Đề thi thử Đại học môn Toán

1. TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN III NĂM 2010
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP Môn thi: TOÁN
_______________ Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
==========================================
Ngày thi: 28 – 3 – 2010
Câu 1. ( 2,0 điểm). Cho hàm số y = x 4
+ 2m 2
x 2
+ 1 (1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2. Chứng minh rằng đường thẳng y = x + 1 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm
phân biệt với mọi giá trị của m.
Câu 2. ( 2,0 điểm)
1. Giải phương trình: 2sin 2
(x ­
4
p
) = 2sin 2
x ­ tanx.
2. Giải phương trình: 2 log3 (x 2
– 4) + 3 2
3 ) 2 ( log + x ­ log3 (x – 2) 2
= 4.
Câu 3. ( 2,0 điểm)
1. Tính tích phân: I = ò +
3
0
2
sin 3 cos
sin
p
dx
x x
x
.
2. Trong không gian, cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên
đường thẳng d đi qua A và vuông góc mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mp( SBC)
tạo với mp(ABC) một góc bằng 60 0
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Câu 4. ( 2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
ïî
ï
í
ì
+=+
+=+
) 1 ( 5 1
16 4
2 2
3 3
x y
x y y x
.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x) =
2 2
5 8 8 4
2
2 3 4
+-
+-+-
x x
x x x x
Cõu 5. ( 2,0 điểm)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;3) và đường thẳng
d:
ï
î
ï
í
ì
=
+=
-=
3
2 2
1
z
t y
t x
Hãy tìm trên đường thẳng d các điểm B và C sao cho tam giác ABC đều.
2. Trong mặt phẳng Oxy cho elíp (E) có tiêu điểm thứ nhất là ( ­ 3 ; 0) và đi qua
điểm M ( 1;
5
33 4
). Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E).
http://laisac.page.tl
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI THI LẦN 3
Câu 1.
1. Tự làm.
2. Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 4
+2m 2
x 2
+1 = x + 1 Û x 4
+ 2m 2
x 2
– x = 0
Û
x( x 3
+ 2m 2
x – 1) = 0 Û ê
ë
é
ê
ë
é
=-+
=
(*) 0 1 2
0
2 3
x m x
x
Đặt g(x) = x 3
+ 2m 2
x – 1 ;
Ta cú: g’(x) = 3x 2
+ 2m 2
³ 0 (với mọi x và mọi m ) Þ Hàm số g(x) luôn đồng biến với mọi
giá trị của m.
Mặt khác g(0) = ­1 ¹ 0. Do đó phương trình (*) cú nghiệm duy nhất khỏc 0.
Vậy đường thẳng y = x+ 1 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của
m.
Câu 2.
1. Giải phương trình: 2 sin 2
( x ­
4
p
) = 2sin 2
x – tanx (1)
Điều kiện: cosx ¹ 0 Û x ¹ p
p
.
2
k+ (*).
(1) Û 1 – cos (2x ­
2
p
) = 2sin 2
x – tan x Û 1 – sin2x = tanx ( sin 2x – 1) Û ê
ë
é
-=
=
1 tan
1 2 sin
x
x
Û
ê
ê
ê
ê
ë
é
+-=
+=
p
p
p
p
.
4
2 .
2
2
l x
k x
Û
ê
ê
ê
ê
ë
é
+-=
+=
p
p
p
p
.
4
.
4
l x
k x
Û x =
2
.
4
pp
k+ . ( Thỏa mãn điều kiện (*) ).
2. Giải phương trình: 2log3 (x 2
– 4) + 3 2
3 ) 2 ( log + x ­ log3 ( x ­2) 2
= 4 (2).
Điều kiện:
ïî
ï
í
ì
³+
>-
0 ) 2 ( log
0 4
2
3
2
x
x
Û
ïî
ï
í
ì
³+
>-
1 ) 2 (
0 4
2
2
x
x
Û ê
ë
é
-£
>
3
2
x
x
(**)
Pt (2) được biến đổi thành: log3 (x 2
– 4) 2
– log3 (x – 2) 2
+ 3 2
3 ) 2 ( log + x ­ 4 = 0
Û log3 ( x + 2) 2
+ 3 2
3 ) 2 ( log + x ­ 4 = 0 Û ( 2
3 ) 2 ( log + x + 4) ( 2
3 ) 2 ( log + x ­ 1) =
0.
Û 2
3 ) 2 ( log + x = 1 Û (x+2) 2
= 3 Û x+ 2 = 3± Û x = ­ 2 3± .
Kiểm tra điều kiện (**) chỉ có x = ­ 2 ­ 3 thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x = ­ 2 ­ 3 .
Chỳ ý: 1/ Biến đổi : 2log3 ( x 2
– 4) = log3 (x 2
– 4) 2
làm mở rộng tập xác định nên
xuất hiện nghiệm ngoại lai x = ­2 + 3 .
2/ Nếu biến đổi: log3( x – 2) 2
= 2log3 ( x – 2) hoặc log3( x+2) 2
= 2log3(x+2) sẽ
làm thu hẹp tập xác định dẫn đến mất nghiệm ( Lỗi phổ biến của học sinh!)
Cõu 3.
1. Tính tích phân: I = ò +
3
0
2
.
sin 3 cos
sin
p
dx
x x
x
Thi thử Đại học www.toanpt.net

