1. www.MATHVN.com
M TS D NG TOÁN V S PH C
Biên so n: NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088
I) D NG Đ I S C AS PH C
D ng 1) Bài toán liên quan ñ n bi n ñ i s ph c
Ví d 1) Tìm s nguyên x, y sao cho s ph c z=x+yi tho mãn z 3 = 18 + 26i
Gi i:
 x3 − 3 xy 2 = 18

z 3 = 18 + 26i ⇔ ( x + yi ) = 18 + 26i ⇔  2 ⇔ 18 ( 3x 2 y − y 3 ) = 26 ( x3 − 3xy 2 )
3
3 x y − y = 26
3

1
Gi i phương trình b ng cách ñ t y=tx ta ñư c t = ⇒ x = 3, y = 1 . V y z=3+i
3
Ví d 2) Cho hai s ph c z1; z2 tho mãn z1 = z2 ; z1 + z2 = 3 Tính z1 − z2
Gi i:
a12 + b12 = a2 + b22 = 1

2
Đ t z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i . T gi thi t ta có 
( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) = 3
2 2

⇒ 2 ( a1b1 + a2b2 ) = 1 ⇒ ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) = 1 ⇒ z1 − z2 = 1
2 2
D ng 2) Bài toán liên quan ñ n nghi m ph c
Ví d 1) Gi i phương trình sau: z 2 − 8(1 − i ) z + 63 − 16i = 0
Gi i: Ta có ∆ ' = 16(1 − i ) 2 − (63 − 16i ) = −63 − 16i = (1 − 8i ) T ñó tìm ra 2 nghi m là
2
z1 = 5 − 12i, z2 = 3 + 4i
Ví d 2) Gi i phương trình sau: 2(1 + i ) z 2 − 4(2 − i ) z − 5 − 3i = 0
Gi i: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. V y phương trình cho hai nghi m là:
2(2 − i ) + 4 4 − i (4 − i )(1 − i ) 3 5
z1 = = = = − i
2(1 + i ) 1+ i 2 2 2
2(2 − i ) − 4 − i (−i )(1 − i ) 1 1
z2 = = = =− − i
2(1 + i) 1+ i 2 2 2
Ví d 3) Gi i phương trình z − 9 z + 14 z − 5 = 0
3 2
Gi i: Ta có phương trình tương ñương v i ( 2 z − 1) ( z 2 − 4 z + 5 ) = 0 . T ñó ta suy ra
1
phương trình có 3 nghi m là z1 = ; z2 = 2 − i; z3 = 2 + i
2
Ví d 4) Gi i phương trình: 2 z − 5 z 2 + 3 z + 3 + (2 z + 1)i = 0 bi t phương trình có
3
nghi m th c
2 z 3 − 5 z 2 + 3z + 3 = 0 −1
Gi i: Vì phương trình có nghi m th c nên  ⇒z= tho mãn c
2 z + 1 = 0 2
hai phương trình c a h :Phương trình ñã cho tương ñương v i
( 2 z + 1) ( z 2 − 3z + 3 + i ) = 0 . Gi i phương trình ta tìm ñư c z = − ; z = 2 − i; z = 1 + i
1
2
www.MATHVN.com 1

2. www.MATHVN.com
Ví d 5) Gi i phương trình: z 3 + (1 − 2i ) z 2 + (1 − i) z − 2i = 0 bi t phương trình có
nghi m thu n o:
Gi i: Gi s nghi m thu n o c a phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có
( bi ) + (1 − 2i) ( bi ) + (1 − i)(bi) − 2i = 0 ⇔ (b − b2 ) + (−b3 + 2b 2 + b − 2)i = 0
3 2
b − b 2 = 0

⇔ 3 ⇒ b = 1 ⇒ z = i là nghi m, t ñó ta có phương trình tương
 −b + 2b + b − 2 = 0
2

