Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Практичне заняття 5
Циркуляція векторного поля. Ротор
Завдання 5.1. Обчислити циркуляцію векторного поля
вздовж замкненого...
Рис. П5.1
в)
 0, 0,
3 2 2; 2 2
3
:
2 , 0, 1( 2 ) ( 1)
y dy
x z z x
C A
L CA
dz dx x x
L
x y dx ydy z dz
 
   
 ...
Рис. П5.2
 
2 2
2 2
0 0
32 2
2 2 2
0 0
0 0
cos sin sin 2cos cos 0 sin cos 2cos
1 cos2 sin 1
sin (sin ) 2 | sin2 | 0 2 0 ...
 
2 1
0 02 2
32 2
2 1 2
0 0
0 0
: 2,
, 2 (2 cos
: 1 1
1 1
cos | 1 cos sin | 2 .
3 3 3
xyD
xy
z
d dxdy x dxdy d d
D x y
d...
в) 3 3 3
;F z i y j x k  
   
г)  2 21
.
2
F y i x  
  
j
Відповідь.
в)  2 2
3 ;rotF z x j 
 
г) ...
Розв’язання. Циркуляцію обчислюємо за формулою Стокса (5.7).
Рис. П5.3
Знайдемо ротор поля :F

  
 
2 2
0 2 2 2 2
2...
Завдання 5.10. Знайти циркуляцію векторного поля
 3
2F xzi y x j yzk   
   
вздовж замкненого контуру 2 2
: 4 ;...
Завдання 5.11. Знайти циркуляцію векторного поля
вздовж контуру2
F y i xz j y zk  
   2
1.2 2 2
: ;L z x y z  
...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

