1. Bentuk umum persamaan Differensial Orde Dua adalah :
d2y dy
a +b + cy = f(x) (1)
dx 2
dx
Jika f(x) = 0, maka am2 + bm + c = 0, menghasilkan m = m1 dan m = m2 dengan penyelesaian
umum y = A e m1 x + B e m 2 x , jika disubtitusi ke persamaan (1), akan membuat sisi kiri sama
dengan nol. Oleh karena itu harus ada satu suku tambahan dalam penyelesaian yang
membuat sisi kiri sama dengan f(x) dan bukan nol. Sehingga penyelesaian lengkapnya
berbentuk :
y = A e m1 x + B e m 2 x + X, dengan X adalah fungsi tambahan yang akan dicari.
y = A e m1 x + B e m 2 x , disebut Fungsi Komplementer (FK)
y = X (fungsi dari x) disebut Integral Khusus (IK)
sehingga penyelesaian lengkapnya diperoleh dari :
Penyelesaian Umum = Fungsi komplementer + Integral Khusus
d2y dy
Untuk menyelesaikan persamaan, a +b + cy = f(x)
dx 2
dx
(1) Fungsi Komplemnter (FK) diperoleh dari menyelesaikan persamaan f(x) = 0,
Yang menghasilkan beberapa tipe penyelesaian berikut :
(a) y = A e m1 x + B e m 2 x (b) y = e m1 x (A +Bx)
(c) y = e α x (A cos βx + B sin βx) (d) y = A cos nx + B sin nx
(e) y = A cosh nx + B sinh nx
(2) Integral Khusus (IK), diperoleh dengan menggunakan bentuk umum dari fungsi ini pada
sisi kanan persamaan, dengan subtitusi ke dalam persamaan, dan menyamakan koefisien
– koefisiennya.
Contoh 42
d2y dy
Selesaikanlah –5 + 6y = x2
dx 2
dx
Penyelesaian
(1) Untuk mendapatkan FK, selesaikan sisi kiri = 0, sehinga persamaan karakteristiknya
adalah : m2 – 5m + 6 = 0
(m1 – 3)(m2 – 2) = 0
∴ m1 = – 3 dan m2 = – 2
∴Penyelesaiaan FK, adalah y = A e 3x + B e 2x
54

2. (2) Untuk mendapatkan IK, digunakan bentuk umum dari sisi kanan, yang merupakan suatu
fungsi derajat dua. Misalkan y = Cx2 + Dx + E, maka
dy d2y
= 2Cx + D, dan = 2C
dx dx 2
dengan mensubtitusi ke persamaan awal maka,
d2y dy
–5 + 6y = x2
dx 2
dx
2C – 5(2Cx) + 6(Cx2 + Dx + E) = x2
2C – 10Cx + 6Cx2 + 6Dx + 6E = x2 atau
6Cx2 – (6D – 10C)x + (2C – 5D + 6E) = x2
dengan menyamakan koefisien dari pangkat x, akan diperoleh :
1
[x2] 6C = 1 ∴C =
6
10 5 5
[x1] 6D – 10C = 0 ∴6D = = ∴D =
6 3 18
25 2 19 19
[ x0 ] 2C – 5D + 6E = 0 ∴6E = – = ∴E =
18 6 18 108
x2 5x 19
Jadi Integral khususnya (IK) adalah y = + +
6 18 108
Penyelesaian lengkapnya = FK + IK , Sehingga penyelesaian umumnya adalah
x2 5x 19
y = A e 3x + B e 2x + + +
6 18 108
Berikut beberapa asumsi bentuk umum fungsi persamaan yang digunakan dalam menghitung
Integral Khusus (IK) :
Jika f(x) = k … … Asumsikan y=C
f(x) = kx … … y = Cx + D
f(x) = kx2 … … y = Cx2 + Dx + E
f(x) = k sin x atau k cos x y = C cos x + D sin x
f(x) = k sinh x atau k cosh x y = C cosh x + D sinh x
f(x) = ekx y = Cekx
Contoh :
1. f(x) = 2x – 3 Bentuk IK : y = Cx + D
2. f(x) = e5x y = Ce5x
55

