1. Bagian 4
Sistem Persamaan Nonlinier
3. 1 Pendahuluan
3. 1. 1 Metode Kuadratik
Salah satu bentuk persamaan nonlinier adalah persamaan kuadratik. Untuk mencari
penyelesaian masalah pada persamaan kuadratik dengan memisalkan.
f(x) = 0 (3.1.1)
Seperti Contoh uraian Persamaan Kuadrat dan bentuk Penerapannya berikut ini :
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah :
ax 2  bx  c  0
Penyelesaian dari bentuk persamaan kuadrat di atas adalah :
 b  b 2  4 ac
x 12 
2a
Jadi persamaan mempunyai dua akar, dan bergantung pada nilai b 2  4 ac , akar –
akar persamaan dapat berupa bilangan riil, kompleks atau akar – akarnya berulang.
Jika b 2  4 ac  0 , akar – akarnya kompleks,
Jika b 2  4 ac  0 , akar – akarnya riil,
Jika b 2  4 ac  0 , akar – akarnya riil dan berulang.
Masalah :
Carilah akar – akar penyelesaian dari persamaan ax 2  bx  c  0 .
Penyelesaian
ax 2  bx  c  0
Bagilah kedua persamaan dengan ‘a’, a  0  sehingga,
b c
x2  x   0
a a
Catatan :
c
jika a  0 , penyelesaian dari ax 2  bx  c  0 adalah x   .
b
Selanjutnya,
b c
x2  x 0
a a
sehingga,
1

2. 2
 b  b2 c
x   2  0
 2a  4a a
2
 b  b2 c b 2  4 ac
x    
 2a  4a 2 a 4a 2
b b 2  4 ac b 2  4 ac
x  
2a 4a 2 2a
b b 2  4 ac
x  
1 ,2 2a 2a
 b  b 2  4 ac
x 
1 ,2 2a
Contoh 26:
Sebuah bola dijatuhkan dari atap gedung dengan kecepatan 50 km/jam. Gedung
tingginya 420 m. Carilah persamaan waktu sejak bola tersebut dijatuhkan sampai ke lantai
dasar ?
Penyelesaian
Misalkan s jarak bola maka diberikan persamaan
1 2
s  vt  gt
2
dimana
v = kecepatan awal (m/dt)
g = percepatan gravitasi bumi (m2/s)
t = detik (s)
diberikan
km 1 jam 1000 m m
v  50 x x  13.889 .
jam 3600 dt km s
m
g  10
s2
s 420 m
maka
420  13.889 t 
1
10  t 2
2
5 t 2  13.889 t  420  0
2

3. Persamaan kuadrat ini mempunyai penyelesaian, sejak bola dijatuhkan dari atas gedung ke
lantai dasar,
 13.889  13.889 2  4  5  ( 420 )
t 1 ,2 
2( 5 )
 1.3889  9.270
Jadi waktu (t) tempuh bola itu ketika dijatuhkan dari atap gedung adalah 7.881 detik.
3

4. 3. 2 Metode Pencarian Akar
Secara umum metode pencarian akar ada 2 yaitu :
1. Metode Tertutup
Metode ini dilakukan dengan mencari akar dalam selang [a, b], sehingga
iterasinya selalu konvergen ke akar tertentu. Dikenal juga dengan metode
Konvergen. (seperti Metode Bagidua, Metode Regula Falsi)
2. Metode Terbuka
Metode ini tidak memerlukan selang [a, b] yang mengandung akar. Yang
diperlukan adalah tebakan awal, selanjutnya dilakukan iterasi sampai
mendapatkan nilai akar yang sesungguhnya. Dapat terjadi menjauhi akar
sesungguhnya yang disebut dengan Divergen. (Seperti, Metode Iterasi
Titiktetap, Metode Newton Raphson, Metode Secant)
3. 2. 1 Persamaan Kubik
Secara umum persamaan kubik dapat ditulis sebagai
ax 3  bx 2  cx  d  0 (3.2.1)
untuk mencari akar dari persamaan ini, pertama dibuat kedalam bentuk kuadratik. Dalam
hal ini, dilakukan subtitusi,
b
x  y (3.2.2)
3a
sehingga persamaan kubik yang baru adalah,
3 2
 b   b   b 
a y    b y    c y  d 0 (3.2.3)
 3a   3a   3a 
Dengan menyederhanakan dan memgembangkan persamaan (3.2.3), seperti persamaan
berikut,
 2  3 
3  c  b  y   d  2 b  bc   0
ay   (3.2.4)
 3a 


 27 a 2 3a 

Persamaan ini disebut persamaan kubik ‘tertekan’ (depressed) selanjutnya dikenal bentuk
kubik kuadratik. Sehingga dengan mudah dapat dicari penyelesaian akar persamaan kubik.
Pertama, konversi persamaan kubik “Tertekan” ke bentuk,
4

