Αποκλειστικά από το lisari

1. Τεστ στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης (…μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση)
Ονοματεπώνυμο: ………………………………………………………………………
Τμήμα: ………………..
Ημερομηνία: 20/11/2015
Βαθμός: …………………
Διάρκεια: 2 διδακτικές ώρες
Επιμέλεια διαγωνίσματος: Δήμητρα Σακελλαρίου
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Δίνεται συνάρτηση f με τύπο      f x ln 1 x ln 1 x    , αφού βρεθεί το πεδίο
ορισμού της να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί η 1
f 
.
Β. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με πεδίο ορισμού το R και τύπους:
  2
x ,αν x 0
f x
x ,αν x 0

 

και    1
g x x x
2
 
Να δείξετε ότι: 2
f g g .
Γ. Δίνονται οι συναρτήσεις:
   2x
f g x e x,x  R και   x
g x e 1,x  R
Να βρεθούν οι συναρτήσεις f.
Δ. Δίνεται συνάρτηση f με τύπο    f x ln x ln x 1 ln2    . Δεδομένου ότι η f είναι «1 – 1»
να βρεθεί η 1
f 
.
ΘΕΜΑ 2ο
Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R , η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο  ,1
και γνησίως αύξουσα στο  1, . Δίνεται επίσης ότι  f 1 0 και η συνάρτηση g, με
   g x f x α  όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός.
α) Να βρεθεί η μονοτονία της g.
β) Αν έχουμε   
2
g 3 1 1  , να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α.
ΘΕΜΑ 3ο
Δίνεται συνάρτηση f με τύπο    31
f x x x
2
  και σύνολο τιμών το  0, .
α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f, η μονοτονία της και να δείξετε ότι η f είναι
αντιστρέψιμη.
β) Να λυθούν οι εξισώσεις:
i.  1
f x 64
 και ii.       1 1 1
f x f x 6 f f 6  
  