So phuc thanhtung

THANH TÙNG 0947141139
1
CHUYÊN ð : S PH C
Bài t p m u
Bài 1. Hãy vi t các bi u th c sau dư i d ng s ph c a bi+ ( , )a b∈
1.
2(2 3 )
(1 2 )(3 ) 4 2
1
i
A i i i
i
+
= + − − + −
+
2.
1 3 1 2
1 2 1
i i i
B
i i i
+ − +
= + −
− − +
3.
5 6
3 5
(2 ) (1 )
(1 2 ) (1 )
i i
C
i i
+ +
= −
− −
4. 2012 2013 2012 2013
(1 ) (1 )D i i i i= − − − + +
Gi i:
1.
2(2 3 ) 2(2 3 )(1 )
(1 2 )(3 ) 4 2 (3 2) ( 1 6) 4 2
1 (1 )(1 )
i i i
A i i i i i
i i i
+ + −
= + − − + − = + + − + − + −
+ + −
2 2
2(5 )
5 5 4 2 5 5 (5 ) 4 2
1 1
i
i i i i i
+
= + − + − = + − + + − =
+
4 2i+
2.
2
1 3 1 2 (1 ) (3 )(2 ) (1 2 )(1 )
1 2 1 (1 )(1 ) (2 )(2 ) (1 )(1 )
i i i i i i i i
B
i i i i i i i i i
+ − + + − + + −
= + − = + −
− − + − + − + + −
2 7 3 7 3 1 1
1
2 5 2 5 2 5 2
i i i
i
+ +    
= + − = − + + − =   
   
1 7
10 10
i− +
3.
3 55 6
2
3 5
(2 ) (1 ) 2 1
.(2 ) .(1 )
(1 2 ) (1 ) 1 2 1
i i i i
C i i
i i i i
+ + + +   
= − = + − +   
− − − −   
53 2
(2 )(1 2 ) (1 )
.(3 4 ) .(1 )
5 2
i i i
i i
 + + + 
= + − +     
3 5
3 55 2
.(3 4 ) .(1 ) .(3 4 ) (1 ) (3 4 ) (1 )
5 2
i i
i i i i i i i i i i
   
= + − + = + − + = − + − + =      
5 4i−
4.
1006 10062012 2013 2012 2013 2 1006 2 1006 2 2
(1 ) (1 ) ( ) ( ) . (1 ) (1 ) (1 )D i i i i i i i i i i   = − − − + + = − − − + + +   
1006 1006 1006 1006 1006 1006 2 503
( 1) ( 1) . ( 2 ) (2 ) .(1 ) 1 (2 ) . 1 2 .( ) .i i i i i i i i i i= − − − − − + + = − + = − + = 1006
1 (1 2 )i− +

2
Bài 2. Cho s ph c
1
1
i
z
i
+
=
−
. Tính giá tr c a bi u th c: 2013
2A iz= + .
Gi i: Ta có:
2
1 (1 ) 2
1 2 2
i i i
z i
i
+ +
= = = =
−
2013 2013 2 1006 1006
( ) . ( 1) .z i i i i i⇒ = = = − =
2013 2
2 2 2 1A iz i⇒ = + = + = − = 1. V y 1A =
Bài t p áp d ng
1) Tính các giá tr bi u th c sau:
1
1 3
2 2
A
i
=
+
( ) ( )
2 2
1 3 1 3B i i= + + − 2 2011 2012
1 ...C i i i i= + + + + +
100
(1 )D i= −
16 8
1 1
1 1
i i
E
i i
+ −   
= +   
− +   
105 23 2012 34
F i i i i= + + −
2) Cho s ph c
1
1
i
z
i
−
=
+
. Tính giá tr c a 2013
z .
3) Cho s ph c
3 1
2 2
z i= − . Tính các s ph c sau: ( )
3
2 2
; ; ;1z z z z z+ + .
D NG 2: S PH C VÀ CÁC ð I LƯ NG ð C TRƯNG

3
Bài t p m u
1. (D – 2012) Cho s ph c z th a mãn
2(1 2 )
(2 ) 7 8
1
i
i z i
i
+
+ + = +
+
. Tìm môñun c a s ph c 1w z i= + + .
Phân tích :
+) ði u ki n
2(1 2 )
(2 ) 7 8
1
i
i z i
i
+
+ + = +
+
ch ch a z nên ta th c hi n các phép toán z a bi⇒ = +
+) Suy ra 1w z i= + + w⇒
Gi i: Ta có:
2(1 2 )
(2 ) 7 8
1
i
i z i
i
+
+ + = +
+
2(1 2 )(1 )
(2 ) 7 8
(1 )(1 )
i i
i z i
i i
+ −
⇔ + + = +
+ −
2(3 )
(2 ) 7 8
2
i
i z i
+
⇔ + + = +
(2 ) 4 7i z i⇔ + = +
4 7 (4 7 )(2 ) 15 10
3 2
2 5 5
i i i i
z i
i
+ + − +
⇔ = = = = +
+
2 2
1 3 2 1 4 3 4 3 5w z i i i i w⇒ = + + = + + + = + ⇒ = + = .
V y 5w =

