Download to read offline
![III
IV
26 6
2
0 0
tan( )
tan 14
os2x (t anx+1)
x
x
I dx dx
c
π ππ
−
+
= = −∫ ∫ ,
2
2
1 tan x
cos2x
1 tan x
−
=
+
025
Đặt
2
2
1
t anx dt= (tan 1)
cos
t dx x dx
x
= ⇒ = +
0 0
1
6 3
x t
x t
π
= ⇒ =
= ⇒ =
05
Suy ra
1
1
3
3
2
00
1 1 3
( 1) 1 2
dt
I
t t
−
= − = =
+ +∫ . 025
Ta có
,( , )
,( )
AM BC BC SA BC AB
AM SB SA AB
⊥ ⊥ ⊥
⊥ =
AM SC⇒ ⊥ (1)
Tương tự ta có AN SC⊥ (2)
Từ (1) và (2) suy ra AI SC⊥
05
Vẽ IH song song với BC cắt SB tại H. Khi đó IH vuông góc với (AMB)
Suy ra
1
.
3
ABMI ABMV S IH=
Ta có
2
4
ABM
a
S =
2 2
2 2 2 2 2
. 1 1 1
2 3 3 3
IH SI SI SC SA a
IH BC a
BC SC SC SA AC a a
= = = = = ⇒ = =
+ +
Vậy
2 3
1
3 4 3 36
ABMI
a a a
V = =
05
Ta c ó:
[ ]
2
3 ( ) 2( ) 2
3 9 2( ) 2
27 6 ( ) 2 ( 3)
P x y z xy yz zx xyz
xy yz zx xyz
x y z yz x
= + + − + + −
= − + + −
= − + − +
025
2
3 2
( )
27 6 (3 ) ( 3)
2
1
( 15 27 27)
2
y z
x x x
x x x
+
≥ − − − +
= − + − +
025](https://image.slidesharecdn.com/dethith13-14-141115050746-conversion-gate01/85/De-thi-th-2013-2014-4-320.jpg)
![Vì 9log 73x > >1 nên bpt đã cho tương đương với
3log (9 72)x
x− ≤
9 72 3x x
⇔ − ≤
3 8
3 9
x
x
≥ −
⇔
≤
2x⇔ ≤
*Kết luận tập nghiệm : 9(log 72;2]T =
0.25
0.25
0.25](https://image.slidesharecdn.com/dethith13-14-141115050746-conversion-gate01/85/De-thi-th-2013-2014-20-320.jpg)
![Có :
. 0AB MN
I MN
=
∈
uuur uuuur
0.25
=>
0 (0; 4)
2 (2;0)
a A
b B
= −
=>
=
0,25
CâuII 2.0
1. TXĐ: x [ ]1;3∈ − 0,25
Đặt t= 1 3 , t > 0x x+ + − =>
2
2 4
3 2
2
t
x x
−
+ − = 0,25
đc pt: t3
- 2t - 4 = 0 t=2 0,25
Với t = 2
1
1 3 =2 ( / )
3
x
x x t m
x
= −
+ + − ⇔ =
0,25
2. 2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + + 1,0
TXĐ: D =R
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + +
[ ]
sin 0
(sin ). 2 2(sin ) sin . 0
2 2(sin ) sin . 0
x cosx
x cosx x cosx x cosx
x cosx x cosx
− =
⇔ − + + + = ⇔ + + + =
0,25
+ Với sin 0 ( )
4
x cosx x k k Z
π
π− = ⇔ = + ∈
0,25
+ Với 2 2(sin ) sin . 0x cosx x cosx+ + + = , đặt t = sin (t 2; 2 )x cosx + ∈ −
được pt : t2
+ 4t +3 = 0
1
3( )
t
t loai
= −
⇔ = − 0.25
t = -1
2
( )
2
2
x m
m Z
x m
π π
π
π
= +
⇒ ∈
= − +
Vậy :
( )
4
2 ( )
2
2
x k k Z
x m m Z
x m
π
π
π π
π
π
= + ∈
= + ∈
= − +
0,25
Câu III 2
1
ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
= + ÷
+
∫
1,0
I1 =
1
ln
1 ln
e
x
dx
x x+∫ , Đặt t = 1 ln x+ ,… Tính được I1 =
4 2 2
3 3
− 0,5
( )2
2
1
ln
e
I x dx= ∫ , lấy tích phân từng phần 2 lần được I2 = e - 2 0,25](https://image.slidesharecdn.com/dethith13-14-141115050746-conversion-gate01/85/De-thi-th-2013-2014-24-320.jpg)
![Câu Vb (2 điểm)
a) Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H)
tiếp xúc với đường thẳng : 2 0d x y− − = tại điểm A có hoành độ bằng 4.
b) Cho tứ diện OABC có 4, 5, 6OA OB OC= = = và · · · 0
60 .AOB BOC COA= = = Tính thể
tích tứ diện OABC.
Câu VIb (1 điểm)Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0P x y z− + − = và các đường thẳng
1
1 3
: ,
2 3 2
x y z
d
− −
= =
−
2
5 5
: .
6 4 5
x y z
d
− +
= =
−
Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song
song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2.
.....................................................................................
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN
Câu I 2 điểm
b)
Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị ( )
1
'
1
x
y C
x
+
=
−
Học sinh tự vẽ hình
Số nghiệm của
1
1
x
m
x
+
=
−
bằng số giao điểm của đồ thị
1
1
x
y
x
+
=
−
và .y m=
Suy ra đáp số
1; 1:m m< − > phương trình có 2 nghiệm
1:m = − phương trình có 1 nghiệm
1 1:m− < ≤ phương trình vô nghiệm
Câu
II
2 điểm
a)
Ta có
4 4 21
sin os 1 sin 2
2
x c x x+ = − và 2
os4 1 2sin 2 .c x x= −
Do đó ( ) 2
1 3sin 2 2sin 2 3x x m⇔ − + + = .
Đặt sin 2t x= . Ta có [ ] [ ]0; 2 0; 0;1 .
2
x x t
π
π
∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈
Suy ra ( ) [ ]2
3 2 3 , 0;1f t t t m t= − + + = ∈
Ta có bảng biến thiên](https://image.slidesharecdn.com/dethith13-14-141115050746-conversion-gate01/85/De-thi-th-2013-2014-29-320.jpg)
![Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
BÀI GIẢI (ĐỀ 6)
Câu 1:
2) Tieáp tuyeán taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x0, coù heä soá goùc baèng –5
⇔ 2
0
5
5
( 2)x
−
= −
−
⇔ x0 = 3 hay x0 = 1 ; y0 (3) = 7, y0 (1) = -3
Phöông trình tieáp tuyeán caàn tìm laø: y – 7 = -5(x – 3) hay y + 3 = -5(x – 1)
⇔ y = -5x + 22 hay y = -5x + 2
Câu 2: 1) 25x
– 6.5x
+ 5 = 0 ⇔ 2
(5 ) 6.5 5 0x x
− + = ⇔ 5x
= 1 hay 5x
= 5
⇔ x = 0 hay x = 1.
2)
0 0 0
(1 cos ) cosI x x dx xdx x xdx
π π π
= + = +∫ ∫ ∫ =
2
0
cos
2
x xdx
π
π
+ ∫
Ñaët u = x ⇒ du = dx; dv = cosxdx, choïn v = sinx
⇒ I =
2
0
0
sin sin
2
x x xdx
π
ππ
+ − ∫ =
2 2
0
cos 2
2 2
x
ππ π
+ = −
3) Ta coù : f’(x) = 2x +
2
2 4x 2x 2
1 2x 1 2x
− + +
=
− −
f’(x) = 0 ⇔ x = 1 (loaïi) hay x =
1
2
− (nhaän)
f(-2) = 4 – ln5, f(0) = 0, f(
1
2
− ) =
1
ln2
4
−
vì f lieân tuïc treân [-2; 0] neân [ 2;0]
maxf(x) 4 ln5
−
= − vaø
[ 2;0]
1
minf(x) ln2
4−
= −
Caâu 3: Hình chiếu của SB và SC trên (ABC) là AB và AC , mà SB=SC nên AB=AC
Ta có : BC2
= 2AB2
– 2AB2
cos1200
⇔ a2
= 3AB2
⇔ =
3
a
AB
2
2 2 2
= a SA =
3 3
a a
SA − ⇒
2 2
01 1 3 a 3
= . .sin120 = =
2 2 3 2 12
ABC
a
S AB AC∆
2 3
1 2 3 2
= =
3 12 363
a a a
V (đvtt)
Câu 4.a.:
1) Taâm maët caàu: T (1; 2; 2), baùn kính maët caàu R = 6
d(T, (P)) =
1 4 4 18 27
9
31 4 4
+ + +
= =
+ +
2) (P) coù phaùp vectô (1;2;2)n =
r
B
A
S
a
a
a
C](https://image.slidesharecdn.com/dethith13-14-141115050746-conversion-gate01/85/De-thi-th-2013-2014-34-320.jpg)
![( ) ( )
2 2
2
0 0
32 2
0 0
1 1
sin 2 sin 2 sin 2
2 4
1 1
sin 2 sin 2 0
2 12
| |
d x xd x
x x
π π
π π
= −
= − =
∫ ∫
0,50
IV 1,00
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của
AB và CD. Khi đó OM AB⊥ và
' DO N C⊥ .
Giả sử I là giao điểm của MN và OO’.
Đặt R = OA và h = OO’. Khi đó:
OMI∆ vuông cân tại O nên:
2 2 2
.
2 2 2 2 2
h a
OM OI IM h a= = ⇒ = ⇒ =
0,25
Ta có:
22 2 2 2
2 2 2 2 2 3a
2 4 4 8 8
a a a a
R OA AM MO
= = + = + = + = ÷ ÷ ÷
0,25
2 3
2 3a 2 3 2
R . . ,
8 2 16
a a
V h
π
π π⇒ = = = 0,25
và
2
a 3 2 3
2 Rh=2 . . .
2 22 2
xq
a a
S
π
π π= = 0,25
V 1,00
Phương trình
2 3
2 (t R)
4 2
x t
y t
z t
=+
=−∈
=+
(1)
Điều kiện : 0 1x≤ ≤
Nếu [ ]0;1x∈ thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên để (1) có
nghiệm duy nhất thì cần có điều kiện
1
1
2
x x x= − ⇒ = . Thay
1
2
x = vào (1)
ta được:
3 01 1
2. 2.
12 2
m
m m
m
=
+ − = ⇒
= ±
0,25](https://image.slidesharecdn.com/dethith13-14-141115050746-conversion-gate01/85/De-thi-th-2013-2014-43-320.jpg)
![1 3
32 2
2
12 2
1 23
22
1 1 1 7 4 3
ln ln
1 1 2 1 2 3
|
dt dt t
A
t t t
+ +
= = = = ÷ ÷− − −
∫ ∫
IV 1,00
Gọi E là trung điểm của AB, ta có: ,OE AB SE AB⊥ ⊥ , suy ra
( )SOE AB⊥ .
Dựng ( )OH SE OH SAB⊥ ⇒ ⊥ , vậy OH là khoảng cách từ O
đến (SAB), theo giả thiết thì OH = 1.
Tam giác SOE vuông tại O, OH là đường cao, ta có:
2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 1 1 8
1
9 9
9 3
8 2 2
OH SO OE OE OH SO
OE OE
= + ⇒ = − = − =
⇒ = ⇒ =
2 2 2 9 81 9
9
8 8 2 2
SE OE SO SE= + = + = ⇒ =
0,25
21 36
. 8 2
92
2 2
SAB
SAB
S
S AB SE AB
SE
= ⇔ = = =
( )
2
2
2 2 2 21 9 9 265
4 2 32
2 8 8 8
OA AE OE AB OE
= + = + = + = + = ÷
0,25
Thể tích hình nón đã cho:
21 1 265 265
. . .3
3 3 8 8
V OA SOπ π π= = = 0,25
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho:
2 2 2 265 337 337
9
8 8 8
265 337 89305
. . .
8 8 8
xq
SA SO OA SA
S OA SAπ π π
= + = + = ⇒ =
= = =
0,25
V 1,00
Hệ bất phương trình
( )
2
2
7 6 0 (1)
2 1 3 0 (2)
x x
x m x m
− + ≤
− + − + ≥
( )1 1 6x⇔ ≤ ≤ . Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại [ ]0 1;6x ∈ thỏa mãn (2).
0,25
( ) ( )
( )
[ ]
2
2 2 3
2 2 3 2 1 ( 1;6 2 1 0)
2 1
x x
x x x m m do x x
x
− +
⇔ − + ≥ + ⇔ ≥ ∈ ⇒ + >
+
0,25](https://image.slidesharecdn.com/dethith13-14-141115050746-conversion-gate01/85/De-thi-th-2013-2014-51-320.jpg)
![Gọi [ ]
2
2 3
( ) ; 1;6
2 1
x x
f x x
x
− +
= ∈
+
Hệ đã cho có nghiệm [ ]0 01;6 : ( )x f x m⇔ ∃ ∈ ≥
( )
( )
( )
( )
22
2 2
2 42 2 8
'
2 1 2 1
x xx x
f x
x x
+ −+ −
= =
+ +
; ( ) 2 1 17
' 0 4 0
2
f x x x x
− ±
= ⇔ + − = ⇔ =
Vì [ ]1;6x∈ nên chỉ nhận
1 17
2
x
− +
=
0,25
Ta có:
2 27 1 17 3 17
(1) , (6) ,
3 13 2 2
f f f
− + − +
= = = ÷ ÷
Vì f liên tục và có đạo hàm trên [1;6] nên
27
max ( )
13
f x =
Do đó [ ] [ ]0 0
1;6
27
1;6 : ( ) max ( )
13x
x f x m f x m m
∈
∃ ∈ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
0,25
VIa 2,00
1 1,00
Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương trình: ( )
4 3 4 0 2
2;4
2 6 0 4
x y x
A
x y y
+ − = = −
⇔ ⇒ −
+ − = =
0,25
Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương trình ( )
4 3 4 0 1
1;0
1 0 0
x y x
B
x y y
+ − = =
⇔ ⇒
− − = =
0,25
Đường thẳng AC đi qua điểm A(-2;4) nên phương trình có dạng:
( ) ( )2 4 0 2 4 0a x b y ax by a b+ + − = ⇔ + + − =
Gọi 1 2 3: 4 3 4 0; : 2 6 0; : 2 4 0x y x y ax by a b∆ + − = ∆ + − = ∆ + + − =
Từ giả thiết suy ra ( )· ( )·
2 3 1 2; ;∆ ∆ = ∆ ∆ . Do đó
( )· ( )·
( )
2 3 1 2 2 2
2 2
|1. 2. | | 4.1 2.3|
cos ; cos ;
25. 55.
0
| 2 | 2 3 4 0
3 4 0
a b
a b
a
a b a b a a b
a b
+ +
∆ ∆ = ∆ ∆ ⇔ =
+
=
⇔ + = + ⇔ − = ⇔ − =
+ a = 0 0b⇒ ≠ . Do đó 3 : 4 0y∆ − =
+ 3a – 4b = 0: Có thể cho a = 4 thì b = 3. Suy ra 3 : 4 3 4 0x y∆ + − = (trùng với 1∆ ).
Do vậy, phương trình của đường thẳng AC là y - 4 = 0.
0,25
Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương trình: ( )
4 0 5
5;4
1 0 4
y x
C
x y y
− = =
⇔ ⇒
− − = =
0,25
2 1,00](https://image.slidesharecdn.com/dethith13-14-141115050746-conversion-gate01/85/De-thi-th-2013-2014-52-320.jpg)
![Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm C(2; 0) v? elip (E):
2 2
1
4 1
x y
+ = .
T?m toạ độ c?c điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục
ho?nh v? tam gi?c ABC l? tam gi?c đều.
-----------------------------------------------------------
Hết-------------------------------------------------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI (đề 10)
B?i 1:
2) 4 3 2
x 2x 2 x 1y x m m= + − − + (1)
Đạo h?m / 3 2 2
y 4x 3mx 4x 3m (x 1)[4x (4 3m)x 3m]= + − − = − + + +
°
/
2
x 1
y 0
4x (4 3m)x 3m 0 (2)
=
= ⇔
+ + + =
° H?m số c? 2 cực tiểu Û y c? 3 cực trị Û y/
= 0 c? 3 nghiệm ph?n biệt
Û (2) c? 2 nghiệm ph?n biệt kh?c 1
2
(3m 4) 0 4
m .
34 4 3m 3m 0
∆ = − >
⇔ ⇔ ≠ ±
+ + + ≠
Giả sử: Với
4
m
3
≠ ± , th? y/
= 0 c? 3 nghiệm ph?n biệt 1 2 3x , x , x
Bảng biến thi?n:
x -¥ x1 x2 x3 +¥
y/
- 0 + 0 - 0 +
y +¥
CT
CĐ
CT
+¥
° Từ bảng biến thi?n ta thấy h?m số c? 2 cực tiểu.
Kết luận: Vậy, h?m số c? 2 cực tiểu khi
4
m .
3
≠ ±
B?i 2:
1). Ta c?: cos3xcos3
x – sin3xsin3
x =
2 3 2
8
+
Û cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
2 3 2
8
+
Û ( )2 2 2 3 2
os 3x sin 3x+3 os3x osx sin3xsinx
2
c c c
+
+ − = Û
2
os4x ,
2 16 2
c x k k Z
π π
= ⇔ = ± + ∈ .
2) Giải phương tr?nh : 2x +1 +x ( )2 2
2 1 2x 3 0x x x+ + + + + = . (a)](https://image.slidesharecdn.com/dethith13-14-141115050746-conversion-gate01/85/De-thi-th-2013-2014-57-320.jpg)
![0
3
0
3
1 1 1
1
m n
m
m p
n p
m n p
+ =
= −
+ = ⇒
= =−
+ + =
.
Kết luận, phương tr?nh của mặt phẳng (α ): 1
3 3 3
x y z
+ + =
−
.
B?i 4: T?nh t?ch ph?n ( )
2
0
1 sin2xdxI x
π
= +∫ . Đặt
x
1
1
sin 2xdx os2x
2
du d
u x
dv v c
=
= +
⇒
= =
I = ( )
/2
2 2
0 00
1 1 1
1 os2x os2xdx 1 sin 2x 1
2 2 4 4 4
x c c
π π
π
π π
− + + = + + = +∫ .
B?i 5: Giải phương tr?nh ( ) ( )1
4 2 2 2 1 sin 2 1 2 0x x x x
y+
− + − + − + = (*)
Ta c?: (*) Û
( )( ) ( )
( )
( )
2
2
2 1 sin 2 1 0(1)
2 1 sin 2 1 os 2 1 0
os 2 1 0(2)
x x
x x x
x
y
y c y
c y
− + + − =
− + + − + + − = ⇔
+ − =
Từ (2) Þ ( )sin 2 1 1x
y+ − = ± .
Khi ( )sin 2 1 1x
y+ − = , thay v?o (1), ta được: 2x
= 0 (VN)
Khi ( )sin 2 1 1x
y+ − = − , thay v?o (1), ta được: 2x
= 2 Û x = 1.
Thay x = 1 v?o (1) Þ sin(y +1) = -1 Û 1 ,
2
y k k Z
π
π= − − + ∈ .
Kết luận: Phương tr?nh c? nghiệm: 1; 1 ,
2
k k Z
π
π
− − + ∈ ÷
.
B?i 6: Giải bất phương tr?nh:
2 2
1 2
9 1 10.3x x x x+ − + −
+ ≥ . Đặt
2
3x x
t +
= , t > 0.
Bất phương tr?nh trở th?nh: t2
– 10t + 9 ³ 0 Û ( t £ 1 hoặc t ³ 9)
Khi t £ 1 Þ
2
2
3 1 0 1 0x x
t x x x+
= ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ .(i)
Khi t ³ 9 Þ
2
2 2
3 9 2 0
1
x x x
t x x
x
+ ≤ −
= ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≥
(2i)
Kết hợp (i) v? (2i) ta c? tập nghiệm của bpt l?: S = (- ¥; -2]È[-1;0]È[1; + ¥).](https://image.slidesharecdn.com/dethith13-14-141115050746-conversion-gate01/85/De-thi-th-2013-2014-59-320.jpg)
![ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 -2014
Môn thi : TOÁN (ĐỀ 11)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số 4 2
( ) 8x 9x 1y f x= = − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
4 2
8 os 9 os 0c x c x m− + = với [0; ]x π∈ .
