Презентація на тему "Вектори"

2. На площині У просторі
(x;y)
(x;y;0)
(x;y;z)
(x;0;0)
(0;0;z) (0;y;z)
(x;0;z)
(0;0;y)
(x;0)
(0;y)

3. A(x1;y1)
B(x2;y2)
C(xc;yc)
M (x1;y1;z1)
N(x2;y2;z2)
K(xc;yc;zc)
На площині У просторі
Xc=
x1+x2
2
yc=
y1+y2
2
Xc=
x1+x2
2
yc=
y1+y2
2
zc=
z1+z2
2

4. На площині У просторі
N(x1;y1;z1)
K(x2;y2;z2)B(x2;y2)
A(x1;y1)
Координати вектора
Довжина вектора
(абсолютна величина вектора)
a =(x2-x1;y2-y1)=(a1;a2)
a
b
a =(x2-x1;y2-y1;z2-z1)=(a1;a2;a3)
b = a1*a2 *a3
2 22a = a1* a2
2 2

5. На площині У просторі
Рівні вектори
Колінеарні вектори
a
b
a b
a = b a
b
a b
a = b
У векторів відповідні
координати пропорційні
a b c
a
b
c
a c b
b1
a1
b2
=a2
c1
a1 =
c2
a2 a1
b1
=
b2
a2 =
b3
a3
c1 c2 c3
a1 =a2 =a3
a
c
b

6. На площині У просторі
Додавання векторів
Віднімання векторів
Множення вектора на число
a
b
a
b
a
b
a
b
a+b=(a1+b1;a2+b2) a+b=(a1+b1;a2+b2;a3+b3)
a-b=(a1-b1;a2-b2) a-b=(a1-b1;a2-b2;a3-b3)
a
ma
a
mama=(ma1;ma2) ma=(ma1;ma2;ma3)

7. На площині У просторі
Через координати
Через кут між векторами
a
b
a b
ab=a1b1+a2b2
ab=a1b1+a2b2+a3b3
a
b
α
a
b
α
ab= a b cosα ab= a b cosα

8. Тестові завдання
Розв'яжи та виберіть правильну відповідь
1.Дано точки А(3;2;-1),В(0;-1;2),С(1;2;-4).
Знайти точку D(x;y;z) таку, що АВ = СD.
1 2 3 4 5
D(2;-1;1) D(-2;-1;-1) D(2;-1;1) D(2;1;1) D(-2;-1;1)
2. Дано точку А(-1;7;2),В(-1;3;4),С(1;2;9).
Знайти координати вектора m=АВ +2BС.
m=(-4;6;12)m=(4;-6;12)m=(-4;6;-12)m=(-4;-6;12)m=(4;6;12)
54321

9. Розв'язок завдань
Розв'язання
1) Рівні вектори мають
рівні координати, тому
знайдемо координати
векторів
АВ і СD.
2) Прирівняємо відповідні
координати
векторів АВ і СD і
знайдемо невідомі.
3) Координати точки D.
1.Дано точки А(3;2;-1),В(0;-1;2),С(1;2;-4). Знайти
точку D(x;y;z) таку, що АВ = СD.
АВ(0 - 3; -1 - 2; 2 +1) = АВ(-3; - 3; 3).
СD(х-1',у-2;z+4).
-3=x-1, х = -2.
-3=у-2, у = -1.
3=z+4, z=-1.
D(-2;-1;-1).
Відповідь: D(-2;-1;-1).

10. Розв'язок завдань
Розв'язання
1)Знайдемо
координати
векторів АВ і
ВС:
2)Знайдемо
координати
вектора 2ВС:
3)Знайдемо
суму векторів
АВ і 2ВС:
2. Дано точку А(-1;7;2),В(-1;3;4),С(1;2;9). Знайти
координати вектора m=АВ +2BС.
АВ(0;-4;2), ВС(2;-1;5).
2ВС = (2*2;-1*2;5*2);
2BC(4;-2;10).
т =АВ + 2ВС =(0;- 4; 2) + (4; -2; 10)
= (4; -6; 12).
Відповідь: m=(4;-6;12).

