1. แผนการจัดการเรียนรู
ผลการเรียนรู
1. หาระยะทางระหวางจุดสองจุด จุดกึ่งกลาง ระยะหางระหวางเสนตรงกับจุดได
2. หาความชันของเสนตรง สมการเสนตรง เสนขนาน เสนตั้งฉาก และนําไปใชได
3. เขียนความสัมพันธที่มีกราฟเปนภาคตัดกรวย เมื่อกําหนดสวนตางๆของภาคตัดกรวยให
และเขียนกราฟของความสัมพันธนั้นได
4. นําความรูเรื่องการเลื่อนแกนขนานไปใชในการเขียนกราฟได
5. นําความรูเรื่องเรขาคณิตวิเคราะหไปใชแกปญหาได

2. กรอบการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนและการประเมินผลตามสภาพจริง
กลุมสาระการเรียนรู คณิตศาสตร
คณิตศาสตรเพิ่มเติม รหัสวิชา ค31202 เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะห ระดับชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 จํานวน 25 ชั่วโมง
ผลการเรียนรู ภาระงาน / กิจกรรมหลัก ผลงาน / ชิ้นงาน / คุณลักษณะ เกณฑการประเมิน มาตรฐานคุณภาพที่สงผล
1. สรุปความคิดรวบยอด 1. นักเรียนแตละกลุมสรุป 1. สรุปความคิดรวบยอด 1.การสรุปความคิดรวบยอด
เกี่ยวกับการหาระยะทาง ความคิดรวบยอดเกี่ยวกับ เกี่ยวกับการหาระยะทาง เกี่ยวกับการหาระยะทาง
ระหวางจุดสองจุดจุดกึ่งกลาง การหาระยะทางระหวางจุด ระหวางจุดสองจุด จุดกึ่งกลาง ระหวางจุดสองจุดจุดกึ่งกลาง
ระยะหางระหวางเสนตรงกับ สองจุด จุดกึ่งกลาง ระยะหาง ระยะหางระหวางเสนตรงกับ ระยะหางระหวางเสนตรงกับ
จุดได ระหวางเสนตรงกับจุดได จุดได จุดได (KและP)
2. หาความชันของเสนตรง 2. นักเรียนแตละกลุมสรุป 2. หาความชันของเสนตรง 2.สรุปความคิดรวบยอด
สมการเสนตรง เสนขนาน ความคิดรวบยอดเกี่ยวกับ สมการเสนตรง เสนขนาน เสน เกี่ยวกับการหาความชันของ
เสนตั้งฉาก และนําไปใชได การหาความชันของเสนตรง ตั้งฉาก และนําไปใชได เสนตรง สมการเสนตรง
สมการเสนตรง เสนขนาน เสน เสนขนาน เสนตั้งฉาก
ตั้งฉาก และนําไปใชได และนําไปใชได(KและP)

3. 3.สรุปความคิดรวมยอด
3. เขียนความสัมพันธที่มี 3. นักเรียนแตละกลุม 3. เขียนความสัมพันธที่มี
เกี่ยวกับการเขียนความสัมพันธ
กราฟเปนภาคตัดกรวย สามารถสรุปความคิดรวม กราฟเปนภาคตัดกรวย เมื่อ
ที่มีกราฟเปนภาคตัดกรวย เมื่อ
เมื่อกําหนดสวนตางๆ ยอดเกี่ยวกับการเขียน กําหนดสวนตางๆของภาค
กําหนดสวนตางๆของภาคตัด
ของภาคตัดกรวยใหและ ความสัมพันธที่มีกราฟเปน ตัดกรวยใหและเขียนกราฟ
กรวยใหและเขียนกราฟของ
เขียนกราฟของ ภาคตัดกรวย เมื่อกําหนด ของความสัมพันธนนได
ั้
ความสัมพันธนั้นได(KและP)
ความสัมพันธนั้นได สวนตางๆของภาคตัด
กรวยใหและเขียนกราฟ
ของความสัมพันธนนได
ั้
4. นําความรูเรื่องการเลื่อน 4. นักเรียนทุกคนสามารถนํา 4. สามารถนําความรูเรื่องการ 4. นําความรูเรื่องการเลื่อนแกน
แกนขนานไปใชในการเขียน ความรูเรื่องการเลื่อนแกน เลื่อนแกนขนานไปใชในการ ขนานไปใชในการเขียนกราฟ
กราฟได ขนานไปใชในการเขียนกราฟ เขียนกราฟได ได(KและP)
ได
5.นําความรูเรื่องเรขาคณิต 5.นําความรูเรื่องเรขาคณิต
5.นําความรูเรื่องเรขาคณิต วิเคราะหไปใชแกปญหาได วิเคราะหไปใชแกปญหาได
5.นําความรูเรื่องเรขาคณิต วิเคราะหไปใชแกปญหาได
วิเคราะหไปใชแกปญหาได คุณลักษณะ ( A ) (KและP)
1. การทํางานรวมกับผูอื่น
2. มีเจตคติทดีตอการเรียน
ี่
การสอน

