Luận văn: Mô hình Ising và ứng dụng với các chất sắt từ, HAY, 9đ

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ
Luận văn tốt nghiệp 1
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
CHƢƠNG 1: SẮT TỪ VÀ MÔ HÌNH ISING........................................................5
1.1: Đặc điểm của chất sắt từ. .....................................................................................5
1.2:Hiện tượng chuyển pha vật liệu sắt từ. ................................................................6
1.2.1.Pha và chuyển pha. ............................................................................................6
1.2.2.Phân loại chuyển pha.........................................................................................6
1.2.3: Chuyển pha sắt từ-thuận từ. .............................................................................7
1.3 : Mô hình Ising cho chất sắt từ..............................................................................9
1.3.2: Lời giải chính xác cho mô hình hai chiều.......................................................13
1.3.3. Mô hình Ising ba chiều....................................................................................15
1.3.4. Năng lượng tự do , mô men từ , độ từ hóa trong mô hình Ising .....................19
1.3.5 : Kết luận..........................................................................................................21
CHƢƠNG 2: MÔ HÌNH ISING MẤT TRẬT TỰ VỚI TÍCH PHÂN TRAO
ĐỔI THĂNG GIÁNG VÀ ỨNG DỤNG ...............................................................22
2.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising mất trật tự....................................................22
2.1.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising trật tự......................................................22
2.1.2. Mô hình Ising mất trật tự với tích phân trao đổi thăng giáng và hệ thức
Callen. .......................................................................................................................24
2.1.3: Phương trình đại số cho mô men từ trên một nút mạng nhận bằng phương
pháp biến đổi tích phân.............................................................................................26
2.2: Phương pháp Monte Carlo [5] ...........................................................................34
2.2.1: Thuật toán Metropolis ....................................................................................34
2.2.2: Áp dụng cho mô hình Ising hai chiều .............................................................37

CHƢƠNG 3 : KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN........................................................40
3.1: Đường cong từ nhiệt m(t) khi có và không có từ trường ngoài.........................41
3.1.1: Mạng hai chiều ...............................................................................................41
3.1.2: Mạng ba chiều (z=6) ......................................................................................45
3.2. Đường biểu diễn phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha Curie vào xác suất p.............47
3.2.1 : Mạng hai chiều ..............................................................................................47
3.2.2: Mạng ba chiều ................................................................................................48
3.3 : Sự phụ thuộc mô men từ vào từ trường ngoài h ở nhiệt độ thấp. .....................49
3.3.1: Mạng hai chiều ...............................................................................................49
3.3.2: Mạng ba chiều ................................................................................................51
3.3.3:Áp dụng mô hình Ising có tích phân trao đổi thăng giáng cho chuyển phameta
từ................................................................................................................................54
KẾT LUẬN..............................................................................................................56
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................57
PHỤ LỤC.................................................................................................................58

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Bạch Hương Giang và GS.TS Bạch
Thành Công đã tận tình hướng dẫn và động viên trong suốt quá trình thực hiện luận
văn để em có thể hoàn thành tốt đề tài “ Mô hình Ising và ứng dụng với các chất sắt
từ” .
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Th.S Nguyễn Văn Chinh –bộ môn Lý
Sinh –Học viện Quân Y đã nhiệt tình giúp đỡ trong quá trình em thực hiện những
tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn PTN tính toán trong KHVL, các thầy cô trong bộ
môn Vật lý chất rắn và các thầy cô trong Khoa Vật lý – Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên, các thầy cô công tác tại trường Đại học Sư Phạm Hà Nội đã trang bị kiến
thức chuyên môn cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp em hoàn thành
luận văn này.
Cám ơn đề tài NAFOSTED 103.02.2012.73 đã giúp đỡ tính toán trên máy tính
để thực hiện thành công luận văn này.
Cuối cùng em xin gửi những lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh,
động viên trong suốt quá trình em học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.
Hà Nội ngày 01 tháng 08 năm 2014
Người thực hiện
Nguyễn Thị Kim Oanh

MỞ ĐẦU
Vật liệu từ được phát hiện cách đây hàng nghìn năm và ứng dụng tiêu biểu
nhất trong thời kì đó là kim la bàn. Chính la bàn đã tạo điều kiện cho ngành hàng
hải phát triển, góp phần tìm ra các lục địa mới. Việc phát hiện ra loại vật liệu này
với những tính chất đặc biệt của nó đã tạo bước ngoặt lớn trong tiến bộ của loài
người. Ngày nay, các vật liệu từ được ứng dụng rộng rãi trong các thiết bị hiện đại
của cuộc sống xung quanh chúng ta như điện thoại, la bàn, ổ cứng, ti vi… Song
song với sự phát triển của các loại vật liệu từ là sự phát triển của ngành từ học
nghiên cứu các tính chất và các hiện tượng của vật liệu đó. Một hiện tượng quen
thuộc và nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học chính là hiện tượng
chuyển pha của vật liệu từ. Các mô hình lý thuyết giải thích hiện tượng từ một cách
hiện tượng luận đã được đưa ra như mô hình lý thuyết trường phân tử Weiss (1907)
giải thích hiện tượng sắt từ, mô hình Neel (1904-2000) giải thích hiện tượng phản
sắt từ và feri từ ….Tuy nhiên việc phát triển các mô hình vi mô để giải thích được
bản chất lượng tử của các hiện tượng từ luôn là nhiệm vụ cần thiết.
Hiện nay, quá trình từ hóa trong vật liệu có cạnh tranh tương tác như quá trình
cạnh tranh giữa phản sắt từ và sắt từ trong hợp chất, hợp kim perovskite pha tạp, sắt
từ pha tạp …đang được nhiều phòng thí nghiệm trên thế giới nghiên cứu. Đặc biệt
là quá trình từ hóa ở nhiệt độ thấp với ảnh hưởng của từ trường ngoài trong vật liệu
đa tinh thể. Ví dụ như công trình nghiên cứu của R. Mahendiran [15] khảo sát sự
phụ thuộc của mô men từ vào trường ngoài của vật liệucho kết quả khá lý thú là tồn
tại của bước nhảy của mô men từ ở nhiệt độ thấp gần 0 độ Kelvin.Các nhảy bậc
trong đường cong từ hóa ở nhiệt độ thấp trong môi trường có tồn tại cạnh tranh
tương tác đã được khảo sát trong mô hình Ising hai chiều [7].
Mô hình Ising (1920) là mô hình toán học đơn giản cho hiện tượng từ trong cơ
học thống kê. Mô hình này bao gồm các biến độc lập được gọi là spin có thể nhận
một trong hai giá trị là 1 hoặc -1. Các biến spin được sắp xếp trong mạng tinh thể tại
các nút mạng và chỉ tương tác với những lân cận của nó do nhà khoa học Ersnt

Ising (1900-1998) xây dựng cùng với một số lý thuyết được nêu trong các công
trình khoa học ở trên là cơ sở để giải thích cho quá trình chuyển pha từ trong các hệ
từ pha tạp mạnh và có cạnh tranh tương tác.
Trong luận văn này, tôi tiếp tục phát triển lý thuyết trên khảo sát quá trình từ
hóa của vật liệu sắt từ dưới tác dụng của trường ngoài khác nhau và cho các hệ thực
(hệ hai chiều, hệ ba chiều) mất trật tự và so sánh kết quả giữa lý thuyết với thực
nghiệm. Các tính toán được thực hiện trong gần đúng phương pháp trường trung
bình dựa trên đẳng thức Callen và khảo sát kết quả dựa trên phương pháp Monte
Carlo là phương pháp tính toán lý thuyết kết hợp với mô phỏng.
Phƣơng pháp nghiên cứu
- Dựa trên mô hình Ising và hệ thức Callen thực hiện các bước biến đổi giải
tích theo cơ học thống kê để xây dựng được biểu thức mô men từ tỉ đối trên một nút
mạng phụ thuộc vào các thông số như nhiệt độ, từ trường ngoài đặt vào, xác suất
thăng giáng… Từ đó sử dụng phần mềm hỗ trợ Mathlab tính toán số thu được kết
quả về sự phụ thuộc của mô men từ tỉ đối vào nhiệt độ và vào từ trường ngoài phù
hợp với lý thuyết chuyển pha và thực nghiệm đã đo được.
- Ngoài ra sử dụng phương pháp Monte Carlo áp dụng cho một số trường hợp
cụ thể để thu được kết quả tương tự so với phương pháp giải tích.
Cấu trúc luận văn
Bên cạnh phần mục lục, mở dầu cấu trúc luận văn gồm ba phần chính như sau:
Chương 1: Tổng quan về mô hình Ising.
Chương 2: Ứng dụng mô hình Ising cho quá trình chuyển pha.
Chương 3: Kết quả và thảo luận.
Kết luận
Danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục
Danh mục hình có trong luận văn:

Hình1.1: Đường cong từ trễ.
Hình 1.2: Sự thay đổi định hướng của đám spin theo nhiệt độ.
Hình 1.3: Mô hình Ising 1D
Hình3.1: Đường cong từ nhiệt với các tham số z=4, h=0, p=0.5 và các giá trị
0.6(1); 0.8(2); 0.98(3); 1(4); 1.001(5); 1.02(6); 1.1(7); 1.106(8)               
Hình 3.2 : Đường cong từ nhiệt với z=4, p=0.5 , h=0.002 và các giá trị 
0.8(1); 1(2); 1.02(3); 1.106(4); 1.11(5); 1.19(6)           
Hình 3.3:Đường cong từ nhiệt với z=4, p=0.5, h=0.02 và các giá trị 
0.8(1); 1(2); 1.02(3); 1.106(4); 1.19(5); 1.25(6)           
Hình 3.4 : Đường cong từ nhiệt với z=4 , h=0.2 , p=0.5 với các giá trị 
1.19(1); 1.3(2); 1.401(3); 1.43(4); 1.45(5); 1.5(6)           
Hình 3.5: Đường cong từ hóa với Z=4 , p=0.5 , delta=1.02 và các giá trị của h
Hình 3.6 : Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ trên mộtnút mạng m vào
nhiệt độ t khi z=6,p=0.5, h=0 và các giá trị ∆
0.6(1); 0.8(2); 1(3); 1.2(4); 1.5(5); 1.56(6)           
Hình 3.7: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ trên một nút mạng mvào
nhiệt độ t khi z=6, p=0.5, h=0.002 và các giá trị 
0.6(1); 0.8(2); 1.2(3); 1.5(4); 1.56(5)         
Hình 3.8: Sự phụ thuộc nhiệt độ Curie vào xác suất thăng giáng p với z=4, 1.01 
và 1.1  khi h=0
Hình 3.9 : Sự phụ thuộc nhiệt độphụ thuộc tc vào xác suất thăng giáng với z=4, 
=1.15 ở h=0, h=1.2 và h=1.5.
Hình 3.10 :Đồ thị phụ thuộc của (p-t) với z=6, h=0,  =1.005 và  =1.15
Hình 3.11:Sự phụ thuộc của nhiệt độtc vào xác suất p với z=6, =1.15, h=0, h=1.5,
h=1.6 và h=1.8
Hình 3.12: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc mômen từ vào từ trườngvới z=4, ∆=1.03,
t= 0.01 và các giá trị thăng giáng p=0.2 ; p=0.4; p=0.45

Hình 3.13: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc mômen từ vào từ trường
vớiz=4,p=0.2,t=0.01và các giá trị ∆ của tích phân trao đổi lần lượt là
1.02(1); 1.03(2); 1.04(3)     
Hình 3.14: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ vào từ trường với z=4,
p=0.2, ∆=1.02 và các giá trị của nhiệt độ t=0.01, t=0.001, t=0.0001
Hình 3.15: Đường biểu diễn sự phụ thuộc mô men từ vào từ trường vớiz=6, t=0.01,
p=0.2 và các giá trị ∆ của tích phân trao đổi 1.02(1); 1.038(2); 1.04(3)     
Hình 3.16: Đồ thị (m-h) với z=6, Delta=1.04, t=0.01 và p=0.1, p=0.3, p=0.5
Hình 3.17: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ vào từ trường với z=6,
p=0.1, ∆=1.04 và các giá trị của nhiệt độ t=0.01, t=0.001, t=0.0001.
Hình 3.18 : Đồ thị biểu diễn m theo h với z=4, t=0.01, delta=1.04,p=0.1
Hình 3.19:Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của mô ment từ tỷ đối m vào từ trường h
khi z=4,t=0.01,delta=1.04,p=0.5 bằng phương pháp Callen và Monte Carlo
Hình 3.20: Đồ thị so sánh giữa lý thuyết và thực nghiệm cho mômen từ(trong đơn
vị µB ) trên một nút mạng theo từ trường.

