3 lagrange-multipliers

MataKuliah/MateriKuliahBrawijayaUniversity2011
REKAYASA DAN OPTIMASI PROSES
Lagrange Multipliers
Ir. Usman Effendi, MS
Lab. Komputasi Dan Analisis Sistem, FTP, Universitas Brawijaya
Email : usman_eff@ub.ac.id
1. PENDAHULUAN
1.1 Pengantar
1.2 Tujuan
2. PENGANTAR METODE KALKULUS
3. METODE LAGRANGE MULTIPLIER
OPTIMASI tidak BERKENDALA
5. OPTIMASI BERKENDALA
6. MASALAH DALAM OPT TIDAK
BERKENDALA
a. Penggunaan Gradien Untuk
Optimasi
b. Determination Of Minimum
Or Maximum
c. Penentuan Minimum Atau
Maksimum
d. Konversi Dibatasi Untuk
Masalah Dibatasi
7. MASALAH OPTIMASI
BERKENDALA
8. OPTIMASI DENGAN KENDALA
KETIMPANGAN: KONDISI
KUHN-TUCKER
1. PENDAHULUAN
1.1 PENGANTAR
Jika fungsi ini kontinu dan terdiferensialkan, turunannya menjadi nol
pada titik ekstrem tersebut. Untuk fungsi y (x), kondisi ini ditulis
sebagai
di mana x adalah variabel independen. Dasar untuk properti ini dapat
dijelaskan dalam hal ekstrem yang ditunjukkan pada Gambar 1.
Sebagai maksimum pada titik A adalah mendekati, nilai fungsi y (x)
meningkat dan hanya di luar titik ini, itu berkurang, sehingga nol
gradien di A. Demikian pula, nilai fungsi menurun hingga minimum
pada titik B dan meningkat melampaui B, memberikan nol kemiringan
di B. Dalam rangka untuk menentukan apakah titik adalah maksimum
atau minimum, derivatif kedua dihitung. Karena lereng pergi dari
positif ke negatif, melalui nol, maksimum, turunan kedua adalah
negatif. Demikian pula, kemiringan meningkat minimal dan, dengan
demikian, turunan kedua adalah positif. Ini kondisi dapat ditulis
sebagai (Keisler, 1986).
MODUL
SELF-PROPAGATINGENTREPRENEURIALEDUCATIONDEVELOPMENT
(SPEED)
3Minggu 3

of 27
Rekayasa dan Optimasi Proses / Lagrange Multiplier 2012Brawijaya University
1.2 TUJUAN
1.2.1 Tujuan Instruksional Umum
Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa akan memiliki kemampuan melakukan
analisis suatu proses dan melakukan optimasi dengan metode yang telah dipelajarinya
1.2.2 Tujuan Instruksional Khusus
Setelah mempelajari pokok bahasan mahasiswa dapat ;
 Menjelaskan ulang metode optimasi analitik, mampu menentukan kriteria
optimum untuk optimasi variabel tunggal dan ganda.,
 Mengetahui karakteristik Optimasi tidak Berkendala dan Berkendala
 Mampu merubah kondisi berkendala ke dalam tidak berkendala.
 Menguasi Optimasi fungsi non linear dengan kendala persamaan dan ketidak
samaan
 Menerapkan metode lagrange multiplier dan Kondisi Kunh Tucker
2. PENGANTAR METODE KALKULUS
Kondisi yang disampaikan sebelumnya berlaku untuk y fungsi nonlinear (x) dan,
karena itu, metode kalkulus berguna untuk sistem termal, yang umumnya diatur oleh
nonlinier ekspresi. Namun, baik fungsi dan turunannya harus terus menerus untuk
analisis sebelumnya untuk menerapkan.Dengan demikian, dengan menetapkan gradien
sama dengan nol, lokasi dari ekstrem dapat diperoleh dan turunan kedua kemudian
dapat digunakan untuk menentukan Sifat ekstrem masing-masing. Ada beberapa kasus
di mana kedua pertama dan kedua derivatif adalah nol. Hal ini menunjukkan titik
perubahan, sebagaimana sketsa di Gambar 1 (c), titik pelana, atau kurva datar, seperti
di punggung bukit atau lembah. Ini harus dicatat bahwa kondisi hanya disebutkan
menunjukkan hanya ekstrem lokal. Mungkin ada beberapa ekstrem lokal seperti dalam
domain yang diberikan. Karena ketertarikan kami terletak pada keseluruhan maksimum
atau minimum di seluruh domain untuk mengoptimalkan sistem, kami akan mencari
ekstrem global, yang biasanya unik dan merupakan yang terbesar atau terkecil nilai
fungsi tujuan. Contoh sederhana berikut menggambarkan penggunaan prosedur
sebelumnya untuk optimasi.
Gambar 1. Seketsa memperlihatkan maksimum, minimum dan titik belok fungsi
y(x)

of 27
CONTOH 1:
Terapkan teknik kalkulus berbasis optimasi hanya diberikan kepada meminimalkan biaya
C untuk panas bergulir jumlah yang diberikan dari logam. Biaya ini dinyatakan dalam hal
laju aliran massa m � bahan sebagai berikut
di mana istilah pertama di sisi kanan merupakan biaya peralatan, yang meningkat
dengan meningkatnya laju alir, dan istilah kedua merupakan operasi biaya, yang turun
dengan meningkatnya m.
SOLUSI
Nilai ekstrem diberikan oleh
Karena itu
Turunan kedua diperoleh sebagai berikut
yang bernilai positip karena m adalah positip
Ini adalah metode yang paling penting dan berguna untuk optimasi berdasarkan
kalkulus. Hal ini dapat digunakan untuk mengoptimalkan fungsi yang bergantung pada
sejumlah independen variabel dan ketika kendala fungsional terlibat. Dengan demikian,
dapat diterapkan untuk berbagai situasi praktis disediakan fungsi tujuan dan kendala
dapat dinyatakan sebagai fungsi kontinu dan terdiferensialkan. Selain itu, kendala
kesetaraan hanya dapat dipertimbangkan dalam proses optimasi.
DASAR PENDEKATAN
Pernyataan matematika dari masalah optimasi diberikan dalam sebelumnya
bab sebagai

