1. kiÓm tra häc kú I n¨m häc 2013-2014
Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
M«n: TO¸N - Líp 12
Thêi gian lµm bµi: 90 phót
§Ò chÝnh thøc
Bµi 1: (2,25 ®iÓm)
1. TÝnh vi ph©n cña mçi hµm sè sau:
a) y = e
2x
cos x ;
b) y = cotg 2 x .
2. T×m c¸c ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè y =
4
3
(1 ®)
2
x 2 x 3x
.
−
−
4
3
2
(1,25 ®)
Bµi 2: (3,75 ®iÓm)
Cho hµm sè y =
2x + 1
x−2
(1)
1. Kh¶o s¸t hµm sè (1).
(2 ®)
2. ViÕt ph−¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè (1) vu«ng gãc víi
®−êng th¼ng x − 20 y + 5 = 0 .
(1 ®)
3. Dùa vµo ®å thÞ cña hµm sè (1), vÏ ®å thÞ cña hµm sè: y =
2x + 1
.
x−2
(0,75 ®)
Bµi 3: (2,5 ®iÓm)
Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho hai ®−êng th¼ng d1 : x + 2 y + 4 = 0 ;
d 2 : 2 x − 3 y − 13 = 0 vµ ®iÓm I ( −3; 7 )
(0,5 ®)
1. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña 2 ®−êng th¼ng d1 vµ d2 .
2. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆ ®i qua giao ®iÓm cña 2 ®−êng th¼ng d1 ,
(1 ®)
d 2 vµ song song víi ®−êng th¼ng 4 x − 3 y + 5 = 0 .
3. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn t©m I vµ tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng ∆ . (1 ®)
Bµi 4: (1,5 ®iÓm)
Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy:
1. ViÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp (E) cã ®é dµi trôc bÐ lµ 8 vµ t©m sai
3
e= .
5
(1 ®)
2. T×m to¹ ®é c¸c giao ®iÓm cña elÝp (E) vµ ®−êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm
(0,5 ®)
M ( 0; − 1) , N (1; 1) .
HÕt

2. ĐÁP ÁN
Bµi
ý
Néi dung
§iÓm
1
2.25
1.1 a) dy = y ' dx = e
2x
( 2 cos x − sin x ) dx
0.5
1 
2 cot gxdx

b) dy = y ' dx = 2 cot gx  − 2  dx = −
sin 2 x
 sin x 
1.2 TX§: R;
y ' = x 3 − 2 x 2 − 3 x = x ( x 2 − 2 x − 3)
y ' = 0 ⇔ x1 = 0; x2 = −1; x3 = 3
0.5
0..25
0.25
y " = 3x 2 − 4 x − 3 ; y " ( 0 ) = −3 < 0; y "(−1) = 4 > 0; y " ( 3) = 12 > 0
0.25
¸p dông dÊu hiÖu ®ñ thø 2: Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x1 = 0; yC§ = 0; ®¹t cùc tiÓu
7
45
vµ x3 = 3; yCT = −
t¹i 2 ®iÓm x2 = −1; yCT = −
12
4
0.50
2
3.75
2.1 (2,0 ®iÓm)
2x + 1
(1)
x−2
a) TËp x¸c ®Þnh: D = R {2} .
b) Sù biÕn thiªn:
−5
y'=
< 0, ∀x ∈ D . Suy ra: Hµm sè lu«n lu«n ®ång biÕn trªn tõng
2
( x − 2)
kho¶ng x¸c ®Þnh cña nã.
b) Giíi h¹n vµ tiÖm cËn: lim y = ∞ ; lim y = 2
Kh¶o s¸t hµm sè y =
x→2
x →∞
Nªn ®å thÞ cña (1) cã tiÖm cËn ®øng lµ ®−êng th¼ng x = 2 vµ tiÖm cËn ngang lµ
®−êng th¼ng y = 2 .
+ B¶ng biÕn thiªn
x −∞
2
+∞
−
y'
+∞
2
y
−∞
−
0.50
0.50
0.50
2

