1. THPT CHUYÊN LÀO CAI
TỔ TOÁN-TIN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 - 2012
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
PHẦN CHUNG (7,0 điểm) Cho tất cả thí sinh
Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = x3
− 3(m + 1)x2
+ 9x − m, với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1.
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho 3x1 − 2x2 = m + 6
Câu II. (2 điểm)
1) Giải phương trình: sin3
x + 2 = 2cosx + sin2
x
2) Giải phương trình:
1
3
log 3√
3(x + 1) +
1
503
log81(x − 3)2012
= 5log243 [4(x − 2)]
Câu III. (1 điểm) Tính I =
π
4
0
cos2x.ln(sinx + cosx)dx.
Câu IV. (1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi
cạnh bên và mặt đáy bằng 300
. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A B C ) thuộc đường
thẳng B C .
1) Tính thể tích lăng trụ ABC.A B C .
2) Chứng minh hai đường thẳng AA và B C vuông góc và tính khoảng cách giữa chúng.
Câu V. (1 điểm) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 3xyz. Chứng minh xyz +
1
xy + yz + zx
≥
3
4
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B
Phần A
Câu VIa. (2 điểm)
1) Tìm số phức z thỏa mãn (z − 1)(z + 2i) là số thực và |z| đạt giá trị nhỏ nhất.
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó A(1; 1), đường cao xuất phát từ B có
phương trình 5x + y − 22 = 0, trung tuyến xuất phát từ C có phương trình x + 2y − 10 = 0. Tìm
tọa độ B, C.
Câu VIIa. (1 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ : x+2
2
= y−2
3
= z+1
2
. Viết
phương trình mặt cầu tâm O (với O là gốc tọa độ), cắt ∆ tại hai điểm A, B sao cho AB = 22
Phần B
Câu VIb. (2 điểm)
1) Tìm số phức z thỏa mãn | z
z−2−2i
| = 1 đồng thời z−2i
z−2
là số thuần ảo.
2)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình hai cạnh CA, CB lần lượt
là x − 5y + 4 = 0 và 5x + 3y − 36 = 0, trọng tâm của tam giác ABC là G 10
3
; 10
3
. Tìm tọa độ ba
đỉnh của tam giác ABC.
Câu VIIb. (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ : x−2
2
= y−2
1
= z−1
2
và
mặt cầu (S) : x2
+ y2
+ z2
+ 4x − 6y + m = 0. Tìm m để ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt
M, N sao cho MN = 8.
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. 1
TRƯ NG THPT CHUYÊN LÀO CAI HDC THI TH ð I H C NĂM H C 2011-2012
T TOÁN TIN MÔN TOÁN, TH I GIAN: 150 PHÚT
(Hư ng d n ch m này g m 7 trang)
Câu ý N i dung ði m
I 1
(1ñi m)
Cho hàm s ‫ݕ‬ = ‫ݔ‬ଷ
− 3ሺ݉ + 1ሻ‫ݔ‬ଶ
+ 9‫ݔ‬ − ݉, v i ݉ là tham s
th c. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s ñã cho ng
v i ݉ = 1.
V i ݉ = 1 ta có ‫ݕ‬ = ‫ݔ‬ଷ
− 6‫ݔ‬ଶ
+ 9‫ݔ‬ − 1
-T p xác ñ nh ‫ܦ‬ = ℝ
-S bi n thiên:
*Chi u bi n thiên: ‫ݕ‬ᇱ
= 3‫ݔ‬ଶ
− 12‫ݔ‬ + 9 = 3ሺ‫ݔ‬ଶ
− 4‫ݔ‬ + 3ሻ
Ta có ‫ݕ‬ᇱ
> 0 ⇔ ‫ݔ‬ ∈ ሺ−∞; 1ሻ ∪ ሺ3; +∞ሻ; ‫ݕ‬ᇱ
< 0 ⇔ ‫ݔ‬ ∈
ሺ1; 3ሻ.