of 27
tunduk pada kendala
dimana U adalah fungsi tujuan yang akan dioptimalkan dan Gi = 0, dengan i bervariasi
dari 1 sampai n, merupakan kendala kesetaraan n. Seperti disebutkan sebelumnya, jika
kendala ketimpangan muncul dalam masalah, ini harus diubah menjadi kesetaraan
kendala untuk menerapkan metode ini. Selain itu, dalam beberapa kasus,
ketidaksetaraan kendala hanya mendefinisikan domain diterima dan tidak digunakan
dalam optimasi proses. Namun demikian, solusi yang diperoleh diperiksa untuk
memastikan bahwa kendala puas.
Metode Lagrange pada dasarnya mengubah masalah sebelumnya untuk menemukan
minimum atau maksimum ke solusi dari sistem aljabar persamaan, sehingga
memberikan skema yang nyaman untuk menentukan optimal. Itu fungsi tujuan dan
kendala digabungkan menjadi Y fungsi baru, yang dikenal sebagai ekspresi Lagrange
dan didefinisikan sebagai
dimana λ adalah parameter yang tidak diketahui, yang dikenal sebagai pengali Lagrange.
Kemudian, menurut metode ini, optimum terjadi pada solusi dari sistem persamaan
yang dibentuk oleh persamaan berikut:

of 27
Ketika pembedaan diterapkan pada ekspresi Lagrange, menemukan bahwa optimum
diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan berikut:
Jika U fungsi tujuan dan kendala Gi yang terus menerus dan terdiferensialkan,
sistem persamaan aljabar diperoleh. Karena ada persamaan m untuk kendala dan
persamaan tambahan n berasal dari ekspresi Lagrange, total m+ n persamaan simultan
diperoleh. Yang tidak diketahui adalah m pengganda, sesuai dengan kendala m, dan
variabel independen n. Oleh karena itu, sistem ini dapat diselesaikan untuk
mendapatkan nilai-nilai variabel independen, yang menentukan lokasi yang optimum,
serta multiplier. Analytical metode untuk memecahkan sistem persamaan aljabar dapat
digunakan jika persamaan linier diperoleh dan / atau ketika jumlah persamaan kecil,
biasanya sampai dengan sekitar lima. untuk nonlinear persamaan dan untuk set yang
lebih besar, metode numerik umumnya lebih tepat. Nilai optimum dari fungsi tujuan ini
kemudian ditentukan dengan menggantikan nilai-nilai yang diperoleh untuk variabel
independen terhadap ekspresi untuk U. optimum sering diwakili oleh tanda bintang,
yaitu, X1
*
, X2
*
, …. Xn
*
dan U*.
4. METODE LAGRANGE MULTIPLIER (MLM) OPTIMASI
TIDAK BERKENDALA

of 27
Mari mempertimbangkan masalah tak terbatas untuk dua variabel independen
x dan y. Kemudian metode pengali Lagrange menghasilkan lokasi optimal sebagai solusi
untuk persamaan
Gambar 2 Minimum dan Maksimum dalam masalah tidak berkendala ∇U = 0
Oleh karena itu, vektor gradien, yang normal dengan kontur U konstan, adalah
nol, menyiratkan bahwa tingkat perubahan U adalah nol sebagai salah satu bergerak
menjauh dari titik dimana persamaan ini puas. Ini menunjukkan titik stasioner, atau
ekstrem, seperti ditunjukkan secara kualitatif pada Gambar 2 untuk satu atau dua
variabel independen. Intinya mungkin minimum atau maksimum. Hal ini juga dapat
menjadi titik pelana, ridge, atau lembah (lihat Gambar 2). Informasi tambahan yang
diperlukan untuk menentukan sifat stasioner titik, seperti yang dibahas kemudian.
Karena Persamaan adalah persamaan vektor, masing-masing komponen dapat
ditetapkan sama dengan nol, sehingga menimbulkan dua persamaan berikut:
yang dapat diselesaikan untuk mendapatkan x dan y di optimal, dilambangkan sebagai
x* dan y*. Nilai U* optimal kemudian dihitung dari ekspresi untuk U. Jumlah persamaan
yang diperoleh adalah sama dengan jumlah variabel independen dan optimal dapat
ditentukan dengan memecahkan persamaan.
5. MLM UNTUK OPTIMASI BERKENDALA
The optimum untuk masalah dengan kendala tunggal diperoleh dengan
memecahkan persamaan

of 27
Gambar 3. Interpretasi fisik metode lagrange multiplier untuk dua variabel independen
dan kendala tunggal
Gradien vektor ∇U normal dengan kontur U konstan, sedangkan ∇G adalah vektor
normal terhadap kontur G konstan. Pengganda Lagrange hanya konstan. Oleh karena
itu, persamaan ini menyiratkan bahwa dua vektor gradien yang selaras, yaitu, keduanya
berada dalam garis lurus yang sama. Besaran dapat berbeda dan dapat disesuaikan
untuk memastikan bahwa Persamaan sesuai. Namun, jika dua vektor tidak berada
dalam garis yang sama, jumlah itu tidak boleh nol kecuali kedua vektor adalah nol. Hasil
ini ditunjukkan secara grafik pada Gambar 3 untuk minimum di U. Sebagai salah satu
bergerak di sepanjang kendala, yang diberikan oleh G-0, dalam rangka untuk
memastikan bahwa kendala puas, gradien ∇G bervariasi arah. Titik di mana menjadi
collinear dengan ∇U adalah optimal. Pada titik ini, dua kurva yang tangensial dan
dengan demikian menghasilkan nilai minimum U sementara memenuhi kendala.
Kurva U konstan di bawah kurva kendala tidak memenuhi kendala dan yang di
atas itu memberikan nilai U lebih besar dari optimum pada lokasi di mana mereka
bersinggungan dengan kurva kendala. Jelas, nilai U lebih kecil dari yang di yang optimal
ditunjukkan pada gambar bisa diperoleh jika ada kendala tidak ada, dalam hal
persamaan yang mengatur akan diperoleh dari Persamaan ∇U. Sebagai contoh,
mempertimbangkan U fungsi tujuan dalam bentuk
dengan bentuk kendala
Kendala ini dapat ditulis sebagai berikut untuk meletakkannya dalam bentuk yang
diberikan oleh Persamaan :