4
2. ( A – 2010-NC): Cho s ph c z th a mãn:
3
(1 3 )
1
i
z
i
−
=
−
. Tìm môñun c a s ph c z iz+ .
Phân tích :
+) ði u ki n
3
(1 3 )
1
i
z
i
−
=
−
ch ch a z nên ta th c hi n các phép toán z a bi z a bi⇒ = + ⇒ = −
+) Suy ra z iz+ z iz⇒ +
Gi i:
Ta có:
3 2 3
(1 3 ) 1 3 3 3( 3 ) ( 3 ) 1 3 3 9 3 3 8 8(1 )
4 4
1 1 1 1 2
i i i i i i i
z i
i i i i
− − + − − − + − − +
= = = = = = − −
− − − −
V y 4 4 4 4z i z i= − − ⇒ = − + 2 2
4 4 ( 4 4 ) 8 8 8 8 8 2z iz i i i i⇒ + = − − + − + = − − = + = hay 8 2z iz+ =
3. (A, A1 – 2012 – NC): Cho s ph c z th a mãn
5( )
2
1
z i
i
z
+
= −
+
. Tính môñun c a s ph c 2
1w z z= + + .
Phân tích :
+) Trong ñi u ki n
5( )
2
1
z i
i
z
+
= −
+
ch a ñ ng th i z và z nên g i z a bi= + ( , )a b R∈
+) T ñi u ki n
5( )
2
1
z i
i
z
+
= −
+
bi n ñ i v d ng 2
1 2
?
1
?
a
z z z w z z w
b
=
= ⇒ ⇒ ⇒ = + + ⇒
=
Gi i:
+) G i z a bi= + ( , )a b R∈ , 1z ≠ −
+) Khi ñó:
5( )
2 5( ) ( 1)(2 ) 5( ) ( 1)(2 )
1
z i
i z i z i a bi i a bi i
z
+
= − ⇔ + = + − ⇔ − + = + + −
+
(*)
(*) 5 5( 1) (2 2 ) ( 1 2 )a b i a b a b i⇔ − − = + + − + −
5 2 2 3 2 1
5( 1) 2 1 7 6 1
a a b a b a
b a b a b b
= + + − = =  
⇔ ⇔ ⇔  
− = − + − = − =  
⇒ 2 2 2 2
1 1 1 1 (1 ) 2 3 2 3 13z i w z z i i i w= + ⇒ = + + = + + + + = + ⇒ = + = . V y 13w =
4. ( D – 2010): Tìm s ph c z th a mãn: 2z = và 2
z là s thu n o.
Phân tích :
+) Trong ñi u ki n 2z = ch a z nên g i z a bi= + ( , )a b R∈
+) T hai ñi u ki n 2z = và 2
z là s thu n o
1
2
( , ) 0 ?
( , ) 0 ?
f a b a
z
f a b b
= = 
⇒ ⇔ ⇒ 
= =
Gi i:
+) G i z a bi= + ( , )a b R∈ 2 2 2 2
2 2 2z a b a b⇒ = ⇔ + = ⇔ + = (1)
+) Ta có: 2 2 2 2
( ) 2z a bi a b abi= + = − + là s thu n o 2 2
0a b⇒ − = 2 2
b a⇔ = (2)

Thay (2) vào (1): 2 1 1
2 2
1 1
a b
a
a b
= ⇒ = ±
= ⇔  = − ⇒ = ±
.
V y các s ph c c n tìm là: 1 ;i+ 1 ;i− 1 ;i− + 1 i− − .
5. Tìm s ph c z th a mãn ( 1)( 2 )z z i− + là s th c và 1 5z − = .
Phân tích :
+) ði u ki n ( 1)( 2 )z z i− + ch a ñ ng th i z và z và 1 5z − = có 1z − nên g i z a bi= + ( , )a b R∈
+) T hai ñi u ki n ( 1)( 2 )z z i− + là s th c và 1 5z − =
1
2
( , ) 0 ?
( , ) 0 ?
f a b a
z
f a b b
= = 
⇒ ⇔ ⇒ 
= =
Gi i:
+) G i z a bi= + ( , )a b R∈ ( 1)( 2 ) ( 1)( 2 ) [( 1) ][ ( 2) ]z z i a bi a bi i a bi a b i⇒ − + = + − − + = − + − −
[ ( 1) ( 2)] [ ( 1)( 2)]a a b b ab a b i= − + − + − − −
( 1)( 2 )z z i− + là s th c [ ( 1)( 2)] 0 2 2 0ab a b a b⇔ − − − = ⇔ + − = (1)
Ta có: 2 2 2 2
1 5 1 5 ( 1) 5 ( 1) 5z a bi a b a b− = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − + = (2)
T (1) 2 2b a⇒ = − thay vào (2) ta ñư c: 2 2 2 0 2
( 1) (2 2) 5 2 0
2 2
a b
a a a a
a b
= ⇒ =
− + − = ⇔ − = ⇔  = ⇒ = −
V y các s ph c c n tìm là: 2i; 2 2i− .
6. Trong các s ph c th a mãn ñi u ki n 2 4 2z i z i− − = − . Tìm s ph c z có môñun nh nh t.
Phân tích :
+) ði u ki n 2 4 2z i z i− − = − ch a môñun nên g i z a bi= + ( , )a b R∈
+) T hai ñi u ki n 2 4 2z i z i− − = − và z có môñun nh nh t
1
2
( , ) 0 ?
( , ) 0 ?
f a b a
z
f a b b
= = 
⇒ ⇔ ⇒ 
= =
Gi i:
+) G i z a bi= + ( , )a b R∈ 2 4 2 ( 2) ( 4) ( 2)z i z i a b i a b i⇒ − − = − ⇔ − + − = + −
2 2 2 2
( 2) ( 4) ( 2)a b a b⇔ − + − = + −
4 8 20 4 4a b b⇔ − − + = − +
4b a⇔ = −
Khi ñó 2 2 2 2 2 2
( 4) 2( 4 8) 2( 2) 8 8z a b a a a a a= + = + − = − + = − + ≥
min
2 2z⇒ = khi 2 0 2 2a a b− = ⇔ = ⇒ = .
V y s ph c 2 2z i= +
Chú ý: Các em có th tham kh o thêm cách gi i th 2 c a bài toán này D ng 3 – Lo i 1