4. เกณฑระดับคุณภาพ ( Rubrics )
ระดับคุณภาพ
เกณฑ
4 ( ดีเยี่ยม ) 3 ( ดี ) 2 ( พอใช ) 1 ( ปรับปรุง )
1. สรุปความคิดรวบยอด สรุปความคิดรวบยอด สรุปความคิดรวบยอด สรุปความคิดรวบยอด สรุปความคิดรวบยอด
เกี่ยวกับการหาระยะทาง เกี่ยวกับการหาระยะทาง เกี่ยวกับการหาระยะทาง เกี่ยวกับการหาระยะทาง เกี่ยวกับการหาระยะทาง
ระหวางจุดสองจุดจุดกึ่งกลาง ระหวางจุดสองจุด จุดกึ่งกลาง ระหวางจุดสองจุดจุดกึ่งกลาง ระหวางจุดสองจุดจุดกึ่งกลาง ระหวางจุดสองจุดจุดกึ่งกลาง
ระยะหางระหวางเสนตรงกับ ระยะหางระหวางเสนตรงกับ ระยะหางระหวางเสนตรงกับ ระยะหางระหวางเสนตรงกับ ระยะหางระหวางเสนตรงกับ
จุดได จุดไดถูกตองครบถวน จุดได ถูกตองครบถวน จุดได ถูกตองครบถวน จุดได ถูกตองครบถวน
รอยละ 80 รอยละ 70 รอยละ 65 รอยละ 60
2. หาความชันของเสนตรง
หาความชันของเสนตรง หาความชันของเสนตรง หาความชันของเสนตรง หาความชันของเสนตรง
สมการเสนตรง เสนขนาน เสน
สมการเสนตรง เสนขนาน เสน สมการเสนตรง เสนขนาน เสน สมการเสนตรง เสนขนาน เสน สมการเสนตรง เสนขนาน เสน
ตั้งฉาก และนําไปใชได
ตั้งฉาก และนําไปใชได ตั้งฉาก และนําไปใชได ตั้งฉาก และนําไปใชได ตั้งฉาก และนําไปใชได
ถูกตองรอยละ 80 ไดถูกตองรอยละ 70 ไดถูกตองรอยละ 65 ไดถูกตองรอยละ 60