ñương v i ( z − i ) ( z 2 + (1 − i ) z + 2 ) = 0 . Gi i pt này ta s tìm ñư c các nghi m
Ví d 6) Tìm nghi m c a phương trình sau: z 2 = z .
Gi i: Gi s phương trình có nghi m: z=a+bi thay vào ta có ( a + bi ) = a + bi
2
a 2 − b 2 = a 1 3
⇔ Gi i h trên ta tìm ñư c (a, b) = (0; 0), (1; 0),(− ; ± ) . V y phương
2ab = −b 2 2
1 3
trình có 4 nghi m là z = 0; z = 1; z = − ± i
2 2
D ng 3) Các bài toán liên quan ñ n modun c a s ph c:
Ví d 1) Tìm các s ph c z tho mãn ñ ng th i các ñi u ki n sau:
z + 1 − 2i = z − 2 + i và z − i = 5
Gi i:
 x + 1 + ( y − 2)i = x − 2 + (1 − y )i

Gi s z=x+yi (x,y là s th c) .T gi thi t ta có 
 x + ( y − 1)i |= 5

( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = ( x − 2) 2 + (1 − y ) 2
  y = 3x
⇔ ⇔ 2 ⇔ x = 1, y = 3 ho c
 x + ( y − 1) = 5 10 x − 6 x − 4 = 0
2

2

2 6
x = − , y = − . V y có 2 s ph c tho mãn ñi u ki n.
5 5
i−m
Ví d 2) Xét s ph c z tho mãn z = ;m∈ R
1 − m(m − 2i )
1
a) Tìm m ñ z.z =
2
1
b)Tìm m ñ z − i ≤
4
c) Tìm s ph c z có modun l n nh t.
Gi i:
a) Ta có
i−m ( i − m ) (1 − m2 − 2mi ) − m(1 − m2 ) + 2m + (1 − m 2 + 2m 2 )
z= = =
1 − m 2 + 2mi (1 − m 2 + 2mi )(1 − m 2 − 2mi ) (1 − m2 ) + 4m2
2
www.MATHVN.com 2

3. www.MATHVN.com
m(1 + m 2 ) + i (1 + m 2 ) m 1 m 1
= = + i⇒ z = − i
(1 + m )
2 2 1+ m 1+ m 1 + m 1 + m2
2 2 2
1 m2 + 1 1
⇒ z. z = ⇔ = ⇔ m 2 + 1 = 2 ⇔ m = ±1
( m2 + 1) 2
2
2
1 m  1  1 m m2 1
b) Ta có z − i ≤ ⇔ + − 1 i ≤ ⇔ − i ≤ ⇔
4 1+ m  1+ m
2 2
 4 1+ m 1+ m
2 2
4
m2 m4 1 m2 1 1 1
⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ 16m 2 ≤ 1 + m2 ⇔ − ≤m≤
(1 + m ) (1 + m ) 16
2 2 2 2
1+ m 2
6 15 15
m2 + 1 1
c) Ta có z = = ≤ 1 ⇒| z |max = 1 ⇔ m = 0
(m + 1)
2
2
m2 + 1
Ví d 3) Trong các s ph c z tho mãn ñi u ki n z − 2 − 4i = 5 Tìm s ph c z có
modun l n nh t, nh nh t.
Gi i: Xét s ph c z = x+yi . T gi thi t suy ra ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = 5 Suy ra t p h p
2 2
ñi m M(x;y) bi u di n s ph c z là ñư ng tròn tâm I(2;4) bán kính R = 5
D dàng có ñư c M (2 + 5 sin α ; 4 + 5 cos α ) . Modun s ph c z chính là ñ dài véc tơ
OM.
Ta có |z|2= OM 2 = (2 + 5 sin α ) 2 + (4 + 5 cos α ) 2 = 25 + 4 5(sin α + 2 cos α )
Theo BDT Bunhiacopxki ta có (sin α + 2 cos α ) 2 ≤ (1 + 4) ( sin 2 α + cos 2 α ) = 5
⇒ − 5 ≤ sin α + 2 cos α ≤ 5 ⇒ 5 ≤ z ≤ 3 5 . V y
−1 −2
| z |min = 5 ⇒ sin α + 2 cos α = − 5 ⇔ sin α = ; cos α = ⇔ x = 1, y = 2 ⇒ z = 1 + 2i
5 5
1 2
| z |max = 3 5 ⇔ sin α + 2 cos α = 5 ⇔ sin α = ; cos α = ⇔ x = 3, y = 6 ⇒ z = 3 + 6i
5 5
Ví d 4) Trong các s ph c tho mãn ñi u ki n z − 2 − 4i = z − 2i .Tìm s ph c z có
moodun nh nh t.
Gi i: Xét s ph c z = x+yi . T gi thi t suy ra
( x − 2 ) + ( y − 4 ) = x 2 + ( y − 2 ) ⇔ x + y − 4 = 0 Suy ra t p h p ñi m M(x;y) bi u di n
2 2 2
s ph c z là ñư ng th ng y=-x+4
Ta có z = x 2 + y 2 = x 2 + (4 − x) 2 = 2 x 2 − 8 x + 16 = 2( x − 2) 2 + 8 ≥ 2 2 . T ñó suy
z min = 2 2 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2 ⇒ z = 2 + 2i
D ng 4) Tìm t p h p ñi m bi u di n s ph c
Ví d 1) Tìm t p h p các ñi m M trong m t ph ng ph c bi u di n s ph c z bi t:
z
a) =3 b) z = z − 3 + 4i c) z − i + z + i = 4
z −i
www.MATHVN.com 3