Do ñó hàm s ñ ng bi n trên m i kho ng ሺ−∞; 1ሻ và ሺ3; +∞ሻ,
hàm s ngh ch bi n trên kho ng ሺ1; 3ሻ
*C c tr : Hàm s ñ t c c ñ i t i ‫ݔ‬ = 1, ‫ݕ‬஼Đ = 3. Hàm s ñ t c c
ti u t i ‫ݔ‬ = 3, ‫ݕ‬஼் = −1
*Gi i h n: lim௫⟶ାஶ ‫ݕ‬ = +∞; lim௫⟶ିஶ ‫ݕ‬ = −∞
*B ng bi n thiên:
* ð th : ‫ݕ‬ᇱᇱ
= 6‫ݔ‬ − 12; ‫ݕ‬ᇱᇱ
= 0 ⇔ ‫ݔ‬ = 2
Do ñó ñ th có ñi m u n là ܷሺ2; 1ሻ.
Nh n xét: ñ th nh n ܷሺ2; 1ሻ là tâm ñ i x ng.
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(1ñi m)
Cho hàm s ‫ݕ‬ = ‫ݔ‬ଷ
− 3ሺ݉ + 1ሻ‫ݔ‬ଶ
+ 9‫ݔ‬ − ݉, v i ݉ là tham s
th c. Xác ñ nh ݉ ñ hàm s ñã cho ñ t c c tr t i ‫ݔ‬ଵ, ‫ݔ‬ଶ sao cho
3‫ݔ‬ଵ − 2‫ݔ‬ଶ = ݉ + 6
Ta có ‫ݕ‬ = ‫ݔ‬ଷ
− 3ሺ݉ + 1ሻ‫ݔ‬ଶ
+ 9‫ݔ‬ − ݉
‫′ݕ‬ = 3‫ݔ‬ଶ
− 6ሺ݉ + 1ሻ‫ݔ‬ + 9
ð hàm s có c c tr thì ‫′ݕ‬ ph i có hai nghi m phân bi t ⇔ Δᇱ
>
0 ⟺ 9ሺ݉ + 1ሻଶ
− 27 > 0
⇔ ݉ ∈ ൫−∞; −1 − √3൯ ∪ ൫−1; +√3൯
0,25
0,25

3. 2
Theo ñ nh lí Viet ta có ൜
‫ݔ‬ଵ + ‫ݔ‬ଶ = 2ሺ݉ + 1ሻ ሺ1ሻ
‫ݔ‬ଵ‫ݔ‬ଶ = 3 ሺ2ሻ
Mà 3‫ݔ‬ଵ − 2‫ݔ‬ଶ = ݉ + 6, k t h p v i (1) ta có ൜
‫ݔ‬ଵ = ݉ + 2
‫ݔ‬ଶ = ݉
, th
vào (2) ta có
݉ሺ݉ + 2ሻ = 3 ⇔ ݉ଶ
+ 2݉ − 3 = 0 ⇔ ቂ
݉ = 1
݉ = −3
ሺ‫ݐ‬ℎỏܽ ݉ã݊ሻ
Do v y, các giá tr ݉ c n tìm là ݉ ∈ {1; −3}
0,25
0,25
II 1
(1ñi m)
Gi i phương trình sinଷ
‫ݔ‬ +2 = 2 cos ‫ݔ‬ + sinଶ
‫ݔ‬
Phương trình tương ñương sinଶ
‫ݔ‬ሺsin ‫ݔ‬ − 1ሻ + 2ሺ1 − cos ‫ݔ‬ሻ = 0
⇔ ሺ1 − cos ‫ݔ‬ሻሾሺ1 + cos ‫ݔ‬ሻሺsin ‫ݔ‬ − 1ሻ + 2ሿ = 0
⇔ ቂ
cos ‫ݔ‬ = 1
sin ‫ݔ‬ − cos ‫ݔ‬ + sin ‫ݏ݋ܿݔ‬ ‫ݔ‬ + 1 = 0
N u cos ‫ݔ‬ = 1 ⇔ ‫ݔ‬ = ݇2ߨ
N u sin ‫ݔ‬ − cos ‫ݔ‬ + sin ‫ݏ݋ܿݔ‬ ‫ݔ‬ + 1 = 0,
ñ t ‫ݐ‬ = sin ‫ݔ‬ − cos ‫ݔ‬ , |‫|ݐ‬ ≤ √2
Khi ñó ‫ݐ‬ଶ
= 1 − 2 sin ‫ݏ݋ܿݔ‬ ‫ݔ‬ , sin ‫ݏ݋ܿݔ‬ ‫ݔ‬ =
ଵି௧మ
ଶ
.