of 27
Berikut E, koefisien A dan B, dan eksponen a, b, c, dan d diasumsikan menjadi
konstanta yang diketahui. Ekspresi seperti yang sering ditemui dalam termal sistem.
Misalnya, U mungkin biaya keseluruhan dan x dan y pompa yang dibutuhkan dan
diameter pipa, masing-masing, dalam sistem aliran air. Tekanan menurun dengan
meningkatnya diameter, sehingga biaya lebih rendah untuk pompa, dan biaya untuk
meningkatkan pipa. Hal ini menimbulkan hubungan seperti Persamaan untuk E. Dengan
demikian, kontur U konstan dapat ditarik bersama dengan kurva kendala sebuah bidang
x - y, seperti sketsa pada Gambar 4 (a). Kemudian optimal ditunjukkan dengan lokasi di
mana kontur U konstan menjadi tangensial dengan kendala kurva, sehingga
menyelaraskan ∇U dan ∇G vektor. Untuk kasus sederhana ketika semua konstanta
dalam ekspresi kesatuan, yaitu, U = x+y dan G = xy - 1 = 0, U konstan kontur berupa
garis lurus dan kurva kendala diberikan oleh x = 1 / y, seperti sketsa pada Gambar 4
(b). Optimum adalah pada x* = 1,0 dan y* = 1,0, dan nilai U* optimum adalah 2,0 untuk
kasus ini.
Meskipun hanya dua variabel independen dianggap sini untuk kemudahan
visualisasi dan pemahaman fisik, ide-ide dasar dengan mudah dapat diperpanjang untuk
sejumlah besar variabel. Sistem persamaan yang harus diselesaikan untuk mendapatkan
optimal diberikan oleh persamaan skalar n berasal dari persamaan vektor
dan m kendala kesetaraan
untuk
Gambar 4. (a). Optimisasi masalah kendala sederhana dan (b) hasil dari semua
kendala diberikan oleh ekpresi adalah satu.

of 27
6. MASALAH DALAM OPTIMASI TIDAK BERKENDALA
Sebagian besar masalah yang dihadapi dalam optimasi desain sistem termal
terhambat karena prinsip-prinsip konservasi dan keterbatasan yang ditetapkan oleh
bahan yang digunakan peraturan ruang, tersedia, keselamatan dan lingkungan, dll
Namun, seringkali kendala yang digunakan untuk mendapatkan hubungan antara
berbeda desain variabel. Jika ini kemudian diganti menjadi ekspresi untuk
fungsi tujuan, masalah tak terbatas diperoleh karena kendala telah terpenuhi. Kadang-
kadang, dalam perumusan masalah optimasi sendiri, kendala bekerja untuk menurunkan
ekspresi yang tepat dan kendala tambahan tidak diperlukan. Dengan demikian, suatu
hasil masalah tak terbatas. Tentu saja, dalam beberapa kasus, tidak ada kendala yang
signifikan, dan masalah diperlakukan sebagai tak terbatas. Dengan demikian, masalah
optimasi tidak dibatasi adalah minat banyak sistem termal praktis dan proses.
Penggunaan Gradien Untuk Optimasi
Jika tidak ada kendala dalam masalah, optimal diberikan oleh solusi untuk
persamaan berikut vektor untuk U (x1, x2, x3, ..., xn):
Sekali lagi, mudah untuk memvisualisasikan vektor gradien jika hanya dua
atau tiga variabel terlibat, seperti yang terlihat di bagian sebelumnya. Namun,
konsep-konsep dasar yang sama dan dapat diperpanjang untuk setiap nomor
yang sesuai dari variabel. Semua komponen Persamaan vektor persamaan, ∇U,
harus nol agar vektor menjadi nol karena semua variabel diambil sebagai
independen satu sama lain. Oleh karena itu, optimal diperoleh dengan
memecahkan persamaan
Hal ini mirip dengan kondisi untuk titik stasioner diberikan oleh Persamaan
untuk variabel tunggal independen. Fungsi tujuan harus kontinu dan
terdiferensialkan fungsi dari variabel independen dalam masalah dan derivatif
harus kontinu.
Sistem persamaan diwakili oleh Persamaan dapat linear atau nonlinier,
persamaan nonlinier meskipun lebih sering ditemui untuk termal sistem dan
proses. Analisis matematis dapat digunakan dalam kasus-kasus sederhana untuk
mendapatkan solusi. Jika tidak, teknik numerik diperlukan. Metode ini sangat
berguna untuk sistem yang mungkin ditandai dengan ekspresi aljabar yang dapat
dengan mudah dibedakan. Situasi ini biasanya muncul dalam kasus-kasus di
mana curve fitting menghasilkan ekspresi seperti untuk karakteristik perilaku
sistem dan dalam sistem kecil, ideal, dan sederhana. Kendala diasumsikan absen
atau diurus dalam mengembangkan fungsi tujuan, seperti yang dibahas
kemudian. Kami sekarang mempertimbangkan menentukan apakah optimal
adalah minimum atau maksimum.

of 27
PENENTUAN MINIMUM ATAU MAKSIMUM
Dalam kebanyakan kasus, sifat fisik dari masalah akan menunjukkan
apakah
solusi yang diperoleh adalah maksimum, minimum, atau beberapa titik stasioner
lainnya. Sering, diketahui dari pengalaman bahwa minimal atau maksimal ada di
domain yang diberikan. Misalnya, hal itu dapat diketahui bahwa minimal dalam
energi Konsumsi akan timbul jika tekanan kompresor yang bervariasi atas
diterima rentang dalam sistem refrigerasi. Demikian pula, efisiensi termal
maksimum diharapkan jika kecepatan, dalam revolusi per menit, dari mesin diesel
adalah bervariasi. Namun, dengan tidak adanya informasi tersebut, analisis lebih
lanjut dapat dilakukan untuk menentukan karakteristik optimal.
Telah dikenal persamaan-persamaan memberikan kondisi untuk maksimum
dan minimum, masing-masing, untuk satu variabel bebas. Jika turunan kedua
adalah nol pada titik stasioner, terjadinya titik pelana, titik infleksi, ridge, atau
lembah. Kondisi serupa mungkin diturunkan untuk dua atau lebih variabel
independen. Untuk kasus dua independen variabel, x1 dan x2, dengan U (x1, x2)
dan pertama dua derivatif terus menerus, ini kondisi diberikan sebagai
dimana
Oleh karena itu, untuk dua variabel independen, optimal dapat diperoleh
dengan memecahkan ∂U/∂1 = ∂U /∂x2 = 0 dan menerapkan kondisi sebelumnya.
Meskipun mirip kondisi dapat diturunkan untuk sejumlah besar variabel, analisis
menjadi cukup terlibat. Oleh karena itu, dalam keadaan paling praktis, yang
melibatkan tiga atau lebih variabel independen, akan lebih mudah dan efisien
bergantung pada sifat fisik dari masalah untuk menentukan apakah maksimum
minimum atau memiliki telah diperoleh. Selain itu, variabel independen dapat
berubah sedikit dekat optimal untuk menentukan apakah nilai meningkat fungsi
objektif atau menurun. Jika nilai berkurang sebagai salah satu bergerak menjauh
dari optimal, maksimal diindikasikan, sedangkan jika itu meningkat, minimal telah
diperoleh.
CONTOH
Biaya per unit massa dari bahan yang diproses di fasilitas ekstrusi diberikan oleh
ekspresi