4. www.MATHVN.com
Gi i:
G i z=x+yi
9 9
a) T gi thi t ta có z = 3 z − i ⇔ x 2 + y 2 = 9( x 2 + ( y − 1) 2 ) ⇔ x 2 + ( y − ) 2 =
8 64
9 3
V y t p h p ñi m M là ñư ng tròn tâm I (0; ), R =
8 8
b) T gi thi t ta có x + y = ( x − 3) + (4 − y ) ⇔ 6 x + 8 y = 25 . V y t p h p các ñi m
2 2 2 2
M là ñư ng th ng 6x+8y-25=0
c) Gi s z =x+yi thì z − i + z + i = 4 ⇔ x 2 + ( y − 1) + x 2 + ( y + 1) = 4 ⇔
2 2
 x 2 + ( y + 1) 2 ≤ 4  x 2 + ( y + 1)2 ≤ 16
 
 ⇔ ⇔
 x 2 + ( y − 1)2 = 16 − 8 x 2 + ( y + 1) 2 + x 2 + ( y + 1)2  2 x 2 + ( y − 1) = y + 4
2
 
 x + ( y + 1) ≤ 16(1)
2 2
 x 2 + ( y + 1)2 ≤ 16 

 2  x2 y2
⇔  4 x + 4 y + 8 y + 4 = y + 8 y + 16 ⇔  +
2 2
= 1(2)
 y ≥ −4 3 4

  y ≥ −4(3)

Ta th y các ñi m n m trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñ các ñi m n m trên (Elip)
x2 y2
luôn tho mãn ñi u ki n y >-4. V y t p h p ñi m M là Elip có pt + = 1.
3 4
Ví d 2) Tìm t p h p các ñi m bi u di n trong m t ph ng ph c s
( )
ph c ω = 1 + i 3 z + 2 bi t r ng s ph c z tho mãn: z − 1 ≤ 2.
Gi i: Đ t z = a + bi ( a, b ∈ R )
Ta có z − 1 ≤ 2 ⇔ ( a − 1) + b 2 ≤ 4 (1)
2
T
x = a − b 3 + 2  x − 3 = a −1 + b 3
( ) ( )
ω = 1 + i 3 z + 2 ⇒ x + yi = 1 + i 3 ( a + bi ) + 2 ⇔ 

 y = 3a + b

⇔
 y − 3 = 3(a − 1) + b
 
T ñó ( x − 3 ) + y − 3 ( ) ≤ 4 ( a − 1) + b 2  ≤ 16 do (1)
2 2 2
 
V y t p h p các ñi m c n tìm là hình tròn ( x − 3) + y − 3 ( ) ( )
2
≤ 16 ; tâm I 3; 3 , bán
2
kính R=4.
Ví d 3) Xác ñ nh t p h p các ñi m M(z) trong m t ph ng ph c bi u di n các s
z−2 π
ph c z sao cho s có acgumen b ng .
z+2 3
Gi i:
www.MATHVN.com 4

