνισμα οικονομιασ_θετικησ_2016
γενικο διαγωνισμα οικονομιασ_θετικησ_2016Christos Loizos
 
2008 trapeza thematwn_update2018_ (01-15)
2008 trapeza thematwn_update2018_ (01-15)2008 trapeza thematwn_update2018_ (01-15)
2008 trapeza thematwn_update2018_ (01-15)Christos Loizos
 
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakisDiagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakisChristos Loizos
 
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020Μάκης Χατζόπουλος
 
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021Christos Loizos
 
Math pros 2020_neo_them_lyseis_l
Math pros 2020_neo_them_lyseis_lMath pros 2020_neo_them_lyseis_l
Math pros 2020_neo_them_lyseis_lChristos Loizos
 
2010 trapeza thematwn_update2018_(01-22)
2010 trapeza thematwn_update2018_(01-22)2010 trapeza thematwn_update2018_(01-22)
2010 trapeza thematwn_update2018_(01-22)Christos Loizos
 
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλοδιαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλοΜάκης Χατζόπουλος
 
2012 trapeza thematwn_update2018_ (01-24)
2012 trapeza thematwn_update2018_ (01-24)2012 trapeza thematwn_update2018_ (01-24)
2012 trapeza thematwn_update2018_ (01-24)Christos Loizos
 
Cpro sxol 2020-2021_papagrigorakis_b
Cpro sxol 2020-2021_papagrigorakis_bCpro sxol 2020-2021_papagrigorakis_b
Cpro sxol 2020-2021_papagrigorakis_bChristos Loizos
 
36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)
36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)Παύλος Τρύφων
 
2014 trapeza thematwn_update2018_(01-26)
2014 trapeza thematwn_update2018_(01-26)2014 trapeza thematwn_update2018_(01-26)
2014 trapeza thematwn_update2018_(01-26)Christos Loizos
 
Study4exams αρχεία στο 2ο κεφάλαιο - Διαγώνισμα και Σ - Λ
Study4exams αρχεία στο 2ο κεφάλαιο - Διαγώνισμα και Σ - ΛStudy4exams αρχεία στο 2ο κεφάλαιο - Διαγώνισμα και Σ - Λ
Study4exams αρχεία στο 2ο κεφάλαιο - Διαγώνισμα και Σ - ΛΜάκης Χατζόπουλος
 

Similar to Ζουμ σε βασικές έννοιες της Ανάλυσης (20)

Οι λύσεις μου σε θέματα γνωστών συγγραφέων για το lisari
Οι λύσεις μου σε θέματα γνωστών συγγραφέων για το lisariΟι λύσεις μου σε θέματα γνωστών συγγραφέων για το lisari
Οι λύσεις μου σε θέματα γνωστών συγγραφέων για το lisari
 
28 9636diag paragogoi_mexri_rythmo(2015-16)
28 9636diag paragogoi_mexri_rythmo(2015-16)28 9636diag paragogoi_mexri_rythmo(2015-16)
28 9636diag paragogoi_mexri_rythmo(2015-16)
 
2006 trapeza thematwn_update2018_ (01-22)
2006 trapeza thematwn_update2018_ (01-22)2006 trapeza thematwn_update2018_ (01-22)
2006 trapeza thematwn_update2018_ (01-22)
 
Mathimatika pros plus_lyseis_oroshmo
Mathimatika pros plus_lyseis_oroshmoMathimatika pros plus_lyseis_oroshmo
Mathimatika pros plus_lyseis_oroshmo
 
γενικο διαγωνισμα οικονομιασ_θετικησ_2016
γενικο διαγωνισμα οικονομιασ_θετικησ_2016γενικο διαγωνισμα οικονομιασ_θετικησ_2016
γενικο διαγωνισμα οικονομιασ_θετικησ_2016
 
2008 trapeza thematwn_update2018_ (01-15)
2008 trapeza thematwn_update2018_ (01-15)2008 trapeza thematwn_update2018_ (01-15)
2008 trapeza thematwn_update2018_ (01-15)
 
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakisDiagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
Diagwnisma prosomoiwshs 2_me_lyseis_nikolakakis
 
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
Λύσεις του διαγωνίσματος Ν. Σούρμπη 30/4/2020
 
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
 
Epan them nea-ylh
Epan them nea-ylhEpan them nea-ylh
Epan them nea-ylh
 
Math pros 2020_neo_them_lyseis_l
Math pros 2020_neo_them_lyseis_lMath pros 2020_neo_them_lyseis_l
Math pros 2020_neo_them_lyseis_l
 
2010 trapeza thematwn_update2018_(01-22)
2010 trapeza thematwn_update2018_(01-22)2010 trapeza thematwn_update2018_(01-22)
2010 trapeza thematwn_update2018_(01-22)
 
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλοδιαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
διαγώνισμα προσομοίωσης 2015 από τον μάκη χατζόπουλο
 
16η ανάρτηση
16η ανάρτηση16η ανάρτηση
16η ανάρτηση
 
2012 trapeza thematwn_update2018_ (01-24)
2012 trapeza thematwn_update2018_ (01-24)2012 trapeza thematwn_update2018_ (01-24)
2012 trapeza thematwn_update2018_ (01-24)
 