Câu II (2 điểm) : Giải phương trình, hệ phương trình:
1. ( )
3log
1
2 2
2
x
x x x
− − = − ÷
; 2.
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
+ + − =
− =
Câu III: Tính diện tích của miền phẳng giới hạn bởi các đường 2
| 4 |y x x= − và 2y x= .
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho
trước. Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ.
Câu V (1 điểm) Định m để phương trình sau có nghiệm
2
4sin3xsinx + 4cos 3x - os x + os 2x + 0
4 4 4
c c m
π π π
− + = ÷ ÷ ÷
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2 điểm)
1. Cho∆ ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2 1 0x y+ + = và phân giác
trong CD: 1 0x y+ − = . Viết phương trình đường thẳng BC.
2. Cho đường thẳng (D) có phương trình:
2
2
2 2
x t
y t
z t
= − +
= −
= +
.Gọi ∆ là đường thẳng qua
điểm A(4;0;-1) song song với (D) và I(-2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (D).
Trong các mặt phẳng qua ∆ , hãy viết phương trình của mặt phẳng có khoảng cách đến (D)
là lớn nhất.
Câu VII.a (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng
1 1 1 5
1 1 1xy yz zx x y z
+ + ≤
+ + + + +
2. Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b (2 điểm)
1. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai
đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D.](https://image.slidesharecdn.com/dethith13-14-141115050746-conversion-gate01/85/De-thi-th-2013-2014-61-320.jpg)
![2. Cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng ∆ có phương trình tham số
1 2
1
2
x t
y t
z t
= − +
= −
=
.Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ , tìm điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị
nhỏ nhất.
Câu VII.b (1 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh
1 1 2
2
3 3 2 3 3
b c
a
a b a c a b c a c a b
+ + + + < ÷
+ + + + + +
----------------------Hết----------------------
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ SỐ 11
Câu Ý Nội dung Điểm
I 2 1,00
Xét phương trình 4 2
8 os 9 os 0c x c x m− + = với [0; ]x π∈ (1)
Đặt osxt c= , phương trình (1) trở thành: 4 2
8 9 0 (2)t t m− + =
Vì [0; ]x π∈ nên [ 1;1]t ∈ − , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do
đó số nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng nhau.
0,25
Ta có: 4 2
(2) 8 9 1 1 (3)t t m⇔ − + = −
Gọi (C1): 4 2
8 9 1y t t= − + với [ 1;1]t ∈ − và (D): y = 1 – m.
Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (D).
Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền 1 1t− ≤ ≤ .
0,25
Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:
•
81
32
m > : Phương trình đã cho vô nghiệm.
1.
81
32
m = : Phương trình đã cho có 2 nghiệm.
•
81
1
32
m≤ < : Phương trình đã cho có 4 nghiệm.
• 0 1m< < : Phương trình đã cho có 2 nghiệm.
• 0m = : Phương trình đã cho có 1 nghiệm.
• m < 0 : Phương trình đã cho vô nghiệm.
0,50
II 2,00
1 1,00
Phương trình đã cho tương đương:
33
loglog
3
2 0 22 0
111 log ln 0ln 01
222
222 0
xx
x xx
x xxx
xxx
− = =− =
⇔ ⇔ − =− = − = ÷ ÷ ÷ >> − >
0,50](https://image.slidesharecdn.com/dethith13-14-141115050746-conversion-gate01/85/De-thi-th-2013-2014-62-320.jpg)
![2 2 2
2 2
0 0 0
| 4 | 2 24 2 6 0
64 2 2 0
x x x
x x x xx x x x x
xx x x x x
≥ ≥ =
− = ⇔ ⇔ ⇔ =− = − = =− = − − =
Suy ra diện tích cần tính:
( ) ( )
2 6
2 2
0 2
4 2 4 2S x x x dx x x x dx= − − + − −∫ ∫
Tính: ( )
2
2
0
| 4 | 2I x x x dx= − −∫
Vì [ ] 2
0;2 , 4 0x x x∀ ∈ − ≤ nên 2 2
| 4 | 4x x x x− = − + ⇒
( )
2
2
0
4
4 2
3
I x x x dx= − + − =∫
0,25
Tính ( )
6
2
2
| 4 | 2K x x x dx= − −∫
Vì [ ] 2
2;4 , 4 0x x x∀ ∈ − ≤ và [ ] 2
4;6 , 4 0x x x∀ ∈ − ≥ nên
( ) ( )
4 6
2 2
2 4
4 2 4 2 16K x x x dx x x x dx= − − + − − = −∫ ∫ .
0,25
Vậy
4 52
16
3 3
S = + =
1,00
IV 0,25
Gọi H, H’ là tâm của các tam giác đều ABC, A’B’C’. Gọi I, I’
là trung điểm của AB, A’B’. Ta có:
( ) ( ) ( )' ' ' ' '
'
AB IC
AB CHH ABB A CII C
AB HH
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai đáy
tại H, H’ và tiếp xúc với mặt bên (ABB’A’) tại điểm 'K II∈ .
0,25](https://image.slidesharecdn.com/dethith13-14-141115050746-conversion-gate01/85/De-thi-th-2013-2014-64-320.jpg)
![Câu NỘI DUNG Điểm
Câu I.
b) 9)1(63' 2
++−= xmxy
Để hàm số có cực đậi, cực tiểu:
09.3)1(9' 2
>−+=∆ m
03)1( 2
>−+= m
);31()31;( +∞+−∪−−−∞∈⇔m
Ta có ( ) 14)22(29)1(63
3
1
3
1 22
++−+−++−
+
−= mxmmxmx
m
xy
Gọi tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là (x1; y1) và (x2; y2)
14)22(2 1
2
1 ++−+−=⇒ mxmmy
14)22(2 2
2
2 ++−+−= mxmmy
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
14)22(2 2
++−+−= mxmmy
Vì hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đt xy
2
1
= ta có điều kiện cần
là
[ ] 1
2
1
.)22(2 2
−=−+− mm
1222
=−+⇔ mm
−=
=
⇔=−+⇔
3
1
0322
m
m
mm
Theo định lí Viet ta có:
=
+=+
3.
)1(2
21
21
xx
mxx
Khi m = 1 ⇒ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là:
y = - 2x + 5. Tọa độ trung điểm CĐ và CT là:
=
++−
=
+
==
+
1
2
10)(2
2
2
2
4
2
2121
21
xxyy
xx
Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (2; 1) thuộc đường thẳng xy
2
1
= 1=⇒ m
thỏa mãn.
Khi m = -3 ⇒ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là: y = -2x – 11. Tọa độ
trung điểm CĐ và CT là:
=
++−
=
+
−=
+
9
2
10)(2
2
2
2
2121
21
xxyy
xx
Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (-2; 9) không thuộc đường thẳng xy
2
1
=
3−=⇒ m không thỏa mãn.
Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài.
1) Giải phương trình:
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ45
E
K
J
I
A
B
C
C'
B'
A'
P
H
Q
N
M](https://image.slidesharecdn.com/dethith13-14-141115050746-conversion-gate01/85/De-thi-th-2013-2014-74-320.jpg)
![b) Nếu t = -1 ta có hệ ⇔
−=
=+
yx
yx 133
hệ vô nghiệm.
c) Nếu t =
2
1
ta có hệ
3
32
,
3
3
2
1 3333
==⇔
=
=+
yx
xy
yx
2. Pt xxx tansin2)
4
(sin2 22
−=−
π
(cosx )0≠
xxxxx sincos.sin2cos)]
2
2cos(1[ 2
−=−−⇔
π
⇔ (1 - sin2x)(cosx – sinx) = 0 ⇔ sìn2x = 1 hoặc tanx = 1.
Câu III.
I = ∫ ∫
−
=
−
2
1
2
1
2
22
44
xdx
x
x
dx
x
x
.
Đặt t = xdxtdtxtx −=⇒−=⇒− 222
44
I =
0
3
2
0
3
0
3
0
3
2
2
2
2
2
ln)
4
4
1(
44
)(
+
−
+=
−
+=
−
=
−
−
∫ ∫ ∫ t
t
tdt
t
dt
t
t
t
tdtt
= -
+
−
+
32
32
ln3
Câu IV.
h
H
M
D
CB
A
S
SH⊥ BM và SA ⊥ BM suy ra AH ⊥ BM
VSABH = BHAH
h
BHAHSA .
6
..
6
1
= .
VSABH lớn nhất khi AH.BH lớn nhất. Ta có: AH + BH BHAH.2≥
BHAHBHAH .222
≥+⇒](https://image.slidesharecdn.com/dethith13-14-141115050746-conversion-gate01/85/De-thi-th-2013-2014-78-320.jpg)
![r = OI = OM.tan
2
α
=
2
tan
2
4 tan
α
α
=
+
Vậy V =
( )
3
32
4 tan
2
3 4 tan
α
π
α+
Câu 5:
Ta có (6; 4;4)AB = −
uuur
==> AB//(d)
Gọi H là hình chiếu của A trên (d)
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và (P) ⊥ (d) ==> (P): 3x – 2y + 2z + 3 = 0
H = (d)∩ (P) ==> H(- 1;2;2)
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (d) ==> H là trung điểm của AA’ ==> A’(-
3;2;5)
Ta có A;A’;B;(d) cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M = A’B∩(d)
Lập phương trình đường thẳng A’B ==> M(2;0;4)
II. PHẦN RIÊNG:
1) Theo cương trình chuẩn:
Câu 6a:
1. Gọi A là biến cố: “ba đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác”
Các khả năng chọn được ba đoạn thẳng lập thành một tam giác
{4;6;8}, {4;8;10}, {6;8;10}
Vậy: n(Ω) =
3
5 10C = ; n(A) = 3 ==> P(A) =
3
10
2.
8
5
x x y x y y
x y
− = +
− =
⇔
( 1) ( 8)
5
x x y y
y x
− = +
= −
2 2
0
0
( 1) ( 8)
5
x
y
x x y y
y x
≥
≥
⇔
− = +
= −
⇔ 2
1
0
3 22 45 0
5
x
y
x x
y x
>
≥
− − =
= −
⇔
9
4
x
y
=
=
Câu 7a:
Trên nửa khoảmg 0;
3
π
, cosx ≠ 0 chia tử và mẫu của hàm số cho cos3
x ta được
y =
2
2 3
1 tan
2tan tan
x
x x
+
−
Đặt t = tanx ==> t (0; 3]∈](https://image.slidesharecdn.com/dethith13-14-141115050746-conversion-gate01/85/De-thi-th-2013-2014-93-320.jpg)
Uploaded byNhi Triệu Yến
De thi thử 2013-2014
Đề thi thử đại học môn toán năm 2013-2014 gồm nhiều câu hỏi liên quan đến khảo sát hàm số, giải phương trình, tính tích phân, hình học không gian và tối ưu hóa biểu thức. Câu hỏi có phần chung cho tất cả thí sinh và một phần tự chọn, mỗi phần yêu cầu thí sinh thực hiện các bài toán cụ thể liên quan đến toán học. Đề thi cũng yêu cầu các thí sinh giải quyết các bài toán theo kiến thức chuẩn hoặc nâng cao.
![[Vnmath.com] de thi thu dh lan 1 thpt dao duy tu thanh hoa 2015](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/vnmath-150529023143-lva1-app6891-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
De thi thử 2013-2014
- 1. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2013-2014 Đề Số 1 A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm): Câu I (2 điểm): Cho hàm số 3 2 2 3 3 3( 1)y x mx m x m m= − + − − + (1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1 2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O. Câu II (2 điểm): 1. Giải phương trình : 2 2 os3x.cosx+ 3(1 sin2x)=2 3 os (2 ) 4 c c x π + + 2. Giải phương trình : 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 log (5 2 ) log (5 2 ).log (5 2 ) log (2 5) log (2 1).log (5 2 )xx x x x x x+− + − − = − + + − Câu III (1 điểm): Tính tích phân 6 0 tan( ) 4 os2x x I dx c π π − = ∫ Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA=a .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SD;I là giao điểm của SC và mặt phẳng (AMN). Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI. Câu V (1 điểm): Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 3( ) 2P x y z xyz= + + − . B. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phàn (phần 1 hoặc 2) 1.Theo chương trình chuẩn: Câu VIa (2 điểm): 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng :3 4 4 0x y∆ − + = . Tìm trên ∆ hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC bằng15. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : 2 6 4 2 0S x y z x y z+ + − + − − = . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ (1;6;2)v r , vuông góc với mặt phẳng( ): 4 11 0x y zα + + − = và tiếp xúc với (S). Câu VIIa(1 điểm): Tìm hệ số của 4 x trong khai triển Niutơn của biểu thức : 2 10 (1 2 3 )P x x= + + 2.Theo chương trình nâng cao: Câu VIb (2 điểm):
- 2. 1.Trong mặt phẳngvới hệ toạ độ Oxy cho elíp 2 2 ( ): 1 9 4 x y E + = và hai điểm A(3;-2) , B(- 3;2) . Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : 2 6 4 2 0S x y z x y z+ + − + − − = . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ (1;6;2)v r , vuông góc với mặt phẳng( ): 4 11 0x y zα + + − = và tiếp xúc với (S). Câu VIIb (1 điểm): Tìm số nguyên dương n sao cho thoả mãn 2 0 1 22 2 2 121 ... 2 3 1 1 n n n n n nC C C C n n + + + + = + +
- 3. ĐÁP ÁN VÀTHANG ĐIỂM Câu Điểm I II 2. Ta có , 2 2 3 6 3( 1)y x mx m= − + − Để hàm số có cực trị thì PT , 0y = có 2 nghiệm phân biệt 2 2 2 1 0x mx m⇔ − + − = có 2 nhiệm phân biệt 1 0, m⇔ ∆ = > ∀ 05 Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là B(m+1;-2-2m) 025 Theo giả thiết ta có 2 3 2 2 2 6 1 0 3 2 2 m OA OB m m m = − + = ⇔ + + = ⇔ = − − Vậy có 2 giá trị của m là 3 2 2m = − − và 3 2 2m = − + . 025 1. os4x+cos2x+ 3(1 sin 2 ) 3 1 os(4x+ ) 2 os4x+ 3sin 4 os2x+ 3sin 2 0 PT c x c c x c x π ⇔ + = + ÷ ⇔ + = 05 sin(4 ) sin(2 ) 0 6 6 18 3 2sin(3 ). osx=0 6 x= 2 x x x k x c k π π π π π π π ⇔ + + + = = − + ⇔ + ⇔ + Vậy PT có hai nghiệm 2 x k π π= + và 18 3 x k π π = − + . 05 2. ĐK : 1 5 2 2 0 x x − < < ≠ . Với ĐK trên PT đã cho tương đương với 2 2 2 2 2 2 2 2 log (5 2 ) log (5 2 ) 2log (5 2 ) 2log (5 2 )log (2 1) log (2 1) x x x x x x − − + = − + − + + 05 2 2 2 2 1 4log (2 1) 1 1 log (5 2 ) 2log (2 1) 2 2 log (5 2 ) 0 2 x x x x x x x x − = + = − ⇔ − = + ⇔ = ∨ = − − = = 025 Kết hợp với ĐK trên PT đã cho có 3 nghiệm x=-1/4 , x=1/2 và x=2. 025
- 4. III IV 26 6 2 0 0 tan() tan 14 os2x (t anx+1) x x I dx dx c π ππ − + = = −∫ ∫ , 2 2 1 tan x cos2x 1 tan x − = + 025 Đặt 2 2 1 t anx dt= (tan 1) cos t dx x dx x = ⇒ = + 0 0 1 6 3 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = 05 Suy ra 1 1 3 3 2 00 1 1 3 ( 1) 1 2 dt I t t − = − = = + +∫ . 025 Ta có ,( , ) ,( ) AM BC BC SA BC AB AM SB SA AB ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ = AM SC⇒ ⊥ (1) Tương tự ta có AN SC⊥ (2) Từ (1) và (2) suy ra AI SC⊥ 05 Vẽ IH song song với BC cắt SB tại H. Khi đó IH vuông góc với (AMB) Suy ra 1 . 3 ABMI ABMV S IH= Ta có 2 4 ABM a S = 2 2 2 2 2 2 2 . 1 1 1 2 3 3 3 IH SI SI SC SA a IH BC a BC SC SC SA AC a a = = = = = ⇒ = = + + Vậy 2 3 1 3 4 3 36 ABMI a a a V = = 05 Ta c ó: [ ] 2 3 ( ) 2( ) 2 3 9 2( ) 2 27 6 ( ) 2 ( 3) P x y z xy yz zx xyz xy yz zx xyz x y z yz x = + + − + + − = − + + − = − + − + 025 2 3 2 ( ) 27 6 (3 ) ( 3) 2 1 ( 15 27 27) 2 y z x x x x x x + ≥ − − − + = − + − + 025
- 5. VIa VIIa Xét hàm số3 2 ( ) 15 27 27f x x x x= − + − + , với 0<x<3 , 2 1 ( ) 3 30 27 0 9 x f x x x x = = − + − = ⇔ = Từ bảng biến thiên suy ra MinP=7 1x y z⇔ = = = . 05 1. Gọi 3 4 16 3 ( ; ) (4 ; ) 4 4 a a A a B a + − ⇒ − . Khi đó diện tích tam giác ABC là 1 . ( ) 3 2 ABCS AB d C AB= → ∆ = . 05 Theo giả thiết ta có 2 2 46 3 5 (4 2 ) 25 02 aa AB a a =− = ⇔ − + = ⇔ ÷ = Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4). 05 2. Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4 Véc tơ pháp tuyến của ( )α là (1;4;1)n r 025 Vì ( ) ( )P α⊥ và song song với giá của v r nên nhận véc tơ (2; 1;2)pn n v= ∧ = − uur r r làm vtpt. Do đó (P):2x-y+2z+m=0 025 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên ( ( )) 4d I P→ = ⇔ 21 ( ( )) 4 3 m d I P m = − → = ⇔ = 025 Vậy có hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0. 025 Ta có 10 10 2 10 2 10 10 0 0 0 (1 2 3 ) (2 3 ) ( 2 3 ) k k k k i k i i k i k k k i P x x C x x C C x− + = = = = + + = + =∑ ∑ ∑ 05 Theo giả thiết ta có 4 0 1 2 0 10 4 3 2 , k i i i i i k k k k i k N + = = = = ≤ ≤ ≤ ⇔ ∨ ∨ = = = ∈ 025 Vậy hệ số của 4 x là: 4 4 3 1 2 2 2 2 10 10 3 10 22 2 3 3 8085C C C C C+ + = . 025 1. Ta có PT đường thẳng AB:2x+3y=0 Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi đó ta có 2 2 1 9 4 x y + = và diện tích tam giác ABC là 1 85 85 . ( ) 2 3 3 2 13 3 42 13 ABC x y S AB d C AB x y= → = + = + 05
- 6. VIb VIIb 2 2 85 170 32 3 13 9 4 13 x y ≤ + = ÷ Dấu bằng xảy ra khi 2 2 21 39 4 2 2 3 2 x y x x y y + = = ⇔ = = . Vậy 3 2 ( ; 2) 2 C . 05 Xét khai triển 0 1 2 2 (1 ) ...n n n n n n nx C C x C x C x+ = + + + + Lấy tích phân 2 vế cân từ 0 đến 2 , ta được: 1 2 3 1 0 1 33 1 2 2 2 2 ... 1 2 3 1 n n n n n n nC C C C n n + + − = + + + + + + 05 ⇔ 2 1 1 0 1 2 1 2 2 2 3 1 121 3 1 ... 2 3 1 2( 1) 1 2( 1) 3 243 4 n n n n n n n n n C C C C n n n n n + + + − − + + + + = ⇔ = + + + + ⇔ = ⇔ = Vậy n=4. 05
- 7. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2012-2013 Đề Số 2 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x2 +2 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y =3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình cos2x 2sin x 1 2sin x cos2x 0+ − − = 2. Giải bất phương trình ( ) 2 4x 3 x 3x 4 8x 6− − + ≥ − Câu III ( 1điểm)Tính tích phân 3 6 cotx I dx sinx.sin x 4 π π = π + ÷ ∫ Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy (ABC) là tam giác đều cạnh a. Chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) là một điểm thuộc BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA biết SA=a và SA tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 300 . Câu V (1 điểm) Cho a,b, c dương và a2 +b2 +c2 =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 2 2 2 3 3 3 a b c P b c a = + + + + + PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : 2 2 x y 2x 8y 8 0+ + − − = . Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6. 2. Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất. Câu VII.a (1 điểm) Tìm số phức z thoả mãn : z 2 i 2− + = . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1. Tính giá trị biểu thức: 2 4 6 100 100 100 100 1004 8 12 ... 200A C C C C= + + + + . 2. Cho hai đường thẳng có phương trình:
- 8. 1 2 3 : 1 32 x z d y − + = + = 2 3 : 7 2 1 x t d y t z t = + = − = − Viết phương trình đường thẳng cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1). Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình sau trên tập phức: z2 +3(1+i)z-6-13i=0 -------------------Hết-----------------
- 9. ĐÁP ÁN ĐỀTHI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2012-2013 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu Nội dung Điểm I 1 Tập xác định: D=R ( ) ( )3 2 3 2 lim 3 2 lim 3 2 x x x x x x →−∞ →+∞ − + = −∞ − + = +∞ y’=3x2 -6x=0 0 2 x x = ⇔ = Bảng biến thiên: x -∞ 0 2 + ∞ y’ + 0 - 0 + 2 + ∞ y -∞ -2 Hàm số đồng biến trên khoảng: (-∞;0) và (2; + ∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) fCĐ=f(0)=2; fCT=f(2)=-2 y’’=6x-6=0<=>x=1 khi x=1=>y=0 x=3=>y=2 x=-1=>y=-2 Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;0) là tâm đối xứng. 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 2 Gọi tọa độ điểm cực đại là A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2) Xét biểu thức P=3x-y-2 Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=-4<0, thay tọa độ điểm B(2;-2)=>P=6>0 Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=3x-2, để MA+MB nhỏ nhất => 3 điểm A, M, B thẳng hàng Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 4 3 2 5 2 2 2 5 x y x y x y == − ⇔ = − + = => 4 2 ; 5 5 M ÷ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ II 1 Giải phương trình: cos2x 2sin x 1 2sin x cos2x 0+ − − = (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 os2 1 2sin 1 2sin 0 os2 1 1 2sin 0 c x x x c x x ⇔ − − − = ⇔ − − = 0,5 đ
- 10. Khi cos2x=1<=> xkπ= , k Z∈ Khi 1 sinx 2 = ⇔ 2 6 x k π π= + hoặc 5 2 6 x k π π= + ,k Z∈ 0,5 đ 2 Giải bất phương trình: ( ) 2 4x 3 x 3x 4 8x 6− − + ≥ − (1) (1) ( ) ( )2 4 3 3 4 2 0x x x⇔ − − + − ≥ Ta có: 4x-3=0<=>x=3/4 2 3 4 2x x− + − =0<=>x=0;x=3 Bảng xét dấu: x -∞ 0 ¾ 2 + ∞ 4x-3 - - 0 + + 2 3 4 2x x− + − + 0 - - 0 + Vế trái - 0 + 0 - 0 + Vậy bất phương trình có nghiệm: [ ) 3 0; 3; 4 x ∈ ∪ +∞ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ III Tính ( ) ( ) 3 3 6 6 3 2 6 cot cot 2 sinx sinx cos sin xsin 4 cot 2 sin x 1 cot x x I dx dx x x x dx x π π π π π π π = = + + ÷ = + ∫ ∫ ∫ Đặt 1+cotx=t 2 1 sin dx dt x ⇒ = − Khi 3 1 1 3; 6 3 3 x t x t π π + = ⇔ = + = ⇔ = Vậy ( ) 3 1 3 1 3 1 33 1 3 1 2 2 2 ln 2 ln 3 3 t I dt t t t + + + + − = = − = − ÷ ∫ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ IV Gọi chân đường vuông góc hạ từ S xuống BC là H. Xét ∆SHA(vuông tại H) 0 3 cos30 2 a AH SA= = Mà ∆ABC đều cạnh a, mà cạnh 0,25 đ H A C B S K
- 11. 3 2 a AH = => Hlà trung điểm của cạnh BC => AH ⊥ BC, mà SH ⊥ BC => BC⊥(SAH) Từ H hạ đường vuông góc xuống SA tại K => HK là khoảng cách giữa BC và SA => 0 3 AHsin30 2 4 AH a HK = = = Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA bằng 3 4 a 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ V Ta có: 3 3 2 6 2 3 2 2 3 3 3 16 64 42 3 2 3 a a b a a b b + + + ≥ = + + (1) 3 3 2 6 2 3 2 2 3 3 3 16 64 42 3 2 3 b b c c c c c + + + ≥ = + + (2) 3 3 2 6 2 3 2 2 3 3 3 16 64 42 3 2 3 c c a c c a a + + + ≥ = + + (3) Lấy (1)+(2)+(3) ta được: ( ) 2 2 2 2 2 29 3 16 4 a b c P a b c + + + + ≥ + + (4) Vì a2 +b2 +c2 =3 Từ (4) 3 2 P⇔ ≥ vậy giá trị nhỏ nhất 3 2 P = khi a=b=c=1. 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn VI.a 1 Đường tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5 Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là ∆, => ∆ : 3x+y+c=0, c≠2 (vì // với đường thẳng 3x+y-2=0) Vì đường thẳng cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6=> khoảng cách từ tâm I đến ∆ bằng 2 2 5 3 4− = ( ) 2 4 10 13 4 , 4 3 1 4 10 1 cc d I c = −− + + ⇒ ∆ = = ⇔ + = − − (thỏa mãn c≠2) Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: 3 4 10 1 0x y+ + − = hoặc 3 4 10 1 0x y+ − − = . 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 2 Ta có ( )1; 4; 3AB = − − − uuur 0,25 đ
- 12. Phương trình đườngthẳng AB: 1 5 4 4 3 x t y t z t = − = − = − Để độ dài đoạn CD ngắn nhất=> D là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh AB, gọi tọa độ điểm D(1-a;5-4a;4-3a) ( ;4 3;3 3)DC a a a⇒ = − − uuur Vì AB DC⊥ uuur uuur =>-a-16a+12-9a+9=0<=> 21 26 a = Tọa độ điểm 5 49 41 ; ; 26 26 26 D ÷ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ VII.a Gọi số phức z=a+bi Theo bài ra ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 4 3 3 − + + = − + + = ⇔ = − = − a b i a b b a b a 2 2 2 2 1 2 1 2 = − = + ⇔ = − − = − + a a hoac b b Vậy số phức cần tìm là: z= 2 2− +( 1 2− − )i; z= z= 2 2+ +( 1 2− + )i. 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ A. Theo chương trình nâng cao VI.b 1 Ta có:( ) 100 0 1 2 2 100 100 100 100 100 1001 ...x C C x C x C x+ = + + + + (1) ( ) 100 0 1 2 2 3 3 100 100 100 100 100 100 1001 ...x C C x C x C x C x− = − + − + + (2) Lấy (1)+(2) ta được: ( ) ( ) 100 100 0 2 2 4 4 100 100 100 100 100 1001 1 2 2 2 ... 2x x C C x C x C x+ + − = + + + + Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được ( ) ( ) 99 99 2 4 3 100 99 100 100 100100 1 100 1 4 8 ... 200x x C x C x C x+ − − = + + + Thay x=1 vào => 99 2 4 100 100 100 100100.2 4 8 ... 200A C C C= = + + + 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 2 Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b). Do đường thẳng d đi qua M(3;10;1)=> MA kMB= uuur uuur ( ) ( )3 1; 11; 4 2 , ; 2 3;MA a a a MB b b b= − − − + = − − − uuur uuur 3 1 3 1 1 11 2 3 3 2 11 2 4 2 2 4 1 a kb a kb a a kb k a k kb k a kb a kb b − = − = = ⇒ − = − − ⇔ + + = ⇔ = − + = − + = = => ( )2; 10; 2MA = − − uuur 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
- 13. Phương trình đườngthẳng AB là: 3 2 10 10 1 2 x t y t z t = + = − = − VII.b ∆=24+70i, 7 5i∆ = + hoặc 7 5i∆ = − − 2 5 4 z i z i = + => = − − 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
- 14. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2012-2013 Đề Số 3 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 1 1 x y x − = − 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng 2 . Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình 217 sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20sin ( ) 2 2 12 x x x x π π + + = + + 2) Giải hệ phương trình : 4 3 2 2 3 2 1 1 x x y x y x y x xy − + = − + = − Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = 4 0 tan .ln(cos ) cos x x dx x π ∫ Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, các mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh S. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 600 . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) . Câu V: (1 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 3 a b b c c a ab c bc a ca b + + + + + ≥ + + + PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng ∆ : 2x + 3y + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng ∆ sao cho đường thẳng AB và ∆ hợp với nhau góc 450 . Câu VII.a (1 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) và hai đường thẳng 1 ( ): 1 2 3 x y z d + = = − − và 1 4 ( '): 1 2 5 x y z d − − = = Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. Câu VIII.a (1 điểm) Giải phương trình: 2 2 2 (24 1)(24 1) (24 1)log log ++ ++ = xx x x xlog x x x Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2 ( ) : 1C x y+ = , đường thẳng
- 15. ( ): 0dx y m+ + = . Tìm m để ( )C cắt ( )d tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất. Câu VII.b (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0 và đường thẳng 1∆ : 2 2 − −x = 1 1+y = 3 z . Gọi 2∆ là giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng 1∆ , 2∆ . Câu VIII.b (1 điểm) Giải bất phương trình: logx( log3( 9x – 72 )) ≤ 1 ----------Hết----------
- 16. ĐÁP ÁN VÀTHANG ĐIỂM Câu - ý Nội dung Điểm 1.1 *Tập xác định : { } 1D = ¡ *Tính 2 1 ' 0 ( 1) y x D x − = < ∀ ∈ − Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1)−∞ và (1; )+∞ *Hàm số không có cực trị *Giới hạn 1x Lim y+ → = +∞ 1x Lim y− → = −∞ 2 x Lim y →+∞ = 2 x Lim y →−∞ = Đồ thị có tiệm cận đứng :x=1 , tiệm cận ngang y=2 *Bảng biến thiên *Vẽ đồ thị 0.25 0.25 0.25 0.25 1.2 *Tiếp tuyến của (C) tại điểm 0 0( ; ( )) ( )M x f x C∈ có phương trình 0 0 0'( )( ) ( )y f x x x f x= − + Hay 2 2 0 0 0( 1) 2 2 1 0x x y x x+ − − + − = (*) *Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2 0 4 0 2 2 2 1 ( 1) x x − ⇔ = + − giải được nghiệm 0 0x = và 0 2x = *Các tiếp tuyến cần tìm : 1 0x y+ − = và 5 0x y+ − = 0.25 0.25 0.25 0.25 2.1 *Biến đổi phương trình đã cho tương đương với os2 3sin 2 10 os( ) 6 0 6 c x x c x π − + + + = os(2 ) 5 os( ) 3 0 3 6 c x c x π π ⇔ + + + + = 2 2 os ( ) 5 os( ) 2 0 6 6 c x c x π π ⇔ + + + + = Giải được 1 os( ) 6 2 c x π + = − và os( ) 2 6 c x π + = − (loại) *Giải 1 os( ) 6 2 c x π + = − được nghiệm 2 2 x k π π= + và 5 2 6 x k π π= − + 0.25 0.25 0.25 0.25 2.2 *Biến đổi hệ tương đương với 2 2 3 3 2 ( ) 1 ( ) 1 x xy x y x y x xy − = − − − = − 0.25
- 17. *Đặt ẩn phụ 2 3 xxy u x y v − = = , ta được hệ 2 1 1 u v v u = − − = − *Giải hệ trên được nghiệm (u;v) là (1;0) và (-2;-3) *Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0) 0.25 0.25 0.25 3 *Đặt t=cosx Tính dt=-sinxdx , đổi cận x=0 thì t=1 , 4 x π = thì 1 2 t = Từ đó 1 12 2 2 11 2 ln lnt t I dt dt t t = − =∫ ∫ *Đặt 2 1 ln ;u t dv dt t = = 1 1 ;du dt v t t ⇒ = = − Suy ra 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 ln ln 21 1 2 2 2 I t dt t t t = − + = − −∫ *Kết quả 2 2 1 ln 2 2 I = − − 0.25 0.25 0.25 0.25 4 *Vẽ hình *Gọi H là trung điểm BC , chứng minh ( )SH A BC⊥ *Xác định đúng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) , (SAC) với mặt đáy là 0 60SEH SFH= = *Kẻ HK SB⊥ , lập luận suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng HK A . *Lập luận và tính được AC=AB=a , 2 2 a HA = , 0 3 tan 60 2 a SH HF= = *Tam giác SHK vuông tại H có 2 2 2 1 1 1 3 10 K H a HK HS HB = + ⇒ = *Tam giác AHK vuông tại H có 2 202tan 33 10 a A H A K H K H a = = = 3 cos 23 A K H⇒ = 0.25 0.25 0.25 0.25 5 *Biến đổi 1 1 1 (1 )(1 ) a b c c ab c ab b a a b + − − = = + + − − − − *Từ đó 1 1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) c b a V T a b c a c b − − − = + + − − − − − − 0.25 0.25
- 18. Do a,b,c dươngvà a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương *áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được 3 1 1 1 3. . . (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) c b a V T a b c a c b − − − ≥ − − − − − − =3 (đpcm) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 3 a b c= = = 0.25 0.25 6.a *∆ có phương trình tham số 1 3 2 2 x t y t = − = − + và có vtcp ( 3;2)u = − ur *A thuộc ∆ (1 3 ; 2 2 )A t t⇒ − − + *Ta có (AB; ∆ )=450 1 os( ; ) 2 c A B u⇔ = uuuur ur . 1 2. A B u A B u ⇔ = uuuur ur ur 2 15 3 169 156 45 0 13 13 t t t t⇔ − − = ⇔ = ∨ = − *Các điểm cần tìm là 1 2 32 4 22 32 ( ; ), ( ; ) 13 13 13 13 A A− − 0.25 0.25 0.25 0.25 7.a *(d) đi qua 1(0; 1;0)M − và có vtcp 1 (1; 2; 3)u = − − uur (d’) đi qua 2 (0;1;4)M và có vtcp 2 (1;2;5)u = uur *Ta có 1 2; ( 4; 8;4)u u O = − − ≠ uur uur ur , 1 2 (0;2;4)M M = uuuuuuur Xét 1 2 1 2; . 16 14 0u u M M = − + = uur uur uuuuuuur (d) và (d’) đồng phẳng . *Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d) và (d’) => (P) có vtpt (1;2; 1)n = − ur và đi qua M1 nên có phương trình 2 2 0x y z+ − + = *Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ đó ta có đpcm 0.25 0.25 0.25 0.25 8.a *Điều kiện :x>0 *TH1 : xét x=1 là nghiệm *TH2 : xét 1x ≠ , biến đổi phương trình tương đương với 1 2 1 1 2log (24 1) 2 log (24 1) log (24 1)x x xx x x + = + + + + + Đặt log ( 1)x x t+ = , ta được phương trình 1 2 1 1 2 2t t t + = + + giải được t=1 và t=-2/3 *Với t=1 log ( 1) 1x x⇒ + = phương trình này vô nghiệm *Với t=-2/3 2 log ( 1) 3 x x⇒ + = − 2 3 .(24 1) 1x x⇔ + = (*) 0.25 0.25 0.25
- 19. Nhận thấy 1 8 x =là nghiệm của (*) Nếu 1 8 x > thì VT(*)>1 Nếu 1 8 x < thì VT(*)<1 , vậy (*) có nghiệm duy nhất 1 8 x = *Kết luận : Các nghiệm của phương trình đã cho là x=1 và 1 8 x = 0.25 6.b *(C) có tâm O(0;0) , bán kính R=1 *(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt ( ; ) 1d O d⇔ < *Ta có 1 1 1 . .sin .sin 2 2 2 OA BS OA OB A OB A OB= = ≤ Từ đó diện tích tam giác AOB lớn nhất khi và chỉ khi 0 90A OB = 1 ( ; ) 2 d I d⇔ = 1m⇔ = ± 0.25 0.25 0.25 0.25 7.b * 1∆ có phương trình tham số 2 2 1 3 x t y t z t = − = − + = * 2∆ có phương trình tham số 2 5 3 x s y s z s = + = + = *Giả sử 1 2;d A d B∩ ∆ = ∩ ∆ = (2 2 ; 1 ;3 ) B(2+s;5+3s;s)A t t t⇒ − − + * ( 2 ;3 6; 3 )A B s t s t s t= + − + − uuuur , mf(R) có vtpt (1;2; 3)n = − ur * ( ) &d R A B n⊥ ⇔ uuuur ur cùng phương 2 3 6 3 1 2 3 s t s t s t+ − + − ⇔ = = − 23 24 t⇒ = *d đi qua 1 1 23 ( ; ; ) 12 12 8 A và có vtcp (1;2; 3)n = − ur => d có phương trình 231 1 812 12 1 2 3 zx y −− − = = − 0.25 0.25 0.25 0.25 8.b *Điều kiện : 3 0 log (9 72) 0 9 72 0 x x x > − > − > giải được 9log 73x > 0.25
- 20. Vì 9log 73x> >1 nên bpt đã cho tương đương với 3log (9 72)x x− ≤ 9 72 3x x ⇔ − ≤ 3 8 3 9 x x ≥ − ⇔ ≤ 2x⇔ ≤ *Kết luận tập nghiệm : 9(log 72;2]T = 0.25 0.25 0.25
- 21. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2012-2013 Đề Số 4 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm) Câu I ( 2,0 điểm): Cho hàm số 2 4 1 x y x − = + . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1). Câu II (2,0 điểm): 1. Giải phương trình: 22 1 3 2 1 3 x x x x = + + − + + − 2. Giải phương trình: 2 3 4 2 3 4 sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + + Câu III (1,0 điểm): Tính tích phân: 2 1 ln ln 1 ln e x I x dx x x = + ÷ + ∫ Câu IV (1,0 điểm):Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai đỉnh S và S’ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC. Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết rằng SH = S’K =h. Câu V(1,0 điểm): Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 9 9 9 9 9 9 6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6 x y y z z x P x x y y y y z z z z x x + + + = + + + + + + + + PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần(phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: 2 2 4 3 4 0x y x+ + − = . Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có phương trình 2 3 2 (t R) 4 2 x t y t z t = + = − ∈ = + . Tìm trên d những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ nhất. Câu VII.a (1,0 điểm): Giải phương trình trong tập số phức: 2 0z z+ = B. Theo chương trình nâng cao. Câu VI.b (2,0 điểm):
- 22. 1. Trong mặtphẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. 2. Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng: 2 1 0 3 3 0 ( ) ; ( ') 1 0 2 1 0 x y x y z x y z x y + + = + − + = ∆ ∆ − + − = − + = .Chứng minh rằng hai đường thẳng (∆ ) và ( '∆ ) cắt nhau. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của các góc tạo bởi ( ∆ ) và ( '∆ ). Câu VII.b (1,0 điểm): Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 3 3 log 3 log log log 12 log log x y y x x x y y + = + + = + . -------------------------------- Hết ------------------------