Do ñó ‫ݐ‬ +
ଵି௧మ
ଶ
+ 1 = 0 hay
−‫ݐ‬ଶ
+ 2‫ݐ‬ + 3 = 0 ⇔ ൤
‫ݐ‬ = −1
‫ݐ‬ = 3 ሺ݈‫݋‬ạ݅ሻ
V i ‫ݐ‬ = −1, sin ‫ݔ‬ − ܿ‫ݔݏ݋‬ = −1 ⇔ sin ቀ‫ݔ‬ −
గ
ସ
ቁ = −
ଵ
√ଶ
⟺
൥
‫ݔ‬ −
గ
ସ
= −
గ
ସ
+ ݇2ߨ
‫ݔ‬ −
గ
ସ
=
ହగ
ସ
+ ݇2ߨ
⟺ ൥
‫ݔ‬ = ݇2ߨ
‫ݔ‬ =
3ߨ
2
+ ݇2ߨ
Tóm l i, nghi m c a phương trình ñã cho là ‫ݔ‬ = ݇2ߨ và ‫ݔ‬ =
ଷగ
ଶ
+
݇2ߨ
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(1ñi m)
Gi i phương trình
1
3
log √ଷ
య ሺ‫ݔ‬ + 1ሻ +
1
503
log଼ଵሺ‫ݔ‬ − 3ሻଶ଴ଵଶ
= 5. logଶସଷሾ4ሺ‫ݔ‬ − 2ሻሿ
ði u ki n: ‫ݔ‬ > 2 và ‫ݔ‬ ≠ 3
Phương trình ñã cho tương ñương
ሺ‫ݔ‬ + 1ሻ|‫ݔ‬ − 3| = 4ሺ‫ݔ‬ − 2ሻ
TH1: N u ‫ݔ‬ ≥ 3:
ሺ‫ݔ‬ + 1ሻሺ‫ݔ‬ − 3ሻ = 4ሺ‫ݔ‬ − 2ሻ
⇔ ‫ݔ‬ଶ
− 6‫ݔ‬ + 5 = 0 ⇔ ቂ
‫ݔ‬ = 1 ሺ݈‫݋‬ạ݅ሻ
‫ݔ‬ = 5
TH2: N u ‫ݔ‬ < 3
−ሺ‫ݔ‬ + 1ሻሺ‫ݔ‬ − 3ሻ = 4ሺ‫ݔ‬ − 2ሻ ⇔ ‫ݔ‬ଶ
+ 2‫ݔ‬ − 11 = 0
⇔ ቈ
‫ݔ‬ = −1 − 2√3 ሺ݈‫݋‬ạ݅ሻ
‫ݔ‬ = −1 + 2√3
V y phương trình ñã cho có hai nghi m ‫ݔ‬ ∈ {5; −1 + 2√3}
0,25
0,25
0,25
0,25

4. 3
III 1 ñi m
Tính tích phân ‫ܫ‬ = ‫׬‬ cos 2‫ݔ‬ . ln ሺsin ‫ݔ‬ + cos ‫ݔ‬ሻ݀‫ݔ‬
ഏ
ర
଴
‫ܫ‬ = නሺcos ‫ݔ‬ − sin ‫ݔ‬ሻሺcos ‫ݔ‬ + sin ‫ݔ‬ሻ. lnሺsin ‫ݔ‬ + cos ‫ݔ‬ሻ ݀‫ݔ‬
గ
ସ
଴
=
= නሺcos ‫ݔ‬ + sin ‫ݔ‬ሻ. lnሺsin ‫ݔ‬ + cos ‫ݔ‬ሻ ݀ሺcos ‫ݔ‬ + sin ‫ݔ‬ሻ
గ
ସ
଴
ð t ‫ݐ‬ = ሺcos ‫ݔ‬ + sin ‫ݔ‬ሻ
V i ‫ݔ‬ = 0, ‫ݐ‬ = 1
V i ‫ݔ‬ =
గ
ସ
, ‫ݐ‬ = √2