5. www.MATHVN.com
z − 2 ( x − 2 ) + yi ( x − 2 ) + yi  ( x + 2 ) + yi 
Gi s z=x+yi, thì = =  
z + 2 ( x + 2 ) + yi ( x + 2) + y
2 2
x 2 − 4 + y 2 + yi ( x + 2 − x + 2 ) x2 + y 2 − 4 4y
= = + i (1)
( x + 2) + y2 ( x − 2) + y2 ( x − 2) + y2
2 2 2
z−2 π
Vì s ph c có acgumen b ng , nên ta có:
z+2 3
x2 + y2 − 4 4y  π π
+ i = τ  cos + i sin  v i τ > 0
( x − 2) + y 2 ( x − 2) + y 2
2 2
 3 3
 x2 + y2 − 4 τ
 =
 ( x − 2) + y
2 2
2
⇒
 4y τ 3
=
 ( x − 2 )2 + y 2 2

T ñó suy ra y>0 (1) và
2 2
4y 4y  2   4 
= 3 ⇔ x2 + y2 − 4 = ⇔ x2 +  y −  =  (2) .T (1) và (2) suy ra
x + y −4
2 2
3  3  3
t p h p các ñi m M là ñư ng tròn tâm n m phía trên tr c th c(Trên tr c Ox).
D ng 5) Ch ng minh b t ñ ng th c:
2z −1
Ví d 1) Ch ng minh r ng n u z ≤ 1 thì ≤1
2 + iz
Gi i:
Gi s z =a+bi (a, b ∈ R) thì z = a 2 + b 2 ≤ 1 ⇔ a 2 + b 2 ≤ 1 . Ta có
2 z − 1 2a + (2b − 1)i 4a 2 + (2b − 1) 2
= = .B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương
2 + iz (2 − b) + ai (2 − b) 2 + a 2
4a 2 + (2b − 1)2
v i ≤ 1 ⇔ 4a 2 + (2b − 1) 2 ≤ (2 − b) 2 + a 2 ⇔ a 2 + b 2 ≤ 1 ⇒ dpcm
(2 − b) + a
2 2
1
Ví d 2) Cho s ph c z khác không tho mãn ñi u ki n z 3 + ≤ 2 . Ch ng minh
z3
1
r ng: z + ≤2
z
Gi i: D dàng ch ng minh ñư c v i 2 s ph c z1 , z2 b t kỳ ta có z1 + z2 ≤ z1 + z2
3 3
 1 1  1 1 1 1 1
Ta có  z +  = z 3 + 3 + 3  z +  ⇒ z + ≤ z3 + 3 + 3 z + ≤ 2 + 3 z +
 z z  z z z z z
1
Đ t z + =a ta có a 3 − 3a − 2 ≤ 0 ⇔ ( a − 2 )( a + 1) ≤ 0 ⇒ dpcm
2
z
www.MATHVN.com 5

6. www.MATHVN.com
II) D NG LƯ NG GIÁC C A S PH C
D ng 1: VI T D NG LƯ NG GIÁC
Ví d 1) Vi t dư i d ng lư ng giác c a các s ph c:
1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )
a) b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )  (1 + cos ϕ + i sin ϕ )
 
1 + cos ϕ + i sin ϕ
Gi i:
1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) (1 − cos ϕ ) − i sin ϕ
a) =
1 + cos ϕ + i sin ϕ (1 + cos ϕ ) + i sin ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− 2i sin
2sin 2
2 2
cos
2 = tan ϕ sin 2 − i cos 2 ϕ
= = −i tan
ϕ ϕ ϕ 2 ϕ ϕ 2
2 cos 2
+ 2i sin cos cos + i sin
2 2 2 2 2
ϕ ϕ  π  π 
- Khi tan > 0 d ng lư ng giác là: tan cos  −  + i sin  −  
2 2  2  2 
ϕ ϕ  π   π 
- Khi tan < 0 d ng lư ng giác là: − tan cos   + i sin   
2 2 2  2 
ϕ
- Khi tan = 0 thì không có d ng lư ng giác.
2
b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )  (1 + cos ϕ + i sin ϕ )
 