- 23. ĐÁP ÁN Câu Nộidung Điể m I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm) CâuI 2.0 1. TXĐ: D = R{-1} Chiều biến thiên: 2 6 ' 0 x D ( 1) y x = > ∀ ∈ + => hs đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1)−∞ − và ( 1; )− +∞ , hs không có cực trị 0.25 Giới hạn: 1 1 lim 2, lim , lim x x x y y y− +→±∞ →− →− = = +∞ = −∞ => Đồ thị hs có tiệm cận đứng x= -1, tiệm cận ngang y = 2 BBT x -∞ -1 +∞ y’ + + y +∞ 2 2 -∞ 0,25 0.25 + Đồ thị (C): Đồ thị cắt trục hoành tại điểm ( )2;0 , trục tung tại điểm (0;-4) f(x)=(2x-4)/(x+1) f(x)=2 x(t)=-1 , y(t)=t -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng 0.25 2. Gọi 2 điểm cần tìm là A, B có 6 6 ;2 ; ;2 ; , 1 1 1 A a B b a b a b − − ≠ − ÷ ÷ + + 0.25 Trung điểm I của AB: I 2 2 ; 2 1 1 a b a b a b + − − + ÷ + + Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= 0 0.25
- 24. Có : . 0ABMN I MN = ∈ uuur uuuur 0.25 => 0 (0; 4) 2 (2;0) a A b B = − => = 0,25 CâuII 2.0 1. TXĐ: x [ ]1;3∈ − 0,25 Đặt t= 1 3 , t > 0x x+ + − => 2 2 4 3 2 2 t x x − + − = 0,25 đc pt: t3 - 2t - 4 = 0 t=2 0,25 Với t = 2 1 1 3 =2 ( / ) 3 x x x t m x = − + + − ⇔ = 0,25 2. 2 3 4 2 3 4 sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + + 1,0 TXĐ: D =R 2 3 4 2 3 4 sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x+ + + = + + + [ ] sin 0 (sin ). 2 2(sin ) sin . 0 2 2(sin ) sin . 0 x cosx x cosx x cosx x cosx x cosx x cosx − = ⇔ − + + + = ⇔ + + + = 0,25 + Với sin 0 ( ) 4 x cosx x k k Z π π− = ⇔ = + ∈ 0,25 + Với 2 2(sin ) sin . 0x cosx x cosx+ + + = , đặt t = sin (t 2; 2 )x cosx + ∈ − được pt : t2 + 4t +3 = 0 1 3( ) t t loai = − ⇔ = − 0.25 t = -1 2 ( ) 2 2 x m m Z x m π π π π = + ⇒ ∈ = − + Vậy : ( ) 4 2 ( ) 2 2 x k k Z x m m Z x m π π π π π π = + ∈ = + ∈ = − + 0,25 Câu III 2 1 ln ln 1 ln e x I x dx x x = + ÷ + ∫ 1,0 I1 = 1 ln 1 ln e x dx x x+∫ , Đặt t = 1 ln x+ ,… Tính được I1 = 4 2 2 3 3 − 0,5 ( )2 2 1 ln e I x dx= ∫ , lấy tích phân từng phần 2 lần được I2 = e - 2 0,25
- 25. I = I1+ I2 = 2 2 2 3 3 e − − 0,25 Câu IV 1,0 M N A B D C S S' H K SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung điểm SB, S’D : . .S ABCD S AMNDV V V= − 0,25 . . .S AMND S AMD S MNDV V V= + ; . . . . 1 1 ; . ; 2 4 S AMD S MND S ABD S BCD V VSM SM SN V SB V SB SC = = = = 0.25 . . . 1 2 S ABD S ACD S ABCDV V V= = ; . . . 3 5 8 8 S AMND S ABCD S ABCDV V V V= ⇒ = 0.25 25 24 V a h⇒ = 0.25 CâuV Có x, y, z >0, Đặt : a = x3 , b = y3 , c = z3 (a, b, c >0 ; abc=1)đc : 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b b c c a P a ab b b bc c c ca a + + + = + + + + + + + + 0.25 3 3 2 2 2 2 2 2 ( ) a b a ab b a b a ab b a ab b + − + = + + + + + mà 2 2 2 2 1 3 a ab b a ab b − + ≥ + + (Biến đổi tương đương) 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 3 a ab b a b a b a ab b − + => + ≥ + + + 0.25 Tương tự: 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 ( ); ( ) 3 3 b c c a b c c a b bc c c ca a + + ≥ + ≥ + + + + + => 32 ( ) 2. 2 3 P a b c abc≥ + + ≥ = (BĐT Côsi) 0.25 => P 2, 2 khi a = b = c = 1 x = y = z = 1P≥ = ⇔ Vậy: minP = 2 khi x = y =z =1 0.25 II. PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) A. Chương trình chuẩn CâuVI. a 2.0 1. A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’ 0,25
- 26. Pt đường thẳngIA : 2 3 2 2 x t y t = = + , 'I IA∈ => I’(2 3 ;2 2t t + ), 0,25 1 2 ' '( 3;3) 2 AI I A t I= ⇔ = => uur uuur 0,25 (C’): ( ) ( ) 2 2 3 3 4x y− + − = 0.25 2. M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t) d∈ , AB//d. 0.25 Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB ≥ A’B (MA+ MB)min = A’B, khi A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB 0.25 0,25 MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4) 0,25 CâuVII .a 1.0 z = x + iy ( ,x y R∈ ), z2 + 2 2 2 2 0 2 0z x y x y xyi= ⇔ − + + + = 0,25 2 2 2 2 2 0 0 xy x y x y = ⇔ − + + = 0,25 (0;0); (0;1) ; (0;-1). Vậy: z = 0, z = i, z = - i 0,5 B. Chương trình nâng cao Câu VI.b 2.0 1. (7;3)BD AB B∩ = , pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = 0 (2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7A AB A a a C BC C c c a c∈ ⇒ + ∈ ⇒ − ≠ ≠ , I = 2 1 2 17 ; 2 2 a c a c+ + − + ÷ là trung điểm của AC, BD. 0,25 I 3 18 0 3 18 (6 35;3 18)BD c a a c A c c∈ ⇔ − − = ⇔ = − ⇒ − − 0,25 M, A, C thẳng hàng ,MA MC uuur uuuur cùng phương => c2 – 13c +42 =0 7( ) 6 c loai c = = 0,25 c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3) 0.25 2. Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất, (∆ )∩ ( '∆ ) = A 1 3 ;0; 2 2 − ÷ 0.5 (0; 1;0) ( )M − ∈ ∆ , Lấy N ( ')∈ ∆ , sao cho: AM = AN => N AMN∆ cân tại A, lấy I là trung điểm MN => đường phân giác của các góc tạo bởi ( ∆ ) và ( '∆ ) chính là đg thẳng AI 0.25
- 27. Đáp số: 1 2 13 1 3 2 2 2 2( ) : ;( ): 1 1 2 2 3 5 1 1 2 2 3 5 14 30 14 30 14 30 14 30 14 30 14 30 x z x z y y d d + − + − = = = = − − − − + + + − − − 0,25 Câu VII.b TXĐ: 0 0 x y > > 0.25 2 2 2 3 3 3 log 3 log log 3 . 2 . log 12 log log 12 . 3 . x y x y x y y x y x x x y y x y + = + = ⇔ + = + = 0.25 2 3 . 2 .x y y x y x = ⇔ = 0.25 4 3 4 3 log 2 2log 2 x y = ⇔ = (t/m TXĐ) 0,25
- 28. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi : TOÁN Đề số 5 A. PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số 1 . 1 x y x + = − a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 . 1 x m x + = − Câu II (2 điểm) a) Tìm m để phương trình ( )4 4 2 sin cos cos4 2sin 2 0x x x x m+ + + − = có nghiệm trên 0; . 2 π b) Giải phương trình ( ) ( ) ( )8 4 22 1 1 log 3 log 1 log 4 . 2 4 x x x+ + − = Câu III (2 điểm)Tìm giới hạn 3 2 2 0 3 1 2 1 lim . 1 cosx x x L x→ − + + = − a) Chứng minh rằng 0 2 4 6 98 100 50 100 100 100 100 100 100... 2 .C C C C C C− + − + − + = − Câu IV (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 3.a b c+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 9 16 9 16 4 16 4 9 .a b c a b c a b c M = + + + + + + + + B. PHẦN DÀNH CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn Câu Va (2 điểm)Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình ( ) 2 2 1 : 4 5 0C x y y+ − − = và ( ) 2 2 2 : 6 8 16 0.C x y x y+ − + + = Lập phương trình tiếp tuyến chung của ( )1C và ( )2 .C a) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của AA’. Tính thể tích của khối tứ diện BMB’C’ theo a và chứng minh rằng BM vuông góc với B’C. Câu VIa (1 điểm) Cho điểm ( )2;5;3A và đường thẳng 1 2 : . 2 1 2 x y z d − − = = Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( )α lớn nhất. Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao
- 29. Câu Vb (2điểm) a) Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp xúc với đường thẳng : 2 0d x y− − = tại điểm A có hoành độ bằng 4. b) Cho tứ diện OABC có 4, 5, 6OA OB OC= = = và · · · 0 60 .AOB BOC COA= = = Tính thể tích tứ diện OABC. Câu VIb (1 điểm)Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0P x y z− + − = và các đường thẳng 1 1 3 : , 2 3 2 x y z d − − = = − 2 5 5 : . 6 4 5 x y z d − + = = − Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2. ..................................................................................... ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi : TOÁN Câu I 2 điểm b) Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị ( ) 1 ' 1 x y C x + = − Học sinh tự vẽ hình Số nghiệm của 1 1 x m x + = − bằng số giao điểm của đồ thị 1 1 x y x + = − và .y m= Suy ra đáp số 1; 1:m m< − > phương trình có 2 nghiệm 1:m = − phương trình có 1 nghiệm 1 1:m− < ≤ phương trình vô nghiệm Câu II 2 điểm a) Ta có 4 4 21 sin os 1 sin 2 2 x c x x+ = − và 2 os4 1 2sin 2 .c x x= − Do đó ( ) 2 1 3sin 2 2sin 2 3x x m⇔ − + + = . Đặt sin 2t x= . Ta có [ ] [ ]0; 2 0; 0;1 . 2 x x t π π ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ Suy ra ( ) [ ]2 3 2 3 , 0;1f t t t m t= − + + = ∈ Ta có bảng biến thiên
- 30. Từ đó phươngtrình đã cho có nghiệm trên 10 0; 2 2 3 m π ⇔ ≤ ≤ b) Giải phương trình ( ) ( ) ( ) ( )8 4 22 1 1 log 3 log 1 log 4 2 2 4 x x x+ + − = Điều kiện: 0 1x< ≠ ( ) ( )2 3 1 4x x x⇔ + − = Trường hợp 1: 1x > ( ) 2 2 2 0 2x x x⇔ − = ⇔ = Trường hợp 1: 0 1x< < ( ) 2 2 6 3 0 2 3 3x x x⇔ + − = ⇔ = − Vậy tập nghiệm của (2) là { }2;2 3 3T = − Câu III a) Tìm 3 2 2 0 3 1 2 1 lim . 1 cosx x x L x→ − + + = − Ta có 3 2 2 0 3 1 1 2 1 1 lim 1 cos 1 cosx x x L x x→ − + + − ÷= + − − ÷ Xét 2 2 1 2 20 0 2 1 1 2 lim lim 2 1 cos 2sin 2 1 1 2 x x x x L xx x→ → + − = = = − + + ÷ Xét ( ) 3 2 2 2 20 0 32 2 23 3 1 1 3 lim lim 2 1 cos 2sin 3 1 3 1 1 2 x x x x L x x x x → → − + = = = − − − − + ÷ ÷ Vậy 1 2 2 2 4L L L= + = + = b) Chứng minh rằng 0 2 4 100 50 100 100 100 100... 2 .C C C C− + − + = − Ta có ( ) ( ) ( ) 100 0 1 2 2 100 100 100 100 100 100 0 2 4 100 1 3 99 100 100 100 100 100 100 100 1 ... ... ... i C C i C i C i C C C C C C C i + = + + + + = − + − + + − + − Mặt khác ( ) ( ) ( )2 100 502 50 1 1 2 2 1 2 2i i i i i i+ = + + = ⇒ + = = − Vậy 0 2 4 100 50 100 100 100 100... 2 .C C C C− + − + = − Câu IV Cho a, b, c thoả 3.a b c+ + = Tìm GTNN của 4 9 16 9 16 4 16 4 9 .a b c a b c a b c M = + + + + + + + +
- 31. Đặt ( )( ) ( )2 ;3 ;4 , 2 ;3 ;4 ,w 2 ;3 ;4 wa b c c a b b c a u v M u v= = = ⇒ = + + r r uur r r uur ( ) ( ) ( ) 2 2 2 w 2 2 2 3 3 3 4 4 4a b c a b c a b c M u v≥ + + = + + + + + + + + r r uur Theo cô – si có 32 2 2 2 3 2 6b c a b c+ + + + ≥ = . Tương tự … Vậy 3 29.M ≥ Dấu bằng xảy ra khi 1.a b c= = = Câu Va Học sinh tự vẽ hình a) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2: 0;2 , 3; : 3; 4 , 3.C I R C I R= − = Gọi tiếp tuyến chung của ( ) ( )1 2,C C là ( )2 2 : 0 0Ax By C A B∆ + + = + ≠ ∆ là tiếp tuyến chung của ( ) ( )1 2,C C ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 22 2 2 3 1; ; 3 4 3 2 B C A Bd I R d I R A B C A B + = +∆ = ⇔ ⇔ ∆ = − + = + Từ (1) và (2) suy ra 2A B= hoặc 3 2 2 A B C − + = Trường hợp 1: 2A B= . Chọn 1 2 2 3 5 : 2 2 3 5 0B A C x y= ⇒ = ⇒ = − ± ⇒ ∆ + − ± = Trường hợp 2: 3 2 2 A B C − + = . Thay vào (1) được 2 2 4 2 2 0; : 2 0; : 4 3 9 0 3 A B A B A A B y x y− = + ⇔ = = − ⇒ ∆ + = ∆ − − = b) Gọi H là trung điểm của BC ( )( ) 3 ; ' 2 a d M BB C AH⇒ = = 2 3 ' ' ' 1 1 3 '. . 2 2 3 12 BB C MBB C BB C a a S BB BC V AH S∆ ∆= = ⇒ = = Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ (Học sinh tự vẽ hình) Ta có ' ; ' ' ' .B C MI B C BC B C MB⊥ ⊥ ⇒ ⊥ Câu VIa (Học sinh tự vẽ hình) Gọi K là hình chiếu của A trên d K⇒ cố định; Gọi ( )α là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên ( )α . Trong tam giác vuông AHK ta có .AH AK≤ Vậy ( )maxAH AK α= ⇔ là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK.
- 32. Gọi ( )βlà mặt phẳng qua A và vuông góc với d ( ) : 2 2 15 0x y zβ⇒ + + − = ( )3;1;4K⇒ ( )α là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK ( ) : 4 3 0x y zα⇒ − + − = Câu Vb a) Gọi ( ) 2 2 2 2 : 1 x y H a b − = (H) tiếp xúc với ( )2 2 : 2 0 4 1d x y a b− − = ⇔ − = ( ) ( ) ( )2 2 16 4 4 2 4;2 1 2x y A H a b = ⇒ = ⇒ ∈ ⇒ − = Từ (1) và (2) suy ra ( ) 2 2 2 2 8; 4 : 1 8 4 x y a b H= = ⇒ − = (Học sinh tự vẽ hình)Lấy B’ trên OB; C’ trên OC sao cho ' ' 4OA OB OC= = = Lấy M là trung điểm của B’C’ ( ) ( )' ' .OAM OB C⇒ ⊥ Kẻ ( )' 'AH OM AH OB C⊥ ⇒ ⊥ Ta có 2 3 4 6 2 3 3 3 AM OM MH AH= = ⇒ = ⇒ = ·1 15 3 . .sin 2 2 OBCS OB OC BOC= = Vậy 1 . 10 2 3 OABC OBCV AH S= = Câu VIb Gọi ( ) ( )1 2 ;3 3 ;2 , 5 6 ';4 '; 5 5 'M t t t N t t t+ − + − − ( )( ); 2 2 1 1 0; 1.d M P t t t= ⇔ − = ⇔ = = Trường hợp 1: ( ) ( )0 1;3;0 , 6 ' 4;4 ' 3; 5 ' 5t M MN t t t= ⇒ = + − − − uuuur ( ). 0 ' 0 5;0; 5P PMN n MN n t N⊥ ⇔ = ⇒ = ⇒ − uuuur uur uuuur uur Trường hợp 2: ( ) ( )1 3;0;2 , 1; 4;0t M N= ⇒ − −
- 33. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 -2014 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 6) A. Phần chung cho tất cả thí sinh: Câu 1: (3,0 điểm) Cho hàm số x 3 y 2 x − = − có đồ thị (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với y = - x + 2011 Câu 2: (3,0 điểm) a. Giải phương trình : 2 2 2 2 2log ( 1) 3log ( 1) log 32 0x x+ − + + = . b. Tính tích phân: dx x x I ∫ + = 7 0 3 1 c. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 22 )2(4 −+−= xxxy . Câu 3: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB = AC = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và (SCD) hợp với đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. B. Phần riêng: Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau( phấn 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình chuẩn: Câu 4a: (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: 1 2 2 2 1 : 1 : 1 1 3 x t x y t y t z z t = + = ∆ = − + ∆ = + = = − a) Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa ( )1∆ và song song với ( )2∆ . b) Tính khoảng cách giữa đường thẳng ( )2∆ và mặt phẳng ( )α . Câu 5a: (1,0 điểm) Giải phương trình trên tập số phức : 2 1 3 1 2 i i z i i + − + = − + 2. Theo chương trình nâng cao: Câu 4b: (2,0 điểm) Trong kg cho A(1;0;–2) , B( –1 ; –1 ;3) và mp(P) : 2x – y +2z + 1 = 0 a) Viết phương trình mặt phẳng ( Q) qua hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (P) b) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P). Câu 5b: (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng 3 1 3 4 +−= xy và tiếp xúc với đồ thị hàm số: 1 12 + ++ = x xx y .
- 34. Thí sinh khôngđược sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. BÀI GIẢI (ĐỀ 6) Câu 1: 2) Tieáp tuyeán taïi ñieåm coù hoaønh ñoä x0, coù heä soá goùc baèng –5 ⇔ 2 0 5 5 ( 2)x − = − − ⇔ x0 = 3 hay x0 = 1 ; y0 (3) = 7, y0 (1) = -3 Phöông trình tieáp tuyeán caàn tìm laø: y – 7 = -5(x – 3) hay y + 3 = -5(x – 1) ⇔ y = -5x + 22 hay y = -5x + 2 Câu 2: 1) 25x – 6.5x + 5 = 0 ⇔ 2 (5 ) 6.5 5 0x x − + = ⇔ 5x = 1 hay 5x = 5 ⇔ x = 0 hay x = 1. 2) 0 0 0 (1 cos ) cosI x x dx xdx x xdx π π π = + = +∫ ∫ ∫ = 2 0 cos 2 x xdx π π + ∫ Ñaët u = x ⇒ du = dx; dv = cosxdx, choïn v = sinx ⇒ I = 2 0 0 sin sin 2 x x xdx π ππ + − ∫ = 2 2 0 cos 2 2 2 x ππ π + = − 3) Ta coù : f’(x) = 2x + 2 2 4x 2x 2 1 2x 1 2x − + + = − − f’(x) = 0 ⇔ x = 1 (loaïi) hay x = 1 2 − (nhaän) f(-2) = 4 – ln5, f(0) = 0, f( 1 2 − ) = 1 ln2 4 − vì f lieân tuïc treân [-2; 0] neân [ 2;0] maxf(x) 4 ln5 − = − vaø [ 2;0] 1 minf(x) ln2 4− = − Caâu 3: Hình chiếu của SB và SC trên (ABC) là AB và AC , mà SB=SC nên AB=AC Ta có : BC2 = 2AB2 – 2AB2 cos1200 ⇔ a2 = 3AB2 ⇔ = 3 a AB 2 2 2 2 = a SA = 3 3 a a SA − ⇒ 2 2 01 1 3 a 3 = . .sin120 = = 2 2 3 2 12 ABC a S AB AC∆ 2 3 1 2 3 2 = = 3 12 363 a a a V (đvtt) Câu 4.a.: 1) Taâm maët caàu: T (1; 2; 2), baùn kính maët caàu R = 6 d(T, (P)) = 1 4 4 18 27 9 31 4 4 + + + = = + + 2) (P) coù phaùp vectô (1;2;2)n = r B A S a a a C
- 35. Phöông trình thamsoá cuûa ñöôøng thaúng (d) : 1 2 2 2 2 x t y t z t = + = + = + (t ∈ R) Theá vaøo phöông trình maët phaúng (P) : 9t + 27 = 0 ⇔ t = -3 ⇒ (d) ∩ (P) = A (-2; -4; -4) Caâu 5.a.: 2 8z 4z 1 0− + = ; / 2 4 4i∆ = − = ; Căn bậc hai của / ∆ là 2i± Phương trình có hai nghiệm là 1 1 1 1 z ihayz i 4 4 4 4 = + = − Caâu 4.b.: 1) (d) coù vectô chæ phöông (2;1; 1)a = − r Phöông trình maët phaúng (P) qua A (1; -2; 3) coù phaùp vectô a r : 2(x – 1) + 1(y + 2) – 1(z – 3) = 0 ⇔ 2x + y – z + 3 = 0 2) Goïi B (-1; 2; -3) ∈ (d) BA uuur = (2; -4; 6) ,BA a uuur r = (-2; 14; 10) d(A, (d)) = , 4 196 100 5 2 4 1 1 BA a a + + = = + + uuur r r Phöông trình maët caàu taâm A (1; -2; 3), baùn kính R = 5 2 : (x – 1)2 + (y + 2)2 + (2 – 3)2 = 50 Câu 5.b.: 2 2z iz 1 0− + = 2 i 8 9∆ = − = − = 9i2 Căn bậc hai của ∆ là 3i± Phương trình có hai nghiệm là 1 z ihayz i 2 = = − .