Bài t p áp d ng
1) Tìm ph n th c, ph n o c a các s ph c sau:
a) 3 3
( 1 ) (2 )z i i= − + − . b)
2013
(1 )
1
i
z
i
+
=
−
. c) 2 3 20
1 (1 ) (1 ) (1 ) ... (1 )z i i i i= + + + + + + + + +
2) Cho hai s ph c 1 1 2z i= + , 2 2 3z i= − . Xác ñ nh ph n th c và ph n o c a s ph c 1 22z z− và 1 2.z z
3) ( B – 2011-NC): Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c
3
1 3
1
i
z
i
 +
=   + 
.
4) ( A – 2010): Tìm ph n o c a s ph c z, bi t: ( )
2
2 (1 2 )z i i= + − .
5) (Cð – 2009 – A): Cho s ph c z th a mãn 2
(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z+ − = + + + . Tìm ph n th c, ph n o c a z.
6) (Cð – 2010): Cho s ph c z th a mãn 2
(2 3 ) (4 ) (1 3 )i z i z i− + + = − + . Tìm ph n th c, ph n o c a z.
7) Tìm ph n th c c a s ph c (1 )n
z i= + , bi t n N∈ th a mãn phương trình: 4 4log ( 3) log ( 9) 3n n− + + = .
8) Tìm s ph c z, bi t: a) (2 3 ) 1 9z i z i− + = − (D – 2011) b)
5 3
1 0
i
z
z
+
− − = ( B – 2011)
9) (A – 2011): Tìm t t c các s ph c z, bi t:
22
z z z= + .
10) ( B – 2009): Tìm s ph c z th a mãn: (2 ) 10z i− + = và . 25z z = .
11) Tìm s ph c z th a mãn: . 3( ) 4 3z z z z i+ − = − .
12) Tìm s ph c z th a mãn: 2 2z i− + = . Bi t ph n o nh hơn ph n th c 3 ñơn v .
13) Tìm s ph c z, bi t 2 5z = và ph n o c a z b ng hai l n ph n th c c a nó.
14) Tìm s ph c z th a mãn:
a. (2 3 ) 1i z z+ = − b.
20
1 3z i
z
− = − c. 2
0z z+ = . d.
22
2 8z zz z+ + = và 2z z+ = .
15) Tìm môñun c a s ph c: a. 3
1 4 (1 )z i i= + + − . b.
(1 )(2 )
1 2
i i
z
i
+ −
=
+
16) (A – 2011-NC): Tìm môñun c a s ph c z, bi t: (2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2z i z i i− + + + − = − .
17) Cho s ph c z th a mãn
11 8
1 2
.
1 1
i i
i z
i i
+   
= +   
− +   
. Tìm môñun c a s ph c z iz+ .
18) Cho s ph c z th a mãn 2 2 1z i− + = . Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a z .
19) Tìm s ph c liên h p c a
1
(1 )(3 2 )
3
z i i
i
= + − +
+
.
20) Cho s ph c z th a mãn
1
2
z
i
z
z
 =


+ =

. Tìm s ph c liên h p c a z.
21) Tìm s ngh ch ñ o c a s ph c
3
2
1 3 2
1 (1 )
i i
z
i i
 − −
= − 
+ − 
.
22) Bi t s ph c z th a mãn 30 7z z iz i+ + = − . Tìm s ñ i c a z.