CHƢƠNG 1: SẮT TỪ VÀ MÔ HÌNH ISING
1.1: Đặc điểm của chất sắt từ.
- Sắt từ là các chất có từ tính mạnh và có mômen từ nguyên tử lớn (ví dụ như
sắt là 2,2 μB, Gd là 7 μB...). Nhờ tương tác trao đổi các mômen từ nguyên tử định
hướng song song với nhau theo từng vùng (gọi là các đômen từ tính). Mômen từ
của một đơn vị thể tích trong mỗi vùng đó gọi là từ độ tự phát - có nghĩa là các chất
sắt từ có từ tính nội tại ngay khi không có từ trường ngoài. Đây là các nguồn gốc cơ
bản tạo nên các tính chất của chất sắt từ.
-Hiện tượng từ trễ: Khi từ hóa một khối chất sắt từ các mômen từ sẽ có xu
hướng sắp xếp trật tự theo hướng từ trường ngoài do đó từ độ của mẫu tăng dần đến
độ bão hòa khi từ trường đủ lớn (khi đó các mômen từ hoàn toàn song song với
nhau). Khi ngắt từ trường hoặc khử từ theo chiều ngược, do sự liên kết giữa các
mômen từ và các đômen từ, các mômen từ không lập tức bị quay trở lại trạng thái
hỗn độn như các chất thuận từ mà còn giữ được từ độ ở giá trị khác không. Có
nghĩa là đường cong đảo từ sẽ không khớp với đường cong từ hóa ban đầu, và nếu
từ hóa và khử từ theo một chu trình kín của từ trường ngoài, ta sẽ có một đường
cong kín gọi là đường cong từ trễ. Và trên đường cong từ trễ, ta sẽ có các đại lượng
đặc trưng của chất sắt từ như sau:
Hình1.1: Đường cong từ trễ

* Từ độ bão hòa: là từ độ đạt được trong trạng thái bão hòa từ, có nghĩa làtất
cả các mômen từ của chất sắt từ song song với nhau.
* Từ dư: là giá trị từ độ khi từ trường được đưa về 0.
* Lực kháng từ: là từ trường ngoài cần thiết để khử mômen từ của mẫu về 0,
hay là giá trị để từ độ đổi chiều. Đôi khi lực kháng từ còn được gọi là trường đảo từ.
* Từ thẩm: là một tham số đặc trưng cho khả năng phản ứng của các chất từ
tính dưới tác dụng của từ trường ngoài. Từ thẩm của các chất sắt từ có giá trị lớn
hơn 1 rất nhiều, và phụ thuộc vào từ trường ngoài .
* Nhiệt độ Curie: là nhiệt độ mà tại đó, chất bị mất từ tính. Ở dưới nhiệt độ
Curie, chất ở trạng thái sắt từ, ở trên nhiệt độ Curie, chất sẽ mang tính chất của chất
thuận từ
1.2:Hiện tƣợng chuyển pha vật liệu sắt từ.
1.2.1.Pha và chuyển pha.
Pha là một trạng thái của vật thể với các tính chất và đối xứng đặc trưng. Ta có
thể đưa ra một số ví dụ như pha rắn, pha lỏng của kim loại và hợp kim, pha sắt từ,
thuận từ của các vật liệu từ…..
Chuyển pha là sự thay đổi trạng thái từ mức độ đối xứng này sang mức độ đối
xứng khác hình thành các tính chất mới của vật liệu. Đối xứng ở đây có thể là đối
xứng tinh thể (chuyển pha rắn lỏng…) cũng có thể là đối xứng của tham số vật lý
khác(đối xứng mômen từ trong chuyển pha sắt từ-thuận từ…)
1.2.2.Phân loại chuyển pha
Có nhiều cách phân loại chuyển pha. Năm 1933, theo phân loại của
Ehrenfest [1] chuyển pha bậc n là chuyển pha trong đó có các hàm thế nhiệt động
thay đổi liên tục khi đi qua điểm chuyển pha (T=Tc) và đạo hàm bậc n của các thế
nhiệt động theo nhiệt độ liên tục tại điểm chuyển pha và đạo hàm bậc n+1 bị gián
đoạn.

Trên thực tế chỉ có chuyển pha loại 1 và chuyển pha loại 2.
Theo lý thuyết Landao đưa ra năm 1937,chuyển pha gắn với tính chất đối xứng
của hệ và Landao đã đưa ra các tham số trật tự gắn đặc trưng cho hệ vật lý. Khi pha
đối xứng chuyển từ pha đối xứng này sang pha đối xứng khác thì tham số trật tự
cũng thay đổi giá trị.
Chuyển pha loại 1: là sự biến đổi của hệ trong đó khối lượng riêng, các thế
nhiệt động (trừ entanpi tự do G), entropi biến đổi gián đoạn ở điểm chuyển pha,
nhiệt chuyển pha có giá trị khác không.Ở chuyển pha loại 1 sự sắp xếp mạng tinh
thể (thay đổi kích thước giữa các nguyên tử và góc giữa các mặt tinh thể) xảy ra
trong khoảng nhiệt độ rất hẹp. Hệ quả là đối xứng tinh thể thay đổi đôt ngột và đồng
thời trạng thái tinh thể, nội năng và các đại lượng nhiệt động khác thay đổi xuất
hiện bước nhảy thể tích và thu (tỏa)nhiệt chuyển pha.Ví dụ:sự bay hơi, nóng chảy,
kết tinh …
Chuyển pha loại 2: là sự biến đổi pha của hệ trong đó khối lượng riêng và tất
cả các thế nhiệt động biến đổi một cách liên tục, còn đạo hàm bậc hai của entanpi tự
do G theo các thông số vật lý của hệ (hệ số giãn nở,nhiệt dung…) biến đổi gián
đoạn.Tại điểm chuyển pha loại 2 không phân biệt được các pha. Nhiệt chuyển pha
bằng không.Ví dụ biến đổi trạng thái sắt từ sang thuận từ, từ trạng thái siêu dẫn
sang trạng thái thông thường khi không có từ trường ngoài là chuyển pha loại 2.
1.2.3: Chuyển pha sắt từ-thuận từ.
Khi đặt vật rắn vào từ trường ngoài mà vật thay đổi tính chất vật lý, ta nói vật
rắn có tính chất từ. Các đại lượng vĩ mô đặc trưng cho tính chất từ của vật rắn là :
+Mô men từ: là đại lượng đặc trưng cho độ mạnh yếu của nguồn từ.
Xét một mạch điện kín có dòng điện cường độ I chạy qua, mômen từ gây ra
bởi dòng điện trong mạch xác định bởi biểu thức :
(1.1)m= 𝐼. 𝑑𝑆

Đối với nguyên tử, mômen từ của nguyên tử chủ yếu được gây nên bởi
mômen quỹđạo L và mômen spin S của các lớp vỏ điện tử không lấp đầy.
+Độ từ hóa (từ độ): là đại lượng vật lý được xác định bằng mômen từ của vật
liệu trên một đơn vị thể tích:
(1.2)
Trong đó: 𝑚 là mômen từ của các hạt vi mô trong đơn vị thể tích ∆𝑉
+ Độ từ cảm: là đại lượng đặc trưng cho mômen từ do từ trường H gây ra trên
một đơn vị thể tích. Mối liên hệ giữa độ từ hóa và từ trường H có thể được biểu diễn
dưới dạng:
(1.3)
Với: χ<0: Chất được gọi là nghịch từ có 𝑀 cùng phương ngược chiều 𝐻
χ>0: Chất được gọi là thuận từ có 𝑀 cùng phương cùng chiều với 𝐻
Chất thuận từ và nghịch từ có đặc điểm chung là: chỉ có từ tính tồn tại khi có
từ trường ngoài đặt vào và độ cảm từ χ nhỏ.
-Quá trình chuyển pha sắt từ-thuận từ:
Khi không có từ trường ngoài và ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ Curie chất có từ
tính rất mạnh gọi là chất sắt từ có trật tự từ tự phát. Nguồn gốc của sắt từ là do các
spin điện tử thuộc các lớp điện tử không lấp đầy(f,d). Tương tác giữa các mômen từ
là hệ quả của tương tác giữa các điện tử trên các nguyên tử khác nhau hoặc giữa các
điện tử linh động và các điện tử định xứ trong từng nguyên tử. Hiệu ứng của tương
tác này là sự chuyển dời từ các điện tử từ nguyên tử này sang nguyên tử khác hay
dẫn đến sự phân cực của các điện tử linh động tạo nên tương tác gián tiếp giữa các
mômen từ định xứ.
Xét hệ sắt từ đẳng hướng khi không có từ trường ngoài, ta tăng dần nhiệt độ từ
T=0K.
𝑀 =
𝑚
∆𝑉
𝑀=χ𝐻

* Tại T=0K ở trạng thái cơ bản, các spin định hướng song song theo một
phương tùy ý.
* Cho nhiệt độ tăng dần: càng có thêm nhiều spin định hướng không có trật
tự(do chuyển động nhiệt phá vỡ sự song song của các spin) nhưng tương tác trao
đổi vẫn còn đủ mạnh để giữ các spin song song trong một miền nào đó gọi là các
đám từ. Các đám từ khác nhau thì định hướng khác nhau.
* Tiếp tục tăng nhiệt độ: khi T=Tc xảy ra sự cạnh tranh mạnh giữa hai xu
hướng:
. Tạo trật tự từ (do tương tác trao đổi)
. Phá vỡ trật tự từ(do chuyển động nhiệt)
* Khi T>Tc, các spin định hướng một cách tùy ý, vật liệu bị mất từ tính và ở
trạng thái thuận từ.
Hình 1.2: Sự thay đổi định hướng của đám spin theo nhiệt độ.
1.3: Mô hình Ising cho chất sắt từ.
Mô hình Ising là một trong mô hình đơn giản nhất và phổ biến nhất trong biểu
diễn tương tác và được đề xuất đầu tiên bởi Ernst Ising vào năm 1925 với sự tham
gia của giáo sư Wilhelm Lenz [18]. Mô hình Ising là mô hình toán học cho chất sắt
từ. Ising chỉ ra rằng trong không gian một chiều không xảy ra quá trình chuyển pha
và ông cũng tranh luận rất nhiều trong hệ mô hình chất sắt từ hai chiều và ba
chiều[16]. Vấn đề này được sang tỏ vào năm 1941 khi Kramers và Wannier đưa ra
mô hình toán học và tính toán cho bài toán này.Đến 1944, Lars Onsager đưa ra lời
giái chính xác cho mô hình Ising khi không có từ trường ngoài[18].