- 36. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 -2014 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 7) A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH: ( 8 điểm) Câu 1: ( 2điểm) Cho hàm số y = 4x3 + mx2 – 3x 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 0. 2. Tìm m để hàm số có hai cực trị tại x1 và x2 thỏa x1 = - 4x2 Câu 2: (2điểm) 1. Giải hệ phương trình: 2 0 1 4 1 2 x y xy x y − − = − + − = 2. Giải phương trình: cosx = 8sin3 6 x π + ÷ Câu 3: (2điểm) 1. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại C ; M,N là hình chiếu của A trên SB, SC. Biết MN cắt BC tại T. Chứng minh rằng tam giác AMN vuông và AT tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB. 2. Tính tích phân A = 2 ln .ln ex e e dx x x∫ Câu 4: (2 điểm) 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0). Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳngOxy và cắt được các đường thẳngAB; CD. 2. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 a b c a ab b b bc c c ca a + + = + + + + + + Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a + b + c B. PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ chọn câu 5a hoặc 5b Câu 5a: Theo chương trình chuẩn: ( 2 điểm) 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;5;6). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A; cắt các trục tọa độ lần lượt tại I; J; K mà A là trực tâm của tam giác IJK. 2. Biết (D) và (D’) là hai đường thẳng song song. Lấy trên (D) 5 điểm và trên (D’) n điểm và nối các điểm ta được các tam giác. Tìm n để số tam giác lập được bằng 45.
- 37. Câu 5b: Theochương trình nâng cao: ( 2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (D): x – 3y – 4 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 – 4y = 0. Tìm M thuộc (D) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua A(3;1). 2. Tìm m để bất phương trình: 52x – 5x+1 – 2m5x + m2 + 5m > 0 thỏa với mọi số thực x. -------- Hết ------- BÀI GIẢI TÓM TẮT(ĐỀ 7) A.PHẦN CHUNG: Câu 1: 2. TXĐ: D = R - y’ = 12x2 + 2mx – 3 Ta có: ∆’ = m2 + 36 > 0 với mọi m, vậy luôn có cực trị Ta có: 1 2 1 2 1 2 4 6 1 4 x x m x x x x = − + = − = − 9 2 m⇒ = ± Câu 2: 1. 2 0 (1) 1 4 1 2 (2) x y xy x y − − = − + − = Điều kiện: 1 1 4 x y ≥ ≥ Từ (1) 2 0 x x y y ⇒ − − = ⇒ x = 4y Nghiệm của hệ (2; 1 2 ) 2. cosx = 8sin3 6 x π + ÷ ⇔ cosx = ( ) 3 3sinx+cosx ⇔ 3 2 2 3 3 3sin 9sin osx +3 3sinxcos os osx = 0x xc x c x c+ + − (3) Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3) ⇔ 3 2 3 3 tan 8t an x + 3 3 t anx = 0x + t anx = 0 x = kπ⇔ ⇔ Câu 3: 1.Theo định lý ba đường vuông góc BC ⊥ (SAC) ⇒ AN ⊥ BC và AN ⊥ SC ⇒AN ⊥ (SBC) ⇒ AN ⊥ MN Ta có: SA2 = SM.SB = SN.SC
- 38. Vây ∆MSN ∼∆CSB ⇒ TM là đường cao của tam giác STB ⇒ BN là đường cao của tam giác STB Theo định lý ba đường vuông góc, ta có AB ⊥ ST ⇒AB ⊥ (SAT) hay AB⊥ AT (đpcm) 2. 2 2 (ln ) ln (1 ln ) ln (1 ln ) e e e e dx d x A x x x x x = = + +∫ ∫ = 2 1 1 (ln ) ln 1 ln e e d x x x − ÷ + ∫ = 2 2 ln(ln ) ln(1 ln ) e e x x e e − + = 2ln2 – ln3 Câu 4: 1. +) (4;5;5)BA = uuur , (3; 2;0)CD = − uuur , (4;3;6)CA = uuur , (10;15; 23)BA CD = − uuur uuur ⇒ , . 0BA CD CA ≠ uuur uuur uuur ⇒ đpcm + Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P) ⊥ (Oxy) ⇒ có VTPT 1 ,n BA k = ur uuur r = (5;- 4; 0) ⇒ (P): 5x – 4y = 0 + (Q) là mặt phẳng qua CD và (Q) ⊥ (Oxy) có VTPT 1 ,n CD k = ur uuur r = (-2;- 3; 0) ⇒ (Q): 2x + 3y – 6 = 0 Ta có (D) = (P)∩(Q) ⇒ Phương trình của (D) 2. Ta có: 3 2 2 2 3 a a b a ab b − ≥ + + (1) ⇔ 3a3 ≥ (2a – b)(a2 + ab + b2 ) ⇔ a3 + b3 – a2 b – ab2 ≥ 0 ⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0. (h/n) Tương tự: 3 2 2 2 3 b b c b bc c − ≥ + + (2) , 3 2 2 2 3 c c a c ac a − ≥ + + (3) Cộng vế theo vế của ba bđt (1), (2) và (3) ta được: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a + + + + ≥ + + + + + + Vậy: S ≤ 3 ⇒ maxS = 3 khi a = b = c = 1 B. PHẦN TỰ CHỌN: Câu 5a: Theo chương trình chuẩn 1. Ta có I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ( ): 1 x y z P a b c ⇒ + + = Ta có (4 ;5;6), (4;5 ;6) (0; ; ), ( ;0; ) IA a JA b JK b c IK a c = − = − = − = − uur uur uuur uur
- 39. Ta có: 4 56 1 5 6 0 4 6 0 a b c b c a c + + = − + = − + = ⇒ 77 4 77 5 77 6 a b c = = = ⇒ ptmp(P) 2.Ta có: n 2 2 5 5 nC C+ = 45 ⇒ n2 + 3n – 18 = 0 ⇒ n = 3 Câu 5b: 1.M ∈ (D) ⇒ M(3b+4;b) ⇒ N(2 – 3b;2 – b) N ∈ (C) ⇒ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 ⇒ b = 0;b = 6/5 Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) , M’(38/5;6/5) và N’(-8/5; 4/5) 2. Đặt X = 5x ⇒ X > 0 Bất phương trình đã cho trở thành: X2 + (5 + 2m)X + m2 + 5m > 0 (*) Bpt đã cho có nghiệm với mọi x khi và chỉ khi (*) có nghiệm với mọi X > 0 ⇔∆ < 0 hoặc (*) có hai nghiệm X1 ≤ X2 ≤ 0 Từ đó suy ra m
- 40. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 -2014 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 8) A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH: ( 7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 9 9 9 9 9 9 6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6 x y y z z x P x x y y y y z z z z x x + + + = + + + + + + + + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau. Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình lượng giác: ( )2 cos sin1 tan cot 2 cot 1 x x x x x − = + − 2. Giải bất phương trình: ( )2 3 1 1 3 3 1 log 5 6 log 2 log 3 2 x x x x− + + − > + Câu III (1 điểm) Tính tích phân: ( ) 2 4 4 0 cos2 sin cosI x x x dx π = +∫ Câu IV (1 điểm) Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ. Câu V (1 điểm) Cho phương trình ( ) ( ) 341 2 1 2 1x x m x x x x m+ − + − − − = Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất. PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng ∆ định bởi: 2 2 ( ): 4 2 0; : 2 12 0C x y x y x y+ − − = ∆ + − = . Tìm điểm M trên ∆ sao cho từ M vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600 . 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2;1;0), B(1;1;3), C(2;-1;3), D(1;-1;0). Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Câu VII.a (1 điểm) Có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán kính khác nhau và 3 viên bi vàng có bán kính khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 9 viên bi có đủ ba màu? 2. Theo chương trình nâng cao. Câu VI.b (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc đường thẳng ( ) : 3 0d x y− − = và có hoành độ 9 2 Ix = , trung điểm của một cạnh là giao điểm của (d) và trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. 2. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là:
- 41. 2 2 2 () : 4 2 6 5 0, ( ): 2 2 16 0S x y z x y z P x y z+ + − + − + = + − + = . Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN. Xác định vị trí của M, N tương ứng. Câu VII.b: Cho , ,a b c là những số dương thỏa mãn: 2 2 2 3a b c+ + = . Chứng minh bất đẳng thức 2 2 2 1 1 1 4 4 4 7 7 7a b b c c a a b c + + ≥ + + + + + + + + ----------------------Hết---------------------- Đáp án.(ĐỀ 8) Câ u Ý Nội dung Điểm I 2 1,00 Ta có 3 '( ) 4 4f x x x= − . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B. Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là 3 3 '( ) 4 4 , '( ) 4 4A Bk f a a a k f b b b= = − = = − Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ( ) af' ay f a x a f a f a x f a= − + = + − ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ( ) f' by f b x b f b f b x f b b= − + = + − Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi: ( ) ( )3 3 2 2 4a 4a = 4b 4 1 0 (1)A Bk k b a b a ab b= ⇔ − − ⇔ − + + − = Vì A và B phân biệt nên a b≠ , do đó (1) tương đương với phương trình: 2 2 1 0 (2)a ab b+ + − = Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 4 2 1 0 1 0 ' ' 3 2 3 2 a ab b a ab b a b f a af a f b bf b a a b b + + − = + + − = ⇔ ≠ ⇔ − = − − + = − + , Giải hệ này ta được nghiệm là (a;b) = (-1;1), hoặc (a;b) = (1;-1), hai nghiệm này tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là ( )1; 1− − và ( )1; 1− . Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau là 2 2 1 0 1 a ab b a a b + + − = ≠ ± ≠ II 2,00 1 1,00
- 42. Điều kiện: ( )cos.sin 2 .sin . tan cot 2 0 cot 1 x x x x x x + ≠ ≠ 0,25 Từ (1) ta có: ( )2 cos sin1 cos .sin 2 2 sin sin cos2 cos cos1 cos sin 2 sin x x x x x x x x x x x x − = ⇔ = + − 0,25 2sin .cos 2 sinx x x⇔ = ( ) 2 2 4 cos 2 2 4 x k x k x k π π π π = + ⇔ = ⇔ ∈ = − + ¢ 0,25 Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là ( )2 4 x k k π π= − + ∈¢ 0,25 2 1,00 Điều kiện: 3x > 0,25 Phương trình đã cho tương đương: ( ) ( ) ( )1 1 2 3 3 3 1 1 1 log 5 6 log 2 log 3 2 2 2 x x x x− −− + + − > + ( ) ( ) ( )2 3 3 3 1 1 1 log 5 6 log 2 log 3 2 2 2 x x x x⇔ − + − − > − + ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3log 2 3 log 2 log 3x x x x⇔ − − > − − + 0,25 ( ) ( )3 3 2 log 2 3 log 3 x x x x − ⇔ − − > ÷ + ( ) ( ) 2 2 3 3 x x x x − ⇔ − − > + 2 10 9 1 10 x x x < − ⇔ − > ⇔ > 0,25 Giao với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là 10x > 0,25 III 1,00 1 1,00 ( ) 2 2 0 2 2 0 1 cos2 1 sin 2 2 1 1 1 sin 2 sin 2 2 2 I x x dx x d x π π = − ÷ = − ÷ ∫ ∫ 0,50
- 43. ( ) () 2 2 2 0 0 32 2 0 0 1 1 sin 2 sin 2 sin 2 2 4 1 1 sin 2 sin 2 0 2 12 | | d x xd x x x π π π π = − = − = ∫ ∫ 0,50 IV 1,00 Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Khi đó OM AB⊥ và ' DO N C⊥ . Giả sử I là giao điểm của MN và OO’. Đặt R = OA và h = OO’. Khi đó: OMI∆ vuông cân tại O nên: 2 2 2 . 2 2 2 2 2 h a OM OI IM h a= = ⇒ = ⇒ = 0,25 Ta có: 22 2 2 2 2 2 2 2 2 3a 2 4 4 8 8 a a a a R OA AM MO = = + = + = + = ÷ ÷ ÷ 0,25 2 3 2 3a 2 3 2 R . . , 8 2 16 a a V h π π π⇒ = = = 0,25 và 2 a 3 2 3 2 Rh=2 . . . 2 22 2 xq a a S π π π= = 0,25 V 1,00 Phương trình 2 3 2 (t R) 4 2 x t y t z t =+ =−∈ =+ (1) Điều kiện : 0 1x≤ ≤ Nếu [ ]0;1x∈ thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên để (1) có nghiệm duy nhất thì cần có điều kiện 1 1 2 x x x= − ⇒ = . Thay 1 2 x = vào (1) ta được: 3 01 1 2. 2. 12 2 m m m m = + − = ⇒ = ± 0,25
- 44. * Với m= 0; (1) trở thành: ( ) 2 4 4 1 1 0 2 x x x− − = ⇔ = Phương trình có nghiệm duy nhất. 0,25 * Với m = -1; (1) trở thành ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 4 4 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 0 1 1 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − − − − − = − ⇔ + − − − + + − − − = ⇔ − − + − − = + Với 4 4 1 1 0 2 x x x− − = ⇔ = + Với 1 1 0 2 x x x− − = ⇔ = Trường hợp này, (1) cũng có nghiệm duy nhất. 0,25 * Với m = 1 thì (1) trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 441 2 1 1 2 1 1 1x x x x x x x x x x+ − − − = − − ⇔ − − = − − Ta thấy phương trình (1) có 2 nghiệm 1 0, 2 x x= = nên trong trường hợp này (1) không có nghiệm duy nhất. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 0 và m = -1. 0,25 VI a 2,00 1 1,00 Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính 5R = . Gọi A, B là hai tiếp điểm của (C) với hai tiếp của (C) kẻ từ M. Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 600 thì IAM là nửa tam giác đều suy ra 2R=2 5IM = . Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 1 20x y− + − = . 0,25 Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng ∆ , nên tọa độ của M nghiệm đúng hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 1 20 (1) 2 12 0 (2) x y x y − + − = + − = 0,25 Khử x giữa (1) và (2) ta được: ( ) ( ) 2 2 2 3 2 10 1 20 5 42 81 0 27 5 x y y y y x = − + + − = ⇔ − + = ⇔ = 0,25
- 45. Vậy có haiđiểm thỏa mãn đề bài là: 9 3; 2 M ÷ hoặc 27 33 ; 5 10 M ÷ 0,25 2 1,00 Ta tính được 10, 13, 5AB CD AC BD AD BC= = = = = = . 0,25 Vậy tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau. Từ đó ABCD là một tứ diện gần đều. Do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện là trọng tâm G của tứ diện này. 0,25 Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là 3 3 ;0; 2 2 G ÷ , bán kính là 14 2 R GA= = . 0,50 VI Ia 1,00 Số cách chọn 9 viên bi tùy ý là : 9 18C . 0,25 Những trường hợp không có đủ ba viên bi khác màu là: + Không có bi đỏ: Khả năng này không xảy ra vì tổng các viên bi xanh và vàng chỉ là 8. + Không có bi xanh: có 9 13C cách. + Không có bi vàng: có 9 15C cách. 0,25 Mặt khác trong các cách chọn không có bi xanh, không có bi vàng thì có 9 10C cách chọn 9 viên bi đỏ được tính hai lần. Vậy số cách chọn 9 viên bi có đủ cả ba màu là: 9 9 9 9 10 18 13 15 42910C C C C+ − − = cách. 0,50 VI b 2,00 1 1,00 I có hoành độ 9 2 Ix = và ( ) 9 3 : 3 0 ; 2 2 I d x y I ∈ − − = ⇒ ÷ Vai trò A, B, C, D là như nhau nên trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của (d) và Ox, suy ra M(3;0) ( ) ( ) 2 2 9 9 2 2 2 3 2 4 4 I M I MAB IM x x y y= = − + − = + = D 12 . D = 12 AD = 2 2. 3 2 ABCD ABC S S AB A AB = ⇔ = = ( )AD d M AD ⊥ ∈ , suy ra phương trình AD: ( ) ( )1. 3 1. 0 0 3 0x y x y− + − = ⇔ + − = . Lại có MA = MD = 2 . 0,50
- 46. Vậy tọa độA, D là nghiệm của hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 22 3 0 3 3 3 2 3 3 23 2 x y y x y x x y x xx y + − = = − + = − + ⇔ ⇔ − + = − + − =− + = 3 2 3 1 1 y x x x y = − = ⇔ ⇔ − = ± = hoặc 4 1 x y = = − .Vậy A(2;1), D(4;-1), 9 3 ; 2 2 I ÷ là trung điểm của AC, suy ra: 2 9 2 72 2 3 1 2 2 A C I C I A A C C I A I x x x x x x y y y y y y + = = − = − = ⇔ + = − = − = = Tương tự I cũng là trung điểm BD nên ta có: B(5;4). Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1). 0,50 2 1,00 Mặt cầu (S) tâm I(2;-1;3) và có bán kính R = 3. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): ( )( ) ( )2.2 2. 1 3 16 , 5 3 d d I P d R + − − + = = = ⇒ > . Do đó (P) và (S) không có điểm chung.Do vậy, min MN = d –R = 5 -3 = 2. 0,25 Trong trường hợp này, M ở vị trí M0 và N ở vị trí N0. Dễ thấy N0 là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P) và M0 là giao điểm của đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S). Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với (P), thì N0 là giao điểm của ∆ và (P). Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là ( )2;2; 1Pn = − r và qua I nên có phương trình là ( ) 2 2 1 2 3 x t y t t z t = + = − + ∈ = − ¡ . 0,25 Tọa độ của N0 ứng với t nghiệm đúng phương trình: ( ) ( ) ( ) 15 5 2 2 2 2 1 2 3 16 0 9 15 0 9 3 t t t t t+ + − + − − + = ⇔ + = ⇔ = − = − Suy ra 0 4 13 14 ; ; 3 3 3 N − − ÷ . 0,25 Ta có 0 0 3 . 5 IM IN= uuuur uuur Suy ra M0(0;-3;4) 0,25 VI Ib 1,00
- 47. Áp dụng bấtđẳng thức 1 1 4 ( 0, 0)x y x y x y + ≥ > > + Ta có: 1 1 4 1 1 4 1 1 4 ; ; 2 2 2a+b+ca b b c a b c b c c a a b c c a a b + ≥ + ≥ + ≥ + + + + + + + + + + 0,50 Ta lại có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 4 4 2 2 0 2 2 4 7 2 1 1 1 0 a b c a b c a b c a b c a a b c ≥ = ⇔ + + + − − − ≥ + + + + + + ⇔ − + − + − ≥ Tương tự: 2 2 1 2 1 2 ; 2 7 2 7b c a b c a b c ≥ ≥ + + + + + + Từ đó suy ra 2 2 2 1 1 1 4 4 4 7 7 7a b b c c a a b c + + ≥ + + + + + + + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. 0,50
