1. ใบความรู้ที่ 7/1
เรื่อง อินเวอร์ และกราฟอินเวอร์ สของความสัมพันธ์
ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 7
อินเวอร์ สและกราฟอินเวอร์ สของความสัมพันธ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์ คือ ความสัมพันธ์ใหม่ที่เกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหน้า
และสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อนดับของความสัมพันธ์ที่กาหนดให้
ั
อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ r-1
โดยที่ r 1  {( y, x) | ( x, y)  r}
หรื อ r 1  {( x, y) | ( y, x)  r}
ตัวอย่างที่ 1 ให้ r เป็ นความสัมพันธ์ จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r
ก. r1 = {(1,a),(2,b),(3,c)}
ข. r2 = {(2,2),(3,4),(3,5),(3,6)}
วิธีทา จาก ก. r1 = {(1,a),(2,b),(3,c)}
ดังนั้น r1-1 = {(a,1),(b,2),(c,3)}
จาก ข. r2 = {(2,2),(3,4),(3,5),(3,6)}
ดังนั้น r2-1 = {(2,2),(4,3),(5,3),(6,3)}
ตัวอย่างที่ 2 ให้ r  {(x, y)  R  R | y  2x  1} จงหาอินเวอร์สของ r
กรณี ที่ 1 สลับที่ระหว่าง x กับ y ที่เงื่อนไข
จะได้ r 1  {( x, y)  R  R | x  2 y  1}
x 1
 {( x, y)  R  R | y  }
2
กรณี ที่ 2 สลับที่ระหว่าง x กับ y ที่ค่อนดับ ซึ่งเป็ นสมาชิกของเซต
ู ั
จะได้ r 1  {( y, x)  R  R | y  2 x  1}
หมายเหตุ ในการเขียนอินเวอร์สของความสัมพันธ์ นิยมสลับที่ระหว่าง x กับ y ที่เงื่อนไข
ตามกรณี ท่ี 1

2. ตัวอย่างที่ 3 ให้ r  {(x, y)  A  B | y  5  2x} จงหาอินเวอร์สของ r
กรณี ที่ 1 สลับที่ระหว่าง x กับ y ที่เงื่อนไข
จะได้ r 1  {( x, y)  A  B | x  5  2 y}
5 x
หรื อ r 1  {( x, y)  A  B | y  }
2
กรณี ที่ 2 สลับที่ระหว่าง x กับ y ที่ค่อนดับ ซึ่งเป็ นสมาชิกของเซต
ู ั
จะได้ r 1  {( y, x)  B  A | y  5  2 x}
ข้ อสังเกต ตัวอย่างที่ 3 กรณี ที่ 2 สลับที่ค่อนดับ (
ู ั x,y) เป็ น (y,x) ที่เป็ นสมาชิกของเซต AB
ต้องสลับที่เป็ นเซต B A

3. ใบงานที่ 7/1
เรื่อง อินเวอร์ สและกราฟอินเวอร์ สของความสัมพันธ์
ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 7
คาชี้แจง กาหนดความสัมพันธ์ r ต่อไปนี้ จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์
ความสัมพันธ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์
1. r = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}
2. r = {(1,1),(2,2),(3,3)}
3. r = {(0,1),(0,2),(0,3),(0,4)}
4. r = {(x,y)RR| y = 3x+7} กรณี ที่ 1
กรณี ที่ 2
5. r = {(x,y)|2x+y = 3} กรณี ที่ 1
กรณี ที่ 2
6. r = {(x,y)AB|x-3y = 6} กรณี ที่ 1
กรณี ที่ 2
ชื่อกลุ่ม .......................................................................................
1. ชื่อนักเรี ยน..................................................................ชั้น.........................เลขที่...........................
2. ชื่อนักเรี ยน..................................................................ชั้น.........................เลขที่...........................
3. ชื่อนักเรี ยน..................................................................ชั้น.........................เลขที่...........................
4. ชื่อนักเรี ยน..................................................................ชั้น.........................เลขที่...........................
5. ชื่อนักเรี ยน..................................................................ชั้น.........................เลขที่...........................
คะแนนที่ได้...................................คะแนน