of 27
di mana T adalah temperatur berdimensi dari bahan yang diekstrusi, V adalah laju
aliran volume berdimensi, dan C mencakup modal dan biaya operasional.
Tentukan biaya minimum.
SOLUSI
Karena tidak ada kendala, pendekatan yang diberikan dalam bagian sebelumnya
mungkin diadopsi. Oleh karena itu, lokasi optimal diberikan oleh solusi
persamaan.
Karena baik T dan V adalah jumlah positif, memiliki
Persamaan ini memberikan V* = 1,6930 dan T* = 0,6182. Bila ini diganti dalam
ekspresi untuk C, diperoleh C* = 5,1763. Sekarang turunan kedua mungkin
diperoleh untuk memastikan sifat dari titik kritis. Dengan demikian,
Mensubstitusikan nilai-nilai dari V dan T pada titik stasioner, menghitung ini tiga
derivatif kedua sebagai 1,3544, 23,7023, dan 1,2364, masing-masing. ini
memberikan S = 30,57. Oleh karena itu, S = 0 dan ∂2
C /∂V2
= 0, menunjukkan
bahwa biaya minimum telah diperoleh.
Konversi Masalah Berkendala manjadi Masalah tidak Berkendala
Hal ini terbukti dari pembahasan sebelumnya bahwa optimasi dibatasi masalah
adalah jauh lebih mudah untuk memecahkan, dibandingkan dengan dibatasi sesua
salah, karena tidak diketahui jumlah lebih kecil dalam kasus mantan. Setiap
kendala memperkenalkan multiplier Lagrange sebagai diketahui dan persamaan
tambahan harus puas. Oleh karena itu, diinginkan untuk mengkonversi diberikan
dibatasi Masalah menjadi satu tak terbatas bila memungkinkan. Kendala mewakili
hubungan antara variabel independen berbagai yang harus dipenuhi. Jika
persamaan ini dapat digunakan untuk memperoleh ekspresi eksplisit untuk
beberapa variable dalam hal yang lain, ungkapan ini kemudian dapat
disubstitusikan ke dalam tujuan berfungsi untuk menghilangkan kendala dan
dengan demikian mengubah masalah ke tidak dibatasi satu. Bahkan jika semua
kendala tidak dapat dihilangkan, akan lebih bermanfaat untuk menghilangkan
sebanyak ini mungkin untuk mengurangi kompleksitas dari masalah. Persamaan
dapat digunakan untuk mengekspresikan y dalam x sebagai berikut

of 27
Mengganti ini nilai y ke Persamaan
Oleh karena itu, masalah tak terbatas diperoleh dengan U (x) sebagai fungsi
tujuan.Optimum ini diperoleh dengan mengatur ∂U/∂x = 0, yang menghasilkan
nilai x. Nilai y yang sesuai secara optimum diperoleh dari Persamaan y dan nilai
optimum U diperoleh dari Persamaan U. Sangat mudah untuk melihat bahwa x*
y* = 1,0 dan U* = 2.0 untuk kasus sederhana ketika semua konstanta dan
eksponen adalah kesatuan.
Dengan demikian, hal ini diinginkan untuk mengurangi jumlah kendala,
yang juga akan mengurangi jumlah variabel yang tidak diketahui dan pengganda
Lagrange, dengan menggunakan kendala persamaan untuk menemukan ekspresi
eksplisit berkaitan variabel. Contoh telah menggambarkan solusi dari masalah
terkendala dengan mengubahnya menjadi satu tak terkendala. Hal ini kemudian
dipecahkan sebagai masalah dibatasi untuk menunjukkan perbedaan antara dua
pendekatan.
7. MASALAH OPTIMASI BERKENDALA
Optimasi sistem termal yang paling diatur oleh kendala yang timbul karena
hukum konservasi dan keterbatasan yang ditetapkan oleh materi, ruang, biaya,
keamanan, dll Seperti yang telah dibahas sebelumnya, jumlah kendala kesetaraan harus
kurang dari jumlah variabel independen untuk optimasi menjadi mungkin. Jika jumlah
kendala sama dengan jumlah variabel, masalah hanya mungkin diselesaikan untuk
menghasilkan set variabel yang memenuhi kendala. Fleksibilitas ada tersedia untuk
memilih desain yang terbaik atau optimal.
Jika jumlah kendala lebih besar dari jumlah variabel, masalah ini overconstrained
dan beberapa dari kendala harus dibuang, mengakibatkan kesewenang-wenangan dan
nonuniqueness dalam solusi. Pertimbangan ini terbukti dari Persamaan, dimana Kondisi
m<n diperlukan untuk optimasi sistem. Jika m = n, kendala persamaan dapat digunakan
untuk mendapatkan solusi, dan jika m>n, masalah tersebut overconstrained, dan tidak
ada solusi yang mungkin kecuali m - n kendala yang dibuang. Mengingat masalah
optimisasi, yaitu, m<n, metode pengganda Lagrange dapat diterapkan untuk
menentukan desain yang optimal. Persamaan yang perlu dipecahkan diberikan oleh
Persamaan Persamaan dapat ditulis ulang di sini sebagai:
dimana ∇ U dan ∇ Gi adalah vektor gradien, yang dapat diperluas dalam hal variabel
independen n. Oleh karena itu, m + n persamaan diperoleh untuk n variabel independen
dan pengganda m.