- 48. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 -2014 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 9) A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH: ( 7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số ( )3 2 ( ) 3 1 1y f x mx mx m x= = + − − − , m là tham số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1. 2. Xác định các giá trị của m để hàm số ( )y f x= không có cực trị. Câu II (2 điểm): Giải phương trình : 1). ( ) 4 4 sin cos 1 tan cot sin 2 2 x x x x x + = + ; 2). ( ) ( )2 3 4 82 log 1 2 log 4 log 4x x x+ + = − + + Câu III (1 điểm) Tính tích phân 3 2 2 1 2 1 dx A x x = − ∫ Câu IV (1 điểm) Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai đường sinh, biết SO = 3, khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng 1, diện tích tam giác SAB bằng 18. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho. Câu V (1 điểm) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm ( ) 2 2 7 6 0 2 1 3 0 x x x m x m − + ≤ − + − + ≥ B.PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a (2 điểm) 1. Cho tam giác ABC biết các cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A nằm trên đ.thẳng x + 2y – 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 2. Cho hai mặt phẳng( ) ( ): 2 2z + 5 = 0; Q : 2 2z -13 = 0.P x y x y+ − + − Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5;2;1) và tiếp xúc với cả hai m.phẳng (P) và (Q). Câu VII.a (1 điểm) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn các điều kiện sau: 4 3 2 1 1 2 4 3 1 1 5 4 7 15 n n n n n n C C A C A − − − − + + − < ≥ (Ở đây ,k k n n A C lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử) 2. Theo chương trình nâng cao. Câu VI.b (2 điểm) 1. Cho đường thẳng d: x – 5y – 2 = 0 và đường tròn (C): 2 2 2 4 8 0x y x y+ + − − =
- 49. .Xác định tọađộ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường thẳng d (điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông ở B. 2. Cho mặt phẳng (P): 2 2 1 0x y z− + − = và các đường thẳng: 1 2 1 3 5 5 : ; : 2 3 2 6 4 5 x y z x y z d d − − − + = = = = − − . Tìm các điểm 1 2 d , dM N∈ ∈ sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2. Câu VII.b: Tính đạo hàm f’(x) của hsố ( )3 1 ( ) ln 3 f x x = − và giải bpt: 2 0 6 sin 2 '( ) 2 t dt f x x π π > + ∫ Đáp án(ĐỀ 9) Câu Ý Nội dung Điểm 2 1,00 + Khi m = 0 1y x⇒ = − , nên hàm số không có cực trị. 0,25 + Khi 0m ≠ ( )2 ' 3 6 1y mx mx m⇒ = + − − Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi ' 0y = không có nghiệm hoặc có nghiệm kép 0,50 ( )2 2 ' 9 3 1 12 3 0m m m m m⇔ ∆ = + − = − ≤ 1 0 4 m⇔ ≤ ≤ 0,25 1 1,00 ( ) 4 4 sin cos 1 tan cot sin 2 2 x x x x x + = + (1) Điều kiện: sin 2 0x ≠ 0,25 21 1 sin 2 1 sin cos2(1) sin 2 2 cos sin x x x x x x − ⇔ = + ÷ 0,25
- 50. 2 2 1 1 sin 2 112 1 sin 2 1 sin 2 0 sin 2 sin 2 2 x x x x x − ⇔ = ⇔ − = ⇔ = Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 0,50 2 1,00 ( ) ( ) 2 3 4 82 log 1 2 log 4 log 4x x x+ + = − + + (2) Điều kiện: 1 0 4 4 4 0 1 4 0 x x x x x + ≠ − < < − > ⇔ ≠ − + > 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2) log 1 2 log 4 log 4 log 1 2 log 16 log 4 1 log 16 4 1 16 x x x x x x x x x ⇔ + + = − + + ⇔ + + = − ⇔ + = − ⇔ + = − 0,25 + Với 1 4x− < < ta có phương trình 2 4 12 0 (3)x x+ − = ; ( ) 2 (3) 6 x x = ⇔ = − lo¹i 0,25 + Với 4 1x− < < − ta có phương trình 2 4 20 0x x− − = (4); ( ) ( ) 2 24 4 2 24 x x = − ⇔ = + lo¹i Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2x = hoặc ( )2 1 6x = − 0,25 III 1,00 Đặt 2 2 2 2 1 1 2 2 dx tdt t x t x tdt xdx x x = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − 2 2 1 1 dx tdt tdt x t t ⇒ = − = − − + Đổi cận: 1 3 2 2 3 1 2 2 x t x t = ⇒ = = ⇒ = 0,50 0,50
- 51. 1 3 32 2 2 122 1 23 22 1 1 1 7 4 3 ln ln 1 1 2 1 2 3 | dt dt t A t t t + + = = = = ÷ ÷− − − ∫ ∫ IV 1,00 Gọi E là trung điểm của AB, ta có: ,OE AB SE AB⊥ ⊥ , suy ra ( )SOE AB⊥ . Dựng ( )OH SE OH SAB⊥ ⇒ ⊥ , vậy OH là khoảng cách từ O đến (SAB), theo giả thiết thì OH = 1. Tam giác SOE vuông tại O, OH là đường cao, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 8 1 9 9 9 3 8 2 2 OH SO OE OE OH SO OE OE = + ⇒ = − = − = ⇒ = ⇒ = 2 2 2 9 81 9 9 8 8 2 2 SE OE SO SE= + = + = ⇒ = 0,25 21 36 . 8 2 92 2 2 SAB SAB S S AB SE AB SE = ⇔ = = = ( ) 2 2 2 2 2 21 9 9 265 4 2 32 2 8 8 8 OA AE OE AB OE = + = + = + = + = ÷ 0,25 Thể tích hình nón đã cho: 21 1 265 265 . . .3 3 3 8 8 V OA SOπ π π= = = 0,25 Diện tích xung quanh của hình nón đã cho: 2 2 2 265 337 337 9 8 8 8 265 337 89305 . . . 8 8 8 xq SA SO OA SA S OA SAπ π π = + = + = ⇒ = = = = 0,25 V 1,00 Hệ bất phương trình ( ) 2 2 7 6 0 (1) 2 1 3 0 (2) x x x m x m − + ≤ − + − + ≥ ( )1 1 6x⇔ ≤ ≤ . Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại [ ]0 1;6x ∈ thỏa mãn (2). 0,25 ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2 3 2 2 3 2 1 ( 1;6 2 1 0) 2 1 x x x x x m m do x x x − + ⇔ − + ≥ + ⇔ ≥ ∈ ⇒ + > + 0,25
- 52. Gọi [ ] 2 23 ( ) ; 1;6 2 1 x x f x x x − + = ∈ + Hệ đã cho có nghiệm [ ]0 01;6 : ( )x f x m⇔ ∃ ∈ ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 42 2 8 ' 2 1 2 1 x xx x f x x x + −+ − = = + + ; ( ) 2 1 17 ' 0 4 0 2 f x x x x − ± = ⇔ + − = ⇔ = Vì [ ]1;6x∈ nên chỉ nhận 1 17 2 x − + = 0,25 Ta có: 2 27 1 17 3 17 (1) , (6) , 3 13 2 2 f f f − + − + = = = ÷ ÷ Vì f liên tục và có đạo hàm trên [1;6] nên 27 max ( ) 13 f x = Do đó [ ] [ ]0 0 1;6 27 1;6 : ( ) max ( ) 13x x f x m f x m m ∈ ∃ ∈ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ 0,25 VIa 2,00 1 1,00 Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương trình: ( ) 4 3 4 0 2 2;4 2 6 0 4 x y x A x y y + − = = − ⇔ ⇒ − + − = = 0,25 Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương trình ( ) 4 3 4 0 1 1;0 1 0 0 x y x B x y y + − = = ⇔ ⇒ − − = = 0,25 Đường thẳng AC đi qua điểm A(-2;4) nên phương trình có dạng: ( ) ( )2 4 0 2 4 0a x b y ax by a b+ + − = ⇔ + + − = Gọi 1 2 3: 4 3 4 0; : 2 6 0; : 2 4 0x y x y ax by a b∆ + − = ∆ + − = ∆ + + − = Từ giả thiết suy ra ( )· ( )· 2 3 1 2; ;∆ ∆ = ∆ ∆ . Do đó ( )· ( )· ( ) 2 3 1 2 2 2 2 2 |1. 2. | | 4.1 2.3| cos ; cos ; 25. 55. 0 | 2 | 2 3 4 0 3 4 0 a b a b a a b a b a a b a b + + ∆ ∆ = ∆ ∆ ⇔ = + = ⇔ + = + ⇔ − = ⇔ − = + a = 0 0b⇒ ≠ . Do đó 3 : 4 0y∆ − = + 3a – 4b = 0: Có thể cho a = 4 thì b = 3. Suy ra 3 : 4 3 4 0x y∆ + − = (trùng với 1∆ ). Do vậy, phương trình của đường thẳng AC là y - 4 = 0. 0,25 Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương trình: ( ) 4 0 5 5;4 1 0 4 y x C x y y − = = ⇔ ⇒ − − = = 0,25 2 1,00
- 53. Gọi I(a;b;c) làtâm và R là bán kính của mặt cầu (S). Từ giả thiết ta có: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , , , , , OI AI OI AI d I P d I Q OI d I P d I P d I Q = = = = ⇔ = = 0,25 Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 2 5 2 1 10 4 2 30 (1) OI AI OI AI a b c a b c a b c = ⇔ = ⇔ + + = − + − + − ⇔ + + = ( )( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2| 2 2 5| , 9 2 2 5 (2) 3 a b c OI d I P a b c a b c a b c + − + = ⇔ + + = ⇔ + + = + − + ( )( ) ( )( ) | 2 2 5| | 2 2 13| , , 3 3 2 2 5 2 2 13 ( ) 2 2 4 (3) 2 2 5 2 2 13 a b c a b c d I P d I Q a b c a b c a b c a b c a b c + − + + − − = ⇔ = + − + = + − − ⇔ ⇔ + − = + − + = − − + + lo¹i Từ (1) và (3) suy ra: 17 11 11 4a ; (4) 3 6 3 a b c − = − = 0,25 Từ (2) và (3) suy ra: 2 2 2 9 (5)a b c+ + = Thế (4) vào (5) và thu gọn ta được: ( ) ( )2 221 658 0a a− − = Như vậy 2a = hoặc 658 221 a = .Suy ra: I(2;2;1) và R = 3 hoặc 658 46 67 ; ; 221 221 221 I − ÷ và R = 3. 0,25 Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu với phương trình lần lượt là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 9x y z− + − + − = và 2 2 2 658 46 67 9 221 221 221 x y z − + − + + = ÷ ÷ ÷ 0,25 VIIa 1,00 Điều kiện: 1 4 5n n− ≥ ⇔ ≥ Hệ điều kiện ban đầu tương đương: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 1 2 3 5 2 3 4.3.2.1 3.2.1 4 1 1 2 3 7 1 1 5.4.3.2.1 15 n n n n n n n n n n n n n n n n n − − − − − − − − < − − ⇔ + − − − ≥ + − 0,50 2 2 9 22 0 5 50 0 10 5 n n n n n n − − < ⇔ − − ≥ ⇔ = ≥ 0,50
- 54. VIb 2,00 1 1,00 Tọađộ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình 2 2 0; 22 4 8 0 1; 35 2 0 y xx y x y y xx y = = + + − − = ⇔ = − = −− − = 0,50 Vì A có hoành độ dương nên ta được A(2;0), B(-3;-1). Vì · 0 90ABC = nên AC là đường kính đường tròn, tức là điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I của đường tròn. Tâm I(-1;2), suy ra C(-4;4). 0,50 2 1,00 Phương trình tham số của d1 là: 1 2 3 3 2 x t y t z t = + = − = . M thuộc d1 nên tọa độ của M ( )1 2 ;3 3 ;2t t t+ − . Theo đề: ( )( ) ( ) ( ) 1 222 2 |1 2 2 3 3 4 1| |12 6 | , 2 2 12 6 6 1, 0. 31 2 2 t t t t d M P t t t + − − + − − = = ⇔ = ⇔ − = ± ⇔ = = + − + 0,25 + Với t1 = 1 ta được ( )1 3;0;2M ; + Với t2 = 0 ta được ( )2 1;3;0M 0,25 + Ứng với M1, điểm N1 2d∈ cần tìm phải là giao của d2 với mp qua M1 và // mp (P), gọi mp này là (Q1). PT (Q1) là: ( ) ( )3 2 2 2 0 2 2 7 0 (1)x y z x y z− − + − = ⇔ − + − = . Phương trình tham số của d2 là: 5 6 4 5 5 x t y t z t = + = = − − (2) Thay (2) vào (1), ta được: -12t – 12 = 0 ⇔ t = -1. Điểm N1 cần tìm là N1(-1;-4;0). 0,25 + Ứng với M2, tương tự tìm được N2(5;0;-5). 0,25 VIIb 1,00 Điều kiện ( ) 3 1 0 3 3 x x > ⇔ < − ( ) ( ) ( )3 1 ( ) ln ln1 3ln 3 3ln 3 3 f x x x x = = − − = − − − ; ( ) ( ) 1 3 '( ) 3 3 ' 3 3 f x x x x = − − = − − 0,25 Ta có: ( ) ( ) ( )2 0 0 0 6 6 1 cos 3 3 sin sin sin 0 sin0 3 2 2 | t t dt dt t t π π π π π π π π π − = = − = − − − = ∫ ∫ 0,25 Khi đó: 2 0 6 sin 2 '( ) 2 t dt f x x π π > + ∫ ( ) ( ) 2 13 3 20 3 23 2 1 3 3; 2 3; 2 2 x x x xx x x x x x x − < − <> − +⇔ ⇔ ⇔− + < < < ≠ − < ≠ − 0,50
- 56. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 -2014 M?n thi : TO?N (ĐỀ 10) B?i 1: Cho h?m số 4 3 2 x 2x 3 x 1 (1)y x m m= + − − + . 1). Khảo s?t sự biến thi?n v? vẽ đồ thị (C) của h?m số (1) khi m = 0. 2). Định m để h?m số (1) c? hai cực tiểu. B?i 2: 1). Giải phương tr?nh: cos3xcos3 x – sin3xsin3 x = 2 3 2 8 + 2). Giải phương tr?nh: 2x +1 +x ( )2 2 2 1 2x 3 0x x x+ + + + + = B?i 3: Cho c?c điểm A(-1; -1; 0), B(1; -1; 2), C(2; -2; 1), D(-1;1;1). 1). Viết phương tr?nh của m.phẳng chứa AB v? song song với CD. T?nh g?c giữa AB, CD. 2). Giả sử mặt phẳng (α ) đi qua D v? cắt ba trục tọa độ tại c?c điểm M, N, P kh?c gốc O sao cho D l? trực t?m của tam gi?c MNP. H?y viết phương tr?nh của (α ). B?i 4: T?nh t?ch ph?n: ( ) 2 0 1 sin2xdxI x π = +∫ . B?i 5: Giải phương tr?nh: ( ) ( )1 4 2 2 2 1 sin 2 1 2 0x x x x y+ − + − + − + = . B?i 6: Giải bất phương tr?nh: 2 2 1 2 9 1 10.3x x x x+ − + − + ≥ . B?i 7: 1). Cho tập A gồm 50 phần tử kh?c nhau. X?t c?c tập con kh?ng rỗng chứa một số chẵn c?c phần tử r?t ra từ tập A. H?y t?nh xem c? bao nhi?u tập con như vậy. 2). Cho số phức 1 3 z 2 2 i= − + . H?y t?nh : 1 + z + z2 . B?i 8: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' c? A'.ABC l? h.ch?p tam gi?c đều cạnh đ?y AB = a, cạnh b?n AA' = b. Gọi α l? g?c giữa hai mặt phẳng (ABC) v? (A'BC). T?nh tanα v? thể t?ch của khối ch?p A'.BB'C'C. C?u 9:
- 57. Trong mặt phẳngvới hệ toạ độ Oxy cho điểm C(2; 0) v? elip (E): 2 2 1 4 1 x y + = . T?m toạ độ c?c điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục ho?nh v? tam gi?c ABC l? tam gi?c đều. ----------------------------------------------------------- Hết------------------------------------------------------------- HƯỚNG DẪN GIẢI (đề 10) B?i 1: 2) 4 3 2 x 2x 2 x 1y x m m= + − − + (1) Đạo h?m / 3 2 2 y 4x 3mx 4x 3m (x 1)[4x (4 3m)x 3m]= + − − = − + + + ° / 2 x 1 y 0 4x (4 3m)x 3m 0 (2) = = ⇔ + + + = ° H?m số c? 2 cực tiểu Û y c? 3 cực trị Û y/ = 0 c? 3 nghiệm ph?n biệt Û (2) c? 2 nghiệm ph?n biệt kh?c 1 2 (3m 4) 0 4 m . 34 4 3m 3m 0 ∆ = − > ⇔ ⇔ ≠ ± + + + ≠ Giả sử: Với 4 m 3 ≠ ± , th? y/ = 0 c? 3 nghiệm ph?n biệt 1 2 3x , x , x Bảng biến thi?n: x -¥ x1 x2 x3 +¥ y/ - 0 + 0 - 0 + y +¥ CT CĐ CT +¥ ° Từ bảng biến thi?n ta thấy h?m số c? 2 cực tiểu. Kết luận: Vậy, h?m số c? 2 cực tiểu khi 4 m . 3 ≠ ± B?i 2: 1). Ta c?: cos3xcos3 x – sin3xsin3 x = 2 3 2 8 + Û cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 2 3 2 8 + Û ( )2 2 2 3 2 os 3x sin 3x+3 os3x osx sin3xsinx 2 c c c + + − = Û 2 os4x , 2 16 2 c x k k Z π π = ⇔ = ± + ∈ . 2) Giải phương tr?nh : 2x +1 +x ( )2 2 2 1 2x 3 0x x x+ + + + + = . (a)
- 58. * Đặt: −= + = + > = + ⇒ ⇒ − − = + + = = + + > 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 v u 2x 1 u x 2, u 0 u x 2 v u 1 v x 2x 3 xv x 2x 3, v 0 2 ° Ta c?: − − − − − − ⇔ − + + + = ⇔ − + − + + = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ − = + ⇔ − − + + = ⇔ + ÷ + + + = ÷ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2v u 1 v u 1 v u u v u v (a) v u .u 1 .v 0 v u .u .v 0 2 2 2 2 2 2 v u 0 (b) v u 1 (v u) (v u) 1 0 v u 1 (v u) 1 0 (c)2 2 2 2 V? u > 0, v > 0, n?n (c) v? nghiệm. Do đ?: ⇔ − = ⇔ = ⇔ + + = + ⇔ + + = + ⇔ = −2 2 2 2 1 (a) v u 0 v u x 2x 3 x 2 x 2x 3 x 2 x 2 Kết luận, phương tr?nh c? nghiệm duy nhất: x = 1 2 − . B?i 3: 1) + Ta c? ( ) ( ) ( ) 2;0;2 , D 6; 6;6 D 3;3;0 AB AB C C = ⇔ = − − = − uuur uuur uuur uuur . Do đ? mặt phẳng (P) chứa AB v? song song CD c? một VTPT ( )1;1; 1n = − r v? A(-1; -1; 0) thuộc (P) c? phương tr?nh: x + y – z + 2 = 0.(P) Thử tọa độ C(2; -2; 1) v?o phương tr?nh (P) Þ C kh?ng thuộc (P), do đ? (P) // CD. + ( ) ( ) ( ) 0 . D 1 os , D os , D , D 60 . D 2 AB C c AB C c AB C AB C AB C = = = ⇒ = uuur uuur uuur uuur 2) Theo giả thiết ta c? M(m; 0; 0) ÎOx , N(0; n; 0) ÎOy , P(0; 0; p) Î Oz. Ta c? : ( ) ( ) ( ) ( ) 1; 1; 1 ; ; ;0 . 1; 1; 1 ; ;0; . DP p NM m n DP NM m n DN n PM m p DN PM m p = − − = − = + ⇒ = − − = − = + uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur . Mặt kh?c: Phương tr?nh mặt phẳng (α ) theo đoạn chắn: 1 x y z m n p + + = . V? D Î(α ) n?n: 1 1 1 1 m n p − + + = . D l? trực t?m của DMNP Û . 0 . 0 DP NM DP NM DN PM DN PM ⊥ = ⇔ ⊥ = uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur . Ta c? hệ:
- 59. 0 3 0 3 1 1 1 1 mn m m p n p m n p + = = − + = ⇒ = =− + + = . Kết luận, phương tr?nh của mặt phẳng (α ): 1 3 3 3 x y z + + = − . B?i 4: T?nh t?ch ph?n ( ) 2 0 1 sin2xdxI x π = +∫ . Đặt x 1 1 sin 2xdx os2x 2 du d u x dv v c = = + ⇒ = = I = ( ) /2 2 2 0 00 1 1 1 1 os2x os2xdx 1 sin 2x 1 2 2 4 4 4 x c c π π π π π − + + = + + = +∫ . B?i 5: Giải phương tr?nh ( ) ( )1 4 2 2 2 1 sin 2 1 2 0x x x x y+ − + − + − + = (*) Ta c?: (*) Û ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 sin 2 1 0(1) 2 1 sin 2 1 os 2 1 0 os 2 1 0(2) x x x x x x y y c y c y − + + − = − + + − + + − = ⇔ + − = Từ (2) Þ ( )sin 2 1 1x y+ − = ± . Khi ( )sin 2 1 1x y+ − = , thay v?o (1), ta được: 2x = 0 (VN) Khi ( )sin 2 1 1x y+ − = − , thay v?o (1), ta được: 2x = 2 Û x = 1. Thay x = 1 v?o (1) Þ sin(y +1) = -1 Û 1 , 2 y k k Z π π= − − + ∈ . Kết luận: Phương tr?nh c? nghiệm: 1; 1 , 2 k k Z π π − − + ∈ ÷ . B?i 6: Giải bất phương tr?nh: 2 2 1 2 9 1 10.3x x x x+ − + − + ≥ . Đặt 2 3x x t + = , t > 0. Bất phương tr?nh trở th?nh: t2 – 10t + 9 ³ 0 Û ( t £ 1 hoặc t ³ 9) Khi t £ 1 Þ 2 2 3 1 0 1 0x x t x x x+ = ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ .(i) Khi t ³ 9 Þ 2 2 2 3 9 2 0 1 x x x t x x x + ≤ − = ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≥ (2i) Kết hợp (i) v? (2i) ta c? tập nghiệm của bpt l?: S = (- ¥; -2]È[-1;0]È[1; + ¥).