11. Тестові завдання
1 2 3 4 5
m=-11;n=-3 m=11;n=3 m=10;n=-3 m=11;n=-4 m=11;n=-3
3.Дано точки А(m;-1;2),В(1;n;3),С(-4;2;6),D(1;3;5).
Знайти m і n, якщо відомо, що вектори АВ і СD
колінеарні.
4. Знайти косинус кута D паралелограма АВСD,
якщо А(4;2;-2),В(1;-2;0),С(0;0;0),D(3;4;-2).
A
CB
cos( D)= 6/29cos( D)= 5/9cos( D)= 3/29cos( D)= 5/20cos( D)= 5/29
54321
D

12. Розв'язок завдань
Розв'язання
1)Знайдемо
координати векторів
МИ і РК:
2)Якщо вектори МИ і
РК колінеарні,
то їх координати
пропорційні:
3.Дано точки А(m;-1;2),В(1;n;3),С(-4;2;6),D(1;3;5).
Знайти m і n, якщо відомо, що вектори АВ і СD
колінеарні.
MN (-m;n + 1;3-1);
РK(1 + 4;3-2;5-6);
МN(1 - т;n + 1;2);
РК(5;1;-1)
Відповідь :
1-m = -2; m = 11
1-m = n+1 = 2
5 1 -1
5 1
n+1 = - 2; n= - 3
m = 11; n = -3

13. Розв'язок завдань
4. Знайти косинус кута D паралелограма АВСD, якщо
А(4;2;-2),В(1;-2;0),С(0;0;0),D(3;4;-2).
1)Розглянемо
паралелограм АВСD
кут D утворений
векторами DА і DС.
2)Знайдемо координати і
абсолютні величини
векторів DА і DС.
3)Знайдемо скалярний
добуток DА і DС.
4)За формулою
cos D =(a*b)/( a * b )маємо:
Розв'язання
A
CB
D
DA(1,-2,0); DA = 1+4+0 = 5
DC(-3;-4;2); DC = 9+16+4 = 29
DA*DC = (1;-2;0)*(-3;-4;2) = - 3+8+0 = 5
cos D = DA * DC = 5 = 5
DA * DC 5 * 29 29
Відповідь: cos D = 5
29

14. Тестові завдання
5. Точка M(2;6;3) середина
відрізка, кінці якого
знаходяться на осі Ох і в
площині yz. Знайти
координати кінців і
довжину відрізка.
1 2 3 4 5
N(-4;0;0)
K(0;12;6)
KN=14
N(4;0;0)
K(0;-12;6)
KN=14
N(4;0;0)
K(0;12;6)
KN=12
N(4;0;0)
K(0;12;6)
KN=14
N(4;0;0)
K(0;12;-6)
KN=14
K(0;y1;y1)
N(x2;0;0)
M(2;6;3)

15. Розв'язок завдань
5. Точка M(2;6;3) середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі
Ох і в площині yz. Знайти координати кінців і довжину відрізка.
K(0;y1;y1)
N(x2;0;0)
M(2;6;3)
Довільна точка, що лежить на осі Ох, має
координати (х; 0; 0) ; довільна точка, що
лежить у площині уz, має координати
(0; у;z). Нехай точка М(2; 6; 3) є серединою
відрізка, кінцями якого є точки А(х; 0; 0),
B(0; у;z).
Відповідь: A(4;0;0), B(0;12;6), AB = 14
Тоді: 2 = x+0 , 6 = 0+y , 3 = 0+z ,
2 2 2
Звідки x = 4, y = 12, z = 6.
Отримаємо А(4; 0; 0), B(0; 12;6), AB = (-4) + 12 + 6 = 142 2 2