1. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
จํานวนจริง ม.4 เทอมตน สาระการเรียนรูเพิ่มเติม
พื้นฐานเกี่ยวกับจํานวนจริง
จํานวนชนิดตางๆ
สมบัติของจํานวนจริง คาสัมบูรณและ
สมบัติของคาสัมบูรณ
การเขียนจํานวนจริงบนเสนจํานวน
การแกสมการ และอสมการ
การแกสมการ
สมการพหุนามรูปทั่วไป
สมการพหุนามรูปพิเศษ สมการคาสัมบูรณ
การแกอสมการ
อสมการพหุนามรูปทั่วไป
อสมการพหุนามรูปพิเศษ อสมการคาสัมบูรณ
ทฤษฎีเศษเหลือ
ทฤษฎีเศษเหลือ
1

2. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
พื้นฐานเกี่ยวกับจํานวนจริง
จํานวนชนิดตางๆ
จํานวนเชิงซอน
จํานวนจริง ไมใชจํานวนจริง
จํานวนอตรรกยะ จํานวนตรรกยะ
ไมใชจํานวนเต็ม จํานวนเต็ม
จํานวนเต็มลบ จํานวนเต็มศูนย จํานวนเต็มบวก
จํานวนเชิงซอน
คือ จํานวนทุกจํานวน
จํานวนเชิงซอนที่เปนจํานวนจริง
คือ จํานวนที่ไมมคาลบที่อยูในรากคูเปนสวนประกอบ
ี
เชน 6, 8, − 7.5, 3 , 2, − 2, − 4 16, − 6 18
5
จํานวนเชิงซอนที่ไมใชจํานวนจริง
1
คือ จํานวนทีมีสวนประกอบของคาลบทีอยูในรากคู เชน
่ ่ −1, 4 −2, 6 −4, , 1 + −1
−4
จํานวนอตรรกยะ
คือ จํานวนที่ไมสามารถเขียนในรูปของทศนิยมซ้ําได
และ ไมสามารถเขียนในรูปเศษสวน ที่เศษเปนจํานวนเต็ม และสวนเปนจํานวนเต็มได
เชน 2 = 1.4142135...
π = 3.141592...
2

3. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
จํานวนตรรกยะ (จํานวนจริงที่ไมใชจํานวนอตรรกยะ)
คือ จํานวนที่สามารถเขียนในรูปของทศนิยมซ้ําได
และ สามารถเขียนในรูปเศษสวน ที่เศษเปนจํานวนเต็ม และสวนเปนจํานวนเต็มได
(สวนไมเทากับ 0 )
i
เชน −1.5 หรือมันก็คือ −1.50... จะเขียนในรูปทศนิยมซ้าไดเปน −1.50
ํ
0, 5, − 4
i i i
3.3, 5.6 23
22 7
,−
7 9
จํานวนตรรกยะที่ไมใชจํานวนเต็ม
i i i
22 7
เชน −1.5, 3.3, 5.6 23, ,−
7 9
จํานวนเต็ม
จํานวนเต็มบวก (จํานวนนับ) เชน 1, 2, 3, 4, 5,...
7 14
,
7 7
จํานวนเต็มศูนย เชน 0, 0
5
จํานวนเต็มลบ เชน −1, − 2, − 3, − 4,...
7 14
− ,−
7 7
3

4. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
สมบัติของจํานวนจริง
ให a, b, c เปนจํานวนจริงใดๆ และ R คือ เซตของจํานวนจริง
สมบัติการเทากัน
สมบัติการสะทอน จะได a = a
สมบัติการสมมาตร ถา a = b แลว b = a
สมบัติการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c
สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากัน ทั้งสองขาง ถา a = b แลว a + c = b + c
สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน ทังสองขาง
้ ถา a = b แลว a. c = b. c
สมบัติการบวก
สมบัติปด ถา a ∈ R และ b ∈ R แลว a + b∈ R
สมบัติการสลับที่ จะได a + b = b + a
สมบัติการเปลี่ยนกลุม จะได a + (b + c) = (a + b) + c
สมบัติมีเอกลักษณการบวก คือ 0 จะได 0 + a = a + 0 = a
สมบัติมีอินเวอรสการบวก a มีอินเวอรสการบวกคือ − a
และ −a มีอนเวอรสการบวกคือ a
ิ
จะได a + (−a) = (−a) + a = 0
สมบัติการคูณ
สมบัติปด ถา a ∈ R และ b ∈ R แลว a . b∈ R
สมบัติการสลับที่ จะได a . b = b . a
สมบัตการเปลี่ยนกลุม
ิ จะได a .(b . c) = (a . b). c
สมบัติมีเอกลักษณการคูณ คือ 1 จะได 1. a = a .1 = a
สมบัติมีอินเวอรสการคูณ a มีอินเวอรสการคูณคือ 1
1 a
(ยกเวน 0 เพราะ ไมมีความหมาย) 1
0 และ มีอนเวอรสการคูณคือ a
ิ
a
จะได a . 1 = 1 . a = 1
a a
สมบัติการคูณและการบวก
สมบัติการแจกแจง จะได a (b + c) = a . b + a . c
4

5. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
การเขียนจํานวนจริงบนเสนจํานวน
เครื่องหมาย =, ≥, ≤ และ วงเล็บ [ , ] จุดทึบ
เครื่องหมาย ≠, >, < และ วงเล็บ ( , ) จุดโปรง
ตัวอยางเขียน x บนเสนจํานวน ดังนี้
x=0
0
x ≠ 0 เขียนไดวา {x x ≠ 0} หรือเขียนไดวา (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
0
x < 1 เขียนไดวา {x x < 1} หรือเขียนไดวา (−∞, 1)
1
−2 ≤ x < 3 เขียนไดวา {x −2 ≤ x < 3} หรือเขียนไดวา [−2, 3)
−2 3
x < −2 หรือ x≥3 เขียนไดวา {x x < −2 หรือ x ≥ 3} หรือเขียนไดวา (−∞, − 2) ∪ [3, ∞)
−2 3
5

6. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
คาสัมบูรณและสมบัติของคาสัมบูรณ
คาสัมบูรณ
ให a เปนจํานวนจริงใดๆ
คาสัมบูรณของ a หรือ a คือ ระยะทางจากจุด a ถึง 0 ซึ่งระยะทางจะมีคาบวกเสมอ

เชน 3 หรือ −3 จะมีคาเทากันคือ 3
−3 = 3 3 =3
−3 0 3
3 3
ดังนัน
้ −7 = 7 − =
2 2
7 7
7 =7 =
6 6
*วิธีถอดเครืองหมายคาสัมบูรณทําไดดังนี้
่
ถา a < 0 แลว a = −a (ลบอยูหนาลบ ไดคาบวก)
ถา a > 0 แลว a = a
ถา a = 0 แลว a = 0
6

7. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
สมบัติของคาสัมบูรณ
ให x, y เปนจํานวนจริงใดๆ และ a เปนจํานวนจริงที่มากกวา 0
1) x ≥ 0
2) x = − x
3)* x = a เมื่อ x = a หรือ x = −a
4) x . y = x . y
x x
5) = โดยที่ y≠0
y y
ตรงสวนที่มีเครื่องหมาย *
( x)
2
6)* x = x2 ≠
เปนความรูพื้นฐานสําคัญที่ตองนํามาใช
7) x
2
= x2 แกสมการและอสมการคาสัมบูรณ
8)* x <a จะไดวา −a < x < a
x ≤ a จะไดวา −a ≤ x ≤ a
x >a จะไดวา x < −a หรือ a < x
x ≥a จะไดวา x ≤ −a หรือ a ≤ x
9) x + y ≤ x + y
10) x − y ≥ x − y
7

8. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
การแกสมการ และอสมการ
การแกสมการ
การแกสมการพหุนามรูปทั่วไป
เชน 2 x 4 − 14 x 2 = −12 x
ขั้นที่ 1
ยายขางใหขางนึงของสมการมีคาเปน 0
และ อีกขาง ให ส.ป.ส. หนาตัวแปรยกกําลังสูงสุดมีคาเปนบวก
จะได 2 x 4 − 14 x 2 + 12 x = 0
ขั้นที่ 2
ถาพหุนามมีตวรวมดึงออกมาเลย และถาเปนคาคงตัวหารตลอดไดสมการเลย
ั
(แตตวแปรหามหารตลอดสมการ เพราะตัวแปรมีคาเปน 0 ได ซึ่งตัวสวนเปน 0 หาคาไมไดนะ)
ั
ซึ่งจะเห็นวา 2 x 4 − 14 x 2 + 12 x มี 2x เปนตัวรวม ดึงออกมาเลย
จะได 2x( x3 − 7 x + 6) = 0 นํา 2 หารตลอดสมการ แตหามนํา x หารตลอดสมการ
จะได x( x3 − 7 x + 6) = 0
ขั้นที่ 3
แยกแฟกเตอร (หลังจากแยกแฟกเตอรแลว ส.ป.ส. หนา ตัวแปรตองมีคาบวก)
แยกแฟกเตอร x3 − 7 x + 6 ทําโดยขั้นตอนดังนี้
3.1) หาคาที่แทนใน x แลวทําให x3 − 7 x + 6 มีคาเปน 0
ควรลองคางายๆ แทนดูกอน เชน 1, − 1, 2, − 2,... ลองเอา 1 แทนดูกอน
จะได 13 − 7(1) + 6 = 1 − 7 + 6 = 0
ดังนัน จะไดวา ( x − 1) เปนตัวประกอบนึงของ x3 − 7 x + 6
้
เขียนไดวา x3 − 7 x + 6 = ( x − 1) (
 )
3.2) หาตัวประกอบที่เหลือโดยการหารยาว
x2 + x − 6
x − 1 x3 − 7x + 6
x3 − x 2
x2 − 7 x + 6
x2 − x
− 6x + 6
− 6x + 6
0
8

9. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
3.3) ดังนันจากขั้นตอนที่ 2
้ x( x3 − 7 x + 6) = 0
x ( x − 1) ( x 2 + x − 6) = 0
x ( x − 1) ( x + 3) ( x − 2) = 0
คําตอบของสมการคือ 0, 1, − 3, 2
การแกสมการพหุนามรูปพิเศษ
เศษ
พหุนามรูปพิเศษ หมายถึง กลุมตัวแปร หรือ
กลุมตัวแปร
หลักการที่สําคัญมากๆ
กอนจะตะลุยแกสมการใหเขียนเงื่อนไขขางตนของกลุมตัวแปรซะกอน
เชน กลุมตัวแปร
กลุมตัวแปร ≥ 0
กลุมตัวแปร ≠ 0
เศษ
กลุมตัวแปร
หลังจากเขียนเงื่อนไขขั้นตนแลว
ทําใหพหุนามรูปพิเศษ ใหเปนพหุนามรูปทั่วไป แลวแกสมการตามขั้นตอนของการแกสมการ
พหุนามรูปทั่วไปจนไดคําตอบ
สําคัญมาก กอนจะสรุปคําตอบ ตองนําคําตอบที่ได Check ดูวาเปนตามเงื่อนไขขางตน
หรือไม เอาแตเฉพาะคําตอบที่เปนตามเงื่อนไขขางตน เทานัน ้
9

10. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
การแกสมการคาสัมบูรณ
ให x = a ถอดเครื่องหมายคาสัมบูรณ ทําได 2 วิธี
วิธีที่ 1 ยกกําลังสองทั้งสองขาง วิธีที่ 2 แยกกรณี
x =a x
จาก x = x2 กรณีที่ x ≥ 0 หรือ กรณีที่ x < 0
จะได x2 = a ยกกําลังสองทั้งสองขาง จะได x = x จะได x = − x
จะได x2 = a2
x2 − a2 = 0
( x − a) ( x + a) = 0
x = a, − a
***วิธีนี้ไมเหมาะ ถาในสมการ ตัวแปรยกกําลัง
มากกวาหนึ่ง
10

11. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
การแกอสมการ (ขอสอบเขามหาวิทยาลัยชอบออกมาก!!!)
***พื้นฐานสําคัญที่ตองรูเกี่ยวกับอสมการ***
ถานําคาลบมาคูณหรือหารทั้งสองขางของอสมการ เครื่องหมายอสมการตองกลับขาง
เชน
ให a, b, c เปนจํานวนจริง
ถา a < b และ c เปนคาลบ ถา a ≤ b และ c เปนคาลบ
a b
จะได a. c > b. c จะได ≥
c c
การยกกําลังสองทั้งสองขางของอสมการ
ให a < b
จะได a 2 < b2 ถา a และ b เปนคาบวก ทังคู ( a เปน 0 ก็ได)
้
จะได a 2 > b2 ถา a และ b เปนคาลบ ทั้งคู ( b เปน 0 ก็ได)
***แตถา a เปนลบ และ b เปนบวก จะบอกไมไดวา a 2 < b2 หรือ a 2 > b2

การแกอสมการพหุนามรูปทั่วไป
ทําขั้นตอนเหมือนแกสมการพหุนามรูปทัวไปจนแยกแฟกเตอรเสร็จ
่
(ส.ป.ส. หนาตัวแปรตองเปนบวกทั้งหมด)
เชน ( x − a) ( x − b) < 0
นําคาทีทําใหพหุนามเปน 0 มาเขียนบนเสนจํานวน ก็คือ คา a, b
่
ใสจุด ถา > , < จุดโปรง
ถา ≥ , ≤ จุดทึบ
ใสเครื่องหมาย + , − สลับกัน
จากขวาไปซาย (เริ่ม + ขวาสุดกอน)
+ − +
a b
ถา พหุนาม < , ≤ เอาชวง −
ถา พหุนาม > , ≥ เอาชวง +
11

12. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
Note ถาแยกแฟกเตอรแลวมีบางวงเล็บ
ยกกําลังเลขคู ( x − a)2,4,6,... ใหใสเครื่องหมายซ้ําเดิมจากขวาไปซาย ที่จด a นัน
ุ ้
แตถายกกําลังเลขคี่ ( x − a)3,5,7,... ใหคดเหมือน ( x − a) ไดเลย
ิ
เชน
( x − a ) 2 ( x − b) < 0
− − +
a b
( x − a ) 2 ( x − b)3 ( x − c ) 4 < 0
− − + +
a b c
12

13. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
การแกอสมการพหุนามรูปพิเศษ
เศษ
พหุนามรูปพิเศษ หมายถึง กลุมตัวแปร หรือ
กลุมตัวแปร
หลักการที่สําคัญมากๆ
กอนจะตะลุยแกอสมการใหเขียนเงื่อนไขขางตนของกลุมตัวแปรซะกอน
เชน กลุมตัวแปร
กลุมตัวแปร ≥ 0
กลุมตัวแปร ≠ 0
เศษ
กลุมตัวแปร
หลังจากเขียนเงื่อนไขขั้นตนแลว
ทําใหพหุนามรูปพิเศษ ใหเปนพหุนามรูปทั่วไป แลวแกอสมการตามขั้นตอนของการแกอสมการ
พหุนามรูปทั่วไปจนไดคําตอบ
สําคัญมาก กอนจะสรุปคําตอบ ตองนําคําตอบที่ได Check ดูวาเปนตามเงื่อนไขขางตน
หรือไม เอาแตเฉพาะคําตอบที่เปนตามเงื่อนไขขั้นตน เทานัน ้
13

14. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
***หลักในการแกอสมการพหุนามที่กลุมตัวแปรอยูที่สวน

เชน
1
≤1
x−5
เงื่อนไขขางตนคือ x −5 ≠ 0 ดังนัน
้ x≠5
นํา ( x − 5)2 มาคูณทังสองขางของอสมการ
้
***สาเหตุทตองเปน ( x − 5)2 ไมเปน ( x − 5) เพราะ
ี่
( x − 5) เราไมรูวาเปนคาบวกหรือลบ ดังนันเครื่องหมายอสมการจึงไมรูวาตองกลับขางหรือไม
้
( x − 5) 2 เรามันใจไดเลยวาเปนบวก ดังนันเครื่องหมายอสมการเหมือนเดิม
่ ้
จะได x − 5 ≤ ( x − 5) 2
x − 5 ≤ x 2 − 10 x + 25
เนื่องจากเงื่อนไขขางตน x ≠ 5
0 ≤ x 2 − 11x + 30 ดังนั้นที่ x = 5 จึงเปนจุดโปรง
0 ≤ ( x − 6) ( x − 5)
+ − +
5 6
จึงได x = (−∞,5) ∪ [6, ∞)
14

15. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
การแกอสมการคาสัมบูรณ
ถอดเครื่องหมายคาสัมบูรณ ทําได 3 วิธี
วิธีที่ 1 ยกกําลังสองทั้งสองขาง
เปลี่ยนจาก x ไปเปน x 2 แลวยกกําลังสองทั้งสองขางของอสมการเพื่อให หายไป
***วิธีนี้ตองใชกับอสมการทีมั่นใจวา ซาย-ขวา เปนบวกทั้งคู หรือ ซาย-ขวา เปนลบทั้งคู
่
ยกกําลังสองทังสองขางแลวจะไดรูวาเครื่องหมายอสมการตองเปนยังไง
้
***วิธีนี้ไมเหมาะ ถาในสมการ ตัวแปรยกกําลัง มากกวาหนึ่ง
วิธีที่ 2 ทําแบบแบงชวง
x <a x >a
จะไดวา −a < x < a จะไดวา x < −a หรือ a < x
เขียนใหมไดเปน x < −a ∪ a < x
− a < x และ x < a
−a < x ∩ x < a
x ≤a x ≥a
จะไดวา −a ≤ x ≤ a จะไดวา x ≤ −a หรือ a ≤ x
เขียนใหมไดเปน x ≤ −a ∪ a ≤ x
− a ≤ x และ x ≤ a
−a ≤ x ∩ x ≤ a
สําคัญมาก “และ” คือ ∩ “หรือ” คือ ∪
วิธีที่ 3 แยกกรณี
กรณีที่ x ≥ 0 หรือ กรณีที่ x < 0
จะได x = x จะได x = − x
15

16. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
ทฤษฎีเศษเหลือ
f ( x) หารดวย ( x − c) เศษเหลือ เทากับ f (c )
และถา
f ( x) หารดวย ( x − c) เศษเหลือ เทากับ 0
f (c) = 0 แสดงวา ( x − c) เปนตัวประกอบนึงของ f ( x) หรือ
( x − c) หาร f ( x) ลงตัว
เชน
f ( x) = x 2 − x + 1 หารดวย x−2 จะเหลือเศษเทาไหร
จะเหลือเศษเทากับ f (2) = 22 − 2 + 1 = 3
16