- 60. B?i 7: 1) Sốtập con k phần tử được tr?ch ra từ tập A l? 50 k C Þ Số tất cả c?c tập con kh?ng rỗng chứa một số chẵn c?c phần tử từ A l? : S = 2 4 6 50 50 50 50 50S ...C C C C= + + + + . X?t f(x) = ( ) 50 0 1 2 2 49 49 50 50 50 50 50 50 501 ...x C C x C x C x C x+ = + + + + + Khi đ? f(1) =250 0 1 2 49 50 50 50 50 50 50...C C C C C= + + + + + . f(-1) = 0 0 1 2 49 50 50 50 50 50 50...C C C C C= − + − − + Do đ?: f(1) + f(-1) = 250 Û ( )2 4 6 50 50 50 50 50 502 ... 2C C C C+ + + + = Þ ( ) 50 49 2 1 2 2 1S S+ = ⇒ = − . Kết luận:Số tập con t?m được l? 49 2 1S = − 2) Ta c? 2 1 3 3 4 4 2 z i= − − . Do đ?: 2 1 3 1 3 1 1 0 2 2 2 2 z z i i + + = + − + + − − = ÷ ÷ B?i 8: Gọi E l? trung điểm của BC, H l? trọng t?m của D ABC. V? A'.ABC l? h?nh ch?p đều n?n g?c giữa hai mặt phẳng (ABC) v? (A'BC) l? j = · 'A EH . T? c? : 3 3 3 E , , 2 3 6 a a a A AH HE= = = Þ 2 2 2 2 9 3a A' ' 3 b H A A AH − = − = . Do đ?: 2 2 ' 2 3 tan A H b a HE a ϕ − = = ; 2 2 2 2 . ' ' ' 3 3 ' . 4 4 ABC ABC A B C ABC a a b a S V A H S∆ ∆ − = ⇒ = = 2 2 2 '. 1 3 ' . 3 12 A ABC ABC a b a V A H S∆ − = = . Do đ?: ' ' ' . ' ' ' '.A BB CC ABC A B C A ABCV V V= − . 2 2 2 ' ' ' 1 3 ' . 3 6 A BB CC ABC a b a V A H S∆ − = = (đvtt)
- 61. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 -2014 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 11) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 4 2 ( ) 8x 9x 1y f x= = − + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4 2 8 os 9 os 0c x c x m− + = với [0; ]x π∈ . Câu II (2 điểm) : Giải phương trình, hệ phương trình: 1. ( ) 3log 1 2 2 2 x x x x − − = − ÷ ; 2. 2 2 2 2 12 12 x y x y y x y + + − = − = Câu III: Tính diện tích của miền phẳng giới hạn bởi các đường 2 | 4 |y x x= − và 2y x= . Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ. Câu V (1 điểm) Định m để phương trình sau có nghiệm 2 4sin3xsinx + 4cos 3x - os x + os 2x + 0 4 4 4 c c m π π π − + = ÷ ÷ ÷ PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình chuẩn. Câu VI.a (2 điểm) 1. Cho∆ ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2 1 0x y+ + = và phân giác trong CD: 1 0x y+ − = . Viết phương trình đường thẳng BC. 2. Cho đường thẳng (D) có phương trình: 2 2 2 2 x t y t z t = − + = − = + .Gọi ∆ là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) và I(-2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (D). Trong các mặt phẳng qua ∆ , hãy viết phương trình của mặt phẳng có khoảng cách đến (D) là lớn nhất. Câu VII.a (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng 1 1 1 5 1 1 1xy yz zx x y z + + ≤ + + + + + 2. Theo chương trình nâng cao. Câu VI.b (2 điểm) 1. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D.
- 62. 2. Cho haiđiểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng ∆ có phương trình tham số 1 2 1 2 x t y t z t = − + = − = .Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ , tìm điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu VII.b (1 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh 1 1 2 2 3 3 2 3 3 b c a a b a c a b c a c a b + + + + < ÷ + + + + + + ----------------------Hết---------------------- ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ SỐ 11 Câu Ý Nội dung Điểm I 2 1,00 Xét phương trình 4 2 8 os 9 os 0c x c x m− + = với [0; ]x π∈ (1) Đặt osxt c= , phương trình (1) trở thành: 4 2 8 9 0 (2)t t m− + = Vì [0; ]x π∈ nên [ 1;1]t ∈ − , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng nhau. 0,25 Ta có: 4 2 (2) 8 9 1 1 (3)t t m⇔ − + = − Gọi (C1): 4 2 8 9 1y t t= − + với [ 1;1]t ∈ − và (D): y = 1 – m. Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (D). Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền 1 1t− ≤ ≤ . 0,25 Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau: • 81 32 m > : Phương trình đã cho vô nghiệm. 1. 81 32 m = : Phương trình đã cho có 2 nghiệm. • 81 1 32 m≤ < : Phương trình đã cho có 4 nghiệm. • 0 1m< < : Phương trình đã cho có 2 nghiệm. • 0m = : Phương trình đã cho có 1 nghiệm. • m < 0 : Phương trình đã cho vô nghiệm. 0,50 II 2,00 1 1,00 Phương trình đã cho tương đương: 33 loglog 3 2 0 22 0 111 log ln 0ln 01 222 222 0 xx x xx x xxx xxx − = =− = ⇔ ⇔ − =− = − = ÷ ÷ ÷ >> − > 0,50
- 63. 3 2 2 2 log0 1 1 21 1 3 ln 0 1 2 2 2 2 22 x x x x x x x x x x x xx = = = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − = − = = ÷ > >> 0,50 2 1,00 Điều kiện: | | | |x y≥ Đặt 2 2 ; 0u x y u v x y = − ≥ = + ; x y= − không thỏa hệ nên xét x y≠ − ta có 2 1 2 u y v v = − ÷ . Hệ phương trình đã cho có dạng: 2 12 12 2 u v u u v v + = − = ÷ 0,25 4 8 u v = ⇔ = hoặc 3 9 u v = = + 2 2 4 4 8 8 u x y v x y = − = ⇔ = + = (I) + 2 2 3 3 9 9 u x y v x y = − = ⇔ = + = (II) 0,25 Giải hệ (I), (II). 0,25 Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương trình ban đầu là ( ) ( ){ }5;3 , 5;4S = 0,25 Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương trình ban đầu là ( ) ( ){ }5;3 , 5;4S = 1,00 III 0,25 Diện tích miền phẳng giới hạn bởi: 2 | 4 | ( )y x x C= − và ( ) : 2d y x= Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 0,25
- 64. 2 2 2 22 0 0 0 | 4 | 2 24 2 6 0 64 2 2 0 x x x x x x xx x x x x xx x x x x ≥ ≥ = − = ⇔ ⇔ ⇔ =− = − = =− = − − = Suy ra diện tích cần tính: ( ) ( ) 2 6 2 2 0 2 4 2 4 2S x x x dx x x x dx= − − + − −∫ ∫ Tính: ( ) 2 2 0 | 4 | 2I x x x dx= − −∫ Vì [ ] 2 0;2 , 4 0x x x∀ ∈ − ≤ nên 2 2 | 4 | 4x x x x− = − + ⇒ ( ) 2 2 0 4 4 2 3 I x x x dx= − + − =∫ 0,25 Tính ( ) 6 2 2 | 4 | 2K x x x dx= − −∫ Vì [ ] 2 2;4 , 4 0x x x∀ ∈ − ≤ và [ ] 2 4;6 , 4 0x x x∀ ∈ − ≥ nên ( ) ( ) 4 6 2 2 2 4 4 2 4 2 16K x x x dx x x x dx= − − + − − = −∫ ∫ . 0,25 Vậy 4 52 16 3 3 S = + = 1,00 IV 0,25 Gọi H, H’ là tâm của các tam giác đều ABC, A’B’C’. Gọi I, I’ là trung điểm của AB, A’B’. Ta có: ( ) ( ) ( )' ' ' ' ' ' AB IC AB CHH ABB A CII C AB HH ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai đáy tại H, H’ và tiếp xúc với mặt bên (ABB’A’) tại điểm 'K II∈ . 0,25
- 65. Gọi x làcạnh đáy nhỏ, theo giả thiết 2x là cạnh đáy lớn. Ta có: 1 3 1 3 ' ' ' ' ' ; 3 6 3 3 x x I K I H I C IK IH IC= = = = = = Tam giác IOI’ vuông ở O nên: 2 2 2 23 3 ' . . 6r 6 3 x x I K IK OK r x= ⇒ = ⇒ = 0,25 Thể tích hình chóp cụt tính bởi: ( )' . ' 3 h V B B B B= + + Trong đó: 2 2 2 2 24x 3 3 3r 3 3 6r 3; ' ; 2r 4 4 2 x B x B h= = = = = = 0,2 5 Từ đó, ta có: 2 2 3 2 22r 3r 3 3r 3 21r . 3 6r 3 6r 3. 3 2 2 3 V ÷= + + = ÷ 0,2 5 V 1,0 0 Ta có: +/ ( )4sin3xsinx = 2 cos2x - cos4x ; +/ ( )4 os 3x - os x + 2 os 2x - os4x 2 sin 2x + cos4x 4 4 2 c c c c π π π = + = ÷ ÷ ÷ +/ ( )2 1 1 os 2x + 1 os 4x + 1 sin 4x 4 2 2 2 c c π π = + = − ÷ ÷ ÷ Do đó phương trình đã cho tương đương: ( ) 1 1 2 os2x + sin2x sin 4x + m - 0 (1) 2 2 c + = Đặt os2x + sin2x = 2 os 2x - 4 t c c π = ÷ (điều kiện: 2 2t− ≤ ≤ ). 0,2 5 Khi đó 2 sin 4x = 2sin2xcos2x = t 1− . Phương trình (1) trở thành: 2 4 2 2 0t t m+ + − = (2) với 2 2t− ≤ ≤ 2 (2) 4 2 2t t m⇔ + = − Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( ) : 2 2D y m= − (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ 2 – 2m) và (P): 2 4y t t= + với 2 2t− ≤ ≤ . 0,2 5 Trong đoạn 2; 2 − , hàm số 2 4y t t= + đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2− tại 2t = − và đạt giá trị lớn nhất là 2 4 2+ tại 2t = . 0,2 5 Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2 2 2 2 4 2m− ≤ − ≤ + 2 2 2 2m⇔ − ≤ ≤ . 0,2 5
- 66. VI a 2,0 0 1 1,0 0 Điểm (): 1 0 ;1C CD x y C t t∈ + − = ⇒ − . Suy ra trung điểm M của AC là 1 3 ; 2 2 t t M + − ÷ . 0,2 5 Điểm ( ) 1 3 : 2 1 0 2 1 0 7 7;8 2 2 t t M BM x y t C + − ∈ + + = ⇒ + + = ⇔ = − ⇒ − ÷ 0,25 0,25Từ A(1;2), kẻ : 1 0AK CD x y⊥ + − = tại I (điểm K BC∈ ). Suy ra ( ) ( ): 1 2 0 1 0AK x y x y− − − = ⇔ − + = . Tọa độ điểm I thỏa hệ: ( ) 1 0 0;1 1 0 x y I x y + − = ⇒ − + = . Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK ⇒ tọa độ của ( )1;0K − . Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: 1 4 3 4 0 7 1 8 x y x y + = ⇔ + + = − + 2 Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng ∆ , thì ( )//( )P D hoặc ( ) ( )P D⊃ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có IH IA≤ và IH AH⊥ . Mặt khác ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) , ,d D P d I P IH H P = = ∈ Trong mặt phẳng ( )P , IH IA≤ ; do đó axIH = IA H Am ⇔ ≡ . Lúc này (P) ở vị trí (P0) vuông góc với IA tại A. Vectơ pháp tuyến của (P0) là ( )6;0; 3n IA= = − r uur , cùng phương với ( )2;0; 1v = − r . Phương trình của mặt phẳng (P0) là: ( ) ( )2 4 1. 1 2x - z - 9 = 0x z− − + = . VIIa
- 67. Để ý rằng( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 0xy x y x y+ − + = − − ≥ ; và tương tự ta cũng có 1 1 yz y z zx z x + ≥ + + ≥ + 0,25 Vì vậy ta có: ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 zx+y 1 5 1 1 5 5 x y z x y z xy yz zx yz zx xy x y z yz xy z z y x yz zx y xy z z y x z y y z + + + + ≤ + + + + + ÷ + + + + + + ≤ + + + + + = − − + ÷ + + + ≤ − − + ÷ + + = vv 1,00 Ta có: ( )1;2 5AB AB= − ⇒ = uuur . Phương trình của AB là: 2 2 0x y+ − = . ( ) ( ): ;I d y x I t t∈ = ⇒ . I là trung điểm của AC và BD nên ta có: ( ) ( )2 1;2 , 2 ;2 2C t t D t t− − . 0,25 Mặt khác: D . 4ABCS AB CH= = (CH: chiều cao) 4 5 CH⇒ = . 0,25 Ngoài ra: ( ) ( ) ( ) 4 5 8 8 2 ; , ;| 6 4 | 4 3 3 3 3 3; 5 5 0 1;0 , 0; 2 t C Dt d C AB CH t C D = ⇒− ÷ ÷ = ⇔ = ⇔ = ⇒ − − Vậy tọa độ của C và D là 5 8 8 2 ; , ; 3 3 3 3 C D ÷ ÷ hoặc ( ) ( )1;0 , 0; 2C D− − 0,50 2 1,00
- 68. Gọi P làchu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM. Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất. Đường thẳng ∆ có phương trình tham số: 1 2 1 2 x t y t z t = − + = − = . Điểm M ∈∆ nên ( )1 2 ;1 ;2M t t t− + − . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 22 22 2 2 22 2 22 2 2 2 4 2 9 20 3 2 5 4 2 2 6 2 9 36 56 3 6 2 5 3 2 5 3 6 2 5 AM t t t t t BM t t t t t t AM BM t t = − + + − − + = + = + = − + + − − + − + = − + = − + + = + + − + 0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ ( )3 ;2 5u t= r và ( )3 6;2 5v t= − + r . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 | | 3 2 5 | | 3 6 2 5 u t v t = + = − + r r Suy ra | | | |AM BM u v+ = + r r và ( )6;4 5 | | 2 29u v u v+ = ⇒ + = r r r r Mặt khác, với hai vectơ ,u v r r ta luôn có | | | | | |u v u v+ ≥ + r r r r Như vậy 2 29AM BM+ ≥ 0,25 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ,u v r r cùng hướng 3 2 5 1 3 6 2 5 t t t ⇔ = ⇔ = − + ( )1;0;2M⇒ và ( )min 2 29AM BM+ = . 0,25 Vậy khi M(1;0;2) thì minP = ( )2 11 29+ 0,25 VIIb 1,00
- 69. Vì a, b,c là ba cạnh tam giác nên: a b c b c a c a b + > + > + > . Đặt ( ), , , , 0 , , 2 2 a b c a x y a z x y z x y z y z x z x y + + = = = > ⇒ + > + > + > . Vế trái viết lại: 2 3 3 2 a b a c a VT a c a b a b c x y z y z z x x y + + = + + + + + + = + + + + + 0,50 Ta có: ( ) ( ) 2 2 z z x y z z x y z z x y x y z x y + > ⇔ + + < + ⇔ > + + + . Tương tự: 2 2 ; . x x y y y z x y z z x x y z < < + + + + + + Do đó: ( )2 2 x y zx y z y z z x x y x y z + + + + < = + + + + + . Tức là: 1 1 2 2 3 3 2 3 3 b c a a b a c a b c a c a b + + + + < ÷ + + + + + + 0,50
- 70. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 -2014 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 12) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số ( ) ( )3 21 y m 1 x mx 3m 2 x 3 = - + + - (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 2= 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. Câu II (2,0 điểm) 1. Giài phương trình: ( ) ( )2cos x 1 sin x cos x 1- + = 2. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 1 1 4 4 4 3 log x 2 3 log 4 x log x 6 2 + - = - + + Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: ∫ +− = 2 0 2 6sin5sin cos π dx xx x I Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng A'BC tạo với đáy một góc 0 30 và tam giác A'BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Câu V (1,0 điểm) Cho x, y là hai số dương thỏa điều kiện 5 x y 4 + = . Tìm GTNN của biểu thức: 4 1 S x 4y = + II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2). 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa (2.0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy. Viết phương trình đường thẳng ( )D đi qua điểm M(3;1) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;-2). 2. Cho điểm A(4;0;0) và điểm ( )0 0 0 0B(x ;y ;0), x 0;y 0> > sao cho OB 8= và góc · 0 AOB 60= . Xác định tọa độ điểm C trên trục Oz để thể tích tứ diện OABC bằng 8. Câu VII.a (1,0 điểm) Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3. 2. Theo chương trình Nâng cao: Câu VIb (2,0 điểm) 1. Viết phương trình đường thẳng ( )D đi qua điểm M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt
- 71. tại A vàB sao cho giá trị của tồng OA OB+ nhỏ nhất. 2. Cho tứ diện ABCD có ba đỉnh A(2;1; 1), B(3;0;1),C(2; 1;3)- - , còn đỉnh D nằm trên trục Oy. Tìm tọa độ đỉnh D nếu tứ diện có thể tích V 5= Câu VII.b (1,0 điểm) Từ các số 0;1;2;3;4;5. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có 3 chữ số không chia hết cho 3 mà các chữ số trong mỗi số là khác nhau. ------------------------Hết------------------------ KẾT QUẢ ĐỀ 12 Câu I (2,0 điểm) 1. Tự giải 2. m 2³ Câu II (2,0 điểm) 1. k2 x k2 ;x 6 3 p p = = +p 2. x 2;x 1 33= = - Câu III (1,0 điểm) 4 I ln 3 = Câu IV (1,0 điểm) V 8 3= Câu V (1,0 điểm) min S 5= Câu VIa (2.0 điểm) 1. x 3y 6 0;x y 2 0+ - = - - = 2. 1 2C (0;0; 3),C (0;0; 3)- Câu VII.a (1,0 điểm) 192 số Câu VIb (2,0 điểm) 1. x 2y 6 0+ - = 2. 1 2D (0; 7;0), D (0;8;0)- Câu VII.b (1,0 điểm) 64 số ------------------------Hết------------------------