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= 2sin  sin − i cos  .cos  cos + i sin 
2 2 2 2 2 2
  π  π 
= 2sin ϕ cos  ϕ −  + isin  ϕ −  
  2  2 
- Khi sin ϕ = 0 thì d ng lư ng giác không xác ñ nh.
  π  π 
- Khi sin ϕ > 0 thì d ng lư ng giác là: 2sin ϕ cos  ϕ −  + i sin  ϕ −  
  2  2 
  π  π 
- Khi sin ϕ < 0 thì d ng lư ng giác là: (−2sin ϕ )  cos  ϕ +  + i sin  ϕ +  
  2  2 
Ví d 2): Vi t dư i d ng lư ng giác c a các s ph c:
1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )
a) b) [1 − (cos ϕ + i sin ϕ ) ][1 + cos ϕ + i sin ϕ ]
1 + cos ϕ + i sin ϕ
Gi i:
ϕ ϕ
1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) 1 − cos ϕ − i sin ϕ ϕ sin 2 − i cos 2 ϕ
a) = = tan = −i tan
1 + cos ϕ + i sin ϕ ϕ ϕ ϕ 2 cos ϕ − i sin ϕ 2
2 cos 2 + 2i sin .cos
2 2 2 2 2
ϕ ϕ   π  π 
Khi tan >0 thì d ng lư ng giác là tan cos  −  + i sin  −  
2 2   2  2 
TEL:0988844088
www.MATHVN.com 6

7. www.MATHVN.com
ϕ ϕ  π   π 
Khi tan <0 thì d ng lư ng giác là - tan cos  2  + i sin  2  
2   
2  
ϕ
Khi tan =0 thì không t n t i d ng lư ng giác.
2
b) [1 − (cos ϕ + i sin ϕ ) ][1 + cos ϕ + i sin ϕ ]
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= 2sin  sin − i cos  .2 cos  cos + i sin 
2 2 2 2 2 2
  π  π 
= 2sin ϕ cos  ϕ −  + i sin  ϕ −  
  2  2 
- Khi sin ϕ = 0 thì d ng lư ng giác không xác ñ nh
  π  π 
- Khi sin ϕ > 0 thì d ng lư ng giác là: 2sin ϕ cos  ϕ −  + i sin  ϕ −  
  2  2 
  π  π 
- Khi sin ϕ < 0 thì d ng lư ng giác là: ( −2sin ϕ ) cos  ϕ +  + i sin  ϕ +  
  2  2 
D ng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN
Ví d 1) Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z, bi t z 2 = −2 + 2 3i
Gi i: Ta có: z 2 = − 2 + 2 3 i ⇔ z 2 = 4  co s 2 π + i s in 2 π 
 
 3 3 
 2π 2π 
Do ñó: z 2 = −2 + 2 3i ⇔ z 2 = 4  cos + i sin 
 3 3 
  2π 2π 
 z = 2  cos 3 + i sin 3  z = 1+ i 3
 
⇔ ⇔
  π π  z = −1 − i 3

 z = −2  cos + i sin 
  3 3
T ñó suy ra ph n th c và ph n o c a z tương ng là 1 và 3 ho c -1 và − 3
(
Ví d 2) Tìm m t acgumen c a s ph c: z − 1 + i 3 bi t m t acgumen c a z )
π
b ng
3
π 1 3 
nên z = z  +
 2 2 i
Gi i: z có m t acgumen b ng
3 
 
1 3 
( )
Do ñó: z − 1 + i 3 = ( z − 2)  +
 2 2 i 
 
π
(
- Khi z > 2 , m t aacgumen c a z − 1 + i 3 là ) 3
4π
- Khi 0 < z < 2 , m t acgumen c a z − 1 + i 3 là ( ) 3
TEL:0988844088
www.MATHVN.com 7