Bài t p m u
1. Xét các ñi m A,B,C trong m t ph ng ph c theo th t bi u di n các s
4 2 6
;(1 )(1 2 );
1 3
i i
i i
i i
+
− +
− −
.
a.Ch ng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân.
b.Tìm s ph c bi u di n b i ñi m D, sao cho ABCD là hình vuông.
Gi i: Ta có:
4 4 ( 1 )
2 2
1 2
i i i
i
i
− −
= = −
−
(2; 2)A⇒ − ; (1 )(1 2 ) 3 (3;1)i i i B− + = + ⇒
2 6 (2 6 )(3 ) 20
2 (0;2)
3 10 10
i i i i
i C
i
+ + +
= = = ⇒
−
a. Khi ñó :
2 2
10(1;3)
. 0(3; 1)
AB CBAB
AB CBCB
  = == 
⇒ 
== −  
uuur
uuur uuuruuur Suy ra tam giác ABC vuông cân t i B (ñpcm).
b. G i ( ; )D x y ( ;2 )DC x y⇒ = − −
uuur
Vì tam giác ABC vuông cân t i B nên ABCD là hình vuông khi : DC AB=
uuur uuur 1 1
2 3 1
x x
y y
− = = − 
⇔ ⇔ 
− = = − 
V y s ph c bi u di n b i ñi m ( 1; 1)D − − là: 1 i− −
2. Trong các s ph c th a mãn ñi u ki n 2 4 2z i z i− − = − . Tìm s ph c z có môñun nh nh t.
Gi i: Cách 1: (Các em xem l i cách gi i bài toán này theo phương pháp ñ i s Ví d th 6 D NG 2)
Cách 2:
+) G i ñi m ( ; )M x y bi u di n s ph c z x yi= + ( ; )x y R∈
+) Ta có: 2 4 2 ( 2) ( 4) ( 2)z i z i x y i x y i− − = − ⇔ − + − = + −
2 2 2 2
( 2) ( 4) ( 2) 4 8 20 4 4 4 0x y x y x y y x y⇔ − + − = + − ⇔ − − + = − + ⇔ + − =
V y M thu c ñư ng th ng d có phương trình: 4 0x y+ − = (*)
+) Ta có: z OM= minmin
z OM OM d⇒ ⇔ ⇔ ⊥
. 0 0dOM u x y⇔ = ⇔ − =
uuuur uur
(2*) (v i ( ; ), (1; 1)dOM x y u= = −
uuuur uur
)
T (*) và (2*) suy ra:
4 0 2
0 2
x y x
x y y
+ − = = 
⇔ 
− = = 
(2;2)M⇒ hay s ph c 2 2z i= +

Bài t p áp d ng
1) Các ñi m A, B, C và A’, B’, C’ trong m t ph ng ph c theo th t bi u di n các s 1 – i, 2 + 3i, 3 + i
và 3i, 3 – 2i, 3 + 2i. Ch ng minh r ng tam giác ABC và A’B’C’ có cùng tr ng tâm.
2) Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho A và B là hai ñi m l n lư t bi u di n hai nghi m ph c c a phương
trình 2
6 18 0z z+ + = . Ch ng minh r ng tam giác OAB vuông cân.
3) Tromg m t ph ng ph c, cho ba ñi m M, A, B l n lư t bi u di n các s ph c z,
3 3
3
i
z
 +
  
 
và
3
i
z .
Ch ng minh r ng:
a. Tam giác OMA vuông t i M.
b. Tam giác MAB là tam giác vuông.
c. T giác OMAB là hình ch nh t.
Bài t p m u
1. Cho s ph c z th a mãn 3 2z i z− + = + .
a. Tìm t p h p các ñi m trong m t ph ng t a ñ Oxy bi u di n s ph c z .
b. Trong các s ph c z th a mãn ñi u ki n trên, tìm s có môñun bé nh t.
Gi i:
a) G i ( ; )M x y là ñi m bi u di n s ph c z x yi= + ( ; )x y R∈ trong m t ph ng t a ñ Oxy, ta có:
3 2 3 2z i z x yi i x yi− + = + ⇔ + − + = − +
( 3) ( 1) ( 2)x y i x yi⇔ − + + = + −
2 2 2 2
( 3) ( 1) ( 2)x y x y⇔ − + + = + +
6 2 10 4 4 5 3 0x y x x y⇔ − + + = + ⇔ − − =
V y t p h p ñi m bi u di n s ph c z là ñư ng th ng d có phương trình: 5 3 0x y− − = (*)

b) Cách 1 (Phương pháp ñ i s )
T (*) ta có: 5 3y x= − ⇒ 2 2 2 2 2
(5 3) 26 30 9z x y x x x x= + = + − = − +
Nên: min
z khi ( )2
min
26 30 9x x− +
15
2 26
b
x
a
⇔ = − = t ñó suy ra:
3
5 3
26
y x
−
= − =
V y s ph c có môñun nh nh t là:
15 3
26 26
z i= −
Cách 2 (Phương pháp hình h c)
ðư ng th ng d có phương trình: 5 3 0x y− − = có véctơ ch phương (1;5)du =
uur
Ta có: z OM= minmin
z OM OM d⇒ ⇔ ⇔ ⊥ . 0 5 0dOM u x y⇔ = ⇔ + =
uuuur uur
(2*) (v i ( ; )OM x y=
uuuur
)
T (*) và (2*) suy ra:
15
5 3 0 26
5 0 3
26
xx y
x y y
 =− − = 
⇔ 
+ = − =
15 3
;
26 26
M
 
