Nota Matematik Tambahan Tingkatan 4 SPM - Persamaan Kuadratik Slide for Additional Mathematics Form 4 - Quadratic Equation

1. www.tutorsah.com
1
1. Persamaan Kuadratik dan
Puncanya
Persamaan kuadratik ialah persamaan matematik yang mana pembolehubah
x mempunyai kuasa dua (x2).
2
0ax bx c  
a, b, c = pemalar (constant)
x = pembolehubah
𝒂 ≠ 0

2. www.tutorsah.com
2
Contoh persamaan kuadratik
Pembolehubah x mesti berkuasa dua (x2)!
2
3 02x x  
a = 1, b = 2, c = 3
2
16 0x x  
a = 6, b = -1, c = 1

3. www.tutorsah.com
3
Contoh persamaan kuadratik
Pembolehubah x mesti berkuasa dua (x2)!
2
3 4 0x x 
a = 3, b = -4, c = 0
2
9 0x  
a = 1, b = 0, c = -9

4. www.tutorsah.com
4
Contoh BUKAN persamaan
kuadratik
Pembolehubah x BUKAN berkuasa dua (x2)!
2.5
3 042x x  
2 3
025 16x x  
2
11 0x
 

5. www.tutorsah.com
5
Teknik Penggantian
Salah satu teknik menyelesaikan
Persamaan Kuadratik
Hanya sesuai digunakan bagi
menyelesaikan Persamaan
Kuadratik yang mudah

6. www.tutorsah.com
6
Teknik Penggantian
Contoh: Cari nilai x bagi persamaan
2
2 3 0.x x  
2
2 3x x 1. Pindahkan ‘-3’ ke sebelah kanan persamaan. Maka
2. Gantikan persamaan sebelah kiri x2+2x dengan sebarang nombor sehingga
ianya bersamaan persamaan sebelah kanan iaitu ‘3’.
Oleh itu x=1 dan x=-3 akan memberikan persamaan sebelah kiri bersamaan ‘3’.
2 2
Gantikan 1: 2 (1) 2(1) 3x x x    
2 2
Gantikan 2: 2 (2) 2(2) 8x x x    
2 2
Gantikan 3: 2 (3) 2(3) 15x x x    
2 2
Gantikan 1: 2 ( 1) 2( 1) 1x x x        
2 2
Gantikan 2: 2 ( 2) 2( 2) 0x x x       
2 2
Gantikan 3: 2 ( 3) 2( 3) 3x x x       
Atau disebut juga x=1 dan x=-3 adalah ‘punca’bagi persamaan kuadratik.

7. www.tutorsah.com
7
Teknik Penggantian
Topik seterusnya akan menunjukkan teknik yang lebih mudah
untuk menyelesaikan Persamaan Kuadratik.

8. www.tutorsah.com
8
2. Penyelesaian Persamaan
Kuadratik
3 teknik
Pemfaktoran
( ) ( ) = 0
Penyempurnaan
kuasa dua
Rumus kuadratik
2
4
2
b b ac
a
  

9. www.tutorsah.com
9
Pemfaktoran
Teknik termudah menyelesaikan persamaan kuadratik.
2
2 3 0x x  
2
x
x
x
3
1
3


3
2
x
x
x

Darab silang
Hasil darab silang
Hasil tambah
darab silang
3x + (-x) = 2x
3 3
dan
( 1)
x x
x x
 
   
Hasil darab di atas
2
x x x 
Hasil darab di atas
3 ( 1) 3   

10. www.tutorsah.com
10
Pemfaktoran
2
2 3 0x x  
2
x
x
x
3
1
3


3
2
x
x
x

Hasil tambah akan menjadikan persamaan kuadratik sebelumnya
2
2 3x x 
Faktor

11. www.tutorsah.com
11
Pemfaktoran
2
2 3 0x x  
2
x
x
x
3
1
3


3
2
x
x
x

Faktor
Oleh itu, faktor bagi persamaan kuadratik ialah
Maka
Penyelesaian dan
( 3) dan ( 1).x x 
2
2 3 ( 3)( 1) 0.x x x x     
( 3) 0
3
x
x
 
