Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Практичне заняття 6
Циркуляція векторного поля.
Простіші векторні поля
Циркуляція векторного поля
Прості векторні поля
6.1...
2 2 2
(2 2 ) 2 4 ;
3
i j k
rotF y z i x j k
x y z
y x z x y
  
  
  
  
  
 
   
);: 3 . (0;0;1z пл ...
2
(2 2) 0 0 ;
2
i j k
rotF y i j k
x y z
z x z x y
  
  
  
  
  
   
 
: 3 . (1;0;0); 2 2.x пл ZOY...
2 0
2 4
i j k
rotF yi j k
x y z
z zy x
  
  
  

;
  
   
: 0 . (0;1;0);y пл XOZ n i rotF n      ...
Завдання 6.8. Показати, що поле      ( )F M y z i x z j x y k     
   
потенціальне і знайти його потенці...
 
2 2 2
0 0 0 2 2 2
yx z
x y z
u M kxdx kydy kzdz k k k C           
 2 2 2
.
2
k
x y z C    
Завдан...
2 2 2 2
( ) 0
2 2
0
i j k
rotF M
x y z
Iy Iy
x y x y
  
. 
  

 
 

Отже, поле — гармонічне.(F M

)
Завдан...
Відповідь. Так;  
2
2 2
3 .
2
z
u M x y y C   
е)    2 2
( ) ln 1 ln 1F M z i x j xzk     .
  
Відповід...
Відповідь. Так.   2 2
2 .u M x xy y C   
Завдання 6.15. Яке векторне поле задає скалярне поле
  2 2 2
.u M x y y z...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

практ.заняття 6 теорія поля

232 views

Published on

1

Published in: Investor Relations
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