5. 3. เขียนความสัมพันธที่มีกราฟ เขียนความสัมพันธที่มีกราฟ เขียนความสัมพันธที่มีกราฟ เขียนความสัมพันธที่มีกราฟ เขียนความสัมพันธที่มีกราฟ
เปนภาคตัดกรวย เมื่อกําหนด เปนภาคตัดกรวย เมื่อกําหนด เปนภาคตัดกรวย เมื่อกําหนด เปนภาคตัดกรวย เมื่อกําหนด เปนภาคตัดกรวย เมื่อกําหนด
สวนตางๆของภาคตัดกรวยให สวนตางๆของภาคตัดกรวยให สวนตางๆของภาคตัดกรวยให สวนตางๆของภาคตัดกรวยให สวนตางๆของภาคตัดกรวยให
และเขียนกราฟของ และเขียนกราฟของ และเขียนกราฟของ และเขียนกราฟของ และเขียนกราฟของ
ความสัมพันธนั้นได ความสัมพันธนั้นได ความสัมพันธนั้นได ความสัมพันธนั้นได ความสัมพันธนั้นได
ถูกตองรอยละ 80 ถูกตองรอยละ 70 ถูกตองรอยละ 65 ถูกตองรอยละ 60
4. นําความรูเรื่องการเลื่อนแกน นําความรูเรื่องการเลื่อนแกน นําความรูเรื่องการเลื่อนแกน นําความรูเรื่องการเลื่อนแกน นําความรูเรื่องการเลื่อนแกน
ขนานไปใชในการเขียนกราฟ ขนานไปใชในการเขียนกราฟ ขนานไปใชในการเขียนกราฟ ขนานไปใชในการเขียนกราฟ ขนานไปใชในการเขียนกราฟ
ได ได ได ได ได
ถูกตองรอยละ 80 ถูกตองรอยละ 70 ถูกตองรอยละ 65 ถูกตองรอยละ 60
5.นําความรูเรื่องเรขาคณิต นําความรูเรื่องเรขาคณิต นําความรูเรื่องเรขาคณิต นําความรูเรื่องเรขาคณิต นําความรูเรื่องเรขาคณิต
วิเคราะหไปใชแกปญหาได วิเคราะหไปใชแกปญหาได วิเคราะหไปใชแกปญหาได วิเคราะหไปใชแกปญหาได วิเคราะหไปใชแกปญหาได
ถูกตองรอยละ 80 ถูกตองรอยละ 70 ถูกตองรอยละ 65 ถูกตองรอยละ 60

6. เกณฑระดับคุณภาพ (Rubrics)
คุณลักษณะ : การทํางานรวมกับผูอื่น

พฤติกรรมบงชี้ 1. มีปฎิสัมพันธรวมกับกลุม 2. แสดงความคิดเห็นสนใจความรูสึกและยอมรับฟงความคิดเห็นของผูอื่น 3. ปฏิบัติงานตามที่รับมอบหมาย
ระดับคุณภาพ
เกณฑ
4 ( ดีเยี่ยม ) 3 ( ดี ) 2 ( พอใช ) 1 ( ปรับปรุง )
คุณลักษณะ : การทํางาน ปฏิบัติงานตามที่ไดรับ ปฏิบัติงานตามที่ไดรับมอบหมาย ปฏิบัติงานตามที่ไดรับ ไมปฏิบัติงานตามที่รับ
รวมกับผูอื่น มอบหมายและขอตกลงของ และขอตกลงของกลุมจนสําเร็จ มี มอบหมายและขอตกลงของ มอบหมายและขอตกลงของ
กลุมจนสําเร็จ มีปฏิสัมพันธ ปฏิสัมพันธรวมกับกลุมดวยความ กลุมจนสําเร็จ มี กลุม ขาดแสดงความคิดเห็น
รวมกับกลุมดวยความเอาใจใส เอาใจใสและแสดงความคิดเห็น ปฏิสัมพันธรวมกับกลุมดวย และไมยอมรับความคิดเห็น
และแสดงความคิดเห็นโดย โดยคํานึงถึงความรูสกของผูอื่น
ึ  ความไมคอยเอาใจใสและไม ของผูอื่น
คํานึงถึงความรูสึกของผูอื่น
 และยอมรับความคิดเห็นของผูอื่น แสดงความคิดเห็น
และยอมรับความคิดเห็นของ บางประเด็น
ผูอื่น

7. เกณฑระดับคุณภาพ ( Rubrics )
คุณลักษณะ : ดานการมีเจตคติที่ดตอการเรียนการสอน
ี
พฤติกรรมบงชี้ 1. มีความสุขกับการเรียน 2. มีความภาคภูมใจในผลงาน 3. เห็นประโยชนหรือคุณคาที่ไดรับจากการปฏิบัติงาน
ิ
4. มองเห็นสิ่งที่จะนําไปใชในชีวิตประจําวัน
ระดับคุณภาพ
เกณฑ
4 ( ดีเยี่ยม ) 3 ( ดี ) 2 ( พอใช ) 1 ( ปรับปรุง )
คุณลักษณะ : ดานการมีเจต นักเรียนแสดงความรูสกที่
ึ นักเรียนแสดงความรูสกที่
ึ นักเรียนแสดงความรูสกที่
ึ นักเรียนแสดงความรูสกที่
ึ
คติที่ดีตอการเรียนการสอน สะทอนตามพฤติกรรมบงชี้ สะทอนตามพฤติกรรมบงชี้ สะทอนตามพฤติกรรมบงชี้ สะทอนตามพฤติกรรมบงชี้
4 ขอ 3 ขอ 2 ขอ 1 ขอ