3. Đặt t = x 2
sin 3 + = x 2
cos 4 - . Ta có cos 2
x = 4 – t 2
và dt = dx
x
x x
2
sin 3
cos sin
+
.
Đổi cận: Với: x = 0 thỡ t = 3 ; x =
3
p
thỡ t =
2
15
I = ò +
3
0
2
.
sin 3 cos
sin
p
dx
x x
x
= ò +
3
0
2 2
sin 3 cos
cos . sin
p
dx
x x
x x
= ò -
2
15
3
2
4 t
dt
= dt
t t
)
2
1
2
1
(
4
1 2
15
3
-
-
+ò =
= 2
15
3
2
2
ln
4
1
-
+
t
t
= )
2 3
2 3
ln
4 15
4 15
(ln
4
1
-
+
-
-
+
= )) 2 3 ln( ) 4 15 (ln(
2
1
+-+ .
2. Ta có SA ^ mp(ABC) Þ SA ^ AB ; SA ^ AC..
Tam giác ABC vuụng cõn cạnh huyền AB Þ BC ^ AC Þ BC ^ SC ( Định lý 3
đường vuông góc) . Hai điểm A,C cùng nhỡn đoạn SB dưới góc vuông nên mặt cầu
đường kính SB đi qua A,C. Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC cũng chính là mặt cầu
đường kính SB.
Ta có CA = CB = AB sin 45 0
= a 2 ; =ÐSCA 60 0
là góc giữa mặt (SBC) và
mp(ABC)
SA = AC.tan60 0
= a 6 .Từ đó SB 2
= SA 2
+ AB 2
= 10a 2
.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là: S = 2
dp = p .SB 2
= 10p a 2
.
Cõu 4.
1. Giải hệ:
ïî
ï
í
ì
+=+
+=+
) 2 )........( 1 ( 5 1
) 1 .....( 16 4
2 2
3 3
x y
x y y x
Từ (2) suy ra y 2
– 5x 2
= 4 (3). Thế vào (1) được: x 3
+ (y 2
– 5x 2
).y = y 3
+ 16x Û
Û x 3
– 5x 2
y – 16 x = 0 Û x = 0 hoặc x 2
– 5xy – 16 = 0.
TH1: x= 0 Þ y 2
= 4 ( Thế vào (3)). Û y = ± 2.
TH2: x 2
– 5xy – 16 = 0 Û y =
x
x
5
16 2
-
( 4). Thế vào (3) được: 2 2
2
5 )
5
16
( x
x
x
-
-
= 4 Û
Û x 4
– 32x 2
+ 256 – 125x 4
= 100x 2
Û 124 x 4
+132x 2
– 256 = 0 Û x 2
= 1 Û x = ± 1.
Thế vào (4) được giá trị tương ứng y = 3 m .
Vậy hệ có 4 nghiệm: (x;y) = (0;2) ; (0;­2); (1;­3); (­1; 3).
Chỳ ý: Nếu thay giá trị của x vào (3) ở trường hợp 2, sẽ thừa 2 cặp nghiệm!
2. Tìm GTNN của hàm số: f(x) =
2 2
5 8 8 4
2
2 3 4
+-
+-+-
x x
x x x x
.
Tập xác định: R vỡ x 2
– 2x + 2 = (x – 1) 2
+ 1 > 0 với mọi x.
Biến đổi được: f(x) = x 2
– 2x + 2 +
2 2
1
2
+- x x
2³ ( Bất đẳng thức Cosi cho hai số
dương). Dấu bằng xảy ra khi : x 2
– 2x + 2 =1 Û x = 1.
Vậy: min f(x) = 2 đạt được khi x = 1.
Cõu 5.
1. Tìm các điểm B,C?
Gọi H là hình chiếu vuụng góc của A tròn d. H Îd Û H ( 1­t; 2+2t;3) Û
AH = ( 1­t; 1+2t; 0). Mà AH ^ d nờn d u AH ^ ( ­1;2;0). Từ đó có ­1(1­t)+2(1+2t) =0
Û
t = ­1/5 Û H ( 6/5; 8/5; 3).
Thi thử Đại học www.toanpt.net

4. Ta có AH =
5
5 3
.mà tam giác ABC đều nên BC =
5
15 2
3
2
=
AH
hay BH =
5
15
.
Gọi: B ( 1­s;2+2s;3) thỡ
25
15
) 2
5
2
( )
5
1
( 2 2
=++-- S S Û 25s 2
+10s – 2 = 0 Û s =
5
3 1±-
Vậy: B ( ) 3 ;
5
3 2 8
;
5
3 6 ±m
và C( 3 ;
5
3 2 8
;
5
3 6 m±
) ( Hai cặp).
2. Xác định tọa độ các đỉnh của (E)?
Theo bài ra có F1 ( ­ 3 ; 0) và F2 ( 3 ;0) là hai tiêu điểm của (E). Theo định nghĩa của
(E) suy ra : 2a = MF1 + MF2 = 2 2
)
5
33 4
( ) 3 1 ( ++ + 2 2
)
5
33 4
( ) 3 1 ( +- = 10 Þ a =
5.
Lại có c = 3 và a 2
– b 2
= c 2
Þ b 2
= a 2
– c 2
= 22. Vậy tọa độ các đỉnh của (E) là:
A1( ­ 5;0) ; A2( 5;0) ; B1( 0; ­ 22 ) ; B2 ( 0; 22 ).
Thi thử Đại học www.toanpt.net