Cpro sxol 2020-2021_papagrigorakis_b
Cpro sxol 2020-2021_papagrigorakis_bCpro sxol 2020-2021_papagrigorakis_b
Cpro sxol 2020-2021_papagrigorakis_b
 
36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)
36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)36   επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)
36 επαναληπτικα θεματα γ λυκειου (εκφωνήσεις)
 
2014 trapeza thematwn_update2018_(01-26)
2014 trapeza thematwn_update2018_(01-26)2014 trapeza thematwn_update2018_(01-26)
2014 trapeza thematwn_update2018_(01-26)
 
Study4exams αρχεία στο 2ο κεφάλαιο - Διαγώνισμα και Σ - Λ
Study4exams αρχεία στο 2ο κεφάλαιο - Διαγώνισμα και Σ - ΛStudy4exams αρχεία στο 2ο κεφάλαιο - Διαγώνισμα και Σ - Λ
Study4exams αρχεία στο 2ο κεφάλαιο - Διαγώνισμα και Σ - Λ
 
θεματα αναλυσης 1983 2005
θεματα αναλυσης 1983 2005θεματα αναλυσης 1983 2005
θεματα αναλυσης 1983 2005
 

More from Μάκης Χατζόπουλος

Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΜάκης Χατζόπουλος
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Μάκης Χατζόπουλος
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΜάκης Χατζόπουλος
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Μάκης Χατζόπουλος
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη ΜαργαρώνηΜάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΜάκης Χατζόπουλος
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...Μάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Μάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Μάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΜάκης Χατζόπουλος
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΜάκης Χατζόπουλος
 

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;Εσείς πώς τα διδάσκετε;
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
 
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕΣχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛΠανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις; Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσειςΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσειςΜια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3οΞεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου 45+1 Θέματα Γ Λυκείου
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - ΠολυώνυμαΕπαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικόΔιαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το ΚαλαμαρίΔιαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ ΓυμνασίουΚεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - ΟρισμοίΕργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
 

Recently uploaded

Το βιβλιο του μηδέν.pdf για Α τάξη -μαθηματικά-αριθμός
Το βιβλιο του μηδέν.pdf για Α τάξη -μαθηματικά-αριθμόςΤο βιβλιο του μηδέν.pdf για Α τάξη -μαθηματικά-αριθμός
Το βιβλιο του μηδέν.pdf για Α τάξη -μαθηματικά-αριθμόςΟΛΓΑ ΤΣΕΧΕΛΙΔΟΥ
 
Παρουσίαση του κεφαλαίου ΕΞΕΛΙΞΗ της Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Παρουσίαση του κεφαλαίου ΕΞΕΛΙΞΗ της Β ΛΥΚΕΙΟΥΠαρουσίαση του κεφαλαίου ΕΞΕΛΙΞΗ της Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Παρουσίαση του κεφαλαίου ΕΞΕΛΙΞΗ της Β ΛΥΚΕΙΟΥΣπύρος Ποντικάκης
 
ΟΔΗΓΙΕΣ-ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΤΕΦΑΑ.pdf
ΟΔΗΓΙΕΣ-ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΤΕΦΑΑ.pdfΟΔΗΓΙΕΣ-ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΤΕΦΑΑ.pdf
ΟΔΗΓΙΕΣ-ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΤΕΦΑΑ.pdf2lykkomo
 
Έκθεση Τεχνολογίας Σχολικό Έτος 2023-24.pptx
Έκθεση Τεχνολογίας Σχολικό Έτος 2023-24.pptxΈκθεση Τεχνολογίας Σχολικό Έτος 2023-24.pptx
Έκθεση Τεχνολογίας Σχολικό Έτος 2023-24.pptx7gymnasiokavalas
 
ΥΛΙΚΟ για Σχολική Διαμεσολάβηση Οκτώβριος 2023-Μάιος 2024
ΥΛΙΚΟ για Σχολική Διαμεσολάβηση Οκτώβριος 2023-Μάιος 2024ΥΛΙΚΟ για Σχολική Διαμεσολάβηση Οκτώβριος 2023-Μάιος 2024
ΥΛΙΚΟ για Σχολική Διαμεσολάβηση Οκτώβριος 2023-Μάιος 2024Basso Hatzopoulou
 
Η εκδρομή μας στους Δελφούς
Η εκδρομή μας στους                ΔελφούςΗ εκδρομή μας στους                Δελφούς
Η εκδρομή μας στους ΔελφούςDimitra Mylonaki
 
Εκπαιδευτική επίσκεψη στον αρχαιολογικό χώρο των Δελφών
Εκπαιδευτική επίσκεψη στον αρχαιολογικό χώρο των ΔελφώνΕκπαιδευτική επίσκεψη στον αρχαιολογικό χώρο των Δελφών
Εκπαιδευτική επίσκεψη στον αρχαιολογικό χώρο των ΔελφώνDimitra Mylonaki
 