8. การสรุปภาพรวมของผลการเรียนรู 
นําผลการประเมินจากผลงานหรือคุณลักษณะ รวมกันแลวเทียบกับชวงคะแนนในการตัดสินผลการเรียนรูที่คาดหวัง
ระดับคุณภาพ ชวงคะแนน
4 13 – 16
3 11 – 12
2 9 - 10
1 ต่ํากวา 9
การประกันผลการเรียนรูและการประกันการสอน
รายบุคคล ผูเรียนมีผลการเรียนรูในผลการเรียนรูที่คาดหวัง
ระดับคุณภาพ ดี ขึ้นไปถือวา ผาน
รายกลุม รอยละ 80 ของจํานวนที่ไดระดับผลการเรียนรู ดี ขึ้นไป ถือวาผูสอนประสบผลสําเร็จในการสอน

9. แผนการจัดการเรียนรู
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะห
คณิตศาสตรเพิ่มเติม รหัสวิชา ค 31202 ภาคเรียนที่ 2 ระดับชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4
ชื่อหนวยการเรียนรู เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะห จํานวน 25 คาบ
ผลการเรียนรู
1. หาระยะทางระหวางจุดสองจุด จุดกึ่งกลาง ระยะหางระหวางเสนตรงกับจุดได
2. หาความชันของเสนตรง สมการเสนตรง เสนขนาน เสนตั้งฉาก และนําไปใชได
3. เขียนความสัมพันธที่มีกราฟเปนภาคตัดกรวย เมื่อกําหนดสวนตางๆของภาคตัดกรวย
ใหและเขียนกราฟของความสัมพันธนั้นได
4. นําความรูเรื่องการเลื่อนแกนขนานไปใชในการเขียนกราฟได
5. นําความรูเรื่องเรขาคณิตวิเคราะหไปใชแกปญหาได

10. 3. สาระการเรียนรู
3.1 ความรูเบื้องตนเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห
3.1.1 ระยะทางระหวางจุดสองจุด
3.1.2 จุดกึ่งกลางระหวางจุดสองจุด
3.1.3 ความชันของเสนตรง
3.1.4 เสนขนาน
3.1.5 เสนตั้งฉาก
3.1.6 ความสัมพันธซึ่งมีกราฟเปนเสนตรง
3.1.7 ระยะหางระหวางเสนตรงกับจุด
3.2 ภาคตัดกรวย
3.2.1 วงกลม
3.2.2 วงรี
3.2.3 พาราโบลา
3.2.4 ไฮเพอรโบลา
3.2.5 การเลื่อนกราฟ
4. กิจกรรมการเรียนรู
ชั่งโมงที่ 1
ครูใหนกเรียนทําแบบทดสอบกอนเรียน เพื่อวัดผลประเมินความรูของนักเรียน
ั 
ชั่วโมงที่ 2-9
ขั้นนํา
1 . ครูอธิบายถึงประโยชนของการวัดผลกอนเรียนและแจงผลการประเมินใหนักเรียนทราบ
2. แบงกลุมนักเรียนคละความสามารถ กลุมละ 7 คน
ขั้นสอน
3. ครูใหนักเรียนแตละกลุมศึกษาใบความรู
4. สรุปผลที่ไดจากการทํากิจกรรมในใบความรู
5. ทําใบงานที่ครูกําหนดให
6. ครูและนักเรียนรวมกันสรุปความคิดรวมยอดเกี่ยวกับการหาระยะทางระหวางจุดสองจุด
จุดกึ่งกลาง ระยะหางระหวางเสนตรงกับจุด
7. ครูและนักเรียนรวมกันสรุปความคิดรวมยอดเกี่ยวกับ การหาคาความชัน สมการเสนตรง
เสนตั้งฉาก