⇒ − 
 
hay s ph c
15 3
26 26
z i= −
2. Cho s ph c z th a mãn
(1 )
2 1
1
i z
i
+
+ =
−
b. Trong các s ph c z th a mãn ñi u ki n trên, tìm s có môñun l n nh t và s có môñun nh nh t.
Gi i: a) G i ( ; )M x y là ñi m bi u di n s ph c z x yi= + ( ; )x y R∈ trong m t ph ng t a ñ Oxy, ta có:
2
(1 ) (1 )
2 1 2 1 2 1
1 2
i z i z
iz
i
+ +
+ = ⇔ + = ⇔ + =
−
2 2
( ) 2 1 ( 2) 1 ( 2) 1i x yi y xi y x⇔ + + = ⇔ − + + = ⇔ − + =
2 2
( 2) 1y x⇔ − + = (*)
V y t p h p các ñi m bi u di n s ph c z là ñư ng tròn tâm (2;0)I có bán kính 1R = .
b) Cách 1 (Phương pháp ñ i s )
T (*) 2
( 2) 1 1 2 1 1 3y y y⇒ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ (1) M t khác t (*) ta có: 2 2
4 3x y y+ = − (2)
T (1) và (2) suy ra: 2 2
1 9x y≤ + ≤ hay
2
1 9 1 3z z≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
Do ñó: min
1z = khi 1y = và 0x = hay s ph c có môñun nh nh t là: z i=
max
3z = khi 3y = và 0x = hay s ph c có môñun l n nh t là: 3z i= .

Cách 2 (Phương pháp hình h c)
3. Cho s ph c z th a mãn
2
2 2( ) 2z z z i− = − −
b. Trong các s ph c z th a mãn ñi u ki n trên, tìm s có môñun l n nh t và s có môñun nh nh t.
Gi i:
a) G i ( ; )M x y là ñi m bi u di n s ph c z x yi= + ( ; )x y R∈ trong m t ph ng t a ñ Oxy, ta có:
2
2 2( ) 2z z z i− = − −
2
2 2[ ( )] 2x yi x yi x yi i⇔ − − = + − − −
2 2
( 2) 4 2x yi yi⇔ − − = −
⇔ 2 2
( 2) 4 2x y y− + = − −
2 2
( 2) ( 2) 2x y⇔ − + + = (*)
V y t p h p các ñi m bi u di n s ph c z là ñư ng tròn tâm (2; 2)I − có bán kính 2R = .
b)
Ta có: 2 2
z x y OM= + = nên min
z khi minOM .
Có: (2; 2)OI = −
uur
nên phương trìnhOI :
2 2
x y
y x= ⇔ = −
−
(2*)
Ta tìm giao ñi m c a OI v i ñư ng tròn (*) b ng cách thay (2*) vào (*):
( )
2 12 2
2
(1; 1)2 1 1 1
( 2) 2 2 ( 2) 1
2 1 3 3 (3; 3)
Mx x y
x x x
x x y M
−− = − = ⇒ = −  
− + − + = ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇒  − = = ⇒ = − −  
1
2
2
3 2
OM
OM
 =
⇒ 
=
M t khác ñi m thu c ñư ng tròn có kho ng cách t i g c t a ñ O l n nh t, nh nh t ph i thu c m t trong
2 ñi m 1 2,M M . Do ñó 1min
z OM= hay 1(1; 1)M M≡ − nên s ph c có môñun nh nh t là: 1 1z i= −
2max
z OM= hay 2 (3; 3)M M≡ − nên s ph c có môñun l n nh t là: 2 3 3z i= −