3. 3. f(x) = sin 4x y = C cos 4x + D sin 4x
4. f(x) = 3 – 5x2 y = Cx2 + Dx + E
5. f(x) = 27 y=C
6. f(x) = 5 cosh 4x y = C cosh 4x + D sinh 4x
Contoh 43
d2y dy
Selesaikanlah –5 + 6y = 24
dx 2
dx
Penyelesaian
(1) Untuk mendapatkan FK, selesaikan sisi kiri = 0, sehinga persamaan karakteristiknya
adalah : m2 – 5m + 6 = 0
(m1 – 3)(m2 – 2) = 0
∴ m1 = – 3 dan m2 = – 2
∴Penyelesaiaan FK, adalah y = A e 3x + B e 2x
(2) Untuk mendapatkan IK, digunakan bentuk umum dari sisi kanan, yang merupakan suatu
fungsi derajat dua. Misalkan y = C, maka
dy d2y
= 0, dan =0
dx dx 2
dengan mensubtitusi ke persamaan awal maka,
0 – 5(0) + 6C = 24 ⇒ C = 4
∴IKnya adalah y = 4
Jadi penyelesaian umumnya adalah
y = A e 3x + B e 2x + 4
Contoh 44
d2y dy
Selesaikanlah –5 + 6y = 2 sin 4x
dx 2 dx
Penyelesaian
(1) Untuk mendapatkan FK, selesaikan sisi kiri = 0, sehinga persamaan karakteristiknya
adalah : m2 – 5m + 6 = 0
(m1 – 3)(m2 – 2) = 0
∴ m1 = – 3 dan m2 = – 2
∴Penyelesaiaan FK, adalah y = A e 3x + B e 2x
56

4. (2) Untuk mendapatkan IK, digunakan bentuk umum dari sisi kanan, yang merupakan suatu
fungsi derajat dua.
Misalkan, y = C cos 4x + D sin 4x
dy
= – 4C sin 4x + 4D cos 4x
dx
d2y
= – 16C cos 4x – 16D sin 4x
dx 2
dengan mensubtitusi ke persamaan awal maka,
d2y dy
–5 + 6y = 2 sin 4x
dx 2
dx
–16C cos 4x–16D sin 4x–5[– 4C sin 4x+4D cos 4x]+6[C cos 4x+D sin 4x] = 2 sin 4x
(20C – 10D) sin 4x – (10C +20D) cos 4x = 2 sin 4x
20C – 10D = 2 ⇒ 40C – 20D = 4 2 1
50 C = 4 ∴C = dan D = −
10C + 20D = 0 ⇒ 10C + 20D = 0 25 25
1
∴IKnya adalah y = (2 cos 4x – sin 4x)
25
Jadi penyelesaian umumnya adalah
1
y = A e 3x + B e 2x + (2 cos 4x – sin 4x)
25
Contoh 45
d2y dy
Selesaikanlah + 14 + 49y = 4e5x
dx 2
dx
Penyelesaian
(1) Persamaan karakteristiknya adalah : m2 + 14m + 49 = 0
(m1 + 7)(m2 + 7) = 0
∴ m1 = – 7 dan m2 = – 7
∴Penyelesaiaan FK, adalah y = e -7x (A + Bx)
(2) Untuk mendapatkan IK, misalkan y = Ce5x
dy
= 5Ce5x
dx
d2y
2
= 25 Ce5x
dx
dengan mensubtitusi ke persamaan awal maka,
57

5. d2y dy
+ 14 + 19y = 4e5x
dx 2
dx
25 Ce5x + 14(5Ce5x) + 19 Ce5x = 4e5x
dengan membagi e5x kedua sisinya, maka
1
25C + 70C + 49C = 4 ⇒ ∴ C =
36
e 5x
∴IKnya adalah y =
36
-7x e 5x
Jadi penyelesaian umumnya adalah y = e (A + Bx) +
36
Contoh 46
d2y dy
Selesaikanlah +6 + 10y = 2 sin 2x
dx 2
dx
Penyelesaian
(1) Persamaan karakteristiknya adalah : m2 + 6m + 10 = 0
-6 ±
36 - 40 - 6 ± - 4
m12 = = = –3 ± i
2 2
∴Penyelesaiaan FK, adalah y = e -3x (A cos x + B sin x)
(2) Untuk mendapatkan IK, misalkan y = C cos 2x + D sin 2x
dy
= – 2C sin 2x + 2D cos 2x
dx
d2y
= – 4C cos 2x – 4D sin 2x
dx 2
dengan mensubtitusi ke persamaan awal maka,
d2y dy
+6 + 10y = 2 sin 2x
dx 2
dx
–4C cos 2x–4D sin 2x+6[–2C sin 2x+2D cos 2x]+10[C cos 2x+D sin 2x] = 2 sin 2x
(6C + 12D) cos 2x + (6D – 12C) sin 2x = 2 sin 2x
6C + 12D = 0 ⇒ C = – 2D
1 2
6D – 12C = 2 ⇒ 6D + 24D = 2 ∴30D = 2⇒ D = dan C = −
15 15
1
IKnya adalah y = ( sin 2x – 2 cos 2x)
15
1
Jadi Penyelesaian Umumnya adalah y = e -3x (A cos x+B sin x)+ ( sin 2x–2 cos 2x).
15
58