5. 3  1  c  b  y  1  d  2b  bc   0
2 3
y    
a 3a 
 a 27 a 2 3a 

y 3  ey  f  0 (3.2.5)
dimana,
1 2
c  b 
e
a
 3a 

1 3
 d  2b  bc 

f 
a
 27 a 2 3a 

Sekarang, dengan mereduksi persamaan diatas dengan menggunakan subtitusi Vieta’s,
s
y z (3.2.6)
z
Konstanta ‘s’ merupakan konstanta pemisalan. Subtitusi ke dalam persamaan kubik
“depressed” sehingga,
3
 s  s
 z    e z    f  0 (3.2.7)
 z  z
dengan menguraikannya dan mengalikan dengan z 3, maka
z 6  3 s  e z 4  fz 3  s3 s  e z 2  s 3  0 (3.2.8)
sekarang, misalkan s = -e / 3 disederhanakan kedalam bentuk persamaan kuadrat tiga “tri-
quadratic”.
3
z 6  fz 3  e  0 (3.2.9)
27
dengan menggunakan satu subtitusi yaitu w = z3, sekarang didapatkan persamaan umum
kuadratik untuk dapat menyelesaikan persamaan kuadratik.
3
w 2  fw  e  0 (3.2.10)
27
untuk menggambarkan subtitusi yang telah dilakukan dalam mencari akar persamaan
umum kubik ini, dapat digambarkan sebagai berikut :
5

6. wz yx
dengan asumsi
w  z3 (3.2.11)
s
y z (3.2.12)
z
e
s (3.2.13)
3
b
x  y (3.2.14)
3a
sekarang dapat ditunjukkan bahwa ada 2 akar w dari persamaan (3.2.10) yang merupakan
persamaan kuadratik.
Dengan menggunakan persamaan (3.2.11) dapat ditunjukkan bahwa ada 3 akar untuk
setiap dua akar dari w, dalam hal ini ada 6 nilai akar untuk z.
Tetapi 6 akar dari nilai z dan hanya 3 akar dari nilai y (persamaan (3.2.12), dan hanya 3
akara nilai dari x (persamaan (3.2.14)). Seperti contoh dibawah ini.
Contoh 27
Carilah akar dari persamaan kubik dibawah ini,
x 3  0.03 x 2  2.4 x10 6  0
Penyelesaian
Bentuk persamaan,
ax 3  bx 2  cx  d  0
a  1 , b  0.03 , c  0 , d  2.4 x 10 6
Persamaan kubik tertekannya dapat diuraikan,
b
x  y
3a
x  y
 0.03
31
6

7. x  y  0.01
Subtitusi persamaan diatas ke persamaan kubik dan sederhanakan,
  
y 3  3 x10 4 y  4 x10 7  0 
Misalkan, e  3 x10 4 , f  4 x10 7 ke persamaan (3.2.5), berarti y 3  ey  f  0 .
Sekarang, diselesaikan persamaan kubik tertekan menggunakan subtitusi Vieta’s, sehingga
s
y z
z
mengakibatkan
     
z 6  3 s  3 x 10 4 z 4  4 x 10 7 z 3  s 3 s  3 x 10 4 z 2  s  0
Misalkan,
 3 x 10  4
 10  4 ,
e
s 
3 3
didapatkan persamaan kuadrat tiga berikut
 
z 6  4 x10 7 z 3  1 x10 12  0
Dengan menggunakan konversi, w = z 3, secara umum persamaan kuadratnya adalah,
  
w 2  4 x10 7 w  1 x10 12  0 
sehingga penyelesaian dari persamaan kuadratik untuk w,

w1  2 x10 7  i 9.7979589711 x 10 7
3 
dan,

w 2  2 x 10 7  i 9.7979589711 x 10 7
3 
setiap penyelesaian dari w  z 3 terdapat 3 nilai untuk z. tiga nilai dari z dalam bentuk
empat persegi w1 z 1  0.0089760987  i 0.0044079078
46 14
z 2  6.7068922852 x10 4  i 0.0099774834
5 48
z 3  0.0083054095  i 0.0055695756
18 34
7

8. Tiga nilai z dari w2 dalam bentuk empat persegi (rectangular form)
z 4  0.0089760987  i 0.0044079078
46 14
z5  6.7068922852 x10 4  i 0.0099774834
5 48
z  0.0083054095  i 0.0055695756
18 34
6
menggunakan subtitusi Vieta’s,
s
y z
z
y z
1 x10 4 
z
kembali mensubtitusi 3 niliai dari y.
untuk contoh, pilihlah, z 1  0.0089760987  i 0.0044079078 diberikan,
46 14
1 x10 4
y 1  0.0089760987  i 0.0044079078 
46 14
 0.0089760987  i 0.0044079078
46 14
y1  0.0179521974
9
dengan cara yang sama, dua nilai dari z2 and z3 diberikan berturut – turut adalah,
y 2  0.0013413784
57
y 3  0.0166108190
36
Bagaimana dengan tiga nilai dari z yaitu z4, z5 and z6? sama dengan dengan sebelumnya
yaitu y1, y2 and y3.
Akhirnya dengan subtitusi, maka
x  y  0.01
tiga akar dari persamaan itu adalah
x 1   0.0079521974 , x 2  0.0113413784 , dan x 3  0.0266108190
9 57 36
8