4. (B – 2010 – CB ): Trong m t ph ng t a ñ Oxy, tìm t p h p ñi m bi u di n các s ph c z th a mãn:
(1 )z i i z− = +
Gi i:
G i ( ; )M x y là ñi m bi u di n s ph c z x yi= + ( ; )x y R∈ trong m t ph ng t a ñ Oxy, ta có:
(1 ) (1 )( ) ( 1) ( ) ( )z i i z x yi i i x yi x y i x y x y i− = + ⇔ + − = + + ⇔ + − = − + +
2 2 2 2 2 2 2 2
( 1) ( ) ( ) 2 1 2 2x y x y x y x y y x y⇔ + − = − + + ⇔ + − + = +
2 2
( 1) 2x y⇔ + + =
V y t p h p ñi m bi u di n s ph c z là ñư ng tròn tâm (0; 1)I − bán kính 2R = .
5. (D – 2009 – CB ): Trong m t ph ng t a ñ Oxy, tìm t p h p ñi m bi u di n các s ph c z th a mãn:
(3 4 ) 2z i− − = .
Gi i:
G i ( ; )M x y là ñi m bi u di n s ph c z x yi= + ( ; )x y R∈ trong m t ph ng t a ñ Oxy, ta có:
(3 4 ) 2 (3 4 ) 2 ( 3) ( 4) 2z i x yi i x y i− − = ⇔ + − − = ⇔ − + + =
2 2 2 2
( 3) ( 4) 2 ( 3) ( 4) 4x y x y⇔ − + + = ⇔ − + + =
V y t p h p ñi m bi u di n s ph c z là ñư ng tròn tâm (3; 4)I − bán kính 2R = .
6. Tìm t p h p các ñi m bi u di n trong m t ph ng s ph c 1 2w z i= − − bi t s ph c z thay ñ i th a mãn
1 1z i+ + = .
.
Gi i:
G i ( ; )M x y là ñi m bi u di n s ph c w x yi= + ( ; )x y R∈ trong m t ph ng t a ñ Oxy, ta có:
1 2w z i= − − ⇒ 1 2 1 2 ( 1) ( 2)z w i x yi i x y i= + + = + + + = + + + ( 1) ( 2)z x y i⇒ = + − +
Do ñó 1 1 ( 1) ( 2) 1 1z i x y i i+ + = ⇔ + − + + + = 2 2
( 2) ( 1) 1 ( 2) ( 1) 1x y i x y⇔ + − + = ⇔ + + + =
2 2
( 2) ( 1) 1x y⇔ + + + =
V y t p h p ñi m bi u di n s ph c w là ñư ng tròn tâm ( 2; 1)I − − bán kính 1R = .
Bài t p áp d ng
1) Trong m t ph ng t a ñ Oxy, tìm t p h p các ñi m bi u di n s ph c z n u như th a mãn m t trong các
ñi u ki n :
a. 3 4z z i= − + . b. 1 2z i− + = c. 2z i z+ = − . d. 4z i z i− + + = .
e. 4 4 10z i z i− + + = f. 2 2z i z z i− = − + . g. ( )
2
2
z z= h. 1
z i
z i
−
=
+
.
2) Trong m t ph ng t a ñ Oxy, tìm t p h p các ñi m bi u di n các s ph c z sao cho:
z i
z i
+
+
là s th c.
3) Trong m t ph ng t a ñ Oxy, tìm t p h p các ñi m bi u di n các s ph c z sao cho: 2
z là s o.
4) Tìm t p h p các ñi m bi u di n trong m t ph ng s ph c z bi t (2 )( )z i z− + là s thu n o.

D NG 4 : CĂN B C HAI C A S PH C,PHƯƠNG TRÌNH, H PHƯƠNG TRÌNH
Bài t p m u
1. (A – 2009): G i 1z và 2z là hai nghi m ph c c a phương trình 2
2 10 0z z+ + = .
Tính giá tr c a bi u th c
2 2
1 2A z z= + .
Gi i : Phương trình 2
2 10 0z z+ + = có bi t th c 2
' 1 10 9 9i∆ = − = − = nên phương trình có hai nghi m :
1 1 3z i= − + và 2 1 3z i= − −
2 2 2 2
1 2 1 3 1 3A z z i i⇒ = + = − + + − − 2 2 2 2
(1 3 ) (1 3 ) 20= + + + =
V y 20A =
2. Cho s ph c z có ph n o âm và th a mãn 2
6 13 0z z− + = . Tính môñun c a s ph c:
6
w z
z i
= +
+
Gi i : Phương trình 2
6 13 0z z− + = có bi t th c 2
' 9 13 4 4i∆ = − = − = nên phương trình có hai nghi m :
6 6
3 2
3
w z i
z i i
⇒ = + = − +
+ −
6(3 ) 24 7
3 2
10 5 5
i
i i
+
= − + = −
2 2
24 7
5
5 5
w
   
⇒ = + =   
   
V y 5w =

3. (D – 2012 – NC) Gi i phương trình 2
3(1 ) 5 0z i z i+ + + = trên t p h p các s ph c.
Gi i :
Cách 1 : Phương trình 2
3(1 ) 5 0z i z i+ + + = có bi t th c 2 2
' 9(1 ) 20 2 (1 )i i i i∆ = + − = − = −
nên phương trình có nghi m :
1
2
3(1 ) (1 )
1 2
2
3(1 ) (1 )
2
2
i i
z i
i i
z i
− + + −
= = − −

− + − − = = − −

Chú ý : Vi c vi t ñư c : 2
2 (1 )i i− = − ph n tính ∆ trong bài toán trên có th hi u theo 3 hư ng
+) Hư ng 1 : Vì ta khá quen thu c v i công th c : 2
(1 ) 2i i± = ±
+) Hư ng 2 : Ta ch n ,a b th a mãn
2 2
2 2 2 0
2 ( ) 2
1
a b
i a bi a b abi
ab
 − =
− = + = − + ⇔ 
= −
và “ñoán”:
1
1
a
b
=

= −
+) Hư ng 3 : (ðây là hư ng ñi t ng quát – khi không nhìn th y luôn theo Hư ng 1, Hư ng 2)
G i a bi+ là căn b c hai c a 2 2 2
2 ( ) 2 2 2i a bi i a b abi i− ⇒ + = − ⇔ − + = −
2 2 2 2
1; 10
1 1; 12 2 1
a b a ba b a b
ab a bab ab
= ± = = − − = =  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔   = − = − == − = −   
V y căn b c hai c a 2i− là : 1 i− và 1 i− + nên phương trình có nghi m :
1
2
3(1 ) (1 )
1 2
2
3(1 ) ( 1 )
2
2
i i
z i
i i
z i
− + + −
= = − −