ΣΧΟΛΙΚΗ ΔΙΑΜΕΣΟΛΑΒΗΣΗ: Μέθοδος Επίλυσης Συγκρούσεων Συνομιλήκων
ΣΧΟΛΙΚΗ ΔΙΑΜΕΣΟΛΑΒΗΣΗ: Μέθοδος Επίλυσης Συγκρούσεων ΣυνομιλήκωνΣΧΟΛΙΚΗ ΔΙΑΜΕΣΟΛΑΒΗΣΗ: Μέθοδος Επίλυσης Συγκρούσεων Συνομιλήκων
ΣΧΟΛΙΚΗ ΔΙΑΜΕΣΟΛΑΒΗΣΗ: Μέθοδος Επίλυσης Συγκρούσεων ΣυνομιλήκωνBasso Hatzopoulou
 
Σ.Α.Ε.Κ. ΣΠΑΡΤΗΣ (ΗΜΕΡΙΔΑ - ΗΜΕΡΑ ΚΑΡΙΕΡΑΣ)
Σ.Α.Ε.Κ. ΣΠΑΡΤΗΣ (ΗΜΕΡΙΔΑ - ΗΜΕΡΑ ΚΑΡΙΕΡΑΣ)Σ.Α.Ε.Κ. ΣΠΑΡΤΗΣ (ΗΜΕΡΙΔΑ - ΗΜΕΡΑ ΚΑΡΙΕΡΑΣ)
Σ.Α.Ε.Κ. ΣΠΑΡΤΗΣ (ΗΜΕΡΙΔΑ - ΗΜΕΡΑ ΚΑΡΙΕΡΑΣ)mary nastakou
 
ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptx
ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptxΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptx
ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptxPapanikolaou Dimitris
 
Οι μαθητές της Ε΄ ενδιαφέρονται για το περιβάλλον... στα Αγγλικά!.pptx
Οι μαθητές της Ε΄ ενδιαφέρονται για το περιβάλλον... στα Αγγλικά!.pptxΟι μαθητές της Ε΄ ενδιαφέρονται για το περιβάλλον... στα Αγγλικά!.pptx
Οι μαθητές της Ε΄ ενδιαφέρονται για το περιβάλλον... στα Αγγλικά!.pptx41dimperisteriou
 

Recently uploaded (20)

Το βιβλιο του μηδέν.pdf για Α τάξη -μαθηματικά-αριθμός
Το βιβλιο του μηδέν.pdf για Α τάξη -μαθηματικά-αριθμόςΤο βιβλιο του μηδέν.pdf για Α τάξη -μαθηματικά-αριθμός
Το βιβλιο του μηδέν.pdf για Α τάξη -μαθηματικά-αριθμός
 
YlhHistoryB-2324.pdf. 56thJHS of Athens
YlhHistoryB-2324.pdf.  56thJHS of AthensYlhHistoryB-2324.pdf.  56thJHS of Athens
YlhHistoryB-2324.pdf. 56thJHS of Athens
 
Παρουσίαση του κεφαλαίου ΕΞΕΛΙΞΗ της Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Παρουσίαση του κεφαλαίου ΕΞΕΛΙΞΗ της Β ΛΥΚΕΙΟΥΠαρουσίαση του κεφαλαίου ΕΞΕΛΙΞΗ της Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Παρουσίαση του κεφαλαίου ΕΞΕΛΙΞΗ της Β ΛΥΚΕΙΟΥ
 
ΟΔΗΓΙΕΣ-ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΤΕΦΑΑ.pdf
ΟΔΗΓΙΕΣ-ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΤΕΦΑΑ.pdfΟΔΗΓΙΕΣ-ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΤΕΦΑΑ.pdf
ΟΔΗΓΙΕΣ-ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΤΕΦΑΑ.pdf
 
YlhChemistryB-2324.pdf SchoolYear: 2023-2024
YlhChemistryB-2324.pdf SchoolYear: 2023-2024YlhChemistryB-2324.pdf SchoolYear: 2023-2024
YlhChemistryB-2324.pdf SchoolYear: 2023-2024
 
Έκθεση Τεχνολογίας Σχολικό Έτος 2023-24.pptx
Έκθεση Τεχνολογίας Σχολικό Έτος 2023-24.pptxΈκθεση Τεχνολογίας Σχολικό Έτος 2023-24.pptx
Έκθεση Τεχνολογίας Σχολικό Έτος 2023-24.pptx
 
ΥΛΙΚΟ για Σχολική Διαμεσολάβηση Οκτώβριος 2023-Μάιος 2024
ΥΛΙΚΟ για Σχολική Διαμεσολάβηση Οκτώβριος 2023-Μάιος 2024ΥΛΙΚΟ για Σχολική Διαμεσολάβηση Οκτώβριος 2023-Μάιος 2024
ΥΛΙΚΟ για Σχολική Διαμεσολάβηση Οκτώβριος 2023-Μάιος 2024
 
YlhEnglishA-2324.pdf. 56th Junior High School of Athens.
YlhEnglishA-2324.pdf. 56th Junior High School of Athens.YlhEnglishA-2324.pdf. 56th Junior High School of Athens.
YlhEnglishA-2324.pdf. 56th Junior High School of Athens.
 