Xuất phát toán học của mô hình: Coi như một mạng toán học có N nút mạng
với một spin S ở mỗi nút. Spin có thể nhận hai giá trị+1 spin lên ( spin up) và -1spin
xuống (spin down).Do vậy có tổng 2N
trạng thái trong hệ. Tại vị trí thứ i bất kì trong
mạng tinh thể được biểu diễn bởi một biến spin Si. Năng lượng tương tác được định
nghĩa: ij
, 1
{ }
N
I i i j i i
i j i
E S J S S B S
  
    (1.4)
Trong đó: I: Biểu thị mô hình Ising.
Jij :thông số năng lượng và ta đặt ɡµB =1.
˂i,j>: cặp spin lân cận gần nhau. Jij là hằng số tương tác trao đổi.Để
đơngiản,ta đặt Jij = J và chỉ xét tương tác giữa lân cận gần nhất.
Nếu J > 0 khi đó trong trạng thái cơ bản các spin xếp song song, tương tác là
tương tác sắt từ.
Nếu J < 0 khi đó trong trạng thái cơ bản các spin đối song song,tương tác là
phản sắt từ.
Để đơn giản ta cho J > 0, xét sự kết hợp của các spin trong từ trường ngoài B.
Ta coi các spin nằm dọc theo trục z khi từ trường ngoài B=Bz. Khi ở trong từ trường
ngoài không đổi Bi= B > 0 năng lượng tương tác trở thành
, 1
{ }I i i j i
i j i
E S J S S B S
  
    (1.5)
Tổng thống kê Z có dạng :
Z = … 𝑒−𝛽 𝐸𝑖{𝑆 𝑖}+1
𝑠 𝑁=−1
+1
𝑠2=−1
+1
𝑠1=−1
(1.6)
1.3.1 Chuyển pha trong mô hình một chiều.
Trong không gian một chiều, mô hình Ising được xem xét là một chuỗi các các
điểm trên một đường thẳng gồm N nút mạng, mỗi nút là một spin nguyên tử.
Hình 1.3 : Mô hình Ising 1D
1 2

Áp dụng điều kiện tuần hoàn biên cho các spin, các spin chỉ tương tác với các
spin lân cận ở trong từ trường ngoài B. Ta có thể viết:
1
1 1
{ }
N N
I i i i i
i i
E S J S S B S
 
    (1.7)
Theo điều kiện biên tuần hoàn:
SN+1 = S1 (1.8)
Tổng thống kê Z được viết dạng :
Z= … exp[ 𝛽 (𝑁
𝑖=1 𝐽𝑆𝑖 𝑆𝑖+1
+1
𝑠 𝑁=−1
+ 𝐵+1
𝑠2=−1
+1
𝑠1=−1
𝑆𝑖)] (1.9)
Kramer và Wannier biểu diễn tổng thống kê Z một cách rõ ràng như sau :
Z= … exp[ 𝛽 (𝑁
𝑖=1 𝐽𝑆𝑖 𝑆𝑖+1
+1
𝑠 𝑁=−1
+
1
2
𝐵(+1
𝑠2=−1
+1
𝑠1=−1
𝑆𝑖 + 𝑆𝑖+1))] (1.10)
Kết quả là ta phải tính giá trị của các ma trận (2 x 2). Trong đó ma trận P là ma
trận được xác định như sau :
<S|P|S‟> = exp { β [ JSS‟ +
1
2
𝐵 𝑆 + 𝑆′
]} (1.11)
Trong đó S và S‟ là độc lập với giá trị ± 1. Ta có các ma trận cơ sở :
<+1|P|+1> = exp [ β( J + B ) ]
<-1|P|-1> = exp [ β( J – B ) ]
<+1|P|-1> = <-1|P|+1> = exp [ - βJ ] (1.12)
Biểu diễn ma trận P trong dạng :
P = 𝑒 𝛽(𝐽+𝐵)
𝑒−𝛽𝐽
𝑒−𝛽𝐽
𝑒 𝛽(𝐽−𝐵)
(1.13)
Ta có thể viết Z như sau :
Z= … < 𝑆1 𝑃 𝑆2 >< 𝑆2 𝑃 𝑆3 > ⋯ < 𝑆 𝑁 𝑃 𝑆 𝑁 >+1
𝑠 𝑁=−1
+1
𝑠2=−1
+1
𝑠1=−1
= < 𝑆1 𝑃 𝑁
𝑆1 >+1
𝑆1=−1
= Tr 𝑃 𝑁

= 𝜆+
𝑁
+ 𝜆−
𝑁
(1.14)
Với 𝜆+
𝑁
, 𝜆−
𝑁
là hai giá trị của P 𝜆+
𝑁
>𝜆−
𝑁
. Z chính là vết của ma trận năng lượng
thứ N với kết quả của điều kiện biên tuần hoàn cho công thức (1.5).
Det 𝑒 𝛽(𝐽+𝐵)
− 𝜆 𝑒−𝛽𝐽
𝑒−𝛽𝐽
𝑒 𝛽(𝐽−𝐵)
− 𝜆
=𝜆2
− 2𝜆𝑒 𝛽𝐽
cosh 𝛽𝐵 + 2 sinh(2𝛽𝐽)=0 (1.15)
Kết quả là :
𝜆± = 𝑒 𝛽𝐽
[cosh 𝛽𝐵 ± 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝛽𝐵 − 2𝑒−2𝛽𝐽 sinh⁡(2𝛽𝐽)(1.16)
Khi B = 0
𝜆+ = 2 cosh (βJ) (1.17)
𝜆− = 2 sinh (βJ) (1.18)
Trở lại trường hợp chung với B ≠ 0. Trong trường hợp này 𝜆−/𝜆+ ≤ 1 giống
trường hợp J = B = 0. Trong giới hạn nhiệt động ( N→∞ ), chỉ có giá trị 𝜆+ là thích
hợp. Chúng ta sử dụng (𝜆−/𝜆+ )<1 và năng lượng tự do Helmholt trên spin là :
-
𝐹
𝑁𝑘 𝐵 𝑇
= lim 𝑁→∞
1
𝑁
ln 𝑍
= lim 𝑁→∞
1
𝑁
ln{𝜆+
𝑁
[1 +
𝜆−
𝜆+
) 𝑁
}
= ln 𝜆+ + lim 𝑁→∞
1
𝑁
ln[1 +
𝜆−
𝜆+
) 𝑁
= ln 𝜆+ (1.19)
Vì vậy năng lượng tự do Helmholtz trên 1 spin là :
𝐹
𝑁
= -
𝑘 𝐵 𝑇
𝑁
𝑙𝑛𝑍 =-𝑘 𝐵 𝑇𝑙𝑛𝜆+
=-J-𝑘 𝐵 𝑇𝑙𝑛[cosh 𝛽𝐵 + 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝛽𝐵 − 2𝑒−2𝛽𝐽 sinh 2𝛽𝐽 (1.20)
Độ từ hóa của một spin là:
m =
𝑀
𝑁
=
1
𝛽𝑁
𝜕𝑙𝑛𝑍
𝜕𝐵

m=-
1
𝑁
𝜕𝐹
𝜕𝐵
=
sinh ⁡(𝛽𝐵)
𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝛽𝐵 − 2𝑒−2𝛽𝐽 sinh ⁡(2𝛽𝐽 )
(1.21)
Khi trường ngoài bằng 0 (B=0) độ từ hóa bằng 0 (m=0) ở mọi nhiệt độ. Có
nghĩa là trong trường hợp này sẽ không có độ từ hóa tự phát và trong mô hình Ising
một chiều không có tính sắt từ. Nguyên nhân là do ở một nhiệt độ bất kì, quá trình
xảy ra theo hai khuynh hướng cạnh tranh đối lập nhau: Xu hướng sắp xếp các spin
thẳng hàng để năng lượng là cực tiểu và xu hướng sắp xếp ngẫu nhiên để entropy là
cực đại.Trên tất cả, xu hướng để năng lượng tự do là cực tiểu với F= E – TS. Trong
mô hình một chiều, xu hướng sắp xếp thẳng hàng của các spin luôn mất đi do không
có đủ spin lân cận.
Kết luận: Trong mô hình Ising một chiều không xảy ra quá trình chuyển pha
theo nhiệt độ.
1.3.2: Lời giải chính xác cho mô hình hai chiều.
Trong mô hình Ising hai chiều với mạng spin được coi là mạng vuông lý
tưởng có số lân cận là 4. Dẫn dắt từ phép biến đổi giải tích thông qua ma trận
chuyển giao, Lars Onsager đã đưa ra lời giải chính xác cho mô hình hai chiều vào
1944[17].
Hamiltonian có thể viết dưới dạng :
H = -J ( 𝑆𝑖,𝑗 𝑆𝑖+1,𝑗 + 𝑆𝑖,𝑗+1 𝑆𝑖,𝑗 )𝑖,𝑗 – h 𝑆𝑖,𝑗𝑖,𝑗 (1.22)
j
1j 
1j 
1j 
1j 
1 2 3
N

Trong đó mỗi spin tương ứng với một nút mạng trong không gian hai chiều.
Hamiltonian có thể viết dưới dạng :
H = [𝐸(𝜇𝑗 , 𝜇𝑗+1)𝑛
𝑖=1 + 𝐸 𝜇𝑗 ] (1.23)
Trong đó :
E(𝜇𝑗 , 𝜇 𝑘) = − 𝑆𝑖𝑗 𝑆𝑖𝑘
𝑛
𝑖=1 (1.24)
E(𝜇𝑗 ) =−𝐽 𝑆𝑖𝑗 𝑆𝑖+1,𝑗 − ℎ 𝑆𝑗𝑖,𝑗
𝑛
𝑖=1 (1.25)
Với 𝜇𝑗 là tập hợp các spin theo một cột :
𝜇𝑗 = { 𝑆1𝑗 , 𝑆2𝑗 , … . . , 𝑆 𝑛𝑗 } (1.26)
Khi đó ma trận chuyển giao P là một ma trận 2 𝑛
× 2 𝑛
dạng :
< 𝜇𝑗 𝑃 𝜇 𝑘 > = exp {-β[E(𝜇𝑗 , 𝜇 𝑘) + E(𝜇𝑗 )]} (1.27)
Hàm tổng thống kê :
Z = Tr(Pn
) (1.28)
Giống như bài toán mô hình một chiều ta cần phải tìm trị riêng của P. Theo
giới hạn nhiệt động, kết quả cuối cùng tính trong từ trường B=0 ta có:
g(T) = -kT ln[2cosh(2βJ)] -
𝑘𝑇
2𝜋
𝑑∅
𝜋
0
ln
1
2
(1+ 1 − 𝐾2 𝑠𝑖𝑛2∅ ) (1.29)
Trong đó :
K =
2
cosh 2𝛽𝐽 coth ⁡(2𝛽𝐽 )
(1.30)
Năng lượng trên một spin là :
𝜀(𝑇) = -2Jtanh(2βJ) +
𝐾
2𝜋
𝑑𝐾
𝑑𝛽
sin 2 ∅𝑑∅
∆(1+∆)
𝜋
0
(1.31)
Với ∆ = 1 − 𝐾2 𝑠𝑖𝑛2 ∅
Độ từ hóa :
m = {1-[sinh⁡(2𝛽𝐽)]−4
}
1
8 (1.32)

KhiT>TC tồn tại sự mất trật tự khi B=0. Điều kiện của nhiệt độ tới hạn xảy ra
quá trình chuyển pha là :
2tanh2
(2𝛽𝐽) = 1
kTC≈ 2,269158 J
Khi T=TC nhiệt chuyển pha trên một spin là :
𝐶(𝑡)
𝑘
=
2
𝜋
(
2𝐽
𝑘𝑇 𝐶
)2
− ln 1 −
𝑇
𝑇 𝐶
+ ln
𝑘𝑇 𝐶
2𝐽
− 1 +
𝜋
4
(1.33)
Kết luận: Trong mô hình Ising hai chiều xảy ra hiện tượng chuyển pha từ sắt
từ sang thuận từ.
1.3.3. Mô hình Ising ba chiều.
Mô hình Ising ba chiều hiện nay chưa có lời giải chính xác. Dưới đây là lời
giải mô hình Ising ba chiều cho hệ orthorhombic đơn giản. Mô hình Ising ba chiều
các nguyên tử chiếm giữ không gian trong mạng dạng hình lập phương.
Hình1.5: Mô hình Ising 3D
Chúng ta xét với mạng orthorhombic đơn giản có m hàng và n cột vị trí trong
một mặt phẳng. Mỗi vị trí được xác định trong hệ thống mạng bởi các chỉ số (i,j,k).
Mỗi vị trí có hai loai nguyên tử,tất cả chúng có định hướng đối song song với nhau.
Trong mô hình ba chiều, mômen từ spin S=1/2, chỉ tương tác với các spin lân cận.
Trong một mặt, năng lượng tương tác là +J giữa nguyên tử với nguyên tử không lân
cận khác trong một hàng và +J‟ giữa các nguyên tử không lân cận khác trong một

cột. Năng lượng giữa các spin lân cận trong một hàng và một cột là –J, -J‟trong một
mặt phẳng.Năng lượng +J”(-J”) là năng lượng tương tác giữa nguyên tử với nguyên
tử không lân cận(lân cận) với hai mặt phẳng lân cận với mặt phẳng chứa nguyên
tử.Các nguyên tử không lân cận hay lân cận có sự sắp xếp các spin đối song song
hoặc là song song. Hamiltonian của mô hình Ising ba chiều hệ orthorhomic đơn
giản là
( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , 1, , , 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
' "
n m l n m l n m l
H J S S J S S J S S     
           
        

 
        