8. www.MATHVN.com
( )
- Khi z = 2 thì z − 1 + i 3 =0 nên acgumen không xác ñ nh.
Ví d 3) Cho s ph c z có môñun b ng 1. Bi t m t acgumen c a z là ϕ , tìm m t
acgumen c a:
1
a) 2z 2 b) − c) z + z d) z 2 + z
2z
Gi i:
z = 1 , z có m t acgumen là ϕ . Do ñó z = cos ϕ + i sin ϕ
a) z 2 = cos 2ϕ + i sin 2ϕ ⇒ 2 z 2 = 2 ( cos 2ϕ + i sin 2ϕ ) ⇒ 2 z = 2 ( cos ϕ − i sin ϕ )
V y 2z2 có m t acgumen là 2ϕ
b) z = cos ϕ + i sin ϕ ⇒ z = cos ϕ − i sin ϕ ⇒ 2 z = 2 ( cos ϕ − i sin ϕ )
= ( cos ( −ϕ ) − i sin ( −ϕ ) ) = ( cos ϕ + i sin ϕ )
1 1 1
⇒
2z 2 2
= ( − cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos (ϕ + π ) + i sin ϕ (ϕ + π ) )
1 1 1
⇒−
2z 2 2
1
V y− có m t acgumen là ϕ + π
2z
c) Ta có: z + z = 2 cos ϕ
N u cos ϕ > 0 thì có m t acgumen là 0
N u cos ϕ < 0 thì có m t acgumen là π
N u cos ϕ = 0 thì acgumen không xác ñ nh.
d) z 2 + z = cos 2ϕ + i sin 2ϕ , z = cos ϕ − i sin ϕ
3ϕ ϕ 3ϕ ϕ
⇒ z 2 + z = cos 2ϕ + cos ϕ + i ( sin 2ϕ − sin ϕ ) = 2 cos cos + i.2 cos sin
2 2 2 2
3ϕ  ϕ ϕ
= 2 cos  cos + i sin 
2  2 2
ϕ 3ϕ ϕ 3ϕ
V y acgumen z 2 + z là n u cos > 0 , là + π n u cos < 0 và không xác ñ nh
2 2 2 2
3ϕ
n u cos =0
2
π π
Ví d 4) Cho s ph c z = 1 − cos − i sin . Tính môñun, acgumen và vi t z dư i
7 7
d ng lư ng giác.
Gi i:
π π π 8π  4π
2
  
Ta có: z =  1 − cos  + sin 2 = 2 1 − cos  = 2 1 + cos  = 2 cos
 7 7  7  7  7
π 8π
− sin sin
Đ t ϕ = arg ( z ) thì tan ϕ = 7 = 7 = cot 4π = tan  − π 
π 4π  
1 − cos 2sin 2 7  14 
7 7
www.MATHVN.com 8

9. www.MATHVN.com
π
Suy ra: ϕ = − + kπ , k ∈ z
14
π π π
Vì ph n th c 1 − cos > 0 , ph n o − sin < 0 nên ch n m t acgumen là −
7 7 14
4π   π   π 
V y z = 2 cos  cos  − 14  + i sin  − 14  
7     
1
Ví d 5) Vi t dư i d ng lư ng giác c a m t s ph c z sao cho z = và m t
3
z 3π
acgumen c a là −
1+ i 4
Gi i:
1 1
Theo gi thi t z = thì z = ( cos ϕ + i sin ϕ )
3 3
⇒ z = ( cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos ( −ϕ ) + i sin ( −ϕ ) )
1 1
3 3
1 2  π π
Vì 1 + i = 2  + i
2  = 2  cos + i sin 

