Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Ας μιλήσουμε για τη σύνθεση των συναρτήσεων - Εισήγηση ΕΜΕ Λάρισας 2019

4,052 views

Published on

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Ας μιλήσουμε για τη σύνθεση των συναρτήσεων - Εισήγηση ΕΜΕ Λάρισας 2019

  1. 1. Ας μιλήσουμε για τη σύνθεση των συναρτήσεων Γεράσιμος Χατζόπουλος, Καθηγητής Μαθηματικών lisari.blogspot@gmail.com Περίληψη Μετά από προσωπική μελέτη πολλών ετών στη σύνθεση των συναρτήσεων έχω διαπιστώσει ότι υπάρχουν αρκετά και ανεξερεύνητα σημεία που δεν έχουν αναδειχθεί. Σε αυτή την εισήγηση θα δούμε μερικά τέτοια σημεία που θα μας βοηθήσουν στην κατανόησή τους. Abstract After many years of studying these types of functions I find that there are many and unexplored parts of the composition of functions that have not been pointed out enough. In this proposal we will look at some interesting points that will help us to understand and work with composite functions. Εισαγωγή Ας δούμε για παράδειγμα τη συνάρτηση    2 f x συνx x , προφανώς δεν μπορούμε να την εκφράσουμε ως άθροισμα ή γινόμενο δύο βασικών συναρτήσεων. Χρειαζόμαστε λοιπόν έναν διαφορετικό τρόπο για να συνδυάζουμε συναρτήσεις. Αυτός ο συνδυασμός, σύνθεση δύο συναρτήσεων, είναι τελικά ο πιο σπουδαίος. Όταν θα πούμε ότι η συνάρτηση 03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 14
  2. 2.  2 συν x προέρχεται από τη σύνθεση των συναρτήσεων συνx και 2 x θα μας αποκαλύψει όλη τη «δομή» της συνάρτησης [1]. Η σύνθεση συναρτήσεων είναι μια απαιτητική έννοια που συνδέεται με όλες τις έννοιες της Ανάλυσης, παρόλα αυτά το σχολικό βιβλίο εμφανίζει μόνο τον ορισμό και ένα σχήμα όπως βλέπουμε παρακάτω [2]: Το βιβλίο έχει τη γενική περίπτωση που το σύνολο τιμών της συνάρτησης f έχει κοινά σημεία με το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g δηλαδή  f A B   . Από το παραπάνω σχήμα ένας καθηγητής πρέπει να συζητήσει με τους μαθητές του τα εξής:  Ποια είναι η εσωτερική και ποια η εξωτερική συνάρτηση στη σύνθεση.  g f fD D , το πεδίο ορισμού της g f είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της f, δηλαδή της εσωτερικής συνάρτησης.      1g f Α g B , δηλαδή το σύνολο τιμών της g f είναι υποσύνολο του συνόλου τιμών της g, δηλαδή της εξωτερικής συνάρτησης. 03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 14
  3. 3. Στα πλαίσια της διδακτικής τακτικής ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι εξής ειδικές περιπτώσεις: α)  f A B β)  f A B γ)  B f A Χρησιμότητα των 1 – 1 συναρτήσεων στη σύνθεση συναρτήσεων Ας θυμηθούμε τον ορισμό της ομάδας, που είναι μία από τις απλούστερες αλλά συγχρόνως βασικότερες και ευρύτατα μελετημένες αλγεβρικές δομές. Ομάδα  G,* είναι ένα σύνολο G, εφοδιασμένο με μια διμελή πράξη * στο G, ώστε να ικανοποιούνται τα ακόλουθα αξιώματα:     α* β*γ α*β *γ , για κάθε α,β,γ G .  υπάρχει στοιχείο e G τέτοιο, ώστε α*e e*α α  , για κάθε α G  για κάθε α G υπάρχει α G τέτοιο, ώστε α*α α *α e   . Αν ορίσουμε το σύνολο των 1 – 1 και επί συναρτήσεων f από το σύνολο Χ στο Χ, δηλαδή    S X f / f : X X, f 1 1 και επί   με τη πράξη της σύνθεσης, τότε η δομή  S, είναι ομάδα, διότι ικανοποιείται η προσεταιριστική ιδιότητα    h g f h g f , υπάρχει ουδέτερο στοιχείο η ταυτοτική συνάρτηση  I x x τέτοια ώστε f I I f f  και τέλος υπάρχει αντίστροφο στοιχείο η αντίστροφη συνάρτηση 1 f  τέτοια ώστε 1 1 f f f f I    . 03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 14
