1. Γενικό Λύκειο Νεστορίου Τάξη : Γ΄ Λυκείου
Τµήµα: Γ΄ Κατεύθυνσης ∆ιαγώνισµα :2ο
Θέµα: Συναρτήσεις Παρασκευή 14/12/2012
∆ιάρκεια 3 ώρες
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Έστω f, g :ℜ→ℜ δύο περιττές συναρτήσεις. Να αποδείξετε ότι η
συνάρτηση fοg είναι περιττή. (Μονάδες 5)
Β. Έστω f, g :ℜ→ℜ δύο γνησίως φθίνουσες συναρτήσεις.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση fοg είναι γνησίως αύξουσα.
(Μονάδες 5)
x
Γ. Αν ( g f )( x ) = 2 x − 1 και g ( x ) = , να βρεθεί η συνάρτηση f.
x−2
(Μονάδες 7)
∆. Αν ( f g )( x ) = 4 x − 14 x + 13 και g ( x ) = 2 x − 3 , να βρεθεί η
2
συνάρτηση f. (Μονάδες 8)
ΘΕΜΑ 2ο
Α. ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = 2e x−3 − 1.
α) να εξετάσετε αν η f είναι «1-1». (Μονάδες 4)
β) να εξετάσετε αν η f αντιστρέφεται. (Μονάδες 2)
γ) αν η f αντιστρέφεται να βρείτε την αντίστροφή της. (Μονάδες 4)
δ) να βρεθεί το πεδίο ορισµού και το σύνολο τιµών της f. (Μονάδες 2)
Β. ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = 3ln ( x − 1) − 2 .
α) να εξετάσετε αν η f είναι «1-1». (Μονάδες 4)
β) να εξετάσετε αν η f αντιστρέφεται. (Μονάδες 2)
γ) αν η f αντιστρέφεται να βρείτε την αντίστροφή της.
δ) να βρεθεί το πεδίο ορισµού και το σύνολο τιµών της f. (Μονάδες 2)
ΘΕΜΑ 3ο
Α. Θεωρούµε τη συνάρτηση f , η οποία είναι γνησίως µονότονη και
διέρχεται απ’ τα σηµεία Α(1,2005) και Β(-2,1).
α) Να βρείτε το είδος της µονοτονίας της (Μονάδες 4)
β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. (Μονάδες 2)
( )
β) Να λύσετε την εξίσωση: f −1 −2004 + f ( x 2 − 8 ) = −2 . (Μονάδες 4)
2
Β. Θεωρούµε τη συνάρτηση f ( x ) = 2 + ( x − 2 ) µε x≥2.
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι «1-1». (Μονάδες 5)
β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί ο τύπος της f −1 .
(Μονάδες 5)
γ) Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των
συναρτήσεων f και f −1 . (Μονάδες 5)
Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηµατικός ☺

2. Γενικό Λύκειο Νεστορίου Τάξη : Γ΄ Λυκείου
ΘΕΜΑ 4ο
Α. Θεωρούµε τη συνάρτηση f , η οποία είναι γνησίως µονότονη στο ℜ
και διέρχεται απ’ τα σηµεία Α(1,5) και Β(5,-2).
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. (Μονάδες 5)
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση fοf είναι γνησίως αύξουσα. (Μονάδες 5)
( )
γ) Να λύσετε την ανίσωση : f f ( e x ) < −2 . (Μονάδες 5)
Β. Θεωρούµε τη συνάρτηση g : (0,+∞)→ℜ, η οποία είναι γνησίως
φθίνουσα και η γραφική της παράσταση διέρχεται απ’ το σηµείο Α(1,-2) .
Αν η συνάρτηση f ( x ) = ln x − g ( x ) για κάθε x>0.
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
(Μονάδες 5)
β) Να λύσετε την ανίσωση : 2ln x < 2 + g ( x 2 ) . (Μονάδες 5)
Καραφέρης Γεώργιος ΠΕ03 Μαθηµατικός ☺