11. ชั่วโมงที่ 10
ใหนักเรียนทําแบบทดสอบหลังเรียน แลแจงผลการสอบ เพื่อเปรียบเทียบกับคะแนนกอนเรียน
ชั่วโมงที่ 11
ครูใหนกเรียนทําแบบทดสอบกอนเรียน เพื่อวัดผลประเมินความรูของนักเรียน
ั 
ชั่วโมงที่ 12-19
ขั้นนํา
1 . ครูอธิบายถึงประโยชนของการวัดผลกอนเรียนและแจงผลการประเมินใหนักเรียนทราบ
2. แบงกลุมนักเรียนคละความสามารถ กลุมละ 7 คน
ขั้นสอน
3. ครูใหนักเรียนแตละกลุมศึกษาใบความรู
4. สรุปผลที่ไดจากการทํากิจกรรมในใบความรู
5. ทําใบงานที่ครูกําหนดให
6. ครูและนักเรียนรวมกันสรุปความคิดรวมยอดเกี่ยวกับภาคตัดกรวย ในเรื่องของ วงกลมและ
พาราโบลา
6. ครูและนักเรียนรวมกันสรุปความคิดรวมยอดเกี่ยวกับภาคตัดกรวย ในเรื่องของ วงรี
และไฮเพอรโบลา
ชั่วโมงที่ 20
ใหนักเรียนทําแบบทดสอบหลังเรียน แลแจงผลการสอบ เพื่อเปรียบเทียบกับคะแนนกอนเรียน
ชั่วโมงที่ 21
ครูใหนกเรียนทําแบบทดสอบกอนเรียน เพื่อวัดผลประเมินความรูของนักเรียน
ั 
ชั่วโมงที่ 22-24
ขั้นนํา
1 . ครูอธิบายถึงประโยชนของการวัดผลกอนเรียนและแจงผลการประเมินใหนักเรียนทราบ
2. แบงกลุมนักเรียนคละความสามารถ กลุมละ 7 คน

12. ขั้นสอน
3. ครูใหนักเรียนแตละกลุมศึกษาใบความรู
4. สรุปผลที่ไดจากการทํากิจกรรมในใบความรู
5. ทําใบงานที่ครูกําหนดให
6. ครูและนักเรียนรวมกันสรุปความคิดรวมยอด เรื่องการเลื่อนแกนขนานไปใชในการเขียนกราฟ
7. ครูและนักเรียนรวมกันสรุปความคิดรวมยอดเกี่ยวกับ ความรูเรื่องเรขาคณิตวิเคราะหไปใช
แกปญหา
ชั่วโมงที่ 25
ใหนักเรียนทําแบบทดสอบหลังเรียน แลแจงผลการสอบ เพื่อเปรียบเทียบกับคะแนนกอนเรียน
4. การวัดผลประเมินผล
การประเมินผล
การวัดผล
1. สังเกตจากการตอบคําถาม 1.
2. สังเกตจากการรวมกิจกรรม 2.
3. ทําเอกสารแนะแนวทาง 3.
4. ทําเอกสารฝกหัด 4.
5. ทําโจทยพิเศษทายชัวโมง
่ 5.
6. ทําแบบฝกหัดเพิ่มเติม 6.
5. สื่อการเรียนรู 
- เอกสารประกอบการเรียนรู
- เอกสารแนะแนวทาง
แหลงการเรียนรู
- หองสมุดคณิตศาสตร
- คลินิคคณิตศาสตร
- ครู , รุนพี่ , เพื่อน หรือผูที่มีความรูในเรื่องนี้