Η εκδρομή μας στους Δελφούς
Η εκδρομή μας στους                ΔελφούςΗ εκδρομή μας στους                Δελφούς
Η εκδρομή μας στους Δελφούς
 
Εκπαιδευτική επίσκεψη στον αρχαιολογικό χώρο των Δελφών
Εκπαιδευτική επίσκεψη στον αρχαιολογικό χώρο των ΔελφώνΕκπαιδευτική επίσκεψη στον αρχαιολογικό χώρο των Δελφών
Εκπαιδευτική επίσκεψη στον αρχαιολογικό χώρο των Δελφών
 
YlhTexnologiasC-2324.pdf. SchoolYear: 2023-24
YlhTexnologiasC-2324.pdf. SchoolYear: 2023-24YlhTexnologiasC-2324.pdf. SchoolYear: 2023-24
YlhTexnologiasC-2324.pdf. SchoolYear: 2023-24
 
ΣΧΟΛΙΚΗ ΔΙΑΜΕΣΟΛΑΒΗΣΗ: Μέθοδος Επίλυσης Συγκρούσεων Συνομιλήκων
ΣΧΟΛΙΚΗ ΔΙΑΜΕΣΟΛΑΒΗΣΗ: Μέθοδος Επίλυσης Συγκρούσεων ΣυνομιλήκωνΣΧΟΛΙΚΗ ΔΙΑΜΕΣΟΛΑΒΗΣΗ: Μέθοδος Επίλυσης Συγκρούσεων Συνομιλήκων
ΣΧΟΛΙΚΗ ΔΙΑΜΕΣΟΛΑΒΗΣΗ: Μέθοδος Επίλυσης Συγκρούσεων Συνομιλήκων
 
YlhArxaiaA-2324.pdf SchoolYear: 2023-2024
YlhArxaiaA-2324.pdf SchoolYear: 2023-2024YlhArxaiaA-2324.pdf SchoolYear: 2023-2024
YlhArxaiaA-2324.pdf SchoolYear: 2023-2024
 
YlhBiologyA-2324.pdf SchoolYear: 2023-2024
YlhBiologyA-2324.pdf SchoolYear: 2023-2024YlhBiologyA-2324.pdf SchoolYear: 2023-2024
YlhBiologyA-2324.pdf SchoolYear: 2023-2024
 
Σ.Α.Ε.Κ. ΣΠΑΡΤΗΣ (ΗΜΕΡΙΔΑ - ΗΜΕΡΑ ΚΑΡΙΕΡΑΣ)
Σ.Α.Ε.Κ. ΣΠΑΡΤΗΣ (ΗΜΕΡΙΔΑ - ΗΜΕΡΑ ΚΑΡΙΕΡΑΣ)Σ.Α.Ε.Κ. ΣΠΑΡΤΗΣ (ΗΜΕΡΙΔΑ - ΗΜΕΡΑ ΚΑΡΙΕΡΑΣ)
Σ.Α.Ε.Κ. ΣΠΑΡΤΗΣ (ΗΜΕΡΙΔΑ - ΗΜΕΡΑ ΚΑΡΙΕΡΑΣ)
 
ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptx
ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptxΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptx
ΣΧΟΛΕΙΑ ΠΡΕΣΒΕΙΣ _ΗΜΕΡΑ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ.pptx
 
Οι μαθητές της Ε΄ ενδιαφέρονται για το περιβάλλον... στα Αγγλικά!.pptx
Οι μαθητές της Ε΄ ενδιαφέρονται για το περιβάλλον... στα Αγγλικά!.pptxΟι μαθητές της Ε΄ ενδιαφέρονται για το περιβάλλον... στα Αγγλικά!.pptx
Οι μαθητές της Ε΄ ενδιαφέρονται για το περιβάλλον... στα Αγγλικά!.pptx
 
YlhTexnologiasB-2324.pdf. SchoolYear: 2023-24
YlhTexnologiasB-2324.pdf. SchoolYear: 2023-24YlhTexnologiasB-2324.pdf. SchoolYear: 2023-24
YlhTexnologiasB-2324.pdf. SchoolYear: 2023-24
 
YlhChemistryC-2324.pdfSchoolYear: 2023-2024
YlhChemistryC-2324.pdfSchoolYear: 2023-2024YlhChemistryC-2324.pdfSchoolYear: 2023-2024
YlhChemistryC-2324.pdfSchoolYear: 2023-2024
 
YlhNeaEllhnikaA-both-2324.pdf. 56thJHS of Athens
YlhNeaEllhnikaA-both-2324.pdf. 56thJHS of AthensYlhNeaEllhnikaA-both-2324.pdf. 56thJHS of Athens
YlhNeaEllhnikaA-both-2324.pdf. 56thJHS of Athens
 