− + + − + = = − −

Cách 2
(mang tính ch t tham kh o : Ch ch ng t m t ñi u có m t con ñư ng khác d n t i ñáp s - nhưng khá dài )
G i z a bi= + ( ,a b R∈ )
Khi ñó : 2
3(1 ) 5 0z i z i+ + + = tr thành : 2
( ) 3(1 )( ) 5 0a bi i a bi i+ + + + + =
2 2
2 3[( ) ( ) ] 5 0a b abi a b a b i i⇔ − + + − + + + =
2 2
[ 3( )] (2 3 3 5) 0a b a b ab a b i⇔ − + − + + + + =
2 2
( )( 3) 0 (1)3( ) 0
2 3( ) 5 0 (2)2 3( ) 5 0
a b a ba b a b
ab a bab a b
− + + = − + − = 
⇔ ⇔ 
+ + + =+ + + = 
(1)
3
a b
b a
=
⇔  = − −
+) V i a b= thay vào (2) ñư c : 2
2 6 5 0a a+ + = ( vô nghi m v i a R∈ )
+) V i 3b a= − − thay vào (2) ta ñư c : 2 ( 3) 4 0a a− − − =
2
3 2 0a a⇔ + + =
1 2
2 1
a b
a b
= − ⇒ = −
⇔  = − ⇒ = −
V y 1 2z i= − − ho c 2z i= − − .

4. (Cð – 2010) Gi i phương trình 2
(1 ) 6 3 0z i z i− + + + = trên t p h p các s ph c.
Gi i :
Phương trình 2
(1 ) 6 3 0z i z i− + + + = có bi t th c 2 2
(1 ) 4(6 3 ) 2 24 12 24 10 (1 5 )i i i i i i∆ = + − + = − − = − − = −
(Làm ra nháp: Nh m ,a b th a mãn
2 2
24
1; 5
5 (2 10)
a b
a b
ab ab
 − = −
⇒ = = −
= − = −
)
nên phương trình có hai nghi m :
1
2
(1 ) (1 5 )
1 2
2
(1 ) (1 5 )
3
2
i i
z i
i i
z i
+ + −
= = −

+ − − = =

5. (Cð – 2009) Gi i phương trình sau trên t p s ph c :
4 3 7
2
z i
z i
z i
− +
= −
−
.
Gi i :
+) ði u ki n : z i≠
+) V i ñi u ki n trên :
4 3 7
2
z i
z i
z i
− +
= −
−
4 3 7 ( )( 2 )z i z i z i⇔ − + = − −
2
(4 3 ) 1 7 0z i z i⇔ − + + + =
phương trình có bi t th c 2 2
(4 3 ) 4(1 7 ) 7 24 4 28 3 4 (2 )i i i i i i∆ = + − + = + − − = − = −
(Làm ra nháp: Nh m ,a b th a mãn
2 2
3
2; 1
2 (2 4)
a b
a b
ab ab
 − =
⇒ = = −
= − = −
)
nên phương trình có hai nghi m :
1
2
(4 3 ) (2 )
3
2
(4 3 ) (2 )
1 2
2
i i
z i
i i
z i
+ + −
= = +

+ − − = = +

(th a mãn ñi u ki n).
Bài t p áp d ng
1) Tìm căn b c hai c a s ph c z bi t :
a) 5 12z i= − + . b) 8 6z i= + . c) 4 6 5z i= + . d) 1 2 6z i= − − .
2) Gi i các phương trình trên t p h p các s ph c:
a) 2
3 2 0x x+ + = . b) 2
1 0x x+ + = . c) 3
1 0x − = .
d) 2
(3 4 ) 5 1 0x i x i− + + − = . e) 2
(1 ) 2 0x i x i+ + − − = .
3) L p phương trình b c hai có các nghi m là 1 24 3 ; 2 5z i z i= + = − + .
4) Tìm m ñ phương trình : 2
3 0x mx i+ + = có t ng bình phương hai nghi m b ng 8.
5) Tìm s th c b, c ñ phương trình 2
0z bz c+ + = nh n s ph c z = 1 + i làm m t nghi m.
6) Cho 1z và 2z là các nghi m ph c c a phương trình 2
2 4 11 0z z− + = . Tính giá tr bi u th c
2 2
1 2
2
1 2( )
z z
A
z z
+
=
+

7) G i 1z và 2z là hai nghi m ph c c a phương trình 2
2 4 0z z+ + = . Tính giá tr c a
2 2 3
1 2 1 23A z z z z= + − +
8) Cho 1 2;z z là hai nghi m c a phương trình 2
(1 2 ) (3 2 ) 1 0i z i z i+ − + + − = .
Không gi i phương trình hãy tính giá tr c a các bi u th c sau :
a. 2 2
1 2A z z= + ; b. 2 2
1 2 1 2B z z z z= + ; c. 1 2
2 1
z z
C
z z
= + .
9) Gi i các phương trình sau trên t p s ph c :
a. 2 2 2
( ) 4( ) 12 0z z z z+ + + − = . b. 2 2 2 2
( 3 6) 2 ( 3 6) 3 0z z z z z z+ + + + + − =
c. 4 2
6 25 0z z− + = . c. 4 3 2
2 2 1 0z z z z− − − + = .
10) Gi i các h sau trên t p s ph c :
a.
2 2
1 2
1 2
5 2
4
z z i
z z i
 + = +