13. 6. บันทึกหลังผลการจัดการเรียนรู
ผลการเรียนรู
1. ดานความรู
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
2. ดานทักษะ/กระบวนการ
............................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
3. ดานคุณลักษณะที่พึงประสงค
............................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
ปญหาที่ควรแกไข/พัฒนา วิธีดําเนินการแกไข/พัฒนา ผลการแกไข/พัฒนา
............................................ ............................................ ............................................
.................................................. .................................................. ..................................................
.................................................. .................................................. ..................................................
.................................................. .................................................. ..................................................
.................................................. .................................................. ..................................................
ลงชือ...........................................ผูจัดกิจกรรมการเรียนรู
่
(นายอุดม วงศศรีดา)
ตําแหนง ครู ชํานาญการพิเศษ

14. สาระการเรียนรู 
เรขาคณิตวิเคราะห
1. ระบบพิกัดฉาก ประกอบดวยเสนตรง สองเสนเสนหนึ่งอยูในแนวนอน เรียกวา
แกน x อีกเสนหนึ่งอยูในแนวตังเรียกวาแกน y ทั้งสองเสนนี้ตัดกันเปนมุมฉาก
้
และเรียกจุดตัดวา จุดกําเนิด
y
ควอดรันตที่ II ควอดรันตที่ I
(­,+) (+,+)
x
ควอดรันตที่ III ควอดรันตที่ IV
(­,­) (+,­)
2. การหาระยะทางระหวางจุด 2 จุด
ถา P(x1,y1) และ P(x2,y2) เปนจุด 2 จุดในระนาบ ระยะทางระหวางจุด
P และจุด Q หาไดโดย
PQ = Ö (x2­x1) + (y2­y1) 2
2
3. จุดกึ่งกลางระหวางสองจุด
ถา P(x1,y1) และ P(x2,y2) เปนจุด 2 จุดในระนาบและให M(x,y) เปน
จุดกึ่งกลางระหวาง P และ Q เราสามารถหาจุด M ไดดังนี้
จุดกึ่งกลาง M คือ x1+ x2 , y1+ y2
2 2

15. 4. สมการของเสนตรง Q(x2,y2)
4.1 ความชัน(slop)=tanq=m
Q(x1,y1)
ความชัน = m = y2 ­ y1
x2 ­ x1
4.2 สมการเสนตรงที่ผานจุด (x1,y1) และมีความชันเทากับ m คือ
y ­ y1 = m(x ­ x1)
4.3 สมการเสนตรงทีมี y ­intercept เทากับ b และมีความชันเทากับ
่
m คือ
y = mx + b
4.4 จาก 4.2 และ 4.3 สามารถเขียนสมการเสนตรงใหมในรูปของ
Ax + By + C = 0
ตัวอยาง จงหาความชันของเสนตรง 3x + 4y ­ 5 = 0
วิธีทํา 4y = ­3x + 5
y = (­3/4)x +(5/4)
ความชันคือ ­3/4
4.5 เสนตรง l1 ขนานกับ l2 ก็ตอเมือ m1=m2
่
เสนตรง l1 ตั้งฉากกับ l2 ก็ตอเมื่อ m1m2 = ­1

16. 5. การหาระยะทางจากจุดไปยังเสนตรง
กําหนดให l เปนเสนตรงทีมีสมการ Ax + By + C = 0 และ
่
P(x1,y1) เปนทีอยูนอกเสน l ดังรูป
่ 
P(x1,y1)
d l
Ax + By + C = 0
ถา d เปนระยะทางจากจุด P ไปยังเสนตรง l
d = Ax1 + By1 + C
2 2
Ö A + B
ทดสอบความเขาใจ
ขอ 1. เสนตรงซึ่งตั้งฉากและแบงครึงสวนของเสนตรงทีเ่ ชื่อมจุดระหวาง(­1,3) และ
่
(5, 7) คือกราฟขอใด
1. 2y + 3x ­ 8 = 0 2. 2y + 3x ­ 3 = 0
3. 2y + 3x ­ 16 = 0 4. 3y + 2x ­ 19 = 0
ขอ 2. จงหาวาจุด(1,1) , (4,4) , และ (9,­1) เปนจุดยอดของสามเหลี่ยมชนิดใด
1. รูปสามเหลี่ยมดานเทา 2. รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
3. รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 4. รูปสามเหลี่ยมมุมฉากหนาจั่ว
เฉลย
ขอ 1. ตอบ 3 ขอ 2. ตอบขอ 3