Ζουμ σε βασικές έννοιες της Ανάλυσης

  • 1. 1 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 71
  • 2. ΘΕΜΑ 1ο 2 • Θεώρημα Fermat • Μελέτη Συνάρτησης • Ολοκλήρωμα 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 71
  • 3. ΑΣΚΗΣΗ: Α. Να βρείτε την τιμή του α για την οποία η συνάρτηση:     2 ( ) 1 2 ln 1 , (0, )f x α x x x x       (1) είναι γνησίως αύξουσα. Β. Για 1α  : Β.1. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f . Β.2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: 3 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 71
  • 4. 4 Α. Β. Για 1α  : Β.1. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f . Β.2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:    ( ), αν 0, 1 , αν 0 , f x x g x x       (2) είναι συνεχής και Β.3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν E του χωρίου που περικλείεται από τη gC , την εφαπτομένη της gC στο σημείο καμπής της και τον άξονα y y . 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 71
  • 5. Θεώρημα του Fermat Α. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει α τέτοιος, ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα. Τότε για κάθε 0 (0, )x   και για όλα τα (0, )x  , με 0x x θα ισχύει: 0 0 ( ) ( ) 0, f x f x x x    οπότε θα είναι: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x      . 5 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 71
  • 6. οπότε θα είναι: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x      . Άρα:  ( ) 0, 0,f x για κάθε x    (3) 6 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 71
  • 7. Επειδή  ( ) 2 1 ln , (0, )f x α x x x        , (4) λόγω της (3), θα ισχύει:  ( ) (1), 0,f x f για κάθε x    οπότε, λόγω του θεωρήματος του Fermat, θα είναι (1) 0f  και επειδή: 1 ( ) 2f x a x        . θα είναι 1α  . Συνεπώς, για να είναι η συνάρτηση f γνησίως αύξουσα πρέπει να ισχύει 1α  . 7 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 71
  • 8. 8 Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι για 1α  η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Πράγματι, για 1α  , είναι:  ( ) 2 1 ln 0, (0, )f x x x για κάθε x         με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν 1x  . Επομένως, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Άρα, η ζητούμενη τιμή του α είναι η 1α  . 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 71
  • 9. β΄ τρόπος: Βρίσκουμε το πρόσημο της παραγώγου:           ( ) 2 1 ln , 0,f x α x x x για τις διάφορες τιμές του α . Έχουμε:           1 ( ) 2 , 0,f x α x x οπότε διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: 9 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 71
  • 10. οπότε διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:  Αν  0α , τότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα μεταβολών: x 0 1  ( )f x   ( )f x  0  ( )f x 0 max Παρατηρούμε ότι για  0α η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το  0, . Επομένως οι αριθμοί  ( ,0]α απορρίπτονται. 10 Παρατηρούμε ότι για  0α η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το  0, . Επομένως οι αριθμοί  ( ,0]α απορρίπτονται. 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 10 of 71
  • 11. 11 Επομένως οι αριθμοί  ( ,0]α απορρίπτονται.  Αν  0α , τότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα μεταβολών: x 0 1 α  ( )f x  0  ( )f x      1 f α Όμως: x 0 1 α  ( )f x  0  ( )f x      1 f α 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 11 of 71
  • 12. 12 Όμως:               1 2 ln 1 0, για κάθε 0f α α α α , με την ισότητα να ισχύει, αν και μόνο αν 1α . Επομένως: 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 12 of 71
  • 13. 13 Επομένως:  Αν  0 1α , τότε θα είναι       1 0f α και , επειδή η f είναι συνεχής, θα υπάρχει  0δ τέτοιο, ώστε να ισχύει:             1 1 0, για κάθε , Δf x x δ δ α α , οπότε η συνάρτηση f θα είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ και, συνεπώς, δεν θα είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το  0, . Επομένως οι αριθμοί       0, 1α απορρίπτονται. 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 13 of 71
  • 14. 14  Αν 1α , τότε       1 0f α , οπότε θα έχουμε τον παρακάτω πίνακα μεταβολών: x 0 1 α  ( )f x + 0 + ( )f x Από τον πίνακα αυτόν προκύπτει ότι για 1α η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το  0, . Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, αν και μόνο αν 1α . 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 14 of 71