Do ñó ‫ܫ‬ = ‫׬‬ ‫݈݊ݐ‬ ‫ݐ݀ݐ‬ =
ଵ
ଶ
√ଶ
ଵ
‫׬‬ ݈݊‫ݐ݀ݐ‬ଶ√ଶ
ଵ
=
ଵ
ଶ
‫ݐ‬ଶ
݈݊‫ݐ‬|ଵ
√ଶ
−
ଵ
ଶ
‫׬‬ ‫ݐ‬ଶ
݈݀݊‫ݐ‬
√ଶ
ଵ
=
1
2
݈݊2 −
1
2
න ‫ݐ݀ݐ‬
√ଶ
ଵ
=
1
2
݈݊2 −
‫ݐ‬ଶ
4
|ଵ
√ଶ
=
1
2
݈݊2 −
1
2
+
1
4
=
1
2
݈݊2 −
1
4
0,25
0,25
0,25
0,25
IV 1 ñi m Cho hình lăng tr tam giác ‫.ܥܤܣ‬ ‫′ܥ′ܤ′ܣ‬ có t t c các c nh ñ u
b ng ܽ. Góc t o b i c nh bên và m t ñáy b ng 30଴
. Hình chi u ‫ܪ‬
c a ñi m ‫ܣ‬ trên m t ph ng ሺ‫ܣ‬ᇱ
‫ܤ‬ᇱ
‫ܥ‬ᇱሻ thu c ñư ng th ng ‫.′ܥ′ܤ‬
a) Tính th tích lăng tr ‫.ܥܤܣ‬ ‫.′ܥ′ܤ′ܣ‬
b) Ch ng minh hai ñư ng th ng ‫′ܣܣ‬ và ‫′ܥ′ܤ‬ vuông góc và
tính kho ng cách gi a chúng.
a) Do ‫ܪܣ‬ ⊥ ሺ‫′ܥ′ܤ′ܣ‬ሻ nên ‫ܪ′ܣܣ‬෣ chính là góc gi a ‫′ܣܣ‬ và
ሺ‫ܣ‬ᇱ
‫ܤ‬ᇱ
‫ܥ‬ᇱሻ. Theo gi thi t thì ‫ܪ′ܣܣ‬෣ = 30଴
. Kho ng cách
gi a hai m t ph ng ñáy chính là ‫.ܪܣ‬ Ta có ‫ܪܣ‬ =
‫ܣܣ‬ᇱ
. sin 30଴
=
௔
ଶ
,
T ñó ܸ஺஻஼஺ᇱ஻ᇱ஼ᇱ = ‫.ܪܣ‬ ܵ஺஻஼ =
௔
ଶ
.
௔మ
√ଷ
ସ
=
௔య
√ଷ
଼
b) ‫ܣ‬ᇱ
‫ܪ‬ = ‫ܣܣ‬ᇱ
. cos 30଴
=
௔√ଷ
ଶ
. Do tam giác ‫′ܥ′ܤ′ܣ‬ ñ u, mà
ñ dài ñư ng cao h t ‫′ܣ‬ t i ‫′ܥ′ܤ‬ là
௔√ଷ
ଶ
nên ‫ܪ‬ chính là
trung ñi m ‫.ܥܤ‬ M t khác ‫ܪ′ܣ‬ ⊥ ‫′ܥ′ܤ‬ nên ‫ܣ′ܣ‬ ⊥ ‫.′ܥ′ܤ‬
0,25
0,25
0,25
K
I
H
C'
B'
A'
C
B
A

5. 4
K ñư ng cao ‫ܪܭ‬ c a tam giác ‫ܪܣ′ܣ‬ thì ‫ܭܪ‬ chính là
kho ng cách gi a ‫ܣ′ܣ‬ và ‫.′ܥ′ܤ‬ Do ‫ܣ‬ᇱ
‫.ܣ‬ ‫ܭܪ‬ = ‫.ܪܣ‬ ‫ܪ′ܣ‬ nên
‫ܭܪ‬ =
ೌ
మ
.