  4. 4. Άρα ισχύουν όλες οι προτάσεις και τα θεωρήματα που ισχύουν για την ομάδα, όπως το θεώρημα της εσωτερικής και εξωτερικής διαγραφής που λέει: Αν G είναι μια ομάδα με διμελής πράξη την *, τότε ο αριστερός και ο δεξιός νόμος της διαγραφής ισχύουν στη G, δηλαδή, αν a*b a*c τότε b c , και αν b*a c*a τότε b c για όλα τα a,b,c G .[3] Κάτι αντίστοιχο μπορούμε να διατυπώσουμε και για το σύνολο  S, δηλαδή: f g f h g h   και g f h f g h   για όλα τα f,g,h S . Άρα παρουσιάζουν αρκετό ενδιαφέρον το σύνολο των 1 – 1 συναρτήσεων που μας κάνει με πράξη ομάδα. Ας δούμε δύο διατυπώσεις που τις συναντάμε σε αρκετούς πίνακες, φυλλάδια, βιβλία και είναι λάθος διατυπωμένες:  Αν η συνάρτηση g f είναι 1 – 1, τότε και η f είναι 1 – 1.  Αν η συνάρτηση f g είναι 1 – 1, τότε και η f είναι 1 – 1. Το πρόβλημα στις προηγούμενες προτάσεις είναι κυρίως η απουσία των συνόλων στα οποία ορίζονται οι συναρτήσεις. Ας εξετάσουμε την πρώτη πρόταση: Όταν γράφουμε ότι η συνάρτηση g f είναι 1 – 1 σημαίνει ότι η συνάρτηση αυτή ορίζεται σ’ ένα σύνολο fΑ D και ισχύει   gf Α D   . Το συμπέρασμα που προκύπτει για την f είναι στο διάστημα Α και όχι σε όλο το πεδίο ορισμού της fD . Οπότε, οι γνώσεις μας για την f περιορίζονται μόνο στο διάστημα Α. 03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 14
  5. 5. Ας δούμε το παράδειγμα: Δίνονται οι συναρτήσεις f,g τέτοιες, ώστε   2 ημx ,x 0 f x x ,x 0     και  g x x 4, x 4   Ορίζεται η συνάρτηση g f στο διάστημα     x / f x 4 2,    και        2 2 g f x g f x g x x 4    που είναι 1 – 1 στο διάστημα  2, . Όμως, η f δεν είναι 1 – 1 στο πεδίο ορισμού της διότι    f π f 0 0   . Επίσης, για τη δεύτερη πρόταση έχουμε τα εξής: Και εδώ ισχύει η ίδια παρατήρηση που είδαμε και στην προηγούμενη πρόταση. Δηλαδή, αν f g είναι 1 – 1 σημαίνει ότι η συνάρτηση αυτή ορίζεται σε ένα σύνολο gΒ D , άρα οι πληροφορίες που έχουμε είναι για στο σύνολο   fg Β D   και όχι σε όλο το πεδίο ορισμού της. Ας δούμε το παράδειγμα: Δίνονται οι συναρτήσεις   2 x ,x 0 f x x ,x 0      και  g x x, x 0  τότε η f g ορίζεται στο σύνολο        g fx D / g x D x 0, / x 0,        και 03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 14
  6. 6.         4 f g x f g x f x x x    , που είναι 1 – 1 στο διάστημα  gD 0,  , ενώ η συνάρτηση f δεν είναι 1 – 1 στο πεδίο ορισμού της, διότι    f 1 f 1 1   . Η πρόταση γίνεται αυστηρή αν την παρουσιάσουμε ως εξής: Πρόταση 1η Δίνονται οι συναρτήσεις f : Α  και  g :f A  . Αν η συνάρτηση g f : A  είναι 1 – 1, τότε οι f, g είναι 1 – 1. Ας δούμε την επόμενη ερώτηση Σωστού – Λάθους στο σύνολο Α  R: «Δίνονται οι συναρτήσεις f,g :  . Αν η συνάρτηση g f :  είναι 1 – 1, τότε: α) η f είναι 1 – 1 β) η g είναι 1 – 1». Έχουμε να υποδείξουμε τα εξής: α) Σωστή, όπως είδαμε προηγουμένως. β) Λάθος, διότι η μοναδική γνώση που έχουμε από την πρόταση 1 είναι ότι η g είναι 1 – 1 στο διάστημα   gf A D , όμως στο υπόλοιπο σύνολο, δηλαδή  gD f A δεν έχουμε πληροφορίες για την g. Ας δούμε το παράδειγμα που ακολουθεί: Δίνονται οι συναρτήσεις   2 x ,x 0 g x x ,x 0      και   x f x e ,x  , τότε         x e 0 x x g f x g f x g e e     , για κάθε x . 03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 14