  • 15. Μελέτη Συνάρτησης 15 Α. … Β. Αν 1α  , τότε: Β.1. Η συνάρτηση f γράφεται: 2 ( ) 1 2 ln , (0, )f x x x x x      , έχει παράγωγο την  ( ) 2 1 ln 0, (0, )f x x x x       και, όπως αποδείξαμε προηγουμένως, είναι γνησίως αύξουσα. 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 15 of 71
  • 16. 16 Επειδή:   1 1 ( ) 2 1 2 , 0, x f x x x x            , η συνάρτηση f είναι:  Γνησίως κοίλη στο διάστημα  0,1 και  Γνησίως κυρτή στο διάστημα 1,   . Τέλος, επειδή: 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 16 of 71
  • 17. 17 Τέλος, επειδή:        2 0 0 2 0 0 lim ( ) lim 1 2 ln lim 1 2lim ln 1 x x x x DLH f x x x x x x x              &  lim ( ) x f x    η συνάρτηση f έχει την ακόλουθη γραφική παράσταση: 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 17 of 71
  • 18. 18 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 18 of 71
  • 19. Ολοκλήρωμα 19 Β. Αν 1α  , τότε: Β.1. Η συνάρτηση f γράφεται: Β.2. Επειδή    ( ), αν 0, 1 , αν 0 , f x x g x x       και 0 lim ( ) 1 (0) x g x g    , η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 0. Επομένως, η gείναι συνεχής σε ολόκληρο το[0, )  , οπότε θα είναι ολοκληρώσιμη στο [0,1]. 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 19 of 71
  • 20. 20 Επειδή, επιπλέον, [0,1]max ( ) 2g x  , το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι ίσο με:   1 1 0 0 2 ( ) 2 ( )E g x dx g x dx     . 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 20 of 71
  • 21. 21  0 0 2 ( ) 2 ( )E g x dx g x dx     . Αν G είναι μια παράγουσα της g στο [0,1], τότε θα ισχύει   1 0 0 1 0 0 1 2 0 3 2 2 0 ( ) (1) (0) (1) lim ( ) lim (1) ( ) lim ( ) lim 1 2 ln ... 11 11 lim ln 6 3 2 6 h hh h hh h DLH g x dx G G G G h G G h f x dx x x x dx h h h h h                                  , οπότε θα είναι 11 1 2 6 6 E    . 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 21 of 71
  • 22. ΘΕΜΑ 2ο Πρόβλημα ρυθμού μεταβολής με ολοκλήρωμα 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 22 of 71
  • 23. 23 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 23 of 71
  • 24. 24 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το γράφημα του ρυθμού μεταβολής, ( )T t , της θερμοκρασίας ( )T t ενός τόπου κατά τη διάρκεια ενός εικοσιτετράωρου. Δίνεται ότι η θερμοκρασία του τόπου στην αρχή της ημέρας ( 0)t  ήταν 16 βαθμοί Κελσίου. 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 24 of 71
  • 25. 25 ας της Άνοιξης. η θερμοκρασία του τόπου στην αρχή της ημέρας ( 0)t  ήταν μοί Κελσίου: α) Να βρείτε σε ποια χρονικά διαστήματα της ημέρας η θερμοκρασία ανέβαινε, σε ποια κατέβαινε, σε ποια παρέμεινε σταθερή και να υπολογίσετε στην κάθε περίπτωση τη συνολική μεταβολή της. 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 25 of 71
  • 26. 26 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: α) Η θερμοκρασία:  Μεταβάλλεται στο διάστημα [0, 4] κατά 4 0 (4) (0) ( ) 2 ( )o T T T t dt C    (ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ)  Μεταβάλλεται στο διάστημα [4, 14] κατά 14 4 (14) (4) ( ) 7 ( )o T T T t dt C   (ΑΥΞΑΝΕΤΑΙ)  Παραμένει ΣΤΑΘΕΡΗ στο διάστημα [14, 16]  Μεταβάλλεται στο διάστημα [16, 24] κατά 24 16 (24) (16) ( ) 4 ( )o T T T t dt C    (ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ) 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 26 of 71
  • 27. 27 ( )t , της θερμοκρασίας ( )T t ενός τόπου κατά τη διάρκεια μια έρας της Άνοιξης. ν η θερμοκρασία του τόπου στην αρχή της ημέρας ( 0)t  ήταν 1 αθμοί Κελσίου: α) β) Να βρείτε ποια ώρα της ημέρας παρατηρήθηκε η υψηλότερη θερμοκρασία και να υπολογίσετε την τιμή της. 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 27 of 71
  • 28. 28 β) Η υψηλότερη θερμοκρασία παρατηρήθηκε την ώρα 14:00 μέχρι και την ώρα 16:00 και ήταν ίση με: 14 4 14 0 0 4 (14) (0) ( ) (0) ( ) ( ) 16 ( 2) ( 7) 21 ( )o T T T t dt T T t dt T t dt C                 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 28 of 71
  • 29. 29 ας της Άνοιξης. η θερμοκρασία του τόπου στην αρχή της ημέρας ( 0)t  ήταν 16 θμοί Κελσίου: α) Να βρείτε σε ποια χρονικά διαστήματα της ημέρας η θερμοκρασία ανέβαινε, σε ποια κατέβαινε, σε ποια παρέμεινε σταθερή και να υπολογίσετε στην κάθε περίπτωση τη συνολική μεταβολή της. β) Να βρείτε ποια ώρα της ημέρας παρατηρήθηκε η υψηλότερη θερμοκρασία και να υπολογίσετε την τιμή της. γ) Να βρείτε ποια ήταν η θερμοκρασία του τόπου στο τέλος της ημέρας ( 24)t  . 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 29 of 71
  • 30. 30 γ) ΣΥΝΟΛΙΚΑ στο 24-ωρο η θερμοκρασία μεταβλήθηκε κατά 24 0 4 14 16 24 0 4 14 16 (24) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2) ( 7) 0 ( 4) 1 ( )o T T T t dt T t dt T t dt T t dt T t dt C                        Άρα, στο τέλος της ημέρας ( 24)t  η θερμοκρασία ήταν 16 1 17  βαθμοί Κελσίου . 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 30 of 71