 
( 1) 0
1
x
x
 


12. www.tutorsah.com
12
Penyempurnaan kuasa dua
2
2 3 0x x  1. Pastikan pemalar ‘a’ = 1.
2. Pindahkan ‘-3’ ke sebelah kanan. 2
2 3x x 
3. Tambahkan persamaan sebelah kiri dan kanan dengan 2
( 2) .b 
2 2
2
2
2
(2 2) (22 23
2
)
(1 4)
x x
x x
 
 
  

4. Buang pembolehubah dan pemalar ‘b’ dan jadikan
persamaan sebelah kiri sebagai faktor kuasa dua.
2
2
2
(1)2 4
( 1) 4
x x
x
  
 

13. www.tutorsah.com
13
Penyempurnaan kuasa dua
5. Selesaikan persamaan. 2
1
1
( ) 4
( ) 4
( )1 2
x
x
x
 
 
  
Oleh itu, dan2
2 1
1
1x
x
  
  

2
2 1
3
1x
x
  
  
 

14. www.tutorsah.com
14
Rumus Kuadratik
Teknik paling berkesan.
Boleh diguna apabila teknik Pemfaktoran atau Penyempurnaan Kuasa Dua gagal.
2
4
2
b b ac
x
a
  

a, b & c adalah pemalar bagi persamaan kuadratik yang dicari.

15. www.tutorsah.com
15
Rumus Kuadratik
Contoh: Cari punca persamaan 2
2 3 0.x x  
a = 1, b = 2, c = -3
Penyelesaian:
Dari persamaan,
2
2
4
2
(2) (2) 4(1)( 3)
2(1)
2 16
2
b b ac
x
a
  

   

 

Jadi,
2 16
2
2 4
2
1
x
 

 


dan
2 16
2
2 4
2
3
x
 

 

 

16. www.tutorsah.com
16
3. Syarat Punca bagi Persamaan
Kuadratik
3 syarat
Dua punca
berbeza
2
4 0b ac 
Dua punca
sama
2
4 0b ac 
Tiada punca
2
4 0b ac 

17. www.tutorsah.com
17
Dua punca berbeza
Contoh: Tentukan jenis punca persamaan 2
2 3 0.x x  
a = 1, b = 2, c = -3
Penyelesaian:
Dari persamaan,
2 2
4 (2) 4(1)( 3)
16 (iaitu >0)
b ac   

Jadi persamaan mempunyai dua punca berbeza*.2
2 3 0x x  
*merujuk slide sebelumnya, punca persamaan ialah2
2 3 0x x  
1 dan 3.x x  
Dua nilai/punca berbeza

18. www.tutorsah.com
18
Dua punca sama
Contoh: Tentukan jenis punca persamaan 2
6 9 0.x x  
a = 1, b = -6, c = 9
Penyelesaian:
Dari persamaan,
2 2
4 ( 6) 4(1)(9)
36 36
0
b ac   
 

Jadi persamaan
mempunyai dua punca sama*.
2
6 9 0x x  
2
2
4
2
( 6) ( 6) 4(1)(9)
2(1)
6 36 36
2
6 0
2
6
2
3
b b ac
x
a
  

    

 





*Uji:
Hanya satu punca
yang sama iaitu ‘3’.

19. www.tutorsah.com
19
Tiada punca
Contoh: Tentukan jenis punca persamaan 2
2 8 0.x x  
a = 1, b = 2, c = 8
Penyelesaian:
Dari persamaan,
2 2
4 (2) 4(1)(8)
4 32
28 (iaitu < 0)
b ac  
 
 
Jadi persamaan
tidak mempunyai punca*.
2
2 8 0x x  
2
2
4
2
(2) (2) 4(1)(8)
2(1)
2 4 32
2
1 28
b b ac
x
a
  

  

  

   
*Uji:
adalah nombor tak nyata.
Maka persamaan tersebut ‘tidak
mempunyai punca’.
28

20. www.tutorsah.com
20
Tamat
Disediakan oleh:
www.tutorsah.com
tutorsah@gmail.com