практ.заняття 5 теорія поля

210 views

Published on

1

Published in: Technology
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

практ.заняття 5 теорія поля

  1. 1. Практичне заняття 5 Циркуляція векторного поля. Ротор Завдання 5.1. Обчислити циркуляцію векторного поля вздовж замкненого контуру( 2 ) ( 1)F x y i y j z         k L, утвореного перетином площини 2 2x y z   з координатними площинами 0, 0, 0.x y z   Розв’язання. Контур L являється кусково-гладкою кривою, яка складається з трьох гладких ліній (відрізків прямих): 1 2 3L L L L   (рис. П5.1), тому циркуляцію обчислюємо за формулою (5.2) 1 2 3 . L L L L Ц F d F d F d F d                      Знайдемо дані криволінійні інтеграли: а)  0, 0 1 2 2; 2 2 1 1 : 2 , 1, 0( 2 ) ( 1) z dz x y y x A B L AB dy dx x x L L F d x y dx ydy z dz                      20 0 0 1 1 1 9 ( 2(2 2 )) (2 2 ) ( 2) (8 7 ) (8 7 ) | ; 2 2 x x x dx x dx x dx x               б)  0, 0, 2 2; 2 2 : , 2, 0( 2 ) ( 1) x dx y z z y B C L BC dz dy y y L x y dx ydy z dz               2;  0 0 0 2 2 2 0 (2 1)( ) |ydy y dy dy y           
  2. 2. Рис. П5.1 в)  0, 0, 3 2 2; 2 2 3 : 2 , 0, 1( 2 ) ( 1) y dy x z z x C A L CA dz dx x x L x y dx ydy z dz                 21 1 1 0 0 0 1 ( 0) 0 (2 2 1)( 2) (5 2) 5 2 | . 2 2 x x dx x dx x dx x                     9 1 2 2 2 2 Ц        0. ) Завдання 5.2. Знайти циркуляцію векторного поля вздовж замкненого контуру2 2 (F xyi xz j x y k        L, утвореного перетином поверхонь а) безпосередньо; б) за формулою Стокса. 2 2 1; 2:x y z   Розв’язання. а) Контур - коло (рис. П5.2), тому перейдемо до параметричного завдання: L cos ; sin ( 1).x R t y R t R   2 2 cos , : sin , 2. ( ) sin , cos , 0; 0 2 L L x t L y t z Ц F d xydx xzdy x y dz dx tdt dy tdt dz t                        
  3. 3. Рис. П5.2   2 2 2 2 0 0 32 2 2 2 2 0 0 0 0 cos sin sin 2cos cos 0 sin cos 2cos 1 cos2 sin 1 sin (sin ) 2 | sin2 | 0 2 0 2 . 2 3 2 t t tdt t tdt t tdt tdt t t td t dt t t                                           б) Циркуляцію обчислюємо використовуючи формулу Стокса (4.6). В даному випадку 2 2 , , ( ); ; ; ; 2 ; 2 ; P P P xy Q xz R x y x y z Q Q R R z x x y x z x y 0;                          поверхня : 2z  os ; cos )  - паралельна до площини , томуXOY (cos ; c ( (0;0;1)).n k    k          2 0 0 2 0 1Ц y x x z x d z x d                   
  4. 4.   2 1 0 02 2 32 2 2 1 2 0 0 0 0 : 2, , 2 (2 cos : 1 1 1 1 cos | 1 cos sin | 2 . 3 3 3 xyD xy z d dxdy x dxdy d d D x y d d      )                                                        Завдання 5.3. Знайти циркуляцію поля    2 3 6F x y i y j z     k     вздовж замкненого контуру ,L утвореного перетином площини 2 3 6x y z   з координатними площинами 0, 0, 0.x y z   Відповідь. .18Ц   Завдання 5.4. Знайти циркуляцію поля 2 F yzi xy j x    k     вздовж замкненого контуру ,L утвореного перетином поверхонь а) безпосередньо; б) за формулою Стокса. 2 2 4,x y  2:z  Відповідь. Завдання 5.5. Знайти ротор векторного поля      2 F x z i y z j x z          k . Розв’язання. Використовуючи формулу (5.6), будемо мати                     2 2 2 0 1 2 1 0 0 2 1 . i j k x z y z rotF i x y z y z x z y z x z x z x z y z x z j x z x y i j x k rotF i x                                                                     j    Завдання 5.6. Знайти ротор векторних полів: а) 2 2 2 ; x F x yi yz j k y        б)      2 2 2 2 2 2 ;F x y i y z j z x k         
  5. 5. в) 3 3 3 ;F z i y j x k       г)  2 21 . 2 F y i x      j Відповідь. в)  2 2 3 ;rotF z x j    г)  rotF x y k    Завдання 5.7. Стаціонарний рух потоку рідини задано вектором кутової швидкості  0;0;    . В цьому випадку векторне поле задається векторною функцією  .M yi x j         Знайти ротор даного поля. Відповідь. 2rot k    . Завдання 5.8. Знайти ротор вектора H  напруженості магнітного поля. Розв’язання. Вектор H  напруженості магнітного поля, яке створюється постійним струмом I , визначається формулою    2 2 2 2 2 , . I H yi x j x y          Знайдемо ротор даного поля:   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 0 2 2 2 0 i j k Ix Iy rotF k x y z x y Iy Ix x y x y x y x x y y I k     , 0 .x y                                                 k 2 Таким чином, у всіх точках простору, крім точок осі Oz , тому циркуляція даного поля по довільному контуру, який не містить вісь дорівнює нулю. 0rotH   Oz Завдання 5.9. Знайти циркуляцію векторного поля вздовж замкненого контуру (рис.П5.3). 2 2 2F yzi x j x z       2 2 2 : ;L z x y z  
  6. 6. Розв’язання. Циркуляцію обчислюємо за формулою Стокса (5.7). Рис. П5.3 Знайдемо ротор поля :F       2 2 0 2 2 2 2 2 : 2|| . 0;0;1 ; i j k rotF i xz y j x z k x y z zy x x z z пл XOY n k                             .       2 2 32 2 2 2 2 0 0 0 0 : 2, 2 2 , : 4 2 2 4 2 cos 2 2 cos | 3xy xy D z Ц rotF nd x z d d dxdy D x y x dxdy d d d                                                      2 2 0 0 8 8 2 cos 4 2 sin 4 | 16 3 3 d   .                        
  7. 7. Завдання 5.10. Знайти циркуляцію векторного поля  3 2F xzi y x j yzk        вздовж замкненого контуру 2 2 : 4 ; 3L z x y z    (рис.П5.4). Рис. П5.4 Розв’язання. ;Ц rotF nd        2 3 2 2 3 2 : 3|| . 0;0;1 ; 3 . i j k rotF zi x j x k x y z xz y x yz z пл XOY n k rotF n x                    .            Маємо: 2 1 2 3 0 02 2 2 0 : 3, 3 , 3 : 1 1 3 1 cos2 3 3 2 . 4 2 8 4 xy z Ц x d d dxdy d d D x y d     2 cos                            
  8. 8. Завдання 5.11. Знайти циркуляцію векторного поля вздовж контуру2 F y i xz j y zk      2 1.2 2 2 : ;L z x y z   Відповідь. Ц   . Завдання 5.12. Знайти циркуляцію векторного поля вздовж контуру3 F y i yz j xz       2 k .2 2 : 1 ; 0L z x y z    Відповідь. 3 4 Ц  . Завдання 5.13. Знайти циркуляцію векторного поля вздовж контуру2 F y i zx j xyzk       2 2 : 6 ;L z x y z 2.     Відповідь. 8Ц  . ДОМАШНІ ЗАВДАННЯ: Практичне завдання №5 Номери:5.4, 5.6 а,б. РОЗВЯЗАННЯ СЛІД НАДСИЛАТИ У ВИГЛЯДІ ДОКУМЕНТУ З РОЗШИРЕННЯМ "doc" (версії 90-2003)

×