  7. 7. Επομένως, η g f είναι 1 – 1 στο διάστημα fD  , ενώ η συνάρτηση g δεν είναι 1 – 1 στο πεδίο ορισμού της, διότι    g 1 g 1 1   (είναι 1 – 1 μόνο στο υποσύνολο    f 0, R ). Στις περιπτώσεις που ακολουθούν φαίνεται η χρησιμότητα των όσων αναφέρθηκαν προηγουμένως, δηλαδή η f είναι 1 – 1. 1)    f x f x e x 1   για κάθε x 2)    3 f x f x x 1   για κάθε x 3)     g x f g x e x 3   για κάθε x 4)    x x e 1 f g x e 1    για κάθε x Μια πιο ειδική περίπτωση της σύνθεσης συναρτήσεων που αποτελεί χρήσιμο εργαλείο για την αντιμετώπιση ειδικών περιπτώσεων: Πρόταση 2η Δίνεται η συνάρτηση f :  , τότε ισχύει η εξής ισοδυναμία: f : 1 – 1 f f : 1 – 1. Αρχικά πρέπει να κατανοήσουν οι μαθητές ότι η συνάρτηση f ορίζεται στο , άρα και η συνάρτηση f f ορίζεται στο . Στη συνέχεια μπορούμε να συζητήσουμε την απόδειξη με τους μαθητές. Με την παραπάνω πρόταση οι μαθητές μπορούν εύκολα να αντιμετωπίσουν περιπτώσεις που συναντάμε συχνά όπως είναι: 03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 14
  8. 8. «Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις f είναι 1 – 1. 1)   f f x 2x 1  για κάθε x 2)    x f f x e 1  για κάθε x και κατά επέκταση τις περιπτώσεις: 3)     3 f f x f x 2x 3   για κάθε x 4)       f f x x 3 f x  για κάθε x 5)     3 f f x x f x 1  για κάθε x 6)    x f x f x e   για κάθε x » Η πρόταση αυτή γενικεύεται και για περισσότερες συναρτήσεις όπως φαίνεται στην παρακάτω πρόταση: Πρόταση 3η Δίνεται η συνάρτηση f :  τότε ισχύει η εξής ισοδυναμία: f : 1 – 1 v φορές f f ... f : 1 – 1 Άρα οι παραπάνω περιπτώσεις μπορούν να τεθούν και ως εξής: «Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις f είναι 1 – 1. 1)   f f f x 2x 1  για κάθε x 2)   x 2021 φορές f f ... f x e 1         για κάθε x 03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 14
  9. 9. 3)    2ν 1 2ν 1 f f ... f x f x 2x 3          για κάθε x και ν 4)       f f f x x 3 f x  για κάθε x 5)     3 f f f x x f x 1  για κάθε x » Μονοτονία και σύνθεση συναρτήσεων Επίσης, δύο προτάσεις που εμφανίζονται αρκετές φορές και δεν είναι σωστά διατυπωμένες είναι οι εξής: Δίνονται οι συναρτήσεις f, g τέτοιες, ώστε  f gf D D  .  Ισχυρισμός 1ος α) Αν f, g είναι γνησίως μονότονες με το ίδιο είδος μονοτονίας, τότε η g f είναι γνησίως αύξουσα. β) Αν f, g είναι γνησίως μονότονες με διαφορετικό είδος μονοτονίας, τότε η g f είναι γνησίως φθίνουσα.  Ισχυρισμός 2ος Αν η g f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση και α) η g είναι γνησίως αύξουσα, τότε και η f είναι γνησίως αύξουσα. β) η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε και η g είναι γνησίως αύξουσα. Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα (Π1): Δίνονται οι συναρτήσεις   x f x e , x 0  και   2 g x x ,x   . Η συνάρτηση g f ορίζεται στο  fΑ D ,0   , διότι η g ορίζεται στο και     gf Α 0,1 D   . Έχουμε, 03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 14