of 27
Persamaan dapat linear atau nonlinear, dan mungkin melibatkan polinomial atau
fungsi transendental seperti eksponensial, fungsi logaritma, dan hiperbolik. Analytical
metode mungkin digunakan untuk kasus-kasus yang relatif sederhana dengan sejumlah
kecil persamaan. Teknik numerik, dapat digunakan untuk keadaan lebih rumit, yang
biasanya timbul ketika berhadapan dengan sistem termal praktis. Jika hanya ada satu
kendala, G = 0, Hanya satu Pengali Lagrange λ muncul dan ditentukan dari solusi yang
dihasilkan n + 1 persamaan. Perhatikan, misalnya, masalah optimasi sederhana yang
diberikan oleh:
Kemudian, metode Lagrange menghasilkan persamaan berikut:
Hal ini dapat menunjukkan bahwa jika salah satu atau x1 x2 bervariasi dari nilai optimal,
sekaligus memastikan bahwa kendala puas, U fungsi tujuan meningkat. Oleh karena itu,
yang optimum yang diperoleh adalah minimum di U. Dalam kasus sederhana, turunan
kedua juga dapat diturunkan untuk mengkonfirmasi bahwa minimal di U telah diperoleh.
Itu Koefisien sensitivitas Sc = - λ = 2,027. Hal ini memberi efek santai kendala pada nilai
optimum U. Sebagai contoh, jika x1x2 = 13, bukan 12, U* dapat dihitung menjadi
38,493, naik dari 2,0. Perbedaan kecil dalam perubahan di U* dari nilai yang dihitung
dari Sc adalah hasil dari persamaan nonlinear yang membuat Sc fungsi dari x1 dan tidak
konstan. Contoh berikut menggambarkan hal ini untuk masalah tangki dianggap
sebelumnya. Memecahkan masalah tangki diberikan sebagai masalah optimasi dibatasi.
Solusi Fungsi tujuan adalah Sebuah wilayah, yang harus diminimalkan, dan kendala
adalah volume V. Dengan demikian, masalah optimasi dapat ditulis sebagai:
Pemecahan ketiga menghasilkan persamaan
Untuk V = 2 m3: r* = 0,683 m, h* = 1,366 m, A* = 8,793 m2, λ = -2,928. Nilai-nilai ini
sama dengan yang diperoleh sebelumnya dengan mengubah satu masalah ke tak
terbatas. Sekali lagi, hal itu dapat dikonfirmasikan bahwa minimal di daerah telah
diperoleh.
Koefisien sensitivitas Sc, yang sama dengan - λ, diperoleh sebagai tambahan Informasi.
Mari berasumsi bahwa kendala pada volume diperlonggar dari 2,0 ke 2.1. Kemudian,
dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa r* = 0,694 m dan A* = 9,078 m2. Oleh karena
itu,∂A /∂V = (9,078-8,793) / 0,1 = 2,85, yang dekat dengan koefisien Sc sensitivitas,

of 27
yang diberikan oleh - λ dan, dengan demikian, sama dengan 2,928 pada titik optimum.
Sekali lagi, perbedaan sedikit antara Sc dan ∂A /∂V adalah karena ketergantungan
pada variabel.
Beberapa kendala
Seperti pada satu kendala, alasan yang sama berlaku. Jika dua atau lebih kendala
aktif bersama-sama, masing-masing memberikan kontribusi arah kendala yang akan
melanggarnya. Bersama-sama, "arah penyimpangan" membentuk "ruang
penyimpangan", di mana gerakan kecil dalam segala arah dalam ruang akan
melanggar satu atau lebih kendala. Dengan demikian, untuk memenuhi beberapa
kendala bisa dinyatakakan (menggunakan terminologi baru) bahwa pada titik
stasioner, bahwa arah perubahan f adalah dalam "ruang penyimpangan" yang
diciptakan oleh kendala bertindak bersama-sama.
Ruang penyimpangan diciptakan oleh kendala terdiri dari semua poin yang dapat
dicapai dengan menambahkan kombinasi linear dari vektor arah penyimpangan-
dengan kata lain, semua poin yang "terjangkau" ketika menggunakan arah
penyimpangan individu sebagai dasar ruang . Dengan demikian, dapat secara singkat
dinyatakan bahwa v berada dalam ruang didefinisikan oleh jika dan
hanya jika terdapat satu set "pengganda" sedemikian rupa sehingga:
yang bagi, kami menerjemahkan tujuan untuk menyatakan bahwa arah yang berubah
f pada p adalah di "ruang penyimpangan" didefinisikan oleh kendala
jika dan hanya jika:
Seperti sebelumnya, sekarang menambahkan persamaan simultan untuk menjamin
bahwa hanya melakukan tes ini ketika berada pada titik yang memenuhi setiap
kendala, berakhir dengan persamaan simultan bahwa ketika dipecahkan,
mengidentifikasi semua titik stasioner terbatas:
Metode selesai sekarang (dari sudut pandang pemecahan masalah menemukan titik
stasioner) tetapi sebagai matematikawan senang dalam melakukan, persamaan
dapat lebih kental ke dalam bentuk yang lebih elegan dan ringkas. Lagrange harus
cerdik menyadari bahwa persamaan di atas terlihat seperti derivatif parsial dari

of 27
beberapa fungsi skalar L besar yang mengambil semua dan semua
sebagai masukan. Selanjutnya, ia kemudian mungkin telah
memperhatikan bahwa pengaturan setiap persamaan sama dengan nol adalah
persis apa yang harus dilakukan untuk memecahkan titik stasioner tak terbatas dari
fungsi yang lebih besar. Akhirnya, ia menunjukkan bahwa L fungsi yang lebih besar
dengan derivatif parsial yang persis yang dibutuhkan dapat dibangun sangat
sederhana sebagai berikut:
Memecahkan persamaan di atas untuk poin tak terbatas yang stasioner menghasilkan
persis titik stasioner sama dengan pemecahan untuk titik stasioner dibatasi dari f di
bawah kendala .
Untuk menghormati Lagrange, fungsi di atas disebut Lagrangian, skalar
disebut Lagrange Multipliers dan metode optimasi sendiri disebut
Metode pengali Lagrange.
Metode Lagrange adalah umum oleh kondisi Karush-Kuhn-Tucker, yang juga dapat
mempertimbangkan kendala ketimpangan bentuk h (x) ≤ c.
Interpretasi pengganda Lagrange
Seringkali pengganda Lagrange memiliki tafsir karena beberapa kuantitas menarik.
Misalnya, jika ekspresi adalah Lagrangian
kemudian
Jadi, λk adalah laju perubahan kuantitas yang dioptimalkan sebagai fungsi dari
variabel kendala. Sebagai contoh, dalam mekanika Lagrangian persamaan gerak yang
diperoleh dengan mencari titik stasioner dari tindakan , waktu integral dari perbedaan
antara energi kinetik dan potensial. Dengan demikian, gaya pada partikel karena
potensi skalar, , Dapat diartikan sebagai pengali Lagrange menentukan
perubahan dalam tindakan (transfer potensial menjadi energi kinetik) setelah variasi
dalam lintasan partikel dibatasi. Dalam teori kontrol ini dirumuskan bukan sebagai
persamaan costate.
Selain itu, dengan teorema amplop nilai optimal dari multiplier Lagrange memiliki
interpretasi sebagai efek marginal dari kendala yang sesuai konstan pada nilai dicapai
optimal dari fungsi tujuan aslinya: jika dapat menunjukkan nilai di optimum dengan
tanda bintang, maka dapat ditunjukkan bahwa