      (1.34)
Xác suất tìm thấy mạng Ising orthorhombic đơn giản ở nhiêt độ T tỉ lệ với
exp{-Ec/kBT}, trong đó Ec là tổng năng lượng của hệ và kB là hằng số Boltzmann.
Biểu thức xác suất dạng :
(nc.J + nc‟.J‟ + nc”.J”)/kBT (1.35)
Ở đây nc, nc‟ và nc” là các số nguyên phụ thuộc vào hình dạng của mạng. Nó
phù hợp với giá trị biến thiên K≡ J/kBT, K‟ ≡ J‟/kBT và K” ≡J”/kBT thay thế cho J,
J‟, J”.Xác suất mạng không gian có thể viết lại:
exp{ncK + nc‟K‟ + nc”K”} (1.36)
Trong đó Z là hàm tổng thống kê của mạng
Z = 𝑒{𝑛 𝑐 𝐾+𝑛 𝑐
′ 𝐾′+𝑛 𝑐"𝐾"}
𝑡𝑜à𝑛𝑘ℎô𝑛𝑔𝑔𝑖𝑎𝑛
Thế Hàm nhiệt động học,hệ mô hình Ising trong mạng orthorhombic đơn giản
có thểtìm thông qua hàm tổng thống kê Z nhưng vấn đề trở nên phức tạp hơn trong
hệ Ising hai chiều khi giới hạn tổng Z là 2m-n-1
. Theo như phát triển của Kaufman
chúng ta coi như mỗi spin đều có thuộc tính giống nhau. Tất cả các nguyên tử đều
chỉ có một loại spin là +1,trong khi đó còn có loại khác là -1. Vì vậy tương tác giữa
hai nguyên tử lân cận với spin là 𝜇, 𝜇′
là: -𝜇𝜇′𝐾 (hoặc là – 𝜇𝜇′𝐾′ hoặc là – 𝜇𝜇′𝐾")
cho các hàng lân cận (hoặc các cột hay các mặt). Cấu hình của một chất từ tính có
thể được chỉ rõ bởi trạng thái có giá trị của 𝜇 tại mọi vị trí hoặc xét đến cấu hình của
cả chuỗi. Trong một mặt có n nguyên tử trong một hàng và có l mặt, có 2n-l
cấu hình

1≤ 𝜈 ≤ 2n-l
. Khi đó cấu hình của mô hình Ising orthorhombic đơn giản được biểu
diễn bởi tập hợp { ν1,ν2, …, νm }.
Năng lượng tương tác trong hàng thứ i của tất cả mọi mặt phẳng đều được
biểu diễn bởi E‟(νi). Năng lượng tương tác giữa hai hàng lân cận trong tất cả các
mặt là E(νi, νi+1). Năng lượng tương tác giữa hàng thứ i trong hai mặt lân cận biểu
diễn là E „‟(νi). Vậy kết quả năng lượng trong tinh thể biểu diễn là:
, 1
1 1 1
'( ) ''( ) ( )
m m m
c i i i i
i i i
E E E E    
  
    
(1.37)
Dựa trên đối xứng, ta thấy rằng spin trong hàng thứ m trong mọi mặt phẳng
của tinh thể tác động với hàng trước đó trong cùng một mặt. Chúng ta ưu tiên áp
dụng cho mô hình tinh thể hình trụ theo Onsager và Kaufman. Tuy nhiên, trong
trường hợp tinh thể 3D, có l hình trụ đồng trục đối xứng với l mặt trong khi trong
mô hình 2D chỉ có duy nhất một hình trụ. Ta có thể viết lại như sau:
11 1
2
3
( ) exp{ ( , ) / },
( ) exp{ '( ) / },
( ) exp{ ''( ) / },
i i
i i
i i
v v i i B
v v i B
v v i B
V E v v k T
V E v k T
V E v k T
  
 
 
(1.38)
Tìm thấy xác suất của cấu hình tỉ lệ :
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1
/
3 2 1 3 2 3 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )c B
m m m m m
E k T
v v v v v v v v v v v v v v v ve V V V V V V V V
   (1.39)
Hàm tổng thống kê trở thành:
1 1 1 1 1 2 1
1 2
3 2 1 3 2 1 3 2 1
, ,...
( ) ( ) ( ) ...( ) ( ) ( ) ( )m m m m m
m
m
v v v v v v v v v v v v
v v v
Z V V V V V V trace VV V  (1.40)
Từ mỗi vị trí i: 1 ≤ 𝑣𝑖 ≤ 2 𝑛−𝑙
chúng ta tìm được V1, V2 và V3 có ma trận 2n-l
chiều và V2, V3 là đường chéo. V1, V2 và V3 trở thành:

3 , , 1
1 1
2 , 1,
1 1
2
1 ,
1 1
exp{ ''. '' '' } exp{ ''. ''}
exp{ '. ' ' } exp{ '. '}
(2sinh 2 ) exp{ . }
n l
r s r s
r s
l n
r s r s
s r
n l l n
r s
s r
V K s s K A
V K s s K A
V K K C

 

 

 
 
 
 



(1.41)
Ở đây , ,'' , 'r s r ss s và Cr,s và bộ bốn ma trận 2n-l
chiều:
,
,
,
'' 1 1 ... 1 '' 1 ... 1,
' 1 1 ... 1 ' 1 ... 1,
1 1 ... 1 1 ... 1,
r s
r s
r s
s s
s s
C C
       
       
       
(1.42)
Có n-l nhân tố trong các tích số với s‟‟, s‟ và C ở vị trí (r,s).s‟‟, s‟ và C sinh ra
từ ma trận Pauli:
𝑠′′ ≡
0 −1
1 0
, 𝑠′ ≡
1 0
0 −1
, ≡
0 1
1 0
, 1 =
1 0
0 1
(1.43)
K* được định nghĩa bởi:
2
tanh .K
e K
  (1.44)
Để đơn giản ta bắt đầu sử dụng phương pháp chéo hóa ma trận, chúng ta đặt
số lớn nhất giữa K, K‟ và K‟‟ như tiêu chuẩn cho định nghĩa của K*.Chúng ta xác
định được V1 là hệ số vô hướng :
1 ,
1 1
exp{ *. } exp{ *. }
l n
r s
s r
V K C K B
 
  (1.45)
Hàm tổng thống kê được biểu diễn theo biểu thức dưới đây:
2
2 2
3 2 1
1
(2sinh 2 ) . ( ) (2sinh 2 )
n lm n l m n l
m m
i
i
Z K trace V V V K 
   

   (1.46)
Với i là trị riêng của ma trận V≡V3.V2.V1
Từ tổng thống kê (1.46) ta có thể tính được năng lượng thống kê, tham số
nhiệt động của hệ spin.

1.3.4.Năng lƣợng tự do , mô men từ , độ từ hóa trong mô hình Ising
Trong mô hình Ising 1D, Erst Ising giả thiết tất cả các spin của nguyên tử đều
tạo cặp và có hướng ngược nhau được mô tả ở hai trạng thái đặc trưng là trạng thái
lên (spin up) và xuống (spin down)do đó từ trường được tạo ra bởi nguyên tử này
lại bị phá hủy bởi từ trường của nguyên tử khác nên khi xét một lượng lớn các điện
tử sắp xếp có spin theo hướng ngược nhau thì từ trường tổng cộng bằng 0 – không
có từ tính.
Wilhelm Lenz giả thuyết: vật liệu có tính sắt từ do các nguyên tử không tạo
cặp và có thể tạo ra được từ trường. Từ trường tạo thành tác dụng lên các hạt tích
điện làm các hạt tích điện này dịch chuyển theo hai hướng: Một hướng các hạt di
chuyển cùng chiều từ trường – các hạt này có mang năng lượng thấp, hướng còn lại
các hạt di chuyển theo hướng chống lại từ trường – các hạt này mang năng lượng
cao.Giả sử vật liệu sắt từ được đặt trong một từ trường và được giữ ở nhiệt độ
không đổi, khi đó từ trường này tạo ra trong mạng tinh thể một độ từ hóa nhất định
do spin tại các nút mạng có xu hướng ở trạng thái “up”. Những kết quả tính toán và
thực nghiệm cho thấy, độ từ hóa tạo thành này phụ thuộc vào từ trường và nhiệt độ:
khi từ trường tác dụng giảm, ở vùng nhiệt độ cao mạng tinh thể trở về trạng thái
không từ hóa (thuận từ), ngược lại ở vùng nhiệt độ thấp khi từ trường giảm về 0 độ
từ hóa của mạng tinh thể vẫn khác 0 (do một số lượng nhỏ các spin vẫn ở trạng thái
up). Độ từ hóa này được gọi là độ từ hóa tự phát.
Xét tại vị trí thứ j (bất kỳ) trong mạng tinh thể với một biến spin độc lập jS
 1,...j N , trong đó jS chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 1 hoặc -1 (hai trạng
thái có thể có tại mỗi vị trí của mạng tinh thể). Với mỗi giá trị của jS tại một vị trí
của mạng tinh thể cho ta một trạng thái (cấu hình) của hệ do đó khi xét với mạng
tinh thể với N nút mạng sẽ có tất cả 2N
trạng thái.
Giả thiết rằng, chỉ có tương tác giữa những lân cận gần nhất và tương tác giữa
các nút mạng với trường ngoài đóng góp vào năng lượng của hệ, khi đó năng lượng
tổng cộng của hệ được xác định bằng Hamiltonian.

 
,
jk j k j
j k j
H H S J S S hS     (1.47)
Trong đó: jkJ là các thông số năng lượng phụ thuộc vào cường độ tương tác
giữa những lân cận gần nhất và h là trường ngoài. Số hạng thứ nhất trong (1.47) lấy
theo tổng tất cả các cặp lân cận gần nhất trong mạng tinh thể, số hạng thứ hai lấy
theo tổng tất cả các nút mạng.
Khi đó tổng thống kê Z hay hàm phân bố các trạng thái của hệ với
Hamiltonian (1.6) có dạng:
   
1
, , , H S
jkZ Z J h N e 
 

   (1.48)
Trong đó: 1
Bk T 
 , k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ (nhiệt độ tuyệt
đối), H là Hamiltonian của hệ.
Xác suất tồn tại một trạng thái bất kỳ của hệ được xác định theo công thức:
 
 H S
e
P S
Z

 (1.49)
Từ biểu thức của hàm phân bố (1.7) ta có năng lượng tự do của mỗi spin được
xác định theo công thức:
   1
, , lim ln , , ,jk jk
N
F F J h Z J h N
N
 

  (1.50)
Ở đây giới hạn N được gọi là giới hạn nhiệt động học.
Khi đó mô men từ được xác định theo công thức:
   , ,M h F h
h
 



(1.51)
Quá trình chuyển pha của hệ vật lý mô tả bằng mô hình Ising được thể hiện
thông qua sự gián đoạn của biểu thức năng lượng tự do F hay trong đạo hàm của
nó. Do đó để kiểm chứng các hệ vật lý mô tả bằng mô hình Ising có quá trình
chuyển pha hay không cần xác định được tính gián đoạn hay liên tục của của hàm F
hay F‟.