+ = −
b.
( )
3 5
1 2
4
2
1 2
0
1
z z
z z
 + =

=
.
11) Gi i h phương trình sau trong t p s ph c :
2
2
2 2 2 2
6
5
( ) 6 0
a a
a a
a b ab b a a

+ − =
+
 + + + − =
.
D NG 5 : D NG LƯ NG GIÁC C A S PH C (Ban Nâng Cao)

Bài t p m u
(B – 2012 – NC) G i 1z và 2z là hai nghi m ph c c a phương trình 2
2 3 4 0z iz− − = .
Vi t d ng lư ng giác c a 1z và 2z .
Gi i :
Phương trình 2
2 3 4 0z iz− − = có bi t th c 2
' ( 3 ) 4 3 4 1i∆ = + = − + =
Suy ra phương trình có hai nghi m : 1 1 3z i= + và 2 1 3z i= − +
+) V i 1 1 3z i= +
1 3 2
1 3
cos ;sin
2 2 3
r
π
ϕ ϕ ϕ
 = + =

⇒ 
= = ⇒ =

.V y d ng lư ng giác c a 1 2 cos sin
3 3
z i
π π 
= + 
 
+) V i 2 1 3z i= −
1 3 2
1 3 2
cos ;sin
2 2 3
r
π
ϕ ϕ ϕ
 = + =

⇒ 
= − = ⇒ =

.V y d ng lư ng giác : 2
2 2
2 cos sin
3 3
z i
π π 
= + 
 
Bài t p áp d ng
1) Vi t các s ph c z sau dư i d ng lư ng giác
a. (1 3)(1 )z i i= − + . b.
1 3
1
i
z
i
−
=
+
. c. sin cosz iϕ ϕ= + .
d.
5
tan
8
z i
π
= + e. 2
( 3 )z i= − . f.
1
2 2i+
.
2) Tính
10 5
10
(1 ) ( 3 )
( 1 3)
i i
z
i
− +
=
− −
.
3) Vi t dư i d ng lư ng giác c a s ph c z bi t 2z = và m t acgumen c a
1
z
i+
là
3
4
π
− .
4) Vi t dư i d ng lư ng giác c a s ph c z bi t 1 3z z i− = − và iz có m t acgumen là
6
π
.
5) Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z sau :
a.
10
9
(1 )
( 3 )
i
z
i
+
=
+
. b. 5 7
(cos sin ) (1 3 )
3 3
z i i i
π π
= − + .
6) Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z bi t 2
2 2 3z i= − + .
7) Tìm s n là s nguyên dương và [1;10]n∈ sao cho s ph c (1 3)n
z i= + là s th c.
8) Tìm n ñ s ph c
3 3
3 3
n
i
i
 −
  − 
là s th c, là s o ?.
9) Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c 2013
2013
1
z
z
+ . Bi t
1
1z
z
+ = .

D NG 6 : CÁC BÀI TOÁN CH NG MINH TRONG S PH C (tham kh o thêm)
1) Ch ng minh r ng: 2012 2010 2008
5(1 ) 7 (1 ) 6(1 )i i i i+ = + − + .
2) Ch ng minh r ng v i m i s ph c z, có ít nh t m t trong hai b t ñ ng th c sau x y ra :
1
1
2
z + ≥ ho c 2
1 1z + ≥ .
3) Cho s ph c 0z ≠ th a mãn 3
3
1
2z
z
+ ≤ . Ch ng minh r ng :
1
2z
z
+ ≤ .
4) Cho s ph c
1 3
2 2
z i= − + . Ch ng minh r ng : 2
1 0z z+ + = ; 2 1
z z
z
= = và 3
1z = .
5) Cho 1 2,z z C∈ . Ch ng minh r ng : 1 2 1 2. .E z z z z R= + ∈ .
6) Ch ng minh r ng 7 7
(2 5) (2 5)E i i R= + + − ∈ .
7) Cho z và z’ là hai s ph c b t kì. Ch ng minh r ng :
a. ' 'z z z z+ = + b. ' 'z z z z− = − c. . ' . 'z z z z=
d.
' '
z z
z z
 
= 
 
( ' 0z ≠ ) e. . ' . 'z z z z= f.
' '
zz
z z
= ( ' 0z ≠ )
C m ơn các em và các b n ñã ñ c tài li u !
M i ý ki n ñóng góp các em và các b n g i qua E- mail: giaidaptoancap3@yahoo.com
ho c ñ a ch : s 9 – Ngõ 880 – B ch ð ng – Hai Bà Trưng – Hà N i
ði n tho i : 043.9871450 ho c Dð: 0947141139
Các em có th tham kh o thêm các chuyên ñ khác trên web: http://www.facebook.com/giaidaptoancap3

So phuc thanhtung

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (18)

Similar to So phuc thanhtung

Similar to So phuc thanhtung (20)

So phuc thanhtung