3. c) §å thÞ:
+Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc
1

Oy lµ ®iÓm  0; −  .
2

1
+ y = 0 ⇔ 2x +1 = 0 ⇔ x = −
2
§å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm
1
cã hoµnh ®é x = −
2
+ §å thÞ hµm sè nhËn ®iÓm I (2; 2) lµm
t©m ®èi xøng
2.2
2.3
0,50
+ TiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng x − 20 y + 5 = 0 nªn
0,25
ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cã d¹ng: 20 x + y + C = 0 ⇔ y = −20 x − C .
+ Suy ra: tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc:
5

 x0 = 2 ; y0 = 12
−5
0,25
f '( x0 ) = −20 ⇔
= −20 ⇔ 
2
( x0 − 2 )
 x = 3 ; y = −8
 0 2 0

(x0 lµ hoµnh ®é tiÕp ®iÓm)
VËy: Cã hai tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè (1) vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng
0.5
x − 20 y + 5 = 0 lµ: ∆1 : y = −20 x + 62; ∆ 2 : y = −20 x + 22
2x +1
ViÕt l¹i kÝ hiÖu hµm sè: y = f ( x) =
, ta cã:
x−2
2 x + 1  f ( x) khi x > 2
Hµm sè y =
, TXĐ: R {2}
=
0,25
x − 2  − f ( x) khi x < 2
2x + 1
nªn ®å thÞ cña hµm sè y =
gi÷ nguyªn phÇn ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) khi
x−2
x > 2 vµ ®èi xøng phÇn cßn l¹i qua trôc Ox:
0,25
0,25

4. 2,5
3
3.1
3.2
+ Täa ®é giao ®iÓm cña 2 ®−êng th¼ng d1 : x + 2 y + 4 = 0 ; d 2 : 2 x − 3 y − 13 = 0 lµ
 x + 2 y = −4
nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh: 
,
2 x − 3 y = 13
+ Gi¶i hÖ pt ta ®−îc: x = 2; y = −3 . Do ®ã giao ®iÓm cña 2 ®−êng th¼ng d1 vµ d2
lµ M (2; − 3)
§−êng th¼ng ∆ song song víi ®−êng th¼ng 4 x − 3 y + 5 = 0 , nªn ph−¬ng tr×nh cã
d¹ng 4 x − 3 y + C = 0 ( C ≠ 5 )
§−êng th¼ng ∆ ®i qua giao ®iÓm cña d1 vµ d2 nªn:
4 ⋅ 2 − 3 ( −3) + C = 0 ⇔ C = −17 .
VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆ lµ 4 x − 3 y − 17 = 0
3.3
0.25
0,25
0.50
0.25
0,25
+ §−êng trßn t©m I ( −3; 7 ) vµ tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng ∆ , nªn cã b¸n kÝnh:
R = d ( I , ∆) =
4 ( −3) − 3 ⋅ 7 − 17
0,50
= 10
5
2
2
+ VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn cÇn t×m lµ: ( x + 3) + ( y − 7 ) = 100
4
0.50
1,5
4.1
+ Theo gi¶ thiÕt:
Elip cã ®é dµi nöa trôc bÐ b = 4; t©m sai e =
c 3
3a
= ⇔c=
a 5
5
9a 2 16a 2
=
⇔ a 2 = 25 ⇔ a = 5
25
25
x2 y 2
+ Suy ra ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (E) lµ:
+
=1
25 16
 x=t
Ph−¬ng tr×nh tham sè cña (MN): 
 y = −1 + 2t
HÖ ph−¬ng tr×nh cho to¹ ®é giao ®iÓm cña (MN) vµ (E) lµ:
x=t

x=t

 y = −1 + 2t


⇔
y = −1 + 2t
 2
2
( 2t − 1) = 1 116t 2 − 100t − 375 = 0
t

 25 + 16

+ Mµ b 2 = a 2 − c 2 ⇔ 16 = a 2 −
4.2
25 − 10 115
25 + 10 115
.
; t2 =
58
58
Suy ra 2 giao ®iÓm cña (MN) vµ (E) lµ:
 25 − 10 115 −4 − 10 115 
 25 − 10 115 −4 + 10 115 
M1 
;
;
, M2 





58
29
58
29




0,25
0,50
0,25
0.25
+Gi¶i hÖ ta ®−îc: t1 =
0,25