6. Contoh 47
d2y dy
Selesaikanlah –3 + 2y = x2
dx 2
dx
Penyelesaian
(1) Persamaan karakteristiknya adalah : m2 – 3m + 2 = 0
(m – 1)(m – 2)= 0 ∴ m1 = 1 atau m2 = 2
∴Penyelesaiaan FK, adalah y = A e x + B e 2x
(2) Untuk mendapatkan IK, misalkan y = Cx2 + Dx + E
dy d2y
∴ = 2Cx + D dan = 2C
dx dx 2
d2y dy
–3 + 2y = x2
dx 2
dx
2C – 3(2Cx) + 2(Cx2 + Dx + E) = x2
2Cx2 + (2D – 6)x + (2C – 3D + 2E = x2
1
2C = 1 ⇒ C =
2
3 7 7
2D – 6C = 0 ⇒ D = dan 2C – 3D + 2E = 0⇒ 2E = 3D – 2C = ∴E =
2 2 4
x 2
3x 7 1
IKnya adalah y = + + = (2x2 + 6x + 7)
2 2 4 4
1
Jadi penyelesaian umumnya adalah y = A e x + B e 2x + (2x2 + 6x + 7).
4
Contoh 48
d2y dy 5 dy 1
Selesaikanlah +4 + 5y = 13e 3x, jika x = 0, y= dan =
dx 2
dx 2 dx 2
Penyelesaian
(1) Persamaan karakteristiknya adalah : m2 + 4m + 5 = 0
-4± 16 - 20 - 4 ± - 4
m12 = = = –2 ± i
2 2
∴Penyelesaiaan FKnya, adalah y = e -2x (A cos x + B sin x)
dy d2y
(2) IKnya, misalkan y = Ce3x, = 3Ce3x dan = 9Ce3x
dx dx 2
d2y dy
+4 + 5y = 13e 3x
dx 2
dx
59

7. 9Ce3x + 4(3Ce3x) + 5Ce3x = 13e 3x
1
26C = 13 ⇒ C =
2
e 3x
IKnya adalah y =
2
e 3x 5
Jadi penyelesaian umumnya adalah y = e -2x (A cos x + B sin x) + ; x = 0 dan y =
2 2
5 1 e 3x
∴ = A + ⇒ A = 2 ∴ y = e (2 cos x + B sin x) +
-2x
2 2 2
dy -2x -2x e 3x
= e (– 2 sin x + B cos x) – 2e (2 cos x + B sin x) + 3
dx 2
dy 1 1 3
x = 0, = ∴ =B–4+ ⇒B=3
dx 2 2 2
-2x e 3x
Jadi penyelesaian khususnya adalah y = e (2 cos x + 3 sin x) +
2
Contoh 49
d2y dy
Selesaikanlah –2 – 8y = 3e -2x
dx 2
dx
Penyelesaian
(1) Persamaan karakteristiknya adalah : m2 – 2m – 8 = 0
(m + 2)(m – 4) = 0⇒ m1 = – 2 dan m2 = 4
∴Penyelesaiaan FKnya, adalah y = A e 4x + B e -2x
(2) Bentuk umum IKnya, misalkan y = Ce-2x, tapi karena suku e-2x sudah ada dalam FK,
maka pemisalan IKnya menjadi y = Cx e -2x
dy
= Cx(– 2Ce-2x) + Ce-2x = Ce-2x(1 – 2x)
dx
d2y
dan 2
= Ce-2x(–2) – 2Ce-2x(1 – 2x) = Ce-2x(4x – 4)
dx
sehingga,
d2y dy
–2 – 8y = 3e -2x
dx 2
dx
Ce-2x(4x – 4) – 2[Ce-2x(1 – 2x)] – 8[Cx e -2x ] = 13e 3x
(4C + 4C – 8C)x – 4C – 2C = 3
1
– 6C = 3 ⇒ C = −
2
60