  • 31. 31 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ (ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ).ggb υψηλότερη θερμοκρασία και να υπολογίσετε την τιμή της. γ) Να βρείτε ποια ήταν η θερμοκρασία του τόπου στο τέλος της ημέρας ( 24)t  . δ) Να σχεδιάσετε κατά προσέγγιση το γράφημα της θερμοκρασίας ( )T t κατά τη διάρκεια ολόκληρου του εικοσιτετράωρου; 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 31 of 71
  • 32. ΘΕΜΑ 3ο • Εξίσωση Εφαπτομένης • Διαφορική Εξίσωση • Μελέτη Συνάρτησης • Απόσταση Καμπυλών • Εμβαδόν χωρίου 32 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 32 of 71
  • 34. 34 1. Να αποδείξετε ότι:  ( ) ln 1 ,x f x e x   (2) 2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f και να την παραστήσετε γραφικά. 3. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:     22 ( , ) 2 ln( 1)α G α β α β e β     (3) για τις διάφορες τιμές των ,α β . 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 34 of 71
  • 35. 2. … 3. … 4. Αν με Ε( )λ συμβολίσουμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) ( ) x f x g x e  , τους άξονες x x και y y και την κατακόρυφη ευθεία , με 0x λ λ  , να αποδείξετε ότι:   ln 1 1 Ε( ) 2ln2 ln λ λ λ λ e e λ e e      και  lim Ε( ) 2ln2 λ λ   . 35 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 35 of 71
  • 36. Εξίσωση Εφαπτομένης 36 1. Επειδή 1 : ln2 2 ε y x  εφάπτεται της fC υπάρχει 0x  τέτοιο, ώστε να ισχύει: 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 1 1 ( ) ln2 ( ) ln2 2 2 1 1 ( ) 1 2 2 0 (4) ( ) ln2 f x f x x f x x f x e x f x                        Επομένως, (0) ln2f  . 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 36 of 71
  • 37. Διαφορική Εξίσωση Για κάθε x ισχύει:     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 1 f x f x f x f x f x f x e e f x e e e              Άρα, υπάρχει c τέτοιος, ώστε να ισχύει: ( ) 1 , για κάθεf x x e c e x    . Για 0x x , προκύπτει ότι 1c  , οπότε:  ( ) ln 1 ,x f x e x   . (5) 37 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 37 of 71
  • 38. Μελέτη Συνάρτησης 38 Για 0x x , προκύπτει ότι 1c  , οπότε:  ( ) ln 1 ,x f x e x   . (5) 2. Ισχύουν:    2 ( ) 0 & ( ) 0, 1 1 x x x x e e f x f x x e e          1 lim ( ) lim ln( 1) limln ln1 0x x x u f x e u                 1 ln 1( ) lim lim lim 1 & 1 lim ( ) lim ln 1 1 lim ln limlnu 0. x x xx x DLH x x x x x xx u ef x e λ x x e β f x λx e x e e                             Άρα η fC έχει ασύμπτωτη στο  την y x 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 38 of 71
  • 39. 39 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 39 of 71
  • 40. Απόσταση Καμπυλών 1. …. 2. …. 3. Για οποιαδήποτε ,α β ισχύει:     22 2 ( , ) 2 ln( 1) (ΜΝ)α G α β α β e β      με:   M ,ln 1α fα e C  &  N 2 ,β β ζ , όπου 1 : 2 ζ y x , η ευθεία που είναι παράλληλη προς την εφαπτομένη 1 : ln2 2 ε y x  της fC 40 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 40 of 71
  • 41. 41 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 41 of 71
  • 42. προς την εφαπτομένη : ln2 2 ε y x  της fC ΣΧΗΜΑ 2 42 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 42 of 71
  • 43. Επομένως, η ελάχιστη τιμή της παράστασης:     22 ( , ) 2 ln( 1) , ,α G α β α β e β α β      είναι ίση με:   2 2ln2 4ln 2 min ( , ) (0, ) ΑΒ 5 5 G α β G   . 43 Όμως:   2 2 0 2ln2 2ln2 ΑΒ (Α, ) 51 2 d ζ      , αφού η εξίσωση της ζ παίρνει τη μορφή: : 2 0ζ x y  08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 43 of 71
  • 44. Ολοκλήρωμα - Όριο 44 2. … 3. … 4. Για κάθε 0λ  έχουμε:   0 0 0 ln 1( ) Ε( ) ( ) x λ λ λ x x ef x λ g x dx dx dx e e        08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 44 of 71
  • 45. 45 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 45 of 71
  • 46. 46 Επομένως:  ln 1 1 Ε( ) 2ln2 ln λ λ λ λ e e λ e e      , οπότε έχουμε:  ln 1 1 lim Ε( ) 2ln2 lim lim ln 2ln2 0 0 2ln2 λ λ λ λλ λ λ e e λ e e                 ….. Επομένως:  ln 1 1 Ε( ) 2ln2 ln λ λ λ λ e e λ e e      , οπότε έχουμε:  ln 1 1 lim Ε( ) 2ln2 lim lim ln 2ln2 0 0 2ln2 λ λ λ λλ λ λ e e λ e e                 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 46 of 71
  • 47. 47 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 47 of 71
  • 48. ΘΕΜΑ 4ο • Ανισότητα με Κοίλη Συνάρτηση • Κριτήριο Παρεμβολής 48 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 48 of 71
  • 49. 49 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 49 of 71