  10. 10.        x 2x g f x g f x g e e    , για κάθε x 0 . Επομένως, για κάθε  x ,0  έχουμε: f , , g . ενώ g f. δηλαδή δεν ισχύουν οι παραπάνω ισχυρισμοί. Επίσης, ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα (Π2): Δίνονται οι συναρτήσεις  f x x, x 0   και   2 g x x ,x  . Η συνάρτηση g f ορίζεται  fD 0,  , διότι η g ορίζεται στο και     gf Α ,0 D    . Έχουμε,         2 g f x g f x g x x    , για κάθε x 0 . Επομένως, για κάθε  x 0,  έχουμε: f , , g . ενώ g f. , δηλαδή δεν ισχύουν οι παραπάνω ισχυρισμοί. Η ορθή διατύπωση των παραπάνω ισχυρισμών είναι οι εξής: Πρόταση 4η Έστω συνάρτηση g f που ορίζεται στο σύνολο fΑ D , τότε: α) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα γνησίως φθίνουσα) στο Α και η g είναι γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα γνησίως φθίνουσα) στο  f A , τότε η g f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα γνησίως φθίνουσα) στο Α και η g είναι γνησίως φθίνουσα (αντίστοιχα γνησίως αύξουσα) στο  f A , τότε η g f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α [5]. 03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 10 of 14
  11. 11. Πρόταση 5η Έστω συνάρτηση g f που ορίζεται στο σύνολο fΑ D και είναι γνησίως αύξουσα, τότε αν: α) η g είναι γνησίως αύξουσα (τουλάχιστον) στο  f Α , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α . β) η f είναι γνησίως αύξουσα (τουλάχιστον) στο Α , τότε και η g είναι γνησίως αύξουσα στο  f Α . Η σωστή χρήση των προηγούμενων προτάσεων είναι:  Εξετάζουμε τη μονοτονία της f (εσωτερικής συνάρτησης) στο πεδίο ορισμού Α της g f (που είναι υποσύνολο του fD ).  Εξετάζουμε τη μονοτονία της g (εξωτερικής συνάρτησης) στο σύνολο  f A .  Εξετάζουμε τη μονοτονία της g f στο Α. Επομένως, στο πρώτο παράδειγμα (Π1) η σωστή εφαρμογή της πρόταση είναι η εξής:  η f είναι γνησίως αύξουσα στο  g fΑ D ,0    η g είναι γνησίως φθίνουσα στο    f Α 0,1  η g f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α . Ενώ στο δεύτερο παράδειγμα (Π2) έχουμε:  η f είναι γνησίως φθίνουσα στο  g fΑ D 0,    η g είναι γνησίως φθίνουσα στο    f Α ,0  03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 11 of 14
  12. 12.  η g f είναι γνησίως αύξουσα στο Α . Η ύπαρξη ή όχι μιας συνάρτησης που να ικανοποιεί συγκεκριμένα δεδομένα παρουσιάζει ιδιαίτερο διδακτικό ενδιαφέρον. Το παράδειγμα που ακολουθεί είναι χαρακτηριστικό καθώς εμφανίζεται συχνά στη βιβλιογραφία:  Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :  τέτοια ώστε   f f x 3x  για κάθε x α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1 και  f 0 0 . β) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως μονότονη. γ) Να βρείτε την αντίστροφη της f . Ας δούμε την τελευταία πρόταση γι’ αυτή την εισήγηση που θα μας αποδείξει ότι δεν υπάρχουν καν τέτοιες συναρτήσεις που να ικανοποιούν τα δεδομένα της άσκησης: Πρόταση 