of 27
Misalnya, di bidang ekonomi keuntungan optimal untuk pemain dihitung tunduk pada
ruang dibatasi tindakan, di mana pengali Lagrange adalah perubahan nilai optimal dari
fungsi tujuan karena relaksasi dari kendala tertentu (misalnya melalui perubahan
Pendapatan), dalam konteks seperti adalah biaya marjinal dari kendala tersebut,
dan disebut sebagai harga bayangan .
Contoh 1
Gambar. 5. Ilustrasi dari masalah optimasi dibatasi
Misalkan ingin memaksimalkan tunduk pada kendala .
Set layak adalah lingkaran satuan, dan tingkat set dari f adalah garis diagonal
(dengan kemiringan -1), sehingga dapat melihat grafis yang maksimum terjadi pada
, Dan bahwa minimum terjadi pada .
Menggunakan metode pengganda Lagrange, kami telah ,
Maka
.
Mengatur gradien hasil sistem persamaan
di mana persamaan terakhir adalah kendala asli.
Dua yang pertama persamaan hasil dan , Di mana
. Mensubstitusikan ke hasil persamaan terakhir , Sehingga

of 27
, Yang berarti bahwa titik stasioner yang dan
. Mengevaluasi fungsi f obyektif tersebut menghasilkan poin
sehingga maksimum adalah , Yang dicapai pada , Dan minimum
adalah , Yang dicapai pada .
Contoh 2
Gambar. 6. Ilustrasi dari masalah optimasi dibatasi
Misalkan ingin mencari nilai maksimum
dengan kondisi bahwa x dan y koordinat terletak pada lingkaran di sekitar asal dengan
jari-jari, √ 3 yaitu, tunduk pada kendala
Karena hanya ada satu kendala tunggal, akan menggunakan hanya satu multiplier,
katakanlah λ.
Kendala g (x, y) -3 sama dengan nol pada lingkaran dengan jari-jari √ 3. Jadi apapun
-3 beberapa g (x, y) dapat ditambahkan ke f (x, y) meninggalkan f (x, y) tidak
berubah di daerah bunga (di atas lingkaran di mana kendala asli kami puas). Mari
Yang penting nilai-nilai terjadi di mana gradien adalah nol. Derivatif parsial

of 27
Persamaan (iii) hanya kendala aslinya. Persamaan (i) menyiratkan atau λ = -
y. Dalam kasus pertama, jika x = 0 maka harus memiliki oleh (iii) dan
kemudian oleh (ii) λ = 0. Dalam kasus kedua, jika λ = - y dan menggantikannya ke
dalam persamaan (ii) didapati bahwa,
Kemudian x 2
= 2 y 2.
Mensubstitusikan ke dalam persamaan (iii) dan memecahkan
untuk y memberikan ini nilai y:
Jadi ada enam poin penting:
Mengevaluasi tujuan pada titik-titik, ditemukan
Oleh karena itu, fungsi tujuan mencapai yang maksimum global (tunduk pada
batasan) pada dan minimum global di Intinya adalah
minimum lokal dan adalah sebuah maksimum lokal , sebagaimana
ditentukan oleh pertimbangan matriks Hessian dari .
Perhatikan bahwa sementara adalah titik kritis , Itu bukan titik ekstrem
lokal. Kami memiliki . Mengingat
setiap lingkungan , Dapat memilih positif kecil dan kecil dari salah
satu tanda untuk mendapatkan nilai baik besar dan kurang dari .
8.OPTIMASI DENGAN KENDALA KETIMPANGAN:
KONDISI KUHN-TUCKER
Banyak model di bidang ekonomi secara alami dirumuskan sebagai masalah optimasi
dengan kendala ketimpangan.
Perhatikan, misalnya, masalah pilihan konsumen. Tidak ada alasan untuk bersikeras
bahwa konsumen menghabiskan semua kekayaannya. Untuk memungkinkan dia
untuk tidak menghabiskan semuanya, dapat dirumuskan masalah optimasi nya
dengan kendala ketimpangan:
max x u (x) tunduk p x ≤ w dan x ≥ 0.

of 27
Tergantung pada karakter u fungsi dan nilai-nilai p dan w, mungkin memiliki p x <w
atau p x = w pada solusi dari masalah ini.
Salah satu pendekatan untuk memecahkan masalah ini dimulai dengan menentukan
mana dari kedua kondisi memegang sebuah solusi. Dalam masalah yang lebih
kompleks, dengan lebih dari satu kendala, pendekatan ini tidak bekerja dengan baik.
Perhatikan, misalnya, seorang konsumen yang menghadapi dua kendala (mungkin
uang dan waktu). Tiga contoh yang ditampilkan pada gambar 7 berikut, yang harus
meyakinkan Anda bahwa tidak dapat menyimpulkan dari sifat sederhana u sendiri
yang dari kendala, jika ada, sesuai dengan kesetaraan di solusi.
Pertimbangkan masalah bentuk berikut
max x f (x) tunduk g j (x) ≤ c j untuk j = 1, ..., m,
dimana f dan g j untuk j = 1, ..., m adalah fungsi dari variabel n, x = (x 1, ..., x n), dan
c j untuk j = 1, ..., m adalah konstanta .
Semua masalah yang telah dipelajari sejauh dapat dimasukkan ke dalam bentuk ini.
Kendala Kesetaraan
Dapat diperkenalkan kendala ketidaksetaraan dua untuk setiap kendala kesetaraan.
Misalnya, masalah
max x f (x) tunduk h (x) = 0
dapat ditulis sebagai
max x f (x) tunduk h (x) ≤ 0 dan - h (x) ≤ 0.
Kendala Nonnegativity
Untuk masalah dengan kendala x k ≥ 0 misalkan g j (x) = - x k dan c j = 0 untuk
beberapa j.
Masalah Minimisasi

of 27
Untuk masalah minimisasi diperoleh dengan mengalikan fungsi obyektif dengan -1:
min x h (x) tunduk g j (x) ≤ c j untuk j = 1, ..., m
adalah sama dengan
max x f (x) tunduk g j (x) ≤ c j untuk j = 1, ..., m,
dimana f (x) = - h (x).
Untuk mulai berpikir tentang bagaimana memecahkan masalah umum, pertama
mempertimbangkan kasus dengan kendala tunggal (m = 1). Dapat ditulis seperti
masalah sebagai berikut
max x f (x) tunduk pada g (x) ≤ c.
Ada dua kemungkinan solusi dari masalah ini. Pada gambar berikut, kurva tertutup
hitam kontur f, nilai peningkatan fungsi dalam arah yang ditunjukkan oleh panah biru.
Garis miring ke bawah merah adalah himpunan titik-titik x memuaskan g (x) = c,
himpunan poin x memuaskan g (x) ≤ c terletak di bawah dan kiri dari garis, dan
mereka g memuaskan (x) ≥ c terletak di atas dan di sebelah kanan baris.
Dalam setiap panel solusi dari masalah adalah titik x*. Pada panel sebelah kiri kendala
mengikat pada solusi: perubahan dalam c mengubah solusi. Pada panel sebelah
kanan, kendala yang kendur di solusinya: perubahan kecil dalam c tidak berpengaruh
pada solusi.
Seperti sebelumnya , menentukan fungsi Lagrangian L oleh
L (x) = f (x) - λ (g (x) - c).
Kemudian dari analisis kami sebelumnya masalah dengan kendala kesetaraan dan
tanpa kendala,
 jika g (x*) = c (seperti dalam panel kiri) dan kendala memenuhi kondisi
keteraturan, kemudian 'Li (x*) = 0 untuk semua i
 jika g (x*) <c (seperti dalam panel kanan), maka f i '(x*) = 0 untuk semua i.
Sekarang, saya menyatakan bahwa dalam kasus pertama (yaitu, jika g (x*) = c)
dengan memiliki λ ≥ 0. Misalkan, sebaliknya, yang λ <0. Kemudian diketahui bahwa
penurunan kecil di c meningkatkan nilai maksimal f. Artinya, bergerak x* dalam
kendala meningkatkan nilai f, bertentangan dengan fakta bahwa x* adalah solusi dari
masalah.