  • 50. ΑΣΚΗΣΗ (Berkeley: Problems in Mathematics): Να υπολογιστεί το όριο: 2 0 lim π xημt x x e dt    . 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 50 of 71
  • 51. ΑΣΚΗΣΗ: 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) , 0 , 2 π f x ημx x       είναι γνησίως κοίλη και στη συνέχεια ότι η fC βρίσκεται πάνω από τη χορδή OA που συνδέει τα άκρα της  Ο 0,0 και Α ,1 2 π      , με εξαίρεση τα σημεία αυτά (ΣΧΗΜΑ) 51 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 51 of 71
  • 52. 52 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 52 of 71
  • 53. 53 1. 2. Να αποδείξετε ότι: 2 0 lim 0 π xημt x x e dt    . 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 53 of 71
  • 54. Κυρτές & Κοίλες Συναρτήσεις ΛΥΣΗ: 1. Είναι: ( ) 0, 0 , 2 π f x ημx για κάθε x         . Επομένως, η συνάρτηση f είναι γνησίως κοίλη. Για να αποδείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να αποδείξουμε ότι: 2 , 0, . 2 π ημx x για κάθε x π       08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 54 of 71
  • 55. 55 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 55 of 71
  • 56. 56 Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση 2 ( ) , 0, 2 π g x ημx x x π        αρκεί να θα αποδείξουμε ότι: ( ) 0, 0, 2 π g x για κάθε x       . Πράγματι, επειδή 2 ( ) , 0, 2 π g x συνx x π        , και 2 0 1 π   , η gθα έχει ακριβώς μία ρίζα 0 0, 2 π x       . 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 56 of 71
  • 57. 57 Έτσι, θα έχουμε τον παρακάτω πίνακα μεταβολών: x 0 0x 2 π ( )g x  0  ( )g x (0)g   0 min 0 min x 0 0x 2 π ( )g x  0  ( )g x (0)g   0 min 0 min 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 57 of 71
  • 58. 58 Επομένως, είναι ( ) 0, 0, 2 π g x για κάθε x       , οπότε θα ισχύει 2 , 0, . 2 π ημx x για κάθε x π       08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 58 of 71
  • 59. 59 Άρα 2 ημt t π  , για κάθε 0, 2 π t      οπότε για κάθε 0, 2 π t      και για κάθε  0,x  θα ισχύει: 2x t x ημt π e e      08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 59 of 71
  • 60. Κριτήριο Παρεμβολής1. 2. Για κάθε  0,x  θα ισχύει:   2 2 2 0 0 2 2 0 2 1 2 π π x t xημt π π x t π x x e dt x e dt π x e x π e x                        , 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 60 of 71
  • 61. 61 Επομένως,  0 ,για κάθε x   θα ισχύει:  2 0 0 1 2 π xημt xπ x e dt e x        . και, επειδή  lim 1 0 2 x x π e x      , λόγω του κριτηρίου παρεμβολής, θα είναι: 2 0 lim 0 π xημt x x e dt    ■ 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 61 of 71
  • 62. ΘΕΜΑ 5ο Ανισότητα χωρίς τη χρήση του Θ. Fermat 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 62 of 71
  • 63. ΑΣΚΗΣΗ: Να βρεθεί ο θετικός αριθμός α για τον οποίο ισχύει: 2 3 1 , γιακάθε 2 x x e x αx x     (1) 63 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 63 of 71
  • 64. 64 ΛΥΣΗ: Εξετάζουμε αν μπορούμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα Fermat. Έστω ότι υπάρχει 0α  , τέτοιος, ώστε να ισχύει η ανισότητα (1). Τότε θα ισχύει: 2 3 1 0, γιακάθε 2 x x e x αx x            , 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 64 of 71
  • 65. 65 Επομένως, αν θέσουμε 2 3 ( ) 1 2 x x φ x e x αx           , τότε θα ισχύει: ( ) (0), γιακάθεφ x φ x  , οπότε (Θ. FERMAT) θα είναι:   2 0 0 0(0) 0 1 3 0x x φ e x ax          . Άρα δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Θ. Fermat. 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 65 of 71
  • 66. ΛΥΣΗ: Έστω ότι υπάρχει 0α  , τέτοιος, ώστε να ισχύει η (1). Τότε θα ισχύει: 2 3 2 3 2 3 (1 ) , γιακάθε 2 (1 ) 2 , γιακάθε 0 (1 ) 2 , γιακάθε 0 x x x x e x αx x x e x α x x x e x α x x                      66 ΛΥΣΗ: Έστω ότι υπάρχει 0α  , τέτοιος, ώστε να ισχύει η (1). Τότε θα ισχύει: 2 3 2 3 2 3 (1 ) , γιακάθε 2 (1 ) 2 , γιακάθε 0 (1 ) 2 , γιακάθε 0 x x x x e x αx x x e x α x x x e x α x x                      08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 66 of 71
  • 67. 67 Επομένως, πρέπει 1 6 α  (ΠΙΘΑΝΗ ΤΙΜΗ) 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 67 of 71
  • 68. Για να αποδείξουμε ότι η τιμή 1 6 α  είναι δεκτή, αρκεί να αποδείξουμε ότι ισχύει: 2 3 1 0, γιακάθε 2 6 x x x e x x            μελετώντας τη συνάρτηση: 2 3 ( ) 1 , 2 6 x x x f x e x x            . 68 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 68 of 71
  • 69. 69 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 69 of 71
  • 70. 70 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 70 of 71
  • 71. 71 08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 71 of 71