6η Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f :  τέτοια ώστε η συνάρτηση f f να είναι γνησίως φθίνουσα. Απόδειξη Αν η f f είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση τότε θα είναι και 1 – 1. Από προηγούμενη πρόταση γνωρίζουμε αν η f f είναι 1 – 1 τότε και η f είναι 1 – 1. Επομένως, η f είναι 1 – 1 και συνεχής στο R άρα από το παρακάτω λήμμα έχουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη. Αν η f είναι γνησίως μονότονη τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι η f f είναι γνησίως αύξουσα, άτοπο. 03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 12 of 14
  13. 13. Οπότε, δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε η συνάρτηση f f να είναι γνησίως φθίνουσα ■ Λήμμα Αν μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ είναι συνεχής και 1 – 1, τότε είναι γνησίως μονότονη. [6] Συμπεράσματα Ο τρόπος που χρησιμοποιούμε τη σύνθεση των συναρτήσεων είναι ελλειπτικός. Στην παρούσα εργασία επιχειρείται η κατανόηση της έννοιας δομικά. Η μελέτη και η γνώση της σύνθεσης των συναρτήσεων παρουσιάζει ενδιαφέρον αλλά ταυτόχρονα απαιτεί και ιδιαίτερη προσοχή . Ο διδάσκων έχει τη δυνατότητα να συνδυάσει τη σύνθεση των συναρτήσεων με τις βασικές έννοιες της κάθε παραγράφου. Όπως είδαμε παραπάνω η σύνθεση των συναρτήσεων συνδυάζεται άμεσα με την έννοια της 1 – 1, της μονοτονίας, πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών κτλ. Από μία απλή παρατήρηση – πρόταση μπορεί να «πηγάζουν» αρκετές ασκήσεις. Τέλος, δεν ευνοούν οι τύποι (τυπολόγια) για την περιγραφή των προτάσεων στη σύνθεση συναρτήσεων αφού περισσότερο σύγχυση προκαλούν παρά βοηθούν στην κατανόηση της έννοιας. Η εισήγηση αυτή αποτελεί το πρώτο μέρος με θέμα «Ας μιλήσουμε για τη σύνθεση των συναρτήσεων» [7]. Στα επόμενα συνέδρια θα αναλυθεί περαιτέρω το θέμα αυτό, αφού τα σημεία προσοχής είναι αρκετά και υπάρχουν πολλές και ενδιαφέρουσες προτάσεις. 03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 13 of 14
  14. 14. Βιβλιογραφία 1) Michael Spivak (1991), «Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός», Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο. 2) Σ. Ανδρεαδάκης, Β. Κατσαργύρης, Σ. Μέτης, Κ. Μπρουχούτας, Σ. Παπασταυρίδης, Γ. Πολύζος (2018) «Μαθηματικά Γ Λυκείου», Σχολ. βιβλίο. 3) John B. Fraleigh (1996), «Εισαγωγή στην Άλγεβρα», Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο. 4) Στεργίου Χ., Νάκης Χ., Μπεληγιάννης Α. (2005), «Μαθηματικά για μαθηματικούς», Εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα. 5) Ηλίας Ντζιώρας (1993), «Μαθηματικά Ανάλυση Γ΄ Λυκείου», τόμος Α, Εκδόσεις Πατάκης, Αθήνα. 6) Μέλη της lisari team (ομαδικό έργο) (2016), «Οδηγός Προετοιμασίας Γ΄ Λυκείου», Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική, Αθήνα. 7) Υπό έκδοση βιβλίο: «Ας μιλήσουμε για τη σύνθεση των συναρτήσεων», Μάκης Χατζόπουλος, εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. 8) Σ. Νεγρεπόντης, Σ. Γιωτόπουλος, Ε. Γιαννακούλιας (1992), «Απειροστικός Λογισμός Ι», Εκδόσεις Αίθρα, Αθήνα. 03.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 14 of 14

×