ระบบจำนวนจริง

36,060 views

Published on

1 Comment
4 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
36,060
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
13
Actions
Shares
0
Downloads
532
Comments
1
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

ระบบจำนวนจริง

  1. 1. ระบบจํานวนจริง ( Real Number ) แผนผังระบบจํานวนจริ ง เซตของจํานวนจริง ( R ) เซตของจํานวนตรรกยะ ( Q ) เซตของจํานวนอตรรกยะ ( Q, ) เซตของจํานวนจริง (  ) a b a  , b  , b  0 และ a ไม่ใช่จํานวนเต็ม bเซตของจํานวน เซตของศูนย์ เซตของจํานวน เต็มบวก ( +) (0) เต็มลบ (  -)
  2. 2. 1. ลักษณะของจํานวนจริง จํานวน จํานวนเต็ม เซตของจํานวนเต็ม  = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } 1. เซตของจํานวนเต็มบวก หรื อเซตของจํานวนนับ เราคงคุ้นเคยกับสัญลักษณ์ 1, 2, 3, …หรื อจํานวนธรรมชาติ ( natural number ) หรื อจํานวนเต็มบวก ( positive integers )ประกอบด้ วยสมาชิก 1, 2, 3, 4, … และเรานิยมใช้ สญลักษณ์ N หรื อ + แทนเซต - ั N = + = { 1, 2, 3, 4, 5, … } 2. เซตของจํานวนเต็มลบ–1, -2, -3, … และเรานิยมใช้ สญลักษณ์  - ั
  3. 3.  - = { -1, -2, -3, -4, -5, … } 3. เซตของศูนย์ 0เซตดังกล่าว คือ { 0 } 3 ดังกล่าวจะพบว่าเซตของจํานวนเต็ม 3 3 มายูเนียน เศษส่ วนศูนย์ และไม่สามารถตัดทอนให้ เหลือส่วนเป็ น 1 ได้ ( ไม่สามารถเขียนเป็ นจํานวนเต็ม 2 1 7 4 7 4ได้ ) , , , , , เป็ นต้ น 3 5 8 5 8 5 ในทํานองเดียวกัน เราจะพบว่าเซตของจํานวนเต็ม กับ เซต เซตของจํานวนตรรกยะ ( rational number ) และนิยมใช้ Qเป็ นสัญลักษณ์แทนเซต จํานวนตรรกยะ เซตของจํานวนตรรกยะ Q={ a I a  , b   และ b  0 } b
  4. 4. น ต้ องเป็ นเศษส่วน และ 1 1. 4 เป็ นจํานวนตรรกยะ เพราะว่ า 4  , 5   และ 5  0 5 2. 7 เป็ นจํานวนตรรกยะ เพราะว่า 7 = 7 7  , 1   และ 1 1  0 ( แสดงว่าจํานวนเต็มทุกจํานวนต้ องเป็ นจํานวนตรรกยะ เพราะจํานวนเต็มทุกจํานวนจะต้ องมีส่วนเป็ น 1 เสมอ ) 3. 2 ไม่เป็ นจํานวนตรรกยะ เพราะว่า 2  3 2 1. 2.5 เป็ นจํานวนตรรกยะ เพราะว่า 2.5 = 25 10 2. 0.79 เป็ นจํานวนตรรกยะ เพราะว่า 0.79 = 79 100 3. 0.3333 … เป็ นจํานวนตรรกยะ เพราะว่า 0.3333 … = 0.3. = 1 3 4. 0.121212 … เป็ นจํานวนตรรกยะ เพราะว่า 0.121212 … = 0.1.2. = 12 99 2กัน ต่างก็สามารถเขียนอยู่ในรูป a a  , b   และ b  0 bทศ 1.41421 …, 1.73205 …, 3.14286…เราไม่สามารถเขียน 2 = 1.41421 …, 3 = 1.73205 …, = 3.1415 … เป็ นต้ น จํานวนตรรกยะ
  5. 5. จํานวนอตรรกยะ เซตของจํานวนอตรรกยะ ในการศึกษาของปี ทาโกรัสและคณะพบว่า “ ถ้ าด้ านประกอบมุม 1 หน่วยแล้ ว ไม่สามา X 2= 1 + 1 X2 = 2 2, 3, 5, 7, เป็ นต้ น ในทํานองเดียวกันเราจะพบว่าเซตของจํานวนตรรกยะ กับเซต – เซตของจํานวนจริง และนิยมใช้ R เป็ นสัญลักษณ์แทนเซตดังกล่าว จํานวนจริง เซตของจํานวนจริงจํานวนตรรกยะกับเซตของจํานวนอตรรกยะ
  6. 6. ข้ อควรสนใจ 1.  2 ,  5,  7 , …เป็ นต้ น ( รากของจํานวนลบ ) สามารถเปรี ยบเทียบความมากน้ อยได้ 2. ส่ วนเป็ น ศูนย์ โดยเด็ดขาด เพราะลักษณะดังกล่ าวไม่ มีความหมาย หรื อ 5 7 ไม่มีการนิยาม เช่น , , 2 0 , เป็ นต้ น 0 0 0, 02. การเท่ากันของจํานวนจริง หลักการเท่ากันของจํานวนจริง เป็ นการแสดงให้ เห็นว่าลักษณะของว่า คุณสมบัติ 1. คุณสมบัตสะท้ อน ( Reflexive Property ) ิ ถ้ า a เป็ นจํานวนจริงใด ๆ แล้ ว a = a คุณสมบัติข้อ 2. คุณสมบัตการสมมาตร ( Symmetric Property ) ิ ให้ a และ b เป็ นจํานวนจริงใด ๆ ถ้ า a = b แล้ ว b = a 2 จํานวนเท่ากัน จจะ 3 1. X + 2 = 5 จะมีความหมายเหมือนกับ 5 = X + 2 2. X = 36 จะมีความหมายเหมือนกับ X = 36