 2   4 4
z 1   π  π 
Nên =
1+ i 3 2   cos  −ϕ − 4  + i sin  −ϕ − 4  
   
π 3π π 1 π π
Do ñó: −ϕ − = − + 2kπ ⇔ ϕ = + 2kπ , k ∈ Ζ. v y z =  cos + i sin  .
4 4 2 3 2 2
z + 3i π
Ví d 6) Tìm s ph c z sao cho: = 1 và z+1 có m t ácgumen là −
z +i 6
Gi i: T gi thi t
⇒ z + 3i = z + i ⇔ x + ( y + 3)i = x + ( y + 1)i ⇔ x 2 + ( y + 3) = x 2 + ( y + 1)
2 2
z + 3i
=1
z+i ⇒ y = −2
π  π  π τ
z+1 có 1 acgumen b ng −
6
t c là z + 1 = τ [cos  −  + i sin  − ] =
 6  6 2
( )
3 − i v i r>0.
 τ 3
x +1 =
Ta có z+1=x+1-2i suy ra 
 2 ⇔ τ = 4
⇒ z = 2 3 − 1 − 2i

 −2 = − τ x = 2 3 −1


 2
D ng 3) NG D NG S PH C TRONG BÀI TOÁN T H P
Ví d 1) Tính các t ng sau khi n=4k+1
2 −
a) S = C2 n +1 − C2 n +1 + C2 n +1 − ....... + C2 nn+12 − C2 nn+1
0 2 4 2
2 n −1 2n+
b) S = C2 n +1 − C2 n +1 + C2 n+1 − ....... + C2 n +1 − C2 n+11
1 3 5
Gi i:
www.MATHVN.com 9

10. www.MATHVN.com
Xét
(1 + i ) = C20n+1 + iC2n+1 + i 2C22n+1 + ..... + i 2n +1C22nn++11 = C20n+1 − C22n+1 + ... − C22nn+1 + i(C21n+1 − C23n+1 + .. − C22nn++11 )
2 n +1 1
M t khác ta l i có:
 π π 2 n +1  (2n + 1)π (2n + 1)π 
1 + i = 2  cos + i sin  ⇒ (1 + i )
2 n +1
= 2 cos + i sin 
 4 4  4 4 
 (2n + 1)π (2n + 1)π   (8k + 3)π (8k + 3)π 
= 2n 2 cos + i sin  = 2 2 cos
n
+ i sin 
 4 4   4 4 
 3π 3π 
= 2n 2 cos + i sin  = −2n + i 2n
 4 4 
T ñó ta có
a) S=-2n
b) S=2n
Ví d 2) Tính các t ng h u h n sau:
a) S = 1 − Cn2 + Cn − Cn + ..........
4 6
b) S = Cn − Cn + Cn − Cn + ..........
1 3 5 7
Gi i:
Xét (1 + i ) = Cn + iCn + i 2Cn2 + ..... + i nCnn = 1 − Cn + Cn4 − ... + i (Cn − Cn + Cn − Cn + ....)
n 0 1 2 1 3 5 7
 π π n  nπ nπ 
1 + i = 2  cos + i sin  ⇒ (1 + i ) = 2 cos + i sin
n
 4 4  4 4 
T ñó ta có k t qu
n nπ n nπ
a) S = 2 cos b) S = 2 sin
4 4
1 n nπ 
Ví d 3) Ch ng minh r ng: 1 + Cn + Cn + ... =  2 + 2 cos
3 6

3 3 
Gi i: Ta có 2n = Cn + Cn + Cn + Cn + ....Cnn (1)
0 1 2 3
2π 2π
Xét ε = cos + i sin ⇒ ε3 =1
3 3
Ta có
(1 + ε ) = Cn + ε Cn + ε 2Cn + ......ε n Cn = Cn + ε Cn + ε 2Cn + Cn + ε Cn + ..... (2)
n 0 1 2 n 0 1 2 3 4
(1 + ε )
2 n
= Cn + ε 2Cn + ε 4Cn2 + ......ε 2 nCn = Cn + ε 2Cn + ε Cn + Cn + ε 2Cn + .....(3)
0 1 n 0 1 2 3 4
π π π π
Ta có 1 + ε + ε 2 = 0;1 + ε 2 = cos − i sin ;1 + ε = cos + i sin
3 3 3 3
C ng (1) (2) (3) theo v ta có
nπ
2n + (1 + ε ) + (1 + ε 2 ) = 3 ( Cn + Cn + Cn + ...) ⇔ 2n + 2 cos = 3 ( Cn + Cn + Cn + ...)
n n 0 3 6 0 3 6
3
1 nπ 
⇔ 1 + Cn + Cn + ... =  2n + 2 cos
3 6