17. ภาคตัดกรวย
1. วงกลม (circle) คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยูหางจากจุดคงที่จุดหนึ่ง
เปนระยะทางคงทีเ่ สมอ เรียกจุดคงทีวา จุดศูนยกลางของวงกลม ระยะทางคงที่
่
เรียกวา รัศมี (r )
สมการวงกลม
ถาวงกลมมีจุดศูนยกลางอยูทจุดกําเนิด และรัศมีเทากับ r
ี่
สมการวงกลมคือ x + y = r
2 2 2
ถาวงกลมมีจุดศูนยกลางอยูทจุด(h,k) และรัศมีเทากับ r
ี่
สมการวงกลมคือ (x­h) + (y­k) + r
2 2 2
สมการวงกลมในรูปทัวไป คือ x + y +Ax + By + C = 0
่ 2 2
2. พาราโบลา คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งในเซตดังกลางจะอยูหางจากจุดคงที่
จุดหนึ่งเทากับอยูหางจากเสนคงที่เสนหนึงเสมอ
่
จุดคงทีเ่ รียกวาจุด โฟกัส
เสนคงที่เรียกวา ไดเรกทริกซ
เสนทีลากผานโฟกัสและตังฉากกับไดเรกทริกซ เรียกวา แกนของพาราโบลา
่ ้
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรียกวา จุดยอด
สมการ y = 4cx
2
สมการ y = ­4cx
2
ไดเรกทริกซ ไดเรกทริกซ
o F(c,0) F(­c,0) o
x = ­c x = c

18. สมการ x = 4cy
2
สมการ x = ­4cy
2
ไดเรกทริกซ y = c
F(0,c)
o
o
F(0,­c)
ไดเรกทริกซ y = ­c
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูทจุด (h,k)
ี่
หลักพิจารณาเชนเดียวกับวงกลม คือ แทน x ดวย x­h
แทน y ดวย y­k
3. วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีคาคง
ตัวเสมอ
ขอควรจํา
ผลบวกของระยะทางจากจุดบนวงรีไปยังจุดคงที่สองจุดมีคาเทากับ 2a
Y
/ /
V F O F V
X (­a,0) (­c,0) (c,0) (a,0)
สมการวงรีทมีจุดศูนยกลางอยูทจุดกําเนิด
ี่ ี่
กรณีโฟกัสอยูบนแกน x
2 2
x y
+ = 1
a 2 b 2
y 2 x 2
กรณีโฟกัสอยูบนแกน y + = 1
a 2 b 2

19. สมการ วงรีซงมีจุดยอดอยูทจุด (h,k)
ึ่ ี่
หลักพิจารณาเชนเดียวกับวงกลม คือ แทน x ดวย x­h
แทน y ดวย y­k
ความสัมพันธ a = b + c
2 2 2
4. ไฮเปอรโบลา คือ เซตของจุดซึงผลตางของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตนี้ไปยังจุด
่
คงที่สองจุดมีคาคงตัวเสมอ
ผลตางของระยะทางจากจุดบนไฮเปอรโบลาไปยังจุดคงที่สองจุดมีคาเทากับ 2a
y
B(0,b)
/ /
F v o v F
(­c,0) (­a,0) (a,0) (c,0)
/
B (0,­b)
ความสัมพันธ c = a + b
2 2 2

20. สมการ ไฮเปอรโบลาซึ่งมีจุดยอดอยูที่จุด (h,k)

หลักพิจารณาเชนเดียวกับวงกลม คือ แทน x ดวย x­h
แทน y ดวย y­k
ทดสอบความเขาใจ 2 2
y x
ขอ 1. วงรีวงหนึ่งมีสมการ 169 + 144 = 1 จุดโฟกัสจุดหนึงของวงรีนี้คอ
่ ื
1. (0,0) 2. (0,5) 3. (5,0) 4.(0,13)
เฉลย ขอ 1. ตอบขอ 2
ลงชื่อ………………………………..ผูจัดทํา
(นายอุดม วงศศรีดา)
ครู ชํานาญการพิเศษ