Tiga kalimat: Artikel ini membahas model matematika untuk mengontrol masalah obesitas dalam populasi tertutup dengan dua skenario intervensi, yaitu program diet dan perawatan. Model ini memecah populasi menjadi tiga kelompok berat badan dan merumuskan fungsi biaya optimal untuk meminimalkan jumlah orang yang kelebihan berat badan atau obesitas dengan biaya terendah. Simulasi menunjukkan hasil yang berbeda tergantung pada kondisi awal

1. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences
Optimal Control Problem of
Treatment for Obesity in
a Closed Population
By : D. Aldila, N. Rarasati, N. Nuraini, and E. Soewono, MIPA-ITB (2014)
Diulas Oleh : Nurhayati Rahayu(23814305)

2. Latar Belakang (1)
Obesitas adalah kondisi dari seseorang yang memiliki berat badan yang melebihi dari
ukuran ideal yang seharusnya. Setiap orang pada dasarnya membutuhkan kalori untuk
berbagai macam manfaat, misalnya untuk mengatur suhu tubuh, energi untuk
beraktifitas, dll. Namun pada pengkonsumsian yang berlebih dan tidak disertai dengan
gaya hidup sehat, kalori terbukti tidak baik untuk kesehatan tubuh yang dapat
mengakibatkan penyakit obesitas.

3. Latar Belakang (2)
• Untuk mengatasi hal ini, penulis memberikan solusi dinamik untuk mensimulasikan
interaksi antara berat tubuh ideal (healthy people), berat tubuh berlebih
(overweight people) dan berat tubuh sangat berlebih (obese people)
• Membagi populasi manusia menjadi 3, yaitu :
– Populasi I : Manusia dengan berat badan tubuh ideal (x)
– Populasi II : Manusia dengan berat badan tubuh berlebih (y)
– Populasi III : Manusia dengan berat badan tubuh sangat berlebih (z)
• Berbeda dengan pemodelan yang telah dibangun sebelumnya, pada penelitian kali
ini penulis akan melakukan pendekatan yang berbeda yaitu pemodelan
matematika dengan melihat kasus ini dari sisi penyebaran penyakit secara vertikal
dan horizontal. Interfensi dari 2 skenario sebagai variabel kontrol yang bergantung
terhadap waktu, yaitu :
– Skenario 1 : program diet dengan kampanye hidup sehat untuk populasi ‘y’
– Skenario 2 : program perawatan untuk populasi ‘z’

4. Perumusan Masalah
solusi optimal untuk melaksanakan skenario guna
meminimumkan jumlah manusia yang terindikasi penyakit
berat badan berlebih (overweight) dan berat badan sangat
berlebih (obesity) dengan biaya serendah mungkin

5. Asumsi
• Titik kesetimbangan bebas penyakit, titik kesetimbangan penyakit, dan rasio dasar reproduksi (ℜ0)
sebagai indikator penyakit ditunjukkan secara analitical
• Titik kesetimbangan bebas penyakit akan dinyatakan stabil bila dan hanya bila ℜ0< 1
• Obesitas tidak mengakibatkan kepunahan pada populasi manusia
• Rata-rata masuknya penderita baru pada ketiga populasi adalah sama dengan mortalitas. Hal ini
untuk menghindari pengurangan manusia di setiap bagian (𝜃 = 𝜇)
Parameter Deskripsi Nilai
𝜽 Rata2 kemunculan sampel manusia baru secara alami (per hari) 1
(65𝑥365)
𝝁 Rata2 kepunahan secara alami (per hari) 1
(65𝑥365)
𝒃 Koefisien interaksi manusia (per hari) 0.1
𝐾
𝜶 Infeksi dikarenaka gaya hidup tidak sehat (per hari) 0.05
𝜸 Rata-rata kesembutan dari populasi ‘y’ ke populasi ‘x’ secara alami (per hari) 0.05
𝑲 Total sampel manusia pada semua populasi 1000
𝒑 Jumlah sampel manusia baru sehat keturunan dari ortu dg riwayat overweight 0.5
𝒒 Jumlah sampel manusia baru sehat keturunan dari ortu dg riwayat obesitas 0.5
𝒖 𝟏 Skenario 1 : program diet dengan kampanye hidup sehat untuk populasi ‘y’ (per hari) [0.1]
𝒖 𝟐 Skenario 2 : program perawatan untuk populasi ‘z’ (per hari) [0.1]