1.3.5 : Kết luận
Như vậy đối với mô hình một chiều không xảy ra quá trình chuyển pha, vật
liệu không có từ tính. Với mô hình hai chiều và ba chiều xảy ra quá trình chuyển
pha từ sắt từ sang thuận từ, vật liệu có từ tính. Trong những không gian có số chiều
lớn hơn 4 mô hình Ising được giải thích bằng lý thuyết trường. Mô hình Ising chỉ
xem xét các spin trong mối tương tác trao đổi với các spin lân cận nhất của nó với
số lân cận gần nhất này được xác định bằng biểu thức Z=2d
( d là số chiều của mô
hình )

CHƢƠNG 2: MÔ HÌNH ISING MẤT TRẬT TỰ VỚI TÍCH PHÂN
TRAO ĐỔI THĂNG GIÁNG VÀ ỨNG DỤNG
Trong chương này chúng ta cùng xây dựng biểu thức tính mô men từ theo hệ
thức
Callen và phương pháp Monte CarlO cho mô hình Ising mất trật tự.
2.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising mất trật tự.
2.1.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising trật tự.
Hamiltonian cho mô hình Ising cho mạng spin tuần hoàn trong không gian với
trường ngoài h được viết như sau [13]:
2
j k j
j k j
J
H S S h S

    (2.1)
Ở đây, tổng được lấy với j chạy từ 1 đến N và sử dụng điều kiện biên tuần
hoàn j j NS S  .
Trong đó: ,j kS S lần lượt là biến spin tại các nút mạng thứ ,j k .
,j k : Là những lân cận gần nhất.
h : Là ký hiệu của trường ngoài (tính trong đơn vị năng lượng).
J : Là tích phân trao đổi giữa những lân cận gần nhất
Giá trị trung bình thống kê của biến spin tại một vị trí j bất kỳ của mạng tinh
thể được xác định:
H
j
j H
TrS e
S
Tre




 (2.2)
Với :
1
, B
B
k
k T
  là hằng số Boltzmann và T là nhiệt độ tuyệt đối (K).
Trước hết Hamiltonian trong (2.1) có thế tách thành hai thành phần: số hạng
thứ nhất ký hiệu là jH - bao gồm tất cả các liên kết tại vị trí j của mạng tinh thể và
số hạng thứ hai – ký hiệu là 'H không phụ thuộc vào vị trí j .
Khi đó Hamiltonian trong biểu thức (2.1) có thể viết lại:

'jH H H  (2.3)
Với: j j k j j j
k
H J S S h S S E     và j k
k
E J S h  (2.4)
Hj là từ trường tại vị trí j ( jE là hàm phụ thuộc vào biến số lân cận của spin
tại vị trí j : kS do đó jE không phụ thuộc vào vị trí j ).
Trong mạng tinh thể spin tại các vị trí ,j k khác nhau là các biến có thể giao
hoán cho nhau do đó ta có:
, 0j kS S    (2.5)
Suy ra:
, ' , , 0j j j jH H H H H H H              (2.6)
Từ (2.2) ta có:
       
1 1
'
N N
i i j j
i i j
Tr tr tr tr Tr tr
  
 
   
 
  (2.7)
Trong đó:  
1
1i
j
S
tr


  là viết tắt của vết liên quan đến các thông số tại vị trí j
và 'Tr được xác định bằng công thức:
 
1
'
N
i
i j
Tr tr
 
 
  
 
 (2.8)
Từ biểu thức (2.3), (2.7), (2.8) biểu thức (2.2) trở thành:
 
 
 
   
'
'
'
'
j
j
H H
jj
j H
HH
jj
H
Tr tr S e
S
Tre
Tr e tr S e
Tre




 





(2.9)
Thêm vào vế phải của (2.9) biểu thức:
  
  
1
j
j
H
j
H
j
tr e
tr e




 khi đó (2.9) trở thành:

 
 
 
 
   
 
 
 
'
'
1
'
1
'
1
j
j
j
j
j
j
j
j
H
jjHH
j j HH
j
H
jH H j
j HH
j
H
jjH
HH
j
tr S e
S Tr e tr e
Tre tr e
tr S e
Tr tr e
Tre tr e
tr S e
Tre
Tre tr e













 




      
    
      
    
      
    
(2.10)
Bằng cách sử dụng phương trình (2.7), (2.4) ta có thể xác định được biểu thức
trong dấu ngoặc của phương trình (2.10):
   
1 1
2 2
jj j j j
EH S E E
j jtr e tr e e e
   
   (2.11)
   
1 1
2 21
( )
2
j jj j j
E EH S E
j jj jtr S e tr S e e e
   
   (2.12)
Thay vào phương trình (2.11) ta thu được:
 tanh 1
tanh
2 2
H
j j
j H
Tr e E E
S
Tre


 


  (2.13)
Biểu thức (2.13) là hệ thức Callen trong mạng spin tuần hoàn trong không gian
có số chiều bất kỳvới spin
1
2
S  [10,13]
Vận dụng những tính toán giải tích dựa trên hệ thức Callen với mô hình Ising
sẽ xác định được một số các tham số nhiệt động học như: mô men từ tổng cộng,
nhiệt độ chuyển pha Curie, độ cảm từ...
2.1.2. Mô hình Isingmất trật tự với tích phân trao đổi thăng giáng và hệ
thức Callen.
Trong thực tế chúng ta gặp những hệ spin mất trật tự tương tác (trong hệ có
thể có các loại tương tác sắt từ ( Jij >0) hoặc phản sắt từ (Jij<0) hay nhiều loại sắt từ
khác nhau). Để khảo sát hệ spin mất trật tự loại này ta có thể sử dụng mẫu Ising mất
trật tự.
Hamiltonian của mô hình Ising mất trật tự được viết dưới dạng:

ij
ij
1
2
i j B j
j
H J S S g h S    (2.14)
Trong đó :
Si , Sj là các spin ở vị trí thứ i và j của mạng.
h : kí hiệu từ trường bên ngoài
Jij : tích phân trao đổi của nút mạng thứ i và j là lân cận gần nhất nhưng có thể
có giá trị khác nhau J và 'J với xác suất p và (1-p). Jij được coi như biến thăng
giáng và tuân theo qui luật xác suất sau :
ij ij ij( ) [ ] (1 ) [ ']P J p J J p J J       (2.15)
(1 )J J   ; ' (1 )J J  (2.16)
0 1p 
J : đặc trưng cho trao đổi sắt từ với xác suất là p
'J : đặc trưng cho trao đổi phản sắt từ với xác suất (1-p) khi ∆> 1, còn khi
1  nó cũng là trao đổi sắt từ nhưng với cường độ nhỏ hơn.
J, ∆ : là giá trị trung bình của tích phân trao đổi và độ thăng giáng của nó.
Để xây dựng phương trình xác định giá trị trung bình thống kê của mômen
từcủa mô hình Ising, chúng ta có thể sử dụng hệ thức Callen tính toán giá trị trung
bình của spin ở vị trí bất kì trong mạng tinh thể có số chiều bất kì và spin tùy ý. Đối
với spin tùy ý hàm tanh(x) trong (2.13) được thay bằng hàm Brillouin BS(x):
( )k s k rr
S B E (2.17)
Với k kj j k
j
E J S g hS   ; 1
Bk T 

Trong đó Bs(x) là hàm Brillouin:
1 1 1
( ) 1 1
2 2 2 2
s
x
B x cth x cth
S S S S
     
        
     
(2.18)

k
S là biến spin ở nút mạng k. Khi S=1/2 hàm Brillouin có dạng hàm tanh(𝛽𝐸𝑘 )
đã biết ở trên theo công thức (2.13). Hai dấu ngoặc trong công thức (2.17) có nghĩa
là trung bình thống kê với Hamiltonian Ising H và trung bình theo hàm phân bố
ngẫu nhiên P(Jij)
... ( ...) / ( )H H
Tr e Tr e  
 (2.19)
ij ij ij ij( ) ( ) ( )
r
L J p J L J dJ  (2.20)
2.1.3: Phƣơng trình đại số cho mômen từ trên một nút mạng nhận bằng
phƣơng pháp biến đổi tích phân.
Biến đổi Fourier cho vế phải của công thức (2.11) dẫn đến phương trình tích
phân cho mô men từ [6] :
0
( )Im exp(k s kr r
m S F t iE t dt

   (2.21)
0
2
( ) ( )sin( )s SF t B x tx dx


  (2.22)
Dễ dàng biểu diễn biểu thức (2.22) dưới dạng:
2
2
2 1
( )
( )
2 1
s
S t
sh
S
F t
S t
sh sh S t
S



 
 
 
 
 
 
(2.23)
Khi lấy giá trị spin S=
1
2
thì (2.22) có dạng:
1/2
0
sin x
( ) tanh( )
2
tdt
B x x
t
sh


   (2.24)
Khi spin S=1 thì công thức (2.22) trở thành :

1
0
2 ( ) 4 3( ) sin( )
2 ( ) 1
t
ch
sh x
B x tx dt
sh x sh t

 

 
  (2.25)
Sử dụng biến đổi chuỗi Fourier áp dụng cho trường hợp spin S=1/2 thì giá trị trung
bình trong công thức (2.21) được biểu diễn như sau :
exp( exp( ) exp(k kj jr
j
r
iE t ikt h it J S    (2.26)
Bằng phép khai triển hàm số mũ trong biểu thức chúng ta có được phương trình tính
mômen từ trên một nút mạng là :
1 2
10 ...
... n
n
z z
n j j j
n j j r
m A S S S

   (2.27)
Vế phải là tổng của các hàm tương quan giữa n spin khác nhau và z là số spin lân
cận gần nhất. Hệ số Ancó dạng tường minh là:
0
( ) ( )
sin
2
sinh
2
z n n
n
a x b x n
A hx dx
x



 
 
  
   
 
 
 (2.28)
Với a(x)=p cos𝛼(1+∆ )x+(1-p) cos 𝛼 (1-∆ )x (2.29)
b(x)= p sin 𝛼 (1+∆ )x + (1-p) sin 𝛼 (1-∆ )x (2.30)
Một số đại lượng thứ nguyên trong (2.28) , (2.29), (2.30) có ý nghĩa như sau:
𝛽𝐽 = 𝛼 ; 𝛽𝑔𝜇 𝐵ℎ = 𝛼ℎ và ℎ =
𝑔𝜇 𝐵 ℎ
𝐽
(2.31)
Trong gần đúngtrường hiệu dụng hàm tương quannhiều spin trong công
thức(2.26) có thể coi gần đúng là :
1 1
... z
n
k k k
r
S S S m (2.32)

Theo lý thuyết trường hiệu dụng tương đương với gần đúng Orstein-Zernick
mômen từ trung bình m là nghiệm của phương trình đại số (hệ quả của (2.27)) sau:
0
( , , , , )
z
n n
z n
n
m C A p z h m

  (2.33)
Biểu thức (2.28) (2.33) sử dụng để tính sự phụ thuộc của mômen từ tỉ đối
vào nhiệt độ ở các trường ngoài khác nhau và sự phụ thuộc của xác suất thăng giáng
vào nhiệt độ trong quá trình cạnh tranh giữa sắt từ và phản sắt từ.
Trong đó n
zC hệ số nhị thức. Biến đổi từ phương trình trong trường hợp
không có từ trường ngoài ( h=0) ta có phương trình xác định điểm Currie:
11 ( , , , ,0) 0czA p z   ; c
b c
J
k T
  (2.34)
Phương trình (2.33)cho mômen từ có thể biến đổi để nhận được phương trình
đại số tường minh hơn và giải được nghiệm kỳ dị tốt hơn bằng phương pháp thong
thường. Ta viết lại công thức (2.27), (2.28) như sau:
 
0
Im
sinh
2
zi htdt
m a ibm
t e



  
   (2.35)
Sử dụng khai triển nhị thức Newton cho công thức (2.35) ta được :
00
Im ( )
sinh
2
z
n z n z i ht
z
n
dt
m C a ibm e
t





  (2.36)
Với:
   cos 1 sin 1 (1 )[cos (1 ) sin (1 ) ](2.37)a ibm p t mi t p t im t                  
Đặt :
  2222
11 mprmpr  ,
2 2
1
cosh ,sinh
1 1
p m
r m m
   
 
(2.38)
2
1 1)1( mpr  (2.39)
Khi đó ta có:

    
    1
cosh cosh 1 sinh sinh 1
cosh cosh 1 sinh sinh 1
a ibm r i t i t
r i t i t
   
   
      
     
(2.40)
Sử dụng công thức lượng giác cho hàm hypebolic:
 cosh cosh sinhxsinh coshx y y x y  
Công thức (2.44) trở thành:
          
/2
2
1 cosh 1 1 cosh 1
zzz
a ibm m p i t p i t                  (2.41)
Sử dụng các công thức khai triển [7]:
 
1
2
2 22
0
1
cosh 2 cosh 2
2
n
n k n
n nn
k
x C n k x C


  
   
  
 (2.42)
 
1
2 1
2 12 2
0
1
cosh cosh 2 2 1
2
n
n k
nn
k
x C n k x




   (2.43)
Từ các công thức (2.42), (2.43) sử dụng phương pháp truy hồi ta được:
      
( )
2
( )
0
1
cosh 1 cosh 2
22
n f n
n k
nn f n
k
n
x C f n k f n n k t



  
      
  
 (2.44)
Với:
 
 
0 2
1 2 1
f n khi n k
f n khi n k
  

  
(2.45)
Khi đó công thức (2.41) trở thành:
           
/2
2
0
1 cosh 1 1 cosh 1 2.46
zzz z nn n n z n
z
n
a ibm m C p i t p i t   
 

              
Thay vào biểu thức (2.35) ta được biểu thức xác định mô men từ tỷ đối trên
một nút mạng bất kỳ (hay phương trình đại số cho giá trị trung bình spin trên một
nút mạng):
         
/2
2
00
Im 1 1 cosh 1 cosh 1 2.47
sinh
2
i ht zz z nn n n z n
z
n
dt
m m C p p i t i t
t
e

   


 

              
Sử dụng công thức khai triển (2.44) ta được biểu thức xác định mô men từ tỷ đối
như sau:

 
 
 
 
        
   
 
        
 
2/2
2
0 0
0
2
0
/2
2
1 1 Im
sinh
2
1
1 cosh 1 2
22
1
1 cosh 1 2
22
1
n f n
i ht
z z nn n
z
n
z
k
nn f n
n
z n f n
l
z n f nz n f n
l
z
n k
z n
dt
m m C p p
t
n
C f n k f n i t n k
z n
C f z n l f z n i t z n l
m C C C
e


  
  






 
  

  
  
          
  
  
             
  
 
 


 
  
 
 
         
       
        
2 2
2
0 0 0
0
1
2
1 1
2 2
1
Im cosh 1 2 1 2
2sinh
2
cosh 1 2 1 2
n f n z n f n
z nnz
l
z n f n z f n
n k l
i ht
p p
n z n
f n k f n f z n l f z n
i t n k i t z n k
t
i t n k i t z n l
e

 
   

   
  

  
  



     
              
     
           
          
  

(2.48)

Xét tích phân:
          
           
    
    
0
0
1
Im cosh 1 2 1 2 2 2
2
sinh
2
cosh 1 2 1 2 2 2 2
Im
cosh 2 2 2 2 2 2 2
2
sinh
2
cosh 2 2 2 2 2 2 2
i ht
i ht
dt
I i t n k t z n l z k l
t
i t n k t z n l n z l k
dt
i z k l z k n l z k l
t
i z k l z k l z n k l
e
e


  

  
 

 


             
              
            
          



   
   
0
Im
exp{ 2 2 2 2 2 2 2 }
4
sinh
2
exp{ t[ 2 2 ( 2 2 2 ) ] ( 2 2 )}
exp{ 2 2 2 2 2 2 2 2 }
exp{ [ 2 2 2 ( 2 2 ) ] ( 2 2 )
dt
i t z k l z k n l h z k l
t
i z k l z k n l h y z k l
i t z n k l z k l h z n k l
i t z n k l z k l h y z k l
 


 



 
              
            
               
            


    

    
    
    

2 2
0
2 2
2 2 2
2 2 2
}
1
= sin 2 2 2 2 2
4
sinh
2
sin 2 2 2 2 2
sin 2 2 2 2 2 2
sin 2 2 2 2 2 2
z k l
z k l
z n k l
z n k l
dt
t z k l z k n l h
t
t z k l z k n l h
t z k k l z k n l h
t z n k l z k n l h
e
e
e
e










 
  
  
   
         
          
           
           

Để xác định tích phân I chúng ta sử dụng tích phân :
0
sin
' tanh
sinh 2 2
ax a
I
x
 
  

  (2.50)
Khi đó ta xác định được tích phân (2.47):
(2.49)

   
   
   
   

2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
1
tanh 2 2 2 2 2
4
tanh 2 2 2 2 2
tanh 2 2 2 2 2
tanh 2 2 2 2 2
z k l
z n k l
z k l
z n k l
I z k l z k n l h e
z n k l z k l h e
z k l z k n l h e
z n k l z k l h e








 
  
  
   
          
          
          
          
(2.51)
Hay :
   
   
1
, , , , , , , , , , , , , ,
4
, , , , , , , , , , , , , ,
I X z n k l h X z n k l h
Y z n k l h Y z n k l h
   
   
     
     
(2.52)
Trong đó:
     2 2
, , , , , , , tanh 2 2 2 2 2
z k l
X z n k l h z n l z n k l h e

    
               (2.53)
     2 2 2
, , , , , , , tanh 2 2 2 2 2
z n k l
Y z n k l h z n k l z k l h e

     
             (2.54)
Thay vào công thức (2.48) ta được : Phương trình đại số cho giá trị trung bình
spin trên một nút mạng (hay mô men từ tỷ đối trên một nút mạng thứ j bất kỳ của
mạng tinh thể) với hệ số X, Y được xác định theo (2.53), (2.54)
 
  
 
 
 
         
   
   
2 2
2
2 2
0 0 0
1
1
2
1 1
2 2
, , , , , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , , , ,
n f n z n f n
z nnz
n k l
z n z n f n z f n
n k l
p p
m m C C C
n z n
f n k f n f z n l f z n
X z n k l h X z n k l h
Y z n k l h Y z n k l h
 
   
   
  

   
  

 
      
             
      
    
     
  
(2.55)
Mặt khác theo (2.38):
tanh atanhm m    ta có:
1/2 /2
1 1
1 1
e e m m
m e e
m me e
 
 
 


     
       
     (2.56)
Thay vào biểu thức (2.53), (2.54) ta được:

   
/2
1
, , , , , , , tanh 2 2 2 2 2 2
1
z k l
m
X z n k l h m z n k l z n k l h
m
 
 
 
                
(2.57)
   
21
, , , , , , , tanh 2 2 2 2 2
1
z
n k l
m
Y z n k l h m z n k l z k l h
m
 
  
 
              
(2.58)
Khi đó thay vào công thức (2.55) ta có:
  
 
 
   
         
   
   
2 2
2 2
2 2
0 0 0
1
1
2
1 1
2 2
, , , , , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , , , ,
n f n z n f n
z n znz
n k l
z n z n f n z f n
n k l
p p
m C C C m
n z n
f n k f n f z n l f n
X z n k l h m X z n k l h m
Y z n k l h m Y z n k l h m
 
 
 
  

   
  

 
      
            
      
    
     
  
(2.59)
Hay có thể viết:
  
 
 
 
         
       
2 2
2 2
0 0 0
1
2
1 1
2 2
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
n f n z n f n
z nnz
n k l
z n z n f n z f n
n k l
p p
m C C C
n z n
f n k f n f z n l f n
X z n k l h m X z n k l h m Y z n k l h m Y z n k l h m
 
   
  

   
  


     
           
     
          
  
(2.60)
Với các hệ số X, Y được xác định bằng biểu thức:
       , , , , , , , tanh 2 2 2 2 2 1 1 (2.61)
k l z k l
X z n k l h m z k l z n k l h m m 
  
            
         , , , , , , , tanh 2 2 2 2 2 1 1 2.62
n k l z n k l
Y z n k l h m z n k l z k l h m m 
    
            
Còn :
, Bg h
J h
J

  
Biểu thức (2.60) (2.61) và (2.62) được sử dụng để tính sự phụ thuộc của mô
men từvào từ trường ngoài ở nhiệt độ thấp
Vậy :Mômen từ tỷ đối của mỗi nút mạng bất kỳ trong mạng tinh thể phụ thuộc vào
nhiệt độ, trường ngoài, các tham số thăng giáng và số spin lân cận gần nhất (hay
mạng tinh thể của mô hình).

2.2: Phƣơng pháp Monte Carlo [5]
2.2.1: Thuật toán Metropolis
Thuật toán Metropolis được sử dụng khá phổ biến trong cơ học thống kê để
tính giá trị trung bình của các đại lượng tuân theo một phân bố thống kê nào đó.
Thuật toán đó có thể mô tả như sau:
Gỉa thiết ta có không gian (có thể là nhiều chiều) chứa tập hợp các điểm của
biến X phân bố với mật độ xác suất là w(X). Thuật toán Metropolis tạo ra chuỗi số
các điểm X0, X1…lần lượt được rà soát bởi các bước nhảy ngẫu nhiên trong không
gian X. Quy luật của các bước nhảy ngẫu nhiên thực hiện trong không gian cấu hình
là như sau: cho rằng bước nhảy bắt đầu từ Xn, để tiếp theo là Xn+1 phải thử nghiệm
bước nhảy với điểm mới Xt. Điểm mới này sẽ được chọn bằng cách thuận tiện nhất
thí dụ có khả năng như nhau trong một hình hộp đa chiều kích thước bé δ xung
quanh điểm Xn. Bước nhảy thử nghiệm được chấp nhận hay không chấp nhận phụ
thuộc vào tỉ lệ xác suất :
w( )
w( )
t
n
X
r
X

(2.64)
Nếu r > 1 khi đó bước nhảy được chấp nhận và khi đó ta đặt Xn+1 = Xt.
Nếu r < 1 bước nhảy được chấp nhận với xác suất r. Quá trình nhảy này được
thực hiện bằng cách so sánh r với số ngẫu nhiên  phân bố đồng nhất trong khỏang
[0 , 1] và được chấp nhận nếu r  .
Nếu bước nhảy thử không được chấp nhận (loại bỏ) chúng ta đặt Xn+1=Xn .
Tìm ra giá trị Xn+1 chúng ta có thể tiếp tục xây dựng giá trị Xn+2 bằng cách
tương tự sử dụng bước nhảy ngẫu nhiên từ Xn+1. Điểm X0 tùy ý có thể dùng là điểm
bắt đầu cho bước nhảy ngẫu nhiên.
Tính toán hàm trọng số thống kê w( )X là việc mất thời gian nhất trong phương
pháp Monter- Carlo sử dụng thuật toán Metropolis. Thuật toán bước nhảy ngẫu
nhiên nêu trên sinh ra tập các điểm tuân theo phân bố w( )X ,điều này có thể chứng
minh như sau: ta xét một tập các bước nhảy ngẫu nhiên xuất phát từ các điểm khởi

đầu khác nhau và chuyển động độc lập qua không gian X. Nếu Nn(X) là mật độ các
bước nhảy tại X sau n lần lặp thì tổng các bước nhảy từ điểm X đến điểm Y ở lần
lặp tiếp theo là:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.65)
( ) ( )
n
n n n
n
N X P Y X
N X N X P X Y N Y P Y X N Y P X Y
N Y P X Y
 
        
 
Ở đây ( )P X Y là xác xuất mà bước nhảy bắt đầu từ X và tới Y. Phương trình (2.65)
cho thấy khi cân bằng (khi không có sự thay đổi trong phân bố) thì
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n e
n e
N X N X P Y X
N Y N Y P X Y

 

(2.66)
và khi hệ chưa cân bằng ( ( ) 0N X  -có quá nhiều bước nhảy tại X hoặc nếu
( )
( )
n
n
N X
N Y
lớn hơn giá trị cân bằng) thì sự thay đổi của N(X) lái hệ hướng về phía cân
bằng . Có thểchứng minh rằng sau một số lớn lần lặp n, mật độ các bước nhảy tại X
sẽ có giá trị cân bằng ( )eN X . Ta cũng cần chỉ ra rằng xác xuất chuyển dời của thuật
toán Metropolis cũng tiến tới giá trị cân bằng Ne(X)~w(X). Xác suất bước nhảy từ
X đến Y là
( ) ( ) ( )P X Y T X Y A X Y    (2.67)
Trong đóT(X-Y) là xác xuất thực hiện bước nhảy thử từ X đến Y và
là xác xuất bước nhảy thử đó được chấp nhận. Nếu chỉ sau một bước nhảy từ X đến
được
điểm Y ( nếu điều này xẩy ra trong hình lập phương đa chiều kích thước δ
xung quanh điểm X) thì:
( ) ( )T X Y T Y X   (2.68)
Như vậy phân bố cân bằng của các bước nhảy ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện ( xem
(2.66), (2.68)):
( ) ( )
( ) ( )
e
e
N X A Y X
N Y A X Y



(2.69)
Nếu w( ) w( )X Y thì ( ) 1A Y X  và:

w( )
( )
w( )
X
A X Y
Y
  (2.70)
Nếu w( ) w( )X Y thì ( ) 1A X Y  và:
w( )
( )
w( )
X
A Y X
Y
  (2.71)
Nói một cách khác khi phân bố các bước nhảy là cân bằng thì
( ) w( )
( ) w( )
e
e
N X X
N Y Y
 (2.72)
Trên kia chúng ta thảo luận về các bước nhảy thử Xt xung quanh điểm Xn, tuy
nhiên chúng ta có thể xét các điểm bất kỳ và xem xét sự chuyển theo qui luật
w( ) ( ) ( )
w( ) ( ) ( )
X T Y X A Y X
Y T X Y A X Y
 