ೌ√య
మ
௔
=
௔√ଷ
ସ
0,25
V (1ñi m) Cho ‫,ݔ‬ ‫,ݕ‬ ‫ݖ‬ > 0 th a mãn ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ = 3‫.ݖݕݔ‬ Ch ng minh
‫ݖݕݔ‬ +
1
‫ݕݔ‬ + ‫ݖݕ‬ + ‫ݔݖ‬
≥
3
4
Ta có ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ = 3‫ݖݕݔ‬ ≤
ሺ௫ା௬ା௫ሻయ
ଽ
⇒ ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ ≥ 3
Do ‫ݕݔ‬ + ‫ݖݕ‬ + ‫ݔݖ‬ ≤ ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݖ‬ଶ
nên 3ሺ‫ݕݔ‬ + ‫ݖݕ‬ + ‫ݔݖ‬ሻ ≤
ሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ሻଶ
. T ñó
3‫ܣ‬ = 3‫ݖݕݔ‬ +
3
‫ݕݔ‬ + ‫ݖݕ‬ + ‫ݔݖ‬
≥ ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ +
9
ሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ + ‫ݖ‬ሻଶ
Ta l i có
௫ା௬ା௭
ଷ
+
௫ା௬ା௭
ଷ
+
ଽ
ሺ௫ା௬ା௭ሻమ ≥ 3 (do b t ñ ng th c AM-
GM).
M t kh c
௫ା௬ା௭
ଷ
≥ 1. Do ñó 3‫ܣ‬ ≥ 4 hay ‫ܣ‬ ≥
ଷ
ସ
. D u b ng x y ra
khi ‫ݔ‬ = ‫ݕ‬ = ‫ݖ‬ = 1
0,25
0,25
0,25
0,25
VIa.1 1ñi m
Tìm s ph c ‫ݖ‬ th a mãn ሺ‫ݖ‬ − 1ሻሺ‫ݖ‬ഥ + 2݅ሻ là s th c và |‫|ݖ‬ nh
nh t.
Gi s ‫ݖ‬ = ‫ݔ‬ + ‫݅ݕ‬ ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ ∈ ℝሻ. Khi ñó
ሺ‫ݖ‬ − 1ሻሺ‫ݖ‬ഥ + 2݅ሻ = ሾሺ‫ݔ‬ − 1ሻ + ‫݅ݕ‬ሿሾ‫ݔ‬ + ሺ2 − ‫ݕ‬ሻ݅ሿ.
ð ሺ‫ݖ‬ − 1ሻሺ‫ݖ‬ഥ + 2݅ሻ là s th c thì ሺ‫ݔ‬ − 1ሻሺ2 − ‫ݕ‬ሻ + ‫ݕݔ‬ = 0
Hay 2‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ − 2 = 0. Suy ra t p h p các ñi m ‫ܯ‬ bi u di n s
ph c ‫ݖ‬ th a mãn ሺ‫ݖ‬ − 1ሻሺ‫ݖ‬ഥ + 2݅ሻ là s th c là ñư ng th ng Δ có
phương trình 2‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ − 2 = 0.
ð |‫|ݖ‬ nh nh t thì M ph i là hình chi u c a ܱሺ0; 0ሻ lên Δ.
T ñó tìm ñư c ‫ܯ‬ ቀ
ସ
ହ
;
ଶ
ହ
ቁ nên ‫ݖ‬ =
ସ
ହ
+
ଶ
ହ
݅
0,25
0,25
0,25
0,25
VIa.2 1 ñi m
Trong m t ph ng t a ñ ܱ‫,ݕݔ‬ cho tam giác ABC có

6. 5
‫ܣ‬ሺ1; 1ሻ, ñư ng cao xu t phát t B có phương trình 5‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ − 22 =
0, trung tuy n xu t phát t C có phương trình ‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ − 10 = 0.
Tìm t a ñ B, C.