of 27
Dalam kasus kedua, nilai λ tidak memasuki kondisi, sehingga dapat memilih nilai
untuk itu. Mengingat interpretasi λ, pengaturan λ = 0 masuk akal. Dengan asumsi ini
memiliki fi'(x) = L'i (x) untuk semua x, sehingga L'i (x*) = 0 untuk semua i.
Jadi dalam kedua kasus kami memiliki L'i (x*) = 0 untuk semua i, λ ≥ 0, dan g (x*) ≤
c. Dalam kasus pertama memiliki g (x*) = c dan dalam kasus kedua λ = 0.
Selanjutnya dapat menggabungkan dua kasus dengan menulis kondisi sebagai berikut
Li'(x*) = 0 untuk j = 1, ..., n
λ ≥ 0, g (x*) ≤ c, dan baik λ = 0 atau g (x*) - c = 0.
Sekarang, produk dari dua angka adalah nol jika dan hanya jika setidaknya salah satu
dari mereka adalah nol, jadi alternatif bisa menulis kondisi sebagai
L i '(x*) = 0 untuk j = 1, ..., n
λ ≥ 0, g (x*) ≤ c, dan λ [g (x*) - c] = 0.
Argumen diberikan menunjukkan bahwa jika x* memecahkan masalah dan yang
memenuhi kendala kondisi keteraturan, maka x* harus memenuhi kondisi ini.
Perhatikan bahwa kondisi tidak mengesampingkan kemungkinan bahwa kedua λ = 0
dan g (x*) = c.
Ketidaksetaraan λ ≥ 0 dan g (x*) ≤ c disebut kondisi kelambanan komplementer;
paling banyak satu dari kondisi ini adalah slack (yaitu tidak kesetaraan suatu).
Untuk masalah dengan banyak kendala, maka seperti sebelumnya kami
memperkenalkan satu multiplier untuk kendala masing-masing dan mendapatkan
Kuhn-Tucker kondisi, didefinisikan sebagai berikut.
Definisi
Kondisi Kuhn-Tucker untuk masalah
max x f (x) tunduk g j (x) ≤ c j untuk j = 1, ..., m
adalah
L i '(x) = 0 untuk i = 1, ..., n
λ j ≥ 0, j g (x) ≤ c j dan λ j [g j (x) - c j] = 0 untuk j = 1, ..., m,
dimana
L (x) = f (x) - Σ j = 1
m
λ j (j g (x) - c j).
Kondisi ini dinamai untuk menghormati Harold W. Kuhn, seorang anggota emeritus
dari Princeton Matematika Departemen, dan Albert W. Tucker , yang pertama kali
merumuskan dan mempelajari kondisi.
Dalam bagian berikut saya mendiskusikan hasil yang menentukan hubungan yang
tepat antara solusi dari Kuhn-Tucker kondisi dan solusi dari masalah. Contoh berikut
menggambarkan bentuk kondisi dalam kasus tertentu.
Contoh

of 27
Pertimbangkan masalah
max x 1, x 2 [- (x 1 - 4) 2
- (x 2 - 4) 2]
tunduk x 1 + x 2 ≤ 4 dan 3 x 1 + x 2 ≤ 9,
diilustrasikan dalam gambar berikut.
Kami memiliki
L (x 1, x 2) = - (x 1 - 4) 2
- (x 2 - 4) 2
- λ 1 (x 1 + x 2 - 4) - λ 2 (3 x 1 + x 2 - 9) .
Kondisi Kuhn-Tucker
-2 (X 1 - 4) - λ 1 - 2 3λ = 0
-2 (X 2 - 4) - λ 1 - λ 2 = 0
x 1 + x 2 ≤ 4, λ 1 ≥ 0, dan λ 1 (x 1 + x 2 - 4) = 0
3 x 1 + x 2 ≤ 9, λ 2 ≥ 0, dan λ 2 (3 x 1 + x 2 - 9) = 0.
Masalah optimasi Nonlinear
Pertimbangkan hal berikut masalah optimasi nonlinear:
di mana x adalah variabel optimasi, adalah tujuan atau fungsi biaya,
adalah ketidaksamaan kendala fungsi, dan
adalah fungsi kesetaraan kendala. Jumlah ketidaksetaraan dan kendala kesetaraan
dilambangkan m dan l, masing-masing.
Kondisi Perlu
Misalkan bahwa fungsi tujuan dan fungsi kendala dan
yang terus differentiable pada suatu titik . Jika adalah suatu
minimum lokal yang memenuhi beberapa kondisi keteraturan (lihat di bawah), maka