3 3 
TEL:0988844088
www.MATHVN.com 10

11. www.MATHVN.com
M TS BÀI T P T LUY N
1) Gi i phương trình sau trên t p s ph c:
a) z 3 = z b) z + z = 3 + 4i c) z 2 − ( z ) = 4i 3 d )z2 + 2z +1− i = 0
2
e) z 2 + 4 z + 5 = 0 f )(1 + i ) z 2 + 2 + 11i = 0 g ) z 2 − 2( z + z ) + 4 = 0
2) Tìm s th c x tho mãn b t phương trình:
1+ i 7  x + 1 + 2i − 2 
a) 1 + 4i − 2− x ≤ 5 b) − log 2 x ≤ 1 c)1 − log 2  ≥0
4  2 −1 
3) Tìm s ph c z sao cho A = ( z − 2)( z + i ) là s th c
z + 7i
4) Tìm s ph c z tho mãn ñi u ki n z = 5; là s th c
z +1
5) Tìm t p h p các ñi m M trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z tho mãn
ñi u ki n
z − 2i
a ) z 2 − ( z ) = 9 b) = 4 c )3 z + i = z + z − 3i d ) z + 3i − 4 = 2 e) z + 1 ≥ z + i
2
z + 2i
z − 2i z−2 +2
f ) z = z + 4 − 3i g ) > 1 h)2 z − i = z − z + 2i k ) log 1 ( ) >1
z + 2i 3 4 z − 2 −1
3
6) Trong các s ph c tho mãn ñi u ki n z − 2 + 3i = . Tìm s ph c z có modun l n
2
nh t,nh nh t.
7) Tìm s ph c z tho mãn ñi u ki n ( z − 1)( z + 2i ) là s th c và z nh nh t.
8) Tìm m t acgumen c a s ph c z khác 0 bi t z + z i = z
9) Tìm s ph c z tho mãn z 2 + z = 2 và z = 2
10) Gi i h pt sau trong t p s ph c:
 z − 12 5
 z1 + z2 = 3 − i  =
 2 z − i = z − z + 2i
  z − z2 + 1 = 0 z − 8i 3
2
  
a)  2 b)  1 1 3 + i c)  2
1
d) 
z −z =4 z + z = 5  z2 − z1 + 1 = 0 z−4
2
   =1
 1  z −8
2

 z3 + 2z 2 + 2z +1 = 0

e)  2010
z + z +1 = 0
2011

11) Cho phương trình 2 z 3 − (2i + 1) z 2 + (9i − 1) z + 5i = 0 có nghi m
th c. Hãy tìm t t c các nghi m c a phương trình.
1 1
12) Tìm ph n th c ph n o c a z = 2011 + w 2011 bi t + w =1
w w
13) Tìm n nguyên dương ñ các s ph c sau là s th c, s o:
n
 − 2 +i 6   4 + 6i 
n
 7 + 4i 
n
 3 − 3i 
a) z = 
 
 b) z =   c) z =   d )z = 
 3 − 3i 

 3 + 3i   −1 + 5i   4 − 3i   
www.MATHVN.com 11

12. www.MATHVN.com
14) Cho n nguyên dương, ch ng minh r ng
2nπ
C2 n − 3C2 n + 9C24n − 27C2 n + ..... + ( −3) C2 nn = 22 n cos
0 2 6 n 2
3
15) Tìm s ph c z sao cho z = z − 2 và m t acgumen c a z-2 b ng m t acgumen
π
c a z+2 c ng v i
2
16) Gi i phương trình
2z 2z
a) 0
= z 2 + tan 2 100 + 4i − 2 b) 0
= z 2 + cot 2 120 + 6i − 7
cos10 sin12
M i th c m c xin vui lòng liên h th y Nguy n Trung Kiên 0988844088
www.MATHVN.com 12