G i ‫ܯ‬ሺ10 − 2‫;ݐ‬ ‫ݐ‬ሻ là trung ñi m c a AB. Khi ñó :
൜
‫ݔ‬஻ = 2‫ݔ‬ெ − ‫ݔ‬஺ = 20 − 4‫ݐ‬ − 1 = 19 − 4‫ݐ‬
‫ݕ‬஻ = 2‫ݕ‬ெ − ‫ݕ‬஺ = 2‫ݐ‬ − 1
L i có ñi m ‫ܤ‬ thu c ñư ng 5‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ − 22 = 0 nên 5ሺ19 − 4‫ݐ‬ሻ +
2‫ݐ‬ − 1 − 22 = 0 hay 72 − 18‫ݐ‬ = 0 hay ‫ݐ‬ = 4. Do ñó ‫ܤ‬ሺ3; 7ሻ.
ðư ng th ng ‫ܥܣ‬ ñi qua A và vuông góc v i ñư ng 5‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ −
22 = 0 nên có phương trình ‫ݔ‬ − 5‫ݕ‬ + 4 = 0.
T a ñ ñi m C là nghi m c a h ൜
‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ − 10 = 0
‫ݔ‬ − 5‫ݕ‬ + 4 = 0
do ñó ‫ܥ‬ሺ6; 2ሻ.
V y ‫ܤ‬ሺ3; 7ሻ, ‫ܥ‬ሺ6; 2ሻ
0,25
0,25
0,25
0,25
VIIa 1ñi m Trong không gian v i h t a ñ ܱ‫ݖݕݔ‬ cho ñư ng th ng Δ:
௫ାଶ
ଶ
=
௬ିଶ
ଷ
=
௭ାଵ
ଶ
. Vi t phương trình m t c u tâm ܱ (v i ܱ là g c t a ñ ),
c t Δ t i hai ñi m ‫,ܣ‬ ‫ܤ‬ sao cho ‫ܤܣ‬ = 22.
ðư ng th ng Δ ñi qua ñi m ‫ܯ‬ሺ−2; 2; −1ሻ và nh n ‫ݒ‬Ԧ = ሺ2; 3; 2ሻ
làm véc tơ ch phương.
Ta có ‫ܱܯ‬ሬሬሬሬሬሬԦ = ሺ2; −2; 1ሻ; ൣ‫ݒ‬Ԧ; ‫ܱܯ‬ሬሬሬሬሬሬԦ൧ = ሺ7; 2; −10ሻ
Suy ra ݀ሺܱ, Δሻ =
หൣ௩ሬԦ; ெைሬሬሬሬሬሬሬԦ൧ห
|௩ሬԦ|
=
√ସଽାସାଵ଴଴
√ସାଽାସ
= 3.
G i ሺܵሻ là m t c u tâm ܱ c t Δ t i A, B sao cho ‫ܤܣ‬ = 22, Suy ra
bán kính m t c u là ܴ = √11ଶ + 3ଶ = √130. Phương trình
ሺܵሻ: ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݖ‬ଶ
= 130
0,25
0,25
0,25
0,25
VIb.1
Tìm s ph c ‫ݖ‬ th a mãn ñ ng th i hai ñi u ki n sau:
ቚ
௭
௭ିଶିଶ௜
ቚ = 1 và
௭ିଶ௜
௭ିଶ
là s thu n o.
ði u ki n ቄ
‫ݖ‬ ≠ 2
‫ݖ‬ ≠ 2 + 2݅
Gi s ‫ݖ‬ = ‫ݔ‬ + ‫݅ݕ‬ ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ ∈ ℝሻ. Khi ñó

7. 6
T gi thi t ta có:|‫|ݖ‬ = |‫ݖ‬ − 2 − 2݅|
tương ñương ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
= ሺ‫ݔ‬ − 2ሻଶ
+ ሺ‫ݕ‬ − 2ଶ
ሻ
Hay ‫ݕ‬ = 2 − ‫ݔ‬ ሺ1ሻ.
Ta có
௭ିଶ௜
௭ିଶ
=
௫ାሺ௬ିଶሻ௜
ሺ௫ିଶሻା௬௜
=
ሾ௫ାሺ௬ିଶሻ௜ሿሾሺ௫ିଶሻି௬௜ሿ
ሺ௫ିଶሻమା௬మ
Do ñó
௭ିଶ௜
௭ିଶ
là s thu n o thì ‫ݔ‬ሺ‫ݔ‬ − 2ሻ + ‫ݕ‬ሺ‫ݕ‬ − 2ሻ = 0 hay
‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
= 2ሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻ ሺ2ሻ
Thay ሺ1ሻ vào ሺ2ሻ ta có ‫ݔ‬ଶ
+ ሺ2 − ‫ݔ‬ሻଶ
= 4 hay 2‫ݔ‬ଶ
− 4‫ݔ‬ = 0
N u ‫ݔ‬ = 2 thì ‫ݕ‬ = 0 nên ‫ݖ‬ = 2 (lo i).