8. 1 -2x
IKnya adalah y = − xe
2
1 -2x
Jadi penyelesaian umumnya adalah y = A e 4x + B e -2x − xe
2
Contoh 50
d2y dy
Selesaikanlah + – 2y = ex
dx 2
dx
Penyelesaian
(1) Persamaan karakteristiknya adalah : m2 + m – 2 = 0
(m + 2)(m – 1) = 0⇒ m1 = – 2 dan m2 = 1
∴Penyelesaiaan FKnya, adalah y = A e -2x + B e x
(2) Bentuk umum IKnya, misalkan y = Cex, tapi karena suku ex sudah ada dalam FK, maka
pemisalan IKnya menjadi y = Cx e x
dy
= Cx(ex) + Cex = Cex(1 +x),
dx
d2y
dan = Cex + Cxex+Cex = Cex(x + 2)
dx 2
sehingga,
d2y dy
+ – 2y = ex
dx 2
dx
Cex(x + 2) + Cex(1 + x) – 2[Cx e x ] = ex
C(x + 2) + C(x + 1) – (2Cx) = 1
1
3C = 1 ⇒ C =
3
1 x
IKnya adalah y = xe
3
1 x
Jadi penyelesaian umumnya adalah y = A e x + B e -2x + xe
3
Kesimpulan
d2y dy
1. Penyelesaian dari persamaan yang berbentuk a +b + cy = 0
dx 2 dx
(a) Persamaan karakteristik : am2 + bm + c = 0
(b) tipe penyelesaian :
- Akar – akar riil yang berbeda : m = m1 dan m = m2
y = A e m1 x + B e m 2 x
61

9. - Akar – akar riil yang sama : m = m1 dan m = m2
y = e m1 x (A + Bx)
- Akar – akar kompleks : m = α ± iβ
y = e α x (A cos βx + B sin βx)
d2y
2. Persamaan berbentuk 2
+ n2y = 0
dx
y = A cos nx + B sin nx
d2y
3. Persamaan berbentuk 2
– n2y = 0
dx
y = A cosh nx + B sinh nx
d2y dy
4. Penyelesaian umum dari persamaan berbentuk a 2 + b + cy = f(x)
dx dx
y = fungsi komplementer + integral khusus
d2y dy
5. (a) Dengan menyelesaikan FK, a 2 + b + cy = 0
dx dx
(b) Dengan menyelesaikan IK, yang disesuaikan dengan sisi kanan persamaan f(x).
62

10. I. Latihan
Selesaikanlah :
d2y dy d2y
1 – – 2y = 8 2. – 4y = 10e3x
dx 2
dx dx 2
2
d y dy -2x d2y
3 +2 +y=e 4. + 25 y = 25x2 + x
dx 2
dx dx 2
2
d y dy 2
d y dy dy
5. –2 + y = 4 sin x 6. +4 +5y = 2e-2x, jika x=0, y=1 dan = –2
dx 2
dx dx 2
dx dx
d2y dy d2y dy
7. 3 2 – 2 – y = 2x – 3 8. –6 + 8y = 8e4x
dx dx dx 2
dx
Jawaban :
1. y = Ae-x + Be2x – 4 2. y = Ae2x + Be-2x – 2e3x
1
3. y = e-x(A + Bx) – 2e-2x 4. y = A cos 5x + B sin 5x + 125 (25x2 + 5x – 2)
5. y = ex(A + Bx) + 2cos x 6. y = e-2x(2 – cos x)
7. y = Aex + Be-x/3– 2x + 7 8. y = Ae2x + Be4x + 4xe4x
Tugas VI (Dikumpulkan Sebelum UTS)
II. Selesaikanlah :
d2y dy d2y dy
1. –5 +6y=100sin4x 2. + – 2y = 2 cosh 2x
dx 2
dx dx 2
dx
d2y dy d2y dy
3. +4 + 4y = 2 cos2 x 4. –2 + 3y = x2 – 1
dx 2
dx dx 2
dx
d2y dy d2y dy
5. –6 + 9y = 54x +16 6. –4 + 3y = x + e2x
dx 2
dx dx 2
dx
2
d y
7. 2 – 9y = e3x + sin 3x
dx
8. Selesaikanlah persamaan
d2x dx dx
+4 +3x = e –3t, jika diketahui t = 0, x = ½ dan =–2
dt 2
dt dt
9. Tentukan penyelesaian umum dari persamaan
d2y dy
+4 + 3y = 6 sin t
dt 2
dt
dan tentukan juga amplitudo dan frekuensi dari fungsi keadaan tunaknya.
10. Selesaikanlah persamaan
d2x dx
–3 + 2x = sin t
dt 2
dt
dx
jika diketahui t = 0, x = 0 dan =0
dt
63