  7. 7. 3. คุณสมบัตการถ่ ายทอด ( Transitive Property ) ิ ให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงใด ๆ ถ้ า a = b และ b = c แล้ ว a = cจากการเท่ากัน 4 ถ้ าเรามี a = 2 และรู้ว่า 2 = b จากคุณสมบัติการถ่ายทอด เราสามารถสรุปได้ ว่า a = b 4. คุณสมบัตการบวกด้ วยจํานวนเท่ ากัน ิ ให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงใด ๆ ถ้ า a = b แล้ ว a + c = b + c 5 ให้ x = 7 และ b, c เป็ นจํานวนจริง จะได้ x + b = 7 + b x+c=7+c 5. คุณสมบัตการคูณด้ วยจํานวนเท่ ากัน ิ ให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริงใด ๆ ถ้ า a = b แล้ ว ac = bc 43. คุณสมบัติของจํานวนจริงข้ อ 1 - 11 ในระบบจํานวนจริง จะมีคณสมบัติสําคัญอยู่ 15 ุ 11ข้ อแรกเสียก่อน
  8. 8. ให้ R a, b และ c เป็ นสมาชิกใน ( แสดงว่า a, b และ c เป็ นจํานวนจริง )ระบบจํานวนจริงเสมอ 1. คุณสมบัตปิดของการบวก ิ ถ้ า a  R และ b  R แล้ ว a + b  R R มาบวกกันแล้ ว R เสมอ (ยังคงเป็ นจํานวนจริงเสมอ ) 2. คุณสมบัตปิดของการคูณ ิ ถ้ า a  R และ b  R แล้ ว ab  R R มาคูณกันแล้ ว ยู่ใน R เสมอ (ไดัยงคงเป็ นจํานวนจริงเสมอ ) ั 3. ถ้ า a  R และ b  R แล้ ว a + b = b + a R 4. ถ้ า a  R และ b  R แล้ ว ab = ba R 5. รบวก ถ้ า a, b และ c ต่างเป็ นสมาชิกใน R แล้ ว (a+b)+c=a(b+c)
  9. 9. เสมอ 6. ถ้ า a, b และ c ต่างเป็ นสมาชิกใน R แล้ ว (ab)c = a(bc) ากันเสมอ 7. คุณสมบัตการมีเอกลักษณ์ การบวก ิ ในเซตจํานวนจริง R จะมี 0  R 0 + a = a + 0 = a สําหรับทุก ๆ ค่าของ a ใน R เราเรี ยก 0 ว่าเอกลักษณ์การบวก 0 ง0 0 ว่าเอกลักษณ์การบวก 8. คุณสมบัตการมีเอกลักษณ์ การคูณ ิ ในเซตของจํานวนจริง R จะมี 1  R 1 x a= a x 1 = a สําหรับทุก ๆ ค่าของ a ใน R เราเรี ยก 1 ว่าเอกลักษณ์การคูณ 1 1 อ 1 ว่าเอกลักษณ์การคูณ 9. คุณสมบัตการมีอินเวอร์ สการบวก ิ
  10. 10. ถ้ า a  R จะมี -a  R a + (-a) = (-a) + a = 0 เรี ยก -a ว่า อินเวอร์ สการบวกของ a R 1 ตัวจะเป็ นตัวใดก็ได้ สมมติให้ เป็ น a ก็จะมี -a ใน R ( คือ 0 ) และการบวก 10. คุณสมบัตการมีอินเวอร์ สการคูณ ิ ถ้ า a  R และ a  0 จะมี a-1  R aa-1 = a-1a = 1 เรี ยก a-1 ว่าอินเวอร์ สการคูณของ a R 1 ตัว 0 ก็จะมีสมาชิกใน R อยู่ 1 R 1ด้ วย 11. คุณสมบัตการแจกแจง ิ ถ้ า a, b และ c เป็ นสมาชิกใน R แล้ ว a ( b + c ) = ab + acสองจํานวนคือ a และ b + c ปผลบวกของผลคูณ ab กับ ac ก็ได้4. ทฤษฎีบทสําคัญในระบบจํานวนจริง
  11. 11. “ ทฤษฎีบท “จํานวนจริง 1 ให้ a, b และ c เป็ นจํานวนจริง ถ้ า a + c = b + c แล้ ว a = b 2 ให้ a, b และ c c0 ถ้ า ac = bc แล้ ว a = b 3 ถ้ า a เป็ นจํานวนจริงใด ๆ ax0=0xa=0 4 ให้ a และ b เป็ นจํานวนจริงใด ๆ ถ้ า ab = 0 แล้ ว a = 0 หรื อ b = 0 5 ให้ a, b, c และ d b  0, d  0 จะได้ ว่า a  c ad = bc b d 6 ให้ a  0, b  0 เป็ นจํานวนจริง ถ้ า ab = 1 แล้ ว a = b-1 หรื อ b = a-1 7 ให้ a, b a  0, b  0  1  1  จะได้ ว่า     1  a  b  ab 8 ให้ a, b, c และ d c  0, d  0 จะได้ ว่า a b x  ab c d cd 9 ให้ a, b, c และ d c  0, d  0 ad  bc จะได้ a b   c d cd******************************************************************************************

×