6. Solusi (1) : Dinamic Programming
Untuk menyelesaikan permasalahan diatas, maka dibentuk sistem dinamik seperti
yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini :
Health (x) Overweight (y) Obese (z)
𝜃(𝑥 + 𝑝𝑦 + 𝑞𝑧)
𝛾 + 𝑢1(𝑡) 𝑦
(𝑏𝑦 + 𝑏𝑧)𝑥 (𝑏𝑧 + 𝛼)𝑦
𝑢1(𝑡)𝑦
𝑢2(𝑡)𝑧
𝜇𝑧𝜇𝑦𝜇𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝜃 𝑥 + 𝑝𝑦 + 𝑞𝑧 + 𝛾 + 𝑢1 𝑡 𝑦 −
𝑏
𝐾
𝑦 +
𝑏
𝐾
𝑧 𝑥 − 𝜇𝑥 (1)
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝜃 1 − 𝑝 𝑦 + 1 − 𝑞 𝑧 +
𝑏
𝐾
𝑦 +
𝑏
𝐾
𝑧 𝑥 + 𝑢2 𝑡 𝑧 − 𝛾 + 𝑢1 𝑡 𝑦 −
𝑏
𝐾
𝑧 + 𝛼 𝑦 − 𝜇𝑦 (2)
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝑏
𝐾
𝑧 + 𝛼 𝑦 − 𝑢2 𝑡 𝑧 − 𝜇𝑧 (3)
Dimana 𝑢1(𝑡) dan 𝑢2(𝑡) adalah merupakan variabel kontrol yang bergantung terhadap waktu. Sistem di
atas harus mempertimbangkan biaya yang dikeluarkan dengan menerapkan semua skenario yang ada.

7. Analisis Model : Titik Kesetimbangan
Pada sisi kanan dari persamaan (1) sampai dengan (3) akan memiliki dua persamaan titik
kesetimbangan yang berbeda, yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit (Disease Free
Equilibrium / DFE) diartikan bahwa ketiga populasi yang terinfeksi = 0, titik kesetimbangan
penyakit (Endemic Equilibrium / EE) diartikan bahwa semua populasi terisi.
Persamaan DFE dan EE adalah sebagai berikut :
𝐷𝐹𝐸 = 𝑥∗
, 𝑦∗
, 𝑧∗
= (𝐾, 0,0) (4)
𝐸𝐸 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (
𝑔
𝑢2 𝐾+𝜇𝐾+𝑏 𝑧+𝛼𝐾 𝑏
,
𝑧𝐾 𝜇+𝑢2
𝑏 𝑧+𝛼𝐾
, 𝑧) (5)
Dimana :
𝑔 = 𝐾(𝑝𝜇𝐾𝑢2 + 𝑝𝜇2
𝐾 + 𝜇𝑞𝑏 𝑧 + 𝜇𝑞𝛼𝐾 + 𝐾𝛾𝑢2 + 𝐾𝛾𝜇 + 𝐾𝑢1 𝑢2 + 𝐾𝑢1 𝜇) (6)
K = Jumlah sampel manusia dan dipenuhi dengan :
𝐾 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧

8. Analisis Model : Titik Kesetimbangan
Rasio Dasar Reproduksi dinotasikan sebagai ℜ0 mewakili jumlah yang diharapkan untuk
kasus yang lain dimana terjadi infeksi pada masa inkubasi pada populasi ‘x’ atau sampel
manusia yang sehat. Untuk itu pertama kali perlu dibangun suatu matriks terhadap
kehadiran generasi baru.
𝐴 = (𝐺 + 𝑇)𝐴 (7)
Dimana :
𝐴 = (𝑦, 𝑧) 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑠𝑒
𝐺 = matriks transisi / peralihan, mendeskripsikan tentang setiap perubahan kondisi,
termasuk rata-rata kepunahan dikarenakan oleh kematian atau daya tahan tubuh pada
populasi ‘y’ dan ‘z’.
𝑇 = matriks transmisi, mendeskripsikan tentang proses produksi infeksi baru
K = Jumlah sampel manusia dan dipenuhi dengan :
Matriks G dan matriks T adalah sebagai berikut :
𝐺 =
1 − 𝑝 𝜇 − 𝛼 − 𝛾 − 𝑢1 − 𝜇 1 − 𝑞 𝜇 + 𝑢2
𝛼 −𝑢2 − 𝜇
(8)
𝑇 =
𝑏 𝑏
0 0
(9)

9. Analisis Model : Rasio Dasar Reproduksi
Dikarenakan oleh DFE berisi sampel semua manusia yang sehat maka DFE = K. ℜ0 juga
sama dengan jarak spektrum matriks 𝑇𝐺−1
, dimana 𝑇𝐺−1
dapat disebut dengan
matriks generasi baru (NGM).
𝑁𝐺𝑀 =
𝑏(𝜇+𝑢2)
𝐿
+
𝑏𝛼
𝐿
−
𝑏 −𝜇+𝜇𝑞−𝑢2
𝐿
+
𝑏(𝜇𝑝+𝛼+𝛾+𝑢1)
𝐿
0 0
(10)
Dimana :
𝐿 = 𝑝𝜇𝑢2 + 𝜇2 𝑝 + 𝛼𝜇𝑞 + 𝛾𝑢2 + 𝜇𝛾 + 𝑢1 𝑢2 + 𝜇𝑢1
Maka Rasio Dasar Reproduksi dapat dihitung dengan persamaan berikut :
ℜ0 =
𝑏(𝜇+𝑢2+𝛼)
𝜇2 𝑝+ 𝑝𝑢2+𝑞𝛼+𝛾+𝑢1 𝜇+𝑢2(𝛾+𝑢1)
(11)
Kita dapatkan bahwa DFE akan stabil jika dan hanya jika ℜ0 < 1.

10. Analisis Model : Sensitifitas ℜ0

11. Solusi (2) : Optimal Control Ploblem
Setelah mengetahui tujuan dari penelitian ini, maka dibentuklah fungsi objektif,
sebagai berikut :
𝐽 𝑢𝑖, Ω = 0
𝑇
(𝑤 𝑥 𝑥2
+ 𝑤 𝑦 𝑦2
+ 𝑤𝑧 𝑧2
+ 𝑤 𝑢1
𝑢1
2
+ 𝑤 𝑢2
𝑢2
2
)𝑑𝑡 (12)
Dimana :
Ω = populasi ‘x’,’y’ dan ‘z’
i = 1,2 = skenario 1 dan 2
𝑤 𝑥, 𝑤 𝑦, 𝑤𝑧 = nilai bobot untuk masing-masing populasi
Dengan fungsi objektif yaitu meminimumkan jumlah manusia yang terinfeksi, dimana
telah di atur bahwa 𝑤 𝑥 = 0, 𝑤 𝑦 > 0 dan 𝑤𝑧 > 0.
𝑤 𝑢1
, 𝑤 𝑢2
= nilai bobot untuk masing-masing skenario
menemukan nilai dari variabel kontrol 𝑢1(𝑡) dan 𝑢2(𝑡) dari t=0 hingga t=T :
𝐽 𝑢1 𝑡 , 𝑢2 𝑡 = min{𝐽(𝑢𝑖
∗
, Ω)|(𝑢1, 𝑢2)𝜖𝜙} (13)
Subject to : sistem pada persamaan (1) sampai dengan (3) dan dimana set kontrol dari
𝜙 adalah merupakan fungsi pada [0,T] dan 𝑎𝑖 ≤ 𝑢𝑖
∗
≤ 𝑏𝑖 untuk i = 1,2. Parameter 𝑎𝑖
dan 𝑏𝑖 adalah merupakan batas bawah dan batas atas dari variabel kontrol.