  (2.73)
Thêm vào đó một cách chọn là ( ) w( )T X Y Y  không phụ thuộc vào X và
A=1. Cách chọn này có vẻ là cách chọn hiệu quả nhất vì không có một bước nhảy
thử nào bị “lãng phí” qua sự loại bỏ. Tuy nhiên cách chọn đó là không thực tế vì
nếu chúng ta biết cách chọn w(X) cho bước nhảy thử thì không cần sử dụng thuật
tóan để bắt đầu bước nhảy đó.
Còn một câu hỏi nữa phải trả lời đó là “ nếu bước nhảy được thực hiện xung
quanh Xn ta phải chọn kích thước của bước nhảy δ”. Để trả lời câu hỏi đó ta giảthiết
rằng Xn ứng với xác suất w(Xn) lớn nhất (vị trí Xn có độ hiện thực cao nhất). Nếu δ
là lớn thì w(Xt) bé hơn w(Xn) rất nhiều và so đó sẽ rất nhiều bước nhảy thử sẽ bị
loại bỏ như vậy giá trị lấy mẫu của w(X) rất kém hiệu quả. Nếu δ là rất bé thì nhiều
bước nhảy thử sẽ được chấp nhận nhưng bước nhảy ngẫu nhiên sẽ không đi được xa
và do đó việc lấy mẫu cho w(X) cũng không tốt. Một qui tắc thường được sử dụng
là: kích thước của bước nhảy thử được coi là tốt sao cho khoảng một nửa số các
bước nhảy thử sẽ được chấp nhận.
Khi áp dụng thuật toán Metropolis để lấy mẫu phân bố cần làm sao để các
bước nhảy ngẫu nhiên X0, X1, X2, … không phải không phụ thuộc vào nhau: có
nghĩa là Xn+1 cần ở lân cận Xn. Các điểm đo không phải là độc lập thống kê với
nhau. Điều này cần chú ý thí dụ khi tính tích phân:

( ) ( )
( )
dXw X f X
I
dXw X



(2.74)
bằng cách tính trung bình đại lượng f(X) trên tập hợp các điểm của các bước
nhảy ngẫu nhiên công thức độ lệch toàn phương (hay độ tản mạn) sau cho f(X) là
không đúng vì f(Xi) không phải là độc lập thống kê :
2
2 2 2 2
1 1
1 1 1 1N N
I f i i
i i
f f
N N N N
 
 
  
        
 
Điều đó có thể kiểm chứng bằng cách tính hàm tự tương quan sau
2
22
( ) i i k i
i i
f f f
C k
f f
 


Ở đây .... ký hiệu lấy trung bình theo các bước nhảy ngẫu nhiên:
1
1
( ) ( )
N k
i i k
i
f X f X
N k




Do C(0)=1 nên giá trị C khi 0k  có nghĩa rằng các f(Xi) là không độc lập.
Trên thực tế khi tính tích phân và độ lệch của nó sử dụng các điểm dọc theo bứơc
nhảy ngẫu nhiên phân cách bởi các khỏang cố định thì các khỏang nên chọn sao cho
không có sự tương quan giữa các điểm được sử dụng để tính. Khỏang lấy phù hợp có thể
đánh giá từ giá trị k mà C(k) là nhỏ ( thí dụ 0 ).
2.2.2: Áp dụng cho mô hình Ising hai chiều
Trong phần này ta sử dung phương pháp Monte-Carlo để tính các tính chất
nhiệt động của hệ từ tính sử dụng mô hình Ising.
Mô hình Ising là tập hợp các bậc tự do spin tương tác với nhau trong trường
ngoài. Chúng ta xét các spin tương tác trong mô hình hai chiều. Các spin ở các vị trí
nút mạng của mạng vuông gồm Nx Nynút. Các spin được kí hiệu hoặc là Sij với i, j
là số chỉ hai hướng trong không gian (hàng và cột) hay sử dụng ký hiệu với là
kí hiệu vị trí chung. Mỗi spin có trạng thái lên (up) 1S   hoặc xuống (down)

1S   . Điều này ứng với trường hợp spin S=1/2 trong mạng vuông 2 chiều và
chúng ta coi spin là bậc tự do cổ điển.
Halmitonnian của mô hình Ising:
H J S S B S  
 
   
(2.75)
Ở đây kí hiệu  là tổng của các cặp spin lân cận với tương tác trao đổi có
độ lớn là J. Vì vậy spin ở vị trí i tương tác với spin ở các vị trí 1i j và ij 1 . Ta
cũng giả thiết mạng spin có điều kiên biên tuần hòan ( nút i=Nx trùng với nút i=1,
nút j=Ny trùng với nút j=1, mạng spin có cấu trúc topo là hình xuyến trụ).
Khi J > 0 năng lượng là thấp nhất khi các spin lân cận có định hướng song
song cùng chiều, hệ mang tính sắt từ.
Khi J < 0 năng lượng là thấp nhất khi các spin lân cận có định hướng song
song ngược chiều, hệ mang tính phản sắt từ.
B ký hiệu từ trường ngoài. Số hạng tương tác với từ trường ngoài cho thấy các
spin có xu hướng sắp xếp song song cùng hướng với nó.
Để thuận tiện, ta tính cặp giá trị năng lượng trao đổi J và năng lượng trong từ trường
B theo đơn vị nhiệt độ như vậy sự tăng nhiệt độ trong hệ (đốt nhiệt) ứng với sự
giảm của cường độ tương tác . Cấu hình của hệ thống được đặc trưng bởi giá trị của
x y sN N N  biến spin và trọng số thống kế của một cấu hình spin S bất kỳ trong
2 sN
cấu hình của tập hợp thống kê, đó là:
( )
ω( )
H S
e
S
Z




(2.76a)
Với hàm tổng thống kê Z:
( )
( , ) H S
S
Z J B e
 

 (2.76b)
Ta quan tâm đến mô- men từ của hệ mà theo nhiệt động lực học thì:
log
( )
S
Z
M S S
B



 
     
 


(2.77)

Độ cảm từ :
2
2
( )
S
M
S S M
B


 
 
     
 


(2.78)
Năng lượng : ( ) ( )
S
E S H S 

 
(2.79)
Nhiệt dung hệ trong từ trường không đổi :
2 2
( ) ( )B
S
C S H S E 

 
(2.80)
Trong giới hạn mạng rộng vô hạn ( ,x yN   ) chúng ta có thể giải quyết được
mô hình Ising một cách chính xác (lời giải của Onsager). Khi trường ngoài B=0,
biểu thức cho năng lượng được tính bởi biểu thức:
'
1
2
(coth 2 ) 1 ( )sE N J J K 

 
     (2.81)
Nhiệt dung trong trường không đổi :
2 ' '
1 1 1
2
( coth2 ) 2 ( ) 2 ( ) (1 ) ( )
2
B SC N J J K E K

    

  
         (2.82)
Còn mô men từ được tính bởi biểu thức:
2 1/4 2 4 1/8
2 1/2
(1 ) (1 6 )
(1 )
s
z z z
M N
z
  
 

khi CJ J (2.83a)
M=0 Khi CJ J (2.83b)
Trong các biểu thức trên thì các ký hiệu có ý nghĩa như sau:
2
sinh 2
2 1
cosh 2
J
J
   , 2
' 2tanh 2 1J   (2.84)
/2
1 2 2 1/2
0
( )
(1 sin )
d
K



 


 ,
/2
2 2 1/2
1
0
( ) (1 sin )E d

    
(2.85)
Còn 2J
z e
 và Jc=0.4406868 là giá trị tới hạn của J khi 1  .

K1 là hàm có kỳ dị logarit. Như vậy tất cả các hàm nhiệt động có kỳ dị tại
điểm Jc tương ứng với sự chuyển pha. Điều đó được thể hiện rõ qua (285a,b).
Để tính số cho mô hình Ising ta phải tính các tổng theo các cấu hình spin
trong (2.79)-(2.89). Điều này hầu như không thể trên thực tế (thí dụ cho mạng spin
gồm 16x16 nút có cả thẩy2256
~ 1077
cấu hình spin). Do đó ta có thể sử dụng thuật
toán Metropolis để tạo cấu hình spin với S với xác suất ( )S  và tính trung bình các
đại lượng nhiệt động theo các cấu hình đó. Thực hiện thuật toán Metropolis , chúng
ta cần tạo ra bước nhảy từ S đến tS bằng cách thay đổi tất cả các spin một cách
ngẫu nhiên. Điều này cho chúng ta một cấu hình rất khác từ cấu hình S và có xác
suất bị loại trừ cao. Bước nhảy càng nhỏ kết quả càng chính xác vì vậy chúng ta
xem xét một cấu hình thử từ một cấu hình khác trước đó bằng cách thay đổi đảo
ngược giá trị của một spin thôi. Để làm việc này ta rà sóat một cách hệ thống qua
tòan bộ mạng spin xem mỗi spin tại 1 thời điểm có quay hay không. Như vậy ta
xét hai cấu hình S và tS chỉ khác nhau bởi sự quay của một spin, ijS S  . Sự chấp
nhận của bước nhảy thử này phụ thuộc vào hàm trọng số:
( ) ( )( )
( )
tH S H StS
r e
S


 
 
 
(2.86)
Nếu r > 1 hay r < 1 nhưng lớn hơn một số η ngẫu nhiên phân bố đồng nhất
trong khỏang [0,1] thì spin S sẽ đảo ngược còn nếu nhỏ hơn (r <η) thì spin sẽ
không thực hiện dịch chuyển.
Từ Hamiltonian ban đầu (2.77) ta thấy chỉ có mỗi spin ijS S  có đóng góp
vào tỷ số xác xuấtr . Sau một vài tính toán toán học ta có:
2 ( )S Jf B
r e  
 ; 1 1 ij 1 ij 1i j i jf S S S S      
f là tổng của bốn spin lân cận của spin bị đảo ngược. f nhận 5 giá trị khác
nhau 0, 2, 4  nên r có thể có 10 giá trị khác nhau (có hai giá trịkhác nhau của S )

CHƢƠNG 3 : KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN
Trong chương này, xuất phát từ phương trình xác định mô men từ nhận được
dựa trên đẳng thức Callen như đãtrình bày ở trong chương hai (công thức (2.32)
hoặc (2.61),(2.62) và (2.63)). Các phương trình này có thể giải bằng lập trình sử
dụng phần mềm mathlab. Ngoài ra ta có thể tính trực tiếp mô men từ m theo
phương pháp Monte Carlo. Ta thu được một số kết quả về sự phụ thuộc của mô men
từ tỉ đối
jS
m
S
 phụ thuộc vào nhiệt độ và các trườngngoài khác nhau.
3.1:Đƣờng cong từ nhiệt m(t) khi có và không có từ trƣờng ngoài.
Đường cong từ nhiệt là đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ tỉ đối
vào nhiệt độ. Từ đường cong từ nhiệt ta có thể xác định được điểm chuyển pha của
chất. Quá trình chuyển pha sắt từ - thuận từ xảy ra khi mômen từ 0m  tại nhiệt
độchuyển pha Currie Tc. Ta sử dụng phương trình (2.33) để tính toán đường từ
nhiệt.
3.1.1: Mạng hai chiều
Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ tỉ đối vào nhiệt độ Bk T
t
J

(đạilượng không thứ nguyên cho mạng spin hai chiều với số lân cận z=4, không có
trường ngoài (h=0), p=0.5 và tham số thăng giáng  khác nhau được chỉ ra trên
hình 3.1
Hình3.1 : Đường cong từ nhiệt với các tham số z=4,h=0, p=0.5và các giá trị 
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
m
t
0.8 
0.6 
0.98 
1 
1.001 
1.02 
1.1 
1.106 