of 27
terdapat konstanta dan , Disebut pengganda
KKT, sehingga
Stasioneritas
Kelayakan Primal
Kelayakan Ganda
Pelengkap kelambanan (Complementary slackness)
Dalam kasus tertentu , Yaitu, jika tidak ada kendala ketimpangan, kondisi KKT
berubah menjadi kondisi Lagrange, dan pengganda KKT disebut Lagrange .
Kondisi Keteraturan (atau kualifikasi kendala)
Agar titik minimum untuk memenuhi kondisi KKT di atas, harus memenuhi
beberapa kondisi keteraturan, yang paling banyak digunakan tercantum di bawah ini:
 Linearitas kendala kualifikasi : Jika dan adalah fungsi affine, maka tidak
ada kondisi lain yang diperlukan.
 Kemerdekaan kendala linier kualifikasi (licq): gradien dari kendala ketimpangan
aktif dan gradien dari kendala kesetaraan yang linear di .
 Mangasarian-Fromovitz kendala kualifikasi (MFCQ): gradien dari kendala
ketimpangan aktif dan gradien dari kendala kesetaraan positif-linear
independen pada .
 Peringkat Konstan kendala kualifikasi (CRCQ): untuk setiap subset dari gradien
dari kendala ketimpangan aktif dan gradien dari kendala kesetaraan pangkat di
sekitar adalah konstan.
 Ketergantungan konstanta positif kualifikasi kendala linear (CPLD): untuk setiap
subset dari gradien dari kendala ketimpangan aktif dan gradien dari kendala
kesetaraan, jika hasilnya positif-linear bergantung pada maka positif-linear
bergantung pada sekitar .
 Kuasi-normalitas kendala kualifikasi (QNCQ): jika gradien dari kendala
ketimpangan aktif dan gradien dari kendala kesetaraan positif-linear
independen pada dengan pengganda terkait untuk kesetaraan dan
untuk ketidaksetaraan, maka tidak ada urutan sehingga
dan .
 Kondisi Slater : untuk masalah cembung, terdapat titik sehingga
dan untuk semua aktif dalam .

of 27
( ) Adalah positif-linear tergantung jika ada tidak
semua nol sehingga .
Hal ini dapat ditunjukkan bahwa licq ⇒ MFCQ ⇒ CPLD ⇒ QNCQ, licq ⇒ CRCQ ⇒ CPLD ⇒
QNCQ (dan converses yang tidak benar), meskipun MFCQ tidak setara dengan CRCQ.
Dalam prakteknya kualifikasi kendala lemah lebih disukai karena mereka memberikan
kondisi optimalitas kuat.
Kondisi Cukup
Dalam beberapa kasus, kondisi yang diperlukan juga cukup untuk optimalitas. Secara
umum, kondisi yang diperlukan tidak cukup untuk optimalitas dan informasi tambahan
yang diperlukan, seperti Kondisi Orde Kedua Cukup (SOSC). Untuk fungsi mulus,
SOSC melibatkan derivatif kedua, yang menjelaskan namanya.
Kondisi yang diperlukan adalah cukup untuk optimalitas jika fungsi tujuan dan
kendala ketimpangan dapat didiferensiasi secara kontinu fungsi cembung dan
kendala kesetaraan adalah fungsi affine .
Hal ini ditunjukkan oleh Martin pada tahun 1985 bahwa kelas yang lebih luas dari
fungsi di mana kondisi KKT menjamin optimalitas global disebut Tipe 1 fungsi Invex
.
Ekonomi
Seringkali dalam matematika ekonomi pendekatan KKT digunakan dalam model
teoritis untuk memperoleh hasil kualitatif. Sebagai contoh, pertimbangkan sebuah
perusahaan yang memaksimalkan subjek penjualan untuk kendala keuntungan
minimum. Membiarkan Q menjadi kuantitas output yang dihasilkan (untuk dipilih), R
(Q) akan penjualan dengan turunan pertama positif dan dengan nilai nol nol output, C
(Q) menjadi biaya produksi dengan turunan pertama positif dan dengan non-negatif
nilai nol pada output, dan menjadi tingkat yang dapat diterima positif minimal
keuntungan , maka masalahnya adalah satu bermakna jika tingkat fungsi pendapatan
off sehingga akhirnya kurang curam daripada fungsi biaya. Masalah dinyatakan dalam
bentuk minimisasi sebelumnya diberikan adalah
Memperkecil tunduk dan
dan kondisi KKT yang

of 27
Karena Q = 0 akan melanggar kendala keuntungan minimum, kami telah Q> 0 dan
karenanya kondisi ketiga menyiratkan bahwa kondisi pertama memegang dengan
kesetaraan. Memecahkan kesetaraan yang memberikan
Karena itu mengingat bahwa dan secara ketat positif,
ketidaksetaraan ini bersama dengan kondisi non-negatif pada jaminan bahwa
adalah positif dan sehingga perusahaan pendapatan memaksimalkan beroperasi pada
tingkat output di mana penerimaan marjinal kurang dari biaya marjinal
- Hasil yang menarik karena kontras dengan perilaku memaksimalkan
keuntungan perusahaan, yang beroperasi pada tingkat di mana mereka adalah sama.
Fungsi Nilai
Jika kembali ke masalah optimasi sebagai masalah maksimisasi dengan kendala
ketimpangan konstan,
Fungsi nilai didefinisikan sebagai
(Jadi domain V adalah )
Mengingat definisi ini, koefisien masing-masing, , Adalah tingkat di mana fungsi
nilai meningkat sebagai meningkat. Jadi jika masing-masing ditafsirkan sebagai
kendala sumber daya, koefisien memberitahu Anda berapa banyak meningkatkan
sumber daya akan meningkatkan nilai optimum dari fungsi f kami. Penafsiran ini
sangat penting di bidang ekonomi dan digunakan, misalnya, dalam masalah
maksimalisasi utilitas .

of 27
REFERENSI
Edgar, T F. And DM Himmelblau. 2001. Optimization Of Chemical Processes, Second
Edition. Mcgraw-Hill. New York.
Jaluria, Yogesh. 2008. Design and optimization of thermal systems 2nd ed. CRC Press.
USA
Jelen, FC. 1985. Cost and Optimization Engineering. Second edition. McGraw-Hill. New
York.
http://www.economics.utoronto.ca/osborne/MathTutorial/MEN.HTM#Lagrangean
http://www.economics.utoronto.ca/osborne/index.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Karush–Kuhn–Tucker conditions
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multiplier.htm. 22 October 2012
PROPAGASI
1. Tugas (Evaluasi mandiri)
1. Gunakan Pengali Lagrange untuk menyelesaikan :
2. Tangki silinder dirancang untuk menyimpan air hangat dari system kolektor
surya. Volume diberikan adalah 2 m3 dan luas permukaan diminimalkan untuk
meminimasi kelhilangan panas ke sekeliling. Selesaikan maslah optimasi ini
dengan keadaan tidak berkendala.
3. Gunakan syarat Kunh-Tucker :
Min f(x, y) = 2x2
+ xy + 2y2
– 8x - 6y
Kendala 2x + y ≤ 1
-x +2y ≤ 4
x ≥ 0
y ≥ 0
1
868432
21
2121
2
2
2
1


xxKendala
xxxxxxMin

of 27
A. QUIZ - (Evaluasi)
B. PROYEK (Eksplorasi entrepreneurship, penerapan topic bahasan pada dunia nyata)

3 lagrange-multipliers

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 3 lagrange-multipliers

Similar to 3 lagrange-multipliers (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

3 lagrange-multipliers