N u ‫ݔ‬ = 0, ‫ݕ‬ = 2 khi ñó ‫ݖ‬ = 2݅ (th a mãn).
0,25
0,25
0,25
0,25
VIb.2
Trong m t ph ng t a ñ ܱ‫,ݕݔ‬ cho tam giác ABC có phương trình
hai c nh CA, CB l n lư t là ‫ݔ‬ − 5‫ݕ‬ + 4 = 0 và 5‫ݔ‬ + 3‫ݕ‬ − 36 =
0, tr ng tâm c a tam giác ABC là ‫ܩ‬ ቀ
ଵ଴
ଷ
;
ଵ଴
ଷ
ቁ. Tìm t a ñ ba ñ nh
c a tam giác ABC.
T a ñ C là nghi m c a h ൜
‫ݔ‬ − 5‫ݕ‬ + 4 = 0
5‫ݔ‬ + 3‫ݕ‬ − 36 = 0
do ñó ‫ܥ‬ሺ6; 2ሻ
Ta có ‫ܯܥ‬ሬሬሬሬሬሬԦ =
ଷ
ଶ
‫ܩܥ‬ሬሬሬሬሬԦ (M là trung ñi m AB)
Do ñó ቐ
‫ݔ‬ெ − 6 =
ଷ
ଶ
ሺ
ଵ଴
ଷ
− 6ሻ
‫ݕ‬ெ − 2 =
ଷ
ଶ
ሺ
ଵ଴
ଷ
− 2 ሻ
do ñó ‫ܯ‬ሺ2; 4ሻ.
G i ‫ܣ‬ሺ5ܽ − 4; ܽሻ, ‫ܤ‬ ቀ
ଷ଺ିଷ௕
ହ
; ܾቁ. Ta có ቊ
5ܽ − 4 +
ଷ଺ିଷ௕
ହ
= 4
ܽ + ܾ = 8
T ñó ܾ = 8 − ܽ, 5ܽ − 4 +
ଷ଺ିଶସାଷ௔
ହ
= 4 hay 25ܽ − 20 + 12 +
3ܽ = 20 hay 28ܽ = 28 hay ܽ = 1
Do ñó ܾ = 7, ‫ܣ‬ሺ1; 1ሻ, ‫ܤ‬ሺ3; 7ሻ.
0,25
0,25
0,25

8. 7
V y ‫ܣ‬ሺ1; 1ሻ, ‫ܤ‬ሺ3; 7ሻ, ‫ܥ‬ሺ6; 2ሻ 0,25
VIIb. 1 ñi m Trong không gian v i h t a ñ ܱ‫ݖݕݔ‬ cho ñư ng th ng Δ:
௫ିଶ
ଶ
=
௬ିଶ
ଵ
=
௭ିଵ
ଶ
và m t c u
ሺܵሻ: ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݖ‬ଶ
+ 4‫ݔ‬ − 6‫ݕ‬ + ݉ = 0. Tìm ݉ ñ Δ c t m t c u
t i hai ñi m phân bi t ‫,ܯ‬ ܰ sao cho ‫ܰܯ‬ = 8.
ði u ki n t n t i m t c u: ݉ < 13
ðư ng th ng Δ qua ‫ܣ‬ሺ2; 2; 1ሻ nh n ‫ݑ‬ሬԦ = ሺ2; 1; 2ሻ là vec tơ ch
phương
( )= − =
− −
+ + 
+ + 
= = =
+ +
2 2 2
IA (4; 1;1);v 2;1;2
1 1 1 4 4 1
IA,v 1 2 2 2 2 1 9 36 36
IH= 3
34 1 4v
= + ⇔ − = + ⇔ = −2 2 2 2 2
13 3 4 12R IH HM m m
0,25
0,25
0,25
0,25
M
I
N
H