12. Solusi (2) : Optimal Control Ploblem
Sehingga persamaan Lagrangian seperti berikut ini :
ℒ Ω, Λ = 𝑤 𝑥 𝑥2
+ 𝑤 𝑦 𝑦2
+ 𝑤𝑧 𝑧2
+ 𝑤 𝑢1
𝑢1
2
+ 𝑤 𝑢2
𝑢2
2
+ 𝜆 𝑥 𝜃 𝑥 + 𝑝𝑦 + 𝑞𝑧 + 𝛾 + 𝑢1 𝑡 𝑦 −

13. Solusi (2) : Optimal Control Ploblem
Untuk mendapatkan kondisi optimal untuk meminimalkan fungsi biaya (cost function)
pada persamaan (12), maka perlu untuk memberlakukan Lagrangian pada variabel
kontrol sehingga sama dengan 0, seperti pada persamaan berikut ini :
𝜕ℒ
𝜕𝑢1
= 2𝑤 𝑢1
𝑢1 + 𝑦 𝜆 𝑥 − 𝜆 𝑦 = 0 (18)
𝜕ℒ
𝜕𝑢2
= 2𝑤 𝑢2
𝑢2 + 𝑧 𝜆 𝑦 − 𝜆 𝑧 = 0 (19)
Pada dua persamaan di atas, kita memperoleh :
𝑢1 =
𝑦(𝜆 𝑦−𝜆 𝑥)
2𝑤 𝑢1
, 𝑢2 =
𝑧(𝜆 𝑧−𝜆 𝑦)
2𝑤 𝑢2
(20)
Dengan mempertimbangkan batas bawah 𝑎𝑖 dan batas atas 𝑏𝑖 untuk i =1,2 untuk
masing-masing variabel kontrol, maka diperoleh kontrol optimal seperti berikut :
𝑢1 = max(𝑎1, min(𝑏1,
𝑦(𝜆 𝑦−𝜆 𝑥)
2𝑤 𝑢1
)) (21)
𝑢2 = max(𝑎2, min(𝑏2,
𝑧(𝜆 𝑧−𝜆 𝑦)
2𝑤 𝑢2
)) (22)

14. Hasil Simulasi
• Pada simulasi akan diberikan kondisi bobot berbeda pada masing-masing variabel kontrol
(𝑢1(t) dan 𝑢2(𝑡)), pemberian kondisi awal untuk masing-masing populasi yang berbeda dan
akan menghasilkan keluaran yang berbeda-beda pula.
• Kondisi awal populasi : 𝑥 0 = 970, 𝑦 0 = 20, 𝑧 0 = 10
• Pengurangan populasi pd masa inkubasi : 𝑥 0 = 830, 𝑦 0 = 20, 𝑧 0 = 150

15. Hasil Simulasi
Upaya yang dilakukan untuk mendapatkan hasil optimal terhadap fungsi biaya jika
memberikan skenario treatment pencegahan (prevention scenario) pada penderita yang
terindikasi infeksi penyakit overweight (gambar a) dan obesitas (gambar b). Hasilnya
adalah dengan melakukan tindakan pencegahan, biaya pengobatan dapat lebih ditekan
karena penggunaan obat dengan dosis rendah serta efek negatif obat dapat dihindari.

16. Terima Kasih