Từ đồ thị ta thấy các đường cong từ hóa giảm dần, vùng nhiệt độ mà hệ có
tính sắt từ thu hẹp dần khi giá trị thăng giáng ∆ của tích phân trao đổi tăng dần từ
0.6 1.106   . Và khi  tăng lên, giá trị mômen từ cực đại cũng giảm dần.
+ Với giá trị 1  đường cong từ hóa là một đường cong mômen từ giảm đơn
điệu khi nhiệt độ tăng và có một nhiệt độ chuyển pha Tc từ trạng thái sắt từ sang
thuận từ. Tại nhiệt độ T <Tc chất mang tính sắt từ do các spin có xu hướng sắp xếp
song song trong các đômen. Hiện tượng này là hiện tượng từ hóa tự phát và bão hòa
từ ngay khi từ trường ngoài bằng 0. Khi tăng dần nhiệt độ, năng lượng nhiệt dần
phá hủy cấu trúc trật tự từ làm cho các mô men từ nguyên tử không còn song song
với nhau, trạng thái bão hòa từ dần mất đi nên mô men từ giảm dần khi nhiệt độ
tăng. Nhiệt độ tăng đến giá trị nhất định T Tc trạng thái sắt từ bị phá vỡ và thay
bằng trạng thái thuận từ, các spin sắp xếp hỗn loạn không có trật tự, mô men từ
m=0.
Tại nhiệt độ T=Tc là nhiệt độ xảy ra quá trình chuyển pha từ sắt từ sang thuận
từ.
+ Với 1  , xảy ra hiện tượng cạnh tranh tương tác sắt từ và phản sắt từ ( xem
công thức 2.16). Chúng ta thấy tồn tại hai điểm chuyển pha ở hai nhiệt độ khácnhau
(một nhiệt độ thấp và một nhiệt độ cao) ở đó có mômen từ m≈ 0. Xét nhiệt độ trong
vùng sắt từ, khi ta giảm dần đến nhiệt độ thấp TC1 có m≈ 0 hệ chuyển từ tínhsắt từ
(FM) sang phản sắt từ (AF). Khi tăng nhiệt độ đến giá trị nhiệt độ cao TC2 hệ hoàn
toàn mất tính sắt từ và chuyển thành thuận từ. Hiện tượng có hai điểm chuyểnpha
này được gọi là chuyển pha từ trở lại.
Khảo sát đường cong từ nhiệt với các trường ngoài khác nhau. Khi ta đặt thêm
từ trường ngoài h ≠ 0 , hệ sẽ chịu tác động của từ trường ngoài, quá trình chuyển
pha thay đổi phụ thuộc vào độ lớn trường ngoài ta đặt vào. Đường cong từ nhiệt khi
đặt trong các giá trị từ trường ngoài khác nhau có dạng như hình dưới :

Hình 3.2 : Đường cong từ nhiệt với z=4, p=0.5 , h=0.002 và các giá trị 
0.8(1); 1(2); 1.02(3); 1.106(4); 1.11(5); 1.19(6)           
Hình 3.3 :Đường cong từ nhiệt với z=4, p=0.5, h=0.02 và các giá trị 
0.8(1); 1(2); 1.02(3); 1.106(4); 1.19(5); 1.25(6)           
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
m
t
1 2 3 4 5 6
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
m
t

2 4 6 8
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
m
t
1.19
1.3 
1.401
1.43
1.45
1.5 
Hình 3.4: Đường cong từ nhiệt với z=4 , h=0.2 , p=0.5 với các giá trị 
1.19(1); 1.3(2); 1.401(3); 1.43(4); 1.45(5); 1.5(6)           
Các hình (3.2), (3.3), (3.4) khảo sát quá trình chuyển pha của các giá trị thăng
giáng  của tích phân trao đổi trong khoảng 0.8 1.5   và từ trường ngoài tăng từ
h=0.002 đến h=0.02 và h=0.2. Ta thấy rằng khi từ trường ngoài tăng lên, pha sắt từ
ngày càng chiếm ưu thế so với pha phản sắt từ, vùng sắt từ ngày càng được mở
rộng. Điểm xảy ra chuyển pha giữa sắt từ sang thuận từ ngày càng “ nhòe” rộng và
giá trị nhiệt chuyển pha lúc này xác định bằng độ dốc nhất của đường cong mômen
từ theo nhiệt độ.
Ngay tại nhiệt không tuyệt đối t=0, hệ luôn tồn tại một mômen từ dư do tác
dụng của từ trường ngoài đặt vào làm cho một số spin có xu hướng sắp xếp theo
hướng của từ trường. Từ trường càng lớn thì giá trị mômen từ dư càng lớn. Khi tiếp
tục tăng nhiệt độ, năng lượng chưa đủ lớn để phá vỡ tác dụng của từ trường ngoài
nhưng có tác dụng làm cho liên kết các spin lỏng lẻo và có xu hướng quay dần theo
hướng của từ trường, giá trị mômen từ tăng và đật đến giá trị cực đại. Tiếp tục
tăngnăng lượng nhiệt đủ lớn có tác dụng phá vỡ cấu trúc của mô hình, đa số các
spin sắp xếp theo các hướng hỗn độn khác nhau làm cho mô men từ giảm.

Hình 3.5 mô tả các đường cong từ nhiệtkhi các trường ngoài có các giá trị
khác nhau.
2 4 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
h=0
h=0.002
h=0.02
h=0.04
h=0.07
h=0.08
m
t
Hình 3.5: Đường cong từ hóa với Z=4 , p=0.5 , delta=1.02 và các giá trị của h
Từ hình (3.5) ta thấy so sánh thấy rõkhi tăng giá trị của h, vùng sắt từ mở rộng
dần, giá trị mômen từ ban đầu tại nhiệt độ t=0 tăng và ở gần điểm chuyển pha vẫn
tồn tại mô men từ khác 0. Tại h=0 ta có thể tìm được hai nhiệt độ chuyển pha Curie
chính xác. Với các giá trị h ≠0 , nhiệt độ chuyển pha xác định bằng độ dốc nhất của
đường cong mô men từ với trục nhiệt độ.
3.1.2: Mạng ba chiều (z=6)
Đường cong từ nhiệt khi không có trường ngoài h=0 và có trường ngoài 0h 
với p=0.5 và độ thăng giáng của tích phân trao đổi  có các giá trị khác nhau được
chỉ ra trên hình 3.6 và hình 3.7. Các đường cong có dạng tương tự như trường hợp
hai chiều nhưng điểm chuyển pha cao (thấp) trong trường hợp 3 chiều lớn hơn (nhỏ
hơn) so với trường hợp hai chiều nếu lấy cùng tham số p,  và h.

1 2 3 4 5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
m
t
0.6 
0.8 
1 
1.2 
1.5 
1.56 
Hình 3.6 : Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ trên một
nút mạng m vào nhiệt độ t khi z=6 ,p=0.5, h=0 và các giá trị ∆
0.6(1); 0.8(2); 1(3); 1.2(4); 1.5(5); 1.56(6)           
1 2 3 4 5 6
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
m
t
0.6
0.8
1.2 
1.5 
1.56 
Hình 3.7: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ trên một nút
mạng m vào nhiệt độ t khi z=6, p=0.5, h=0.002 và các giá trị 
0.6(1); 0.8(2); 1.2(3); 1.5(4); 1.56(5)         

3.2. Đƣờng biểu diễn phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha Curie vào xác suất p
3.2.1 : Mạng hai chiều
Khảo sát sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển pha vào xác suất thăng
giáng p. Ta có đường biểu diễn sự phụ thuộc như sau (hình 3.8) trong trường
hợp mạng hai chiều z=4:
0,48 0,52 0,56 0,60
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
tC
p
1.005 
1.15 
Hình 3.8: Sự phụ thuộc nhiệt độ Curie vào xác suất thăng giáng p với
z=4, 1.005  và 1.15  khi h=0
Trên đồ thị phụ thuộc của nhiệt độ Curie vào xác suất thăng giáng (khi thăng
giáng 1  vùng có cạnh tranh giữa hai pha trạng thái sắt từ và phản sắt từ) ta thấy
có một vùng giá trị của p mà khi cp p sẽ tồn tại hai giá trị của của nhiệt độ
chuyển pha TC1 và TC2 với cùng một giá trị xác suất p. Khi giá trị của p nằm ngoài
khoảng trên thì chỉ tìm được một nhiệt độ chuyển pha TC và chỉ xảy ra một quá
trình chuyển pha. Khi  tăng thì giá trị của p tại đó tìm được hai nhiệt độ chuyển
cũng tăng lên, với 1.005  thì xác suất tới hạn p≥0.484, khi 1.15  thì xác suất
p≥0.545. Khi  tăng ta thấy nhiệt độ TC2 giảm đi, tức là quá trình chuyển pha từ
trạng thái sắt từ sang thuận từ ở xảy ra ở nhiệt dộ thấp tăng, vùng sắt từ sẽ bị thu
hẹp dần ( phù hợp với kết quả của đồ thị hình 3.1) do các thăng giáng phản sắt từ
được tăng cường.

Khi thay đổi từ trường ngoài đặt vào, ta có đồ thị biểu diễn mối liên hệ của
nhiệt độ chuyển pha và xác suất thăng giáng.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5 h=0
h=1.2
h=1.3
h=1.5
tC
p
Hình 3.9 :Sự phụ thuộc của nhiệt độ tc vào xác suất p
với z=4,  =1.15,h=0, h=1.2 và h=1.5
3.2.2: Mạng ba chiều
0.40 0.44 0.48 0.52
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
tC
p
1.005
1.15
Hình 3.10 : Đồ thị phụ thuộc (p-t )với z=6,h=0, 1.005  và 1.15 

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0 h=0
h=1.5
h=1.6
h=1.8
tC
p
Hình 3.11: Sự phụ thuộc của nhiệt độ tc vào xác suất p
với z=6,  =1.15, h=0, h=1.5 ,h=1.6 và h=1.8
3.3 : Sự phụ thuộc mômen từ vào từ trƣờng ngoài h ở nhiệt độ thấp.
3.3.1: Mạng hai chiều
Khảo sát sự thay đổi của mô men từ với trường ngoài trong trường hợp ∆> 1ở
nhiệt độ thấp ta thu được kết quả sau.
0.00 0.04 0.08 0.12 0.16
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
p=0.2
p=0.4
p=0.45
m
h
Hình 3.12: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc mômen từ vào từ trường
với z=4, ∆=1.03, t= 0.01 và các giá trị thăng giáng p=0.2 ; p=0.4; p=0.45

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
m
h
1.02
1.03
1.04
Hình 3.13: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc mômen từ vào từ trường với
z=4,p=0.2,t=0.01và các giá trị ∆ của tích phân trao đổi lần lượt là
1.02(1); 1.03(2); 1.04(3)     
Từ hình (3.12) (3.13) ta thấy xác định mômen từ tăng đột ngột tại một vài giá
trị hc của từ trường, đây là hiện tượng nhảy bậc đặc trưng cho quá trình quay đột
ngột đám spin phản sắt từ trở thành đám sắt từ. Do trong hệ có tương tác sắt từ
(FM) và phản sắt từ(AF) cho nên ta có thể giả thiết ban đầu trong mạng có các đám
spin phản sắt từ và sắt từ. Khi tăng từ trường ngoài đặt vào các đám spin phản sắt từ
dần quay theo hướng của từ trường ngoài dọc theo hướng của các đám sắt từ (FM)
làm mômen từ tăng dần, khi tiếp tục tăng từ trường đến một giá trị tới hạn hc một số
lớn các đám phản sắt từ đột ngột đảo hướng song song với từ trường làm mômen từ
tăng nhảy bậc. Quá trình này là quá trình từ hóa loại I theo lý thuyết nhiệt động học
và vật lý thống kê. Khi ta thay đổi độ thăng giáng  của tích phân trao đổi thì từ
trường tới hạn xảy ra hiện tượng nhảy bậc cũng tăng. Hình 3.15 cho thấy đối với
mạng spin hai chiều ta thấy có hai bước nhảy của mômen từ ở 1 0.032ch  và
2 0.071ch  khi p=0.2, 1.02  và bước nhảy càng sắc nét ở nhiệt độ thấp.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t=0.01
t=0.001
t=0.0001
m
h
Hình 3.14: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mômen từ vào từ trường
với z=4, p=0.2, ∆=1.02 và các giá trị của nhiệt độ t=0.01, t=0.001,
t=0.0001.
3.3.2: Mạng ba chiều
Đối với mạng ba chiều quá trình từ hóa loại I có thể xảy ra ở nhiệt độ thấp với
3 bước nhảy (xem hình 3.16). Khi độ thăng giáng của tích phân trao đổi  tăng
đường cong từ hóa và các từ trường tới hạn có xu hướng dịch về phía từ trường cao.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
m
h
1.02
1.038
1.04 
Hình 3.15: Đường biểu diễn sự phụ thuộc mômen từ vào từ trường với
z=6, t=0.01, p=0.2 và các giá trị ∆ của tích phân trao đổi
1.02(1); 1.038(2); 1.04(3)     

Luận văn: Mô hình Ising và ứng dụng với các chất sắt từ, HAY, 9đ

Luận văn: Mô hình Ising và ứng dụng với các chất sắt từ, HAY, 9đ

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Luận văn: Mô hình Ising và ứng dụng với các chất sắt từ, HAY, 9đ

Similar to Luận văn: Mô hình Ising và ứng dụng với các chất sắt từ, HAY, 9đ (20)

More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864

More from Dịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Luận văn: Mô hình Ising và ứng dụng với các chất sắt từ, HAY, 9đ