практ.заняття 6 теорія поля

  1. 1. Практичне заняття 6 Циркуляція векторного поля. Простіші векторні поля Циркуляція векторного поля Прості векторні поля 6.1. Циркуляція векторного поля Завдання 6.1. Знайти циркуляцію поля 2 2 2 3 ( ) ( )F yi x z j x y     k    10, 3  вздовж замкненого контуру 2 2 2 :L x y z z    (рис. П6.1). Рис. П6.1 Розв’язання. Циркуляцію будемо обчислювати за формулою Стокса (5.7) .Ц rotF nd     
  2. 2. 2 2 2 (2 2 ) 2 4 ; 3 i j k rotF y z i x j k x y z y x z x y                      );: 3 . (0;0;1z пл XOY n k       2 4; ( 4) 4 4 4 . xyD rotF n Ц d dxdy R                   Завдання 6.2. Знайти циркуляцію поля 2 ( ) 2 ( )F z x i z j x y     k    3  вздовж замкненого контуру 2 2 2 :( 1) ;L x y z x    (рис П6.2). Рис. П6.2 Розв’язання. ;Ц rotF nd     
  3. 3. 2 (2 2) 0 0 ; 2 i j k rotF y i j k x y z z x z x y                      : 3 . (1;0;0); 2 2.x пл ZOY n i rotF n y           Маємо 2 2 : 3, (2 2) , : 4yz x Ц y d d dydz D y z                2  22 2 2 2 3 2 0 0 0 0 2 (2 sin 2 ) sin 8 . 3 d d   d                      kЗавдання 6.3. Знайти циркуляцію поля 2 4F zi zy j x       вздовж замкненого контуру (рис. П6.3).2 2 :3 ; 0L y y z y    Рис. П6.3 Розв’язання.
  4. 4. 2 0 2 4 i j k rotF yi j k x y z z zy x           ;        : 0 . (0;1;0);y пл XOZ n i rotF n      2.      2 .2 2 : 0, , ( 2) 2 2 ( 3) 6 . : 3, 3 кр xz y d dxdz d Ц rotF nd d S D x z R                                kЗавдання 6.4. Знайти циркуляцію поля 2 (2 )F yi x y j z        1.  ; вздовж замкненого контуру 2 2 2 : 5L x y z z    Відповідь. 16Ц  . Завдання 6.5. Знайти циркуляцію поля ( 2 )F xyi zx j z y k        вздовж замкненого контуру 2 2 2 :( 3) ; 4.L x y z x    Відповідь. 2Ц  . Завдання 6.6. Знайти циркуляцію поля 2 4 2(F zi y j x z    2 )k     вздовж замкненого контуру 2 2 :4 ; 0.L y x z y    Відповідь. 24Ц  . 6.2. Прості векторні поля Завдання 6.7. З’ясувати, чи буде векторне поле соленоїдним.2 2 ( ) 2 2F M x yi xy j xyzk       Розв'язання. Векторне поле ( )F M  буде соленоїдним, якщо ( ) 0divF M .  2 4 2 P Q R divF xy xy xy x y z               0. Таким чином, поле ( )- соленоїдне.F M 
  5. 5. Завдання 6.8. Показати, що поле      ( )F M y z i x z j x y k          потенціальне і знайти його потенціал. Розв'язання. Векторне поле ( )F M  буде потенціальне, якщо ( ) 0rotF M .     ( ) i j k x y x z rotF M i x y z y z y z x z x y                                  0. x y y z x z y z j k x z x y                            Таким чином, поле потенціальне. Потенціал поля знайдемо за формулою           0 0 0 0 0 0, , , , , , , , . yx z x y z u M u x y z P x y z dx Q x y z dy R x y z dz C      Покладемо    0 0 0 0; ; 0;0;0 .M x y z O Тоді:       0 0 0 0 . yx z u M dx xdy x y dz xy x y z C           Таким чином  u M xy xz yz C    являється потенціалом поля ( )F M  . Дійсно, ; ;x y zu y z u x z u x y        ;        .grad u y z i x z j x y k F M          Завдання 6.9. Показати, що поле  F M kr    — потенціальне і знайти його потенціал. Розв'язання. Знайдемо      ; .rotF M F M kr k xi yj zk          ( ) 0 i j k rotF M x y z kx ky kz    .           Отже, поле ( )— потенціальне. Знайдемо його потенціал.F M 
  6. 6.   2 2 2 0 0 0 2 2 2 yx z x y z u M kxdx kydy kzdz k k k C             2 2 2 . 2 k x y z C     Завдання 6.10. З’ясувати, чи буде векторне поле  F M yzi xzj xyk      гармонічним. Розв'язання. Векторне поле ( )F M  буде гармонічним, якщо ( ) 0divF M   і ( ) 0rotF M   . Знайдемо 0; P Q R divF x y z               ( ) i j k xy xz rotF M i x y z y z yz xz xy                             0. xy yz xz yz j k x z x y                       )Тобто, поле (F M  — гармонічне. Завдання 6.11. Показати, що електромагнітне поле  2 2I H yi xj r       — потенціальне і соленоїдне. Розв'язання. Нехай  2 2 2 . I H yi xj x y        Знайдемо     2 2 2 2 2 2 4 4 0. xIy xIy div H x y x y       Знайдемо ротор даного поля:
  7. 7. 2 2 2 2 ( ) 0 2 2 0 i j k rotF M x y z Iy Iy x y x y    .           Отже, поле — гармонічне.(F M  ) Завдання 6.12. З’ясувати, чи буде векторне поле ( )F M  — соленоїдним. а)      2 2 ( ) 1 2 2 1F M xy i y z j z y zy k      ;    б)    2 2 3 2 ( ) 3 1F M y i x y j z y k     ;    в)      2 2 2 2 2 2 ( )F M x z y i y x z j z y x k      ;    г)    2 2 2 2 ( ) 3F M x z i xyj y z k     ;    д)    ( ) 2 2F M yz x i xz y j xyk     .    Відповідь. в) так; г) ні; д) так. Завдання 6.13. З’ясувати, чи буде векторне поле ( )F M  — потенціальним. Якщо так, то знайти його потенціал. а)      2 2 ( ) 2 2 2F M xy z i yz x j xz y k      2 .    Відповідь. б)    ( ) 2F M yz x i xz yz j xyk     .    Відповідь. в) ( ) cos cos sinF M yz xyi xz xyj xyk   .    Відповідь. Так;   sin .u M z xy C  г) 2 2 2 1 1 ( ) z x y F M i j k y zx y z                     1 . x    Відповідь. Ні. д)  2 ( ) 6 3 2F M xyi x y j zk    .   
  8. 8. Відповідь. Так;   2 2 2 3 . 2 z u M x y y C    е)    2 2 ( ) ln 1 ln 1F M z i x j xzk     .    Відповідь. Ні. є) ( ) r F M r   . Відповідь. Так;   .u M r C  ж) 2 ( ) r F M r   . Відповідь. Так;   ln .u M r C  з) ( )F M rr   . Відповідь. Так;   3 . 3 r u M C  Завдання 6.14. З’ясувати, чи буде поле ( )F M  гармонічним, якщо так, знайти його потенціал. а)      ( )F M y z i x z j x y k      .    Відповідь. Так;     .u M xy x y z C    б) 2 2 2 ( )F M x zi y j xz k   .    Відповідь. Ні. в)    ( ) 2 2F M yz x i xz y j xyk     .    Відповідь. Так;   2 2 .u M y x xyz C    г) ( ) . x y z F M i j k y z x       Відповідь. Ні. д)      ( )F M y z i z x j x y k      .    Відповідь. Ні. Поле соленоїдне. е)    ( ) 2 2 2 2 0F M x y i x y j k     .   
  9. 9. Відповідь. Так.   2 2 2 .u M x xy y C    Завдання 6.15. Яке векторне поле задає скалярне поле   2 2 2 .u M x y y z z x   Відповідь. Потенціальне поле    2 2 ( ) 2 2F M xy z i x yz j         2 2 .y xz   k . Завдання 6.16. Яке векторне поле задає векторне поле: ( ) 2 3F M yzi xzj xyk      Відповідь. Соленоїдне поле — поле ротора. ДОМАШНІ ЗАВДАННЯ: Практичне завдання №6 Номери:6.12 а,б, 6.13 а,б. РОЗВЯЗАННЯ СЛІД НАДСИЛАТИ У ВИГЛЯДІ ДОКУМЕНТУ З РОЗШИРЕННЯМ "doc" (версії 90-2003)

×