4. เฉลยใบงานที่ 7/1
เรื่อง อินเวอร์ สและกราฟอินเวอร์ สของความสัมพันธ์
ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 7
คาชี้แจง กาหนดความสัมพันธ์ r ต่อไปนี้ จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์
ความสัมพันธ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์
1. r = {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)} r-1 = {(2, 1), (4, 3), (6, 5), (8, 7)}
2. r = {(1,1),(2,2),(3,3)} r-1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)
3. r = {(0,1),(0,2),(0,3),(0,4)} r-1 = {(1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0)}
4. r = {(x,y)RR| y = 3x+7} กรณี ที่ 1 r-1 = {(x, y) RR| y  x  7}
3
กรณี ที่ 2 r = {(y, x) RR| y  3x  7}
-1
5. r = {(x,y)|2x+y = 3} กรณี ที่ 1 r-1 = {(x, y) RR| x  2 y  3}
กรณี ที่ 2 r-1 = {(y, x) RR| 2 x  y  3}
6. r = {(x,y)AB|x-3y = 6} กรณี ที่ 1 r-1 = {(x, y) AB|  3x  y  6}
กรณี ที่ 2 r-1 = {(y, x)BA| x  3 y  6}
ชื่อกลุ่ม .......................................................................................
1. ชื่อนักเรี ยน..................................................................ชั้น.........................เลขที่...........................
2. ชื่อนักเรี ยน..................................................................ชั้น.........................เลขที่...........................
3. ชื่อนักเรี ยน..................................................................ชั้น.........................เลขที่...........................
4. ชื่อนักเรี ยน..................................................................ชั้น.........................เลขที่...........................
5. ชื่อนักเรี ยน..................................................................ชั้น.........................เลขที่...........................
คะแนนที่ได้...................................คะแนน

5. ใบความรู้ที่ 7/2
เรื่อง อินเวอร์ สและกราฟอินเวอร์ สของความสัมพันธ์
ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 7
กราฟอินเวอร์ สของความสัมพันธ์
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ r และ r-1 ลงบนแกนเดียวกัน
r = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)}
วิธีทา จาก r = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)}
ดังนั้น r -1 = {(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(3,2),(4,2)} กราฟเป็ นจุด
Y y=x
r
r-1
X
เมื่อพับเส้นตรง y = x แล้วกราฟของ r กับ r-1 จะทับกันสนิท เรี ยกเส้นตรง y = x ว่า
แกนสมมาตรของกราฟ r กับ r-1
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของ r กับ r-1 ลงบนแกนคู่เดียวกัน เมื่อกาหนด
r  ( x, y) | y  2 x  1
Y r y=x
r-1
(-1,0)
X
(0,-1)

6. หาคู่อนดับที่สอดคล้องกับ r จะได้ว่า (2,3) และ (0,-1) r แล้วลากเส้นตรงผ่าน 2 จุดนี้
ั
ดังนั้น (3,2) และ (-1,0) r-1 แล้วลากเส้นตรงผ่าน 2 จุดนี้ เช่นกัน
จะได้กราฟของ r และ r-1 ตามต้องการ
หมายเหตุ เมื่อเขียนกราฟของ r และ r-1 ลงบนแกนคู่เดียวกัน เส้นตรง y = x จะเป็ นแกน
สมมาตรของกราฟทั้งสอง
ตัวอย่าง 3 กาหนดกราฟของ r ดังรู ป จงเขียนกราฟ r-1 ลงบนแกนคู่เดียวกัน
1. r Y 2. Y
r
X X
Y Y
วิธีทา 1. r 2.
r
X X
r-1
r-1

7. ใบงานที่ 7/2
เรื่อง อินเวอร์ สและกราฟอินเวอร์ สของความสัมพันธ์
ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 7
คาชี้แจง กาหนดกราฟของความสัมพันธ์ จงเขียนกราฟอินเวอร์สของความสัมพันธ์ลงบนแกนคู่
เดียวกัน และเขียนแกนสมมาตร Y
1. r Y 2. r
X
X
Y Y
3. r 4. 3
r
1
X X
ชื่อกลุ่ม .......................................................................................
1. ชื่อนักเรี ยน..................................................................ชั้น.........................เลขที่...........................
2. ชื่อนักเรี ยน..................................................................ชั้น.........................เลขที่...........................
3. ชื่อนักเรี ยน..................................................................ชั้น.........................เลขที่...........................
4. ชื่อนักเรี ยน..................................................................ชั้น.........................เลขที่...........................
5. ชื่อนักเรี ยน..................................................................ชั้น.........................เลขที่...........................
คะแนนที่ได้...................................คะแนน

8. เฉลยใบงานที่ 7/2
เรื่อง อินเวอร์ สและกราฟอินเวอร์ สของความสัมพันธ์
ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 7
คาชี้แจง กาหนดกราฟของความสัมพันธ์ จงเขียนกราฟอินเวอร์สของความสัมพันธ์ลงบนแกนคู่
เดียวกัน และเขียนแกนสมมาตร
Y Y
1. r 2. r
r-1
X X
r-1
Y Y
3. r 4. 3
r-1
r
1
X X
r-1