- 72. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 -2014 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 13) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: ( )3 2 3 1 9 2y x m x x m= − + + + − (1) có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m =1. 2) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng 1 2 y x= . Câu II: (2,5 điểm) 1) Giải phương trình: ( ) ( )3 sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x+ − − + − − = . 2) Giải bất phương trình : ( )2 2 1 2 1 1 log 4 5 log 2 7 x x x + − > ÷ + . 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x.sin2x, y=2x, x= 2 π . Câu III: (2 điểm) 1) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc là 450 . Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho 1 2 AP AH= uuur uuur . gọi K là trung điểm AA’, ( )α là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’ tại M, N. Tính tỉ số thể tích ' ' ' ABCKMN A B C KMN V V . 2) Giải hệ phương trình sau trong tập số phức: ( ) 2 2 2 2 2 2 6 5 6 0 a a a a a b ab b a a + − = + + + + − = Câu IV: (2,5 điểm) 1) Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy được 5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung? Biết m, n là nghiệm của hệ sau: 2 2 1 3 1 9 19 2 2 720 m m n m n C C A P − + − + + < = 2 ) Cho Elip có phương trình chính tắc 2 2 1 25 9 x y + = (E), viết phương trình đường thẳng song song Oy và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho AB=4. 3) Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình:
- 73. 1 2 : 2 3 x t dy t z t = + = + = − 2 1 2 1 : 2 1 5 x y z d − − − = = Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 và d2? Câu V: Cho a, b, c 0≥ và 2 2 2 3a b c+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 2 2 2 1 1 1 a b c P b c a = + + + + + ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 13
- 74. Câu NỘI DUNGĐiểm Câu I. b) 9)1(63' 2 ++−= xmxy Để hàm số có cực đậi, cực tiểu: 09.3)1(9' 2 >−+=∆ m 03)1( 2 >−+= m );31()31;( +∞+−∪−−−∞∈⇔m Ta có ( ) 14)22(29)1(63 3 1 3 1 22 ++−+−++− + −= mxmmxmx m xy Gọi tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là (x1; y1) và (x2; y2) 14)22(2 1 2 1 ++−+−=⇒ mxmmy 14)22(2 2 2 2 ++−+−= mxmmy Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là 14)22(2 2 ++−+−= mxmmy Vì hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đt xy 2 1 = ta có điều kiện cần là [ ] 1 2 1 .)22(2 2 −=−+− mm 1222 =−+⇔ mm −= = ⇔=−+⇔ 3 1 0322 m m mm Theo định lí Viet ta có: = +=+ 3. )1(2 21 21 xx mxx Khi m = 1 ⇒ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là: y = - 2x + 5. Tọa độ trung điểm CĐ và CT là: = ++− = + == + 1 2 10)(2 2 2 2 4 2 2121 21 xxyy xx Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (2; 1) thuộc đường thẳng xy 2 1 = 1=⇒ m thỏa mãn. Khi m = -3 ⇒ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là: y = -2x – 11. Tọa độ trung điểm CĐ và CT là: = ++− = + −= + 9 2 10)(2 2 2 2 2121 21 xxyy xx Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (-2; 9) không thuộc đường thẳng xy 2 1 = 3−=⇒ m không thỏa mãn. Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài. 1) Giải phương trình: 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ45 E K J I A B C C' B' A' P H Q N M
- 76. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 -2014 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 14) I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH. (7 điểm) Câu I.(2 điểm) Cho hàm số y = x3 + mx + 2 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -3. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất. Câu II. (2 điểm) 1. Giải hệ phương trình : =++ =+ 22 1 322 33 yxyyx yx 2. Giải phương trình: xxx tansin2) 4 (sin2 22 −=− π . Câu III.(1 điểm) Tính tích phân ∫ − = 2 1 2 4 dx x x I Câu IV.(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h vuông góc mặt phẳng (ABCD), M là điểm thay đổi trên CD. Kẻ SH vuông góc BM. Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. Câu V.(1 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: mxx =−+4 2 1 II. PHẦN RIÊNG. (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a họăc phần b) Câu VI a.(2 điểm) 1.Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x – 2y + 3 = 0, d2 : 4x + 3y – 5 = 0. Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I trên d1, tiếp xúc d2 và có bán kính R = 2. 2.Cho hai đường thẳng d1: 211 zyx == , d2: += = −−= tz ty tx 1 21 và mặt phẳng (P): x – y – z = 0. Tìm tọa độ hai điểm M 1d∈ , N 2d∈ sao cho MN song song (P) và MN = 6 Câu VII a.(1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn : 1 4 = − + iz iz Câu VI b.(2 điểm) 1. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x – 2y – 1 = 0, đường chéo BD: x – 7y + 14 = 0 và đường chéo AC qua điểm M(2 ; 1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. 2. Cho ba điểm O(0 ; 0 ; 0), A(0 ; 0 ; 4), B(2 ; 0 ; 0) và mp(P): 2x + 2y – z + 5 = 0. Lập
- 77. p.tr m.cầu (S)đi qua ba điểm O, A, B và có khỏang cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng 3 5 . Câu VII b.(1điểm) Giải bất phương trình: 3log3log 3 xx < HƯỚNG DẪN GIẢI ĐẾ 14 Câu I. 1. (Tự giải) 2. Pt : x3 + mx + 2 = 0 x xm 22 −−=⇒ ( x )0≠ Xét f(x) = 2 2 2 2)(' 2 x xxf x x +−=⇒−− = 2 3 22 x x +− Ta có x - ∞ 0 1 + ∞ f’(x) + + 0 - f(x) + ∞ -3 - ∞ - ∞ - ∞ Đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất 3−>⇔ m . Câu II. 1. =−−+ =+ ⇔ =++ =+ )2(022 )1(1 22 1 2233 33 322 33 xyyxyx yx yxyyx yx y 0≠ . Ta có: =+ − − =+ )4(0122 )3(1 23 33 y x y x y x yx Đặt : t y x = (4) có dạng : 2t3 – t2 – 2t + 1 = 0 ⇔ t = ,1± t = 2 1 . a) Nếu t = 1 ta có hệ 3 33 2 11 ==⇔ = =+ yx yx yx
- 78. b) Nếu t= -1 ta có hệ ⇔ −= =+ yx yx 133 hệ vô nghiệm. c) Nếu t = 2 1 ta có hệ 3 32 , 3 3 2 1 3333 ==⇔ = =+ yx xy yx 2. Pt xxx tansin2) 4 (sin2 22 −=− π (cosx )0≠ xxxxx sincos.sin2cos)] 2 2cos(1[ 2 −=−−⇔ π ⇔ (1 - sin2x)(cosx – sinx) = 0 ⇔ sìn2x = 1 hoặc tanx = 1. Câu III. I = ∫ ∫ − = − 2 1 2 1 2 22 44 xdx x x dx x x . Đặt t = xdxtdtxtx −=⇒−=⇒− 222 44 I = 0 3 2 0 3 0 3 0 3 2 2 2 2 2 ln) 4 4 1( 44 )( + − += − += − = − − ∫ ∫ ∫ t t tdt t dt t t t tdtt = - + − + 32 32 ln3 Câu IV. h H M D CB A S SH⊥ BM và SA ⊥ BM suy ra AH ⊥ BM VSABH = BHAH h BHAHSA . 6 .. 6 1 = . VSABH lớn nhất khi AH.BH lớn nhất. Ta có: AH + BH BHAH.2≥ BHAHBHAH .222 ≥+⇒
- 79. BHAHa .22 ≥⇒ ,vậy AH.BH lớn nhất khi AH.BH = 2 2 a khi AH = BH khi H là tâm của hình vuông , khi M D≡ . Khi đó VSABH = 12 2 ha . Câu V. mxx =−+4 2 1 D = [0 ; + )∞ *Đặt f(x) = x x x x xx xx xxx xx x xfxx .) 1 1(2 ) 1 1( .)1(2 )1( 2 1 )1(2 )('1 4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 2 3 4 32 4 32 4 32 4 2 + +− = + +− =− + =⇒−+ Suy ra: f’(x) = );0(0 .) 1 1(2 ) 1 1(1 4 3 2 4 3 2 ∞+∈∀< + +− x x x x * 0 )1)(1( 1 lim 1 1 lim)1(lim 24 2 22 4 2 2 4 2 = ++++ −+ = ++ −+ =−+ +∞→+∞→+∞→ xxxx xx xx xx xx xxx * BBT x 0 + ∞ f’(x) f(x) 1 0 Vậy: 0 < m 1≤ Câu VI a. 1.d1: = +−= ty tx 23 , I );3(1 ttId +−⇒∈ d(I , d2) = 2 11 7 , 11 27 101711 ==⇔=−⇔ ttt • t = 4 11 27 11 21 :)( 11 27 ; 11 21 11 27 22 11 = −+ − ⇒ yxCI • t = 4 11 7 11 19 :)( 11 7 ; 11 19 11 7 22 22 = −+ + − ⇒ yxCI
- 80. 2. )1;;21(),2;;(, 1 21 :, 2 : 22221111 2 2 2 2 1 1 1 1tttNdNtttMdM tz ty tx d tz ty tx d +−−⇒∈⇒∈ += = −−= = = = )21;;21( 121212 ttttttMN −+−−−−= Theo gt : −== += ⇔ =+ += ⇔ = = ⇔ = → 13 12 ;0 21 01213 21 6 0. 6 )//( 22 21 2 2 2 21 2 tt tt tt tt MN nMN MN PMN * )1;0;1(,)2;1;1(,10 12 −=⇒= NMtt * −− −−−−=⇒ − = 13 11 ; 13 12 ; 13 11 , 13 22 ; 13 11 ; 13 11 , 13 11 13 12 12 NMtt Câu VII a. 0111 224 = + − + − − + ⇔= − + iz iz iz iz iz iz * 01 2 =− − + iz iz 01 =⇔±= − + ⇔ z iz iz * 0001 2 22 = + − + − − + ⇔=− − + ⇔=+ − + i iz iz i iz iz i iz iz iz iz 1±=⇔ z Câu VI b. 1.B(11; 5) AC: kx – y – 2k + 1 = 0
- 81. cos CAB =cos DBA 7 1 ;10187 1 2 2 3 2 2 ==⇔=+−⇔ + + =⇔ kkkk k k • k = 1 , AC : x – y – 1 = 0 • k = 7 1 , AC : x – 7y + 5 = 0 // BD ( lọai) Ta tìm được A(1 ; 0), C(6 ; 5), D(-4 ; 0) 2.(S): x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 có tâm I(-a ; -b ; -c) , R = dcba −++ 222 . O, A, B thuộc (S) ta có : d = 0 , a = -1, c = -2 d(I, (P)) = 5,0552 3 5 ==⇔=+−⇔ bbb • b = 0 , (S): x2 + y2 + z2 - 2x – 4z = 0 • b = 5 , (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 10y – 4z = 0 Câu VII b. ĐK : ≠ ≠ > 3 1 0 x x x Bất phương trình trở thành : 0 1log 1 log 1 1log 1 log 1 3 log 1 log 1 3333 3 3 < − −⇔ − <⇔< xxxxxx 1log0log0)1(loglog0 )1(loglog 1 3333 33 >∨<⇔>−⇔< − − ⇔ xxxx xx * 10log3 <⇔< xx kết hợp ĐK : 0 < x < 1 * 30log3 >⇔> xx Vậy tập nghiệm của BPT: x );3()1;0( ∞+∪∈
- 82. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 -2014 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 15) Câu 1. (2,5 điểm). 1. Cho hàm số (C) : 2 2 5 1 x x y x − + − = − a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm M ∈ (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất 2. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C’) : 196 23 −+−= xxxy Câu 2. (1,5 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) 3510325.3 22 −=−+ −− xx xx 2. Giải hệ phương trình: =+ =+ 2coscos 2sinsin yx yx Câu 3. (1,5 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) ( ) 02coscoslogsincoslog 1 =++− xxxx x x . 2. Giải bất phương trình: ( ) ( ) 01311 23 >+++++ xxxx 3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó. Câu 4. (2 điểm) 1. Trong hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(0; 0; -3); B(2, 0, - 1) và mp(P):3x – 8y + 7z – 1 = 0 Tìm toạ độ điểm C ∈ (P) sao cho ∆ABC là tam giác đều. 2. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. Hãy xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó. Câu 5. (2,5 điểm). 1. Tính : / 4 1 2 3 0 0 sin ; 2 2 cos x x I dx J x x x dx x π = = − +∫ ∫ 2. Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 . 2 a b c a bc b ac c ab abc + + + + ≤ + + + 3. Cho z = 1 3 i 2 2 − + , Hãy tính : 1 2 3 2;z;z ;(z) ;1 z z z + +
- 83. (Hết) HƯỚNG DẪN GIẢI:(đề số 15) Câu Ý Nội dung Điểm I 2.5 b Tìm M ∈ (C) để tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất 0,75 4 4 1 . 1 y x Y X x X = − + − ⇔ = + − Với = +−= yY xX 1 0.25 TCĐ d: X = 0, TCX d’: X - Y = 0 ⇒ T = d(M, d) + d(M, d’) = 4 7| | 4 4 | | | | 2 2 | | 2 2 X Y X X X − + = + ≥ = Dấu "=" xảy ra ⇔ 4 | | | | 2 X X = ⇔ 4 42 3 34 2 1 2 2 X X x= ⇔ = ± ⇔ = ± 0.5 • Gọi M(2; m) ∈ d1: x = 2. Khi đó đt d ∋ M ⇒ d: y = k(x -2) + m. Để đt d tiếp xúc với (C’) ⇔ hệ: ( ) =+− +−=−+− kxx mxkxxx 9123 2196 2 23 có nghiệm 0,25 ⇔ 2x3 -12.x2 + 24x - 17 + m = 0 (1) có nghiệm. • Số tiếp tuyến kẻ từ M đến (C’) là số nghiệm của Pt (1) • Xét hàm số y = 2x3 -12.x2 + 24x - 17 + m ⇒ y’ = 6(x-2)2 ≥ 0 ∀x ⇒ Hàm luôn đồng biến ⇒ Pt (1) luôn có nghiệm duy nhất ⇒ từ một điểm trên đt x = 2 luôn kẻ được một tiếp tuyến đến đồ thị (C’). 0,5 II 1,5 1 Giải phương trình: 0,75 ( ) ( ) ( ) ( ) 015.3315.315.35 3510325.3 2222 22 =−−−+−⇔ −=−+ −−−− −− xxxx xx x xx 0.25
- 84. ( )( ) () ( ) =−+ =− ⇔ =−+−⇔ − − −− 2035 1015.3 03515.3 2 2 22 x x x x xx ( ) 3log2 3 1 log2 3 1 51 55 2 −=+=⇔=⇔ − xx 0.25 ( ) 352 2 +−=⇔ − xx Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm x = 2 nên là nghiệm duy nhất. Vậy Pt có nghiệm là: x = 3log2 5− và x = 2 0.25 2 Giải hệ phương trình: 0,75 ( ) ( ) ⇔=+++⇒ =+ =+ 22cossincossin 2coscos 2sinsin yyxx yx yx 0.25 += += ⇔ = − = − ⇔= −+ − π π π π π π ππ 2 4 2 4 1 4 cos 1 4 cos 2 4 cos 4 cos ly kx y x yx 0.25 Thử lại thấy đúng nên: += += π π π π 2 4 2 4 ly kx là nghiệm của hệ phương trình. 0.25 III 1,5 1 Giải phương trình: . 0,5
- 85. ( ) () 02coscoslogsincoslog 1 =++− xxxx x x Điều kiện: >+ >− ≠< 02coscos 0sincos 10 xx xx x . Khi đó Pt +=⇔−=⇔ 2 cos2cossin2cos π xxxx 0.25 +−= += ⇔ +−−= ++= ⇔ 3 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 ππ π π π π π π k x kx kxx kxx . Kết hợp với điều kiện ta được: 3 2 6 ππ k x +−= (Với k ∊ N*). 0.25 2 Giải bất phương trình: 0,5 ( ) ( ) ( ) 02301311 232323 >++++⇔>+++++ xxxxxxxx 0232 >++⇔ tt Đặt 3 2 1 −≥+= xxt 0.25 2 3 2 2 1 1 1 3 3 2 t t x x x t t ≥ − ⇔ ⇔ ≥ − ⇔ + ≥ − ⇔ ≥ − > − < − 0.25 3 0,5 . Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả 5 10C tập con gồm 5 chữ số khác nhau. 0,25 Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau. Vậy có tất cả 5 10C = 252 số. 0,25 IV 2.0
- 86. 1 Xác địnhtọa độ điểm C ∈ (P) sao cho ∆ABC đều 1.0 Để ∆ABC là tam giác đều ⇒ đường cao MC = AB 62/3 = Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M(1; 0; - 2). Gọi (Q) là mf đi qua M và vuông góc với AB ⇒ (Q): x + z + 1 = 0 0,25 Gọi d = (P) n (Q) ⇒ += = −−= ⇔ =++ =−+− tz ty tx zx zyx d 21 22 01 01783 : ⇒ C ∈ d ⇒ C(-2 - 2t; t; 1 + 2t) 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 1 2 1 2 3 2 ; ;3 2 6 3 2 3 2 6 9 24 12 0 3 8 4 0 2; 2/3 2 2 1 2; 2; 3 , ; ; 3 3 3 MC t t t MC t t t t t t t t t C C ⇒ = − − + ⇒ = ⇔ + + + + = ⇔ + + = ⇔ + + = ⇔ = − = − ⇒ − − − − − ÷ uuur 0,25 0.25 2 Xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện. 1.0 P Q A B M C1 C2
- 87. Lấy E, F,G lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC ta có: GE = GF = c/2. ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) ⇒ FA = FB ⇒ 4 22 4 22 222222 22 acbCDADAC FBFA −+ = −+ == 0.25 FE là trung tuyến của ∆FAB nên: = −+ = 4 22 222 2 ABFBFA FE 2 222 acb −+ 0.25 Gọi là góc tạo bởi AD và BC ta có : ( ) 2 | 22 | .2 || |,cos|cos 2 2222 222 c acbc GFGE FEGFGE GFGE −+ − = −+ ==α 2 22 || c ba − = . Vậy 2 22 || cos c ba − =α 0.25 Tương tự nếu gọi lần lượt là góc tạo bởi CD, AB và DB, AC ta có: 2 22 || cos a cb − =β , 2 22 || cos b ac − =γ 0.25 3 0,5 . Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả 5 9C tập con gồm 5 chữ số khác nhau. 0,25 Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau. Vậy có tất cả 5 9C = 126 số. 0,25 F E G B D A C
- 88. V 2,5 1 0,5 Đặt: 32 cos 1 cos 2.cos u x du dx d x dv v x x = = ⇒ = − = 0,25 / 4 / 44 0 02 2 0 1 1 1 2cos 2 cos 4 2 4 2 x dx I tgx x x ππ ππ π ⇒ = − = − = −∫ 0,25 2 1,0 1 2 0 2 2J x x x dx= − +∫ . Đặt: x - 1 = tgt 2 2 1 ; 2 2 cos cos dt dx x x t t = − + = 0 0 0 3 4 3 4 4 4 1 sin cos cos cos tgt t dt J dt dt t t tπ π π − − − + ⇒ = = +∫ ∫ ∫ 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 13 4 20 0sin 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 3cos 3 1 11 41 1 1 1 t u J J t u udu J du u u u u π − = − − = + = − + − + + = = = − + − + ∫ ∫ 0,25 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 2 2 1 1 1 2 2 2 1 . 2 4 1 11 1 du du du u uu u− − − ÷ + + ÷− +− + ÷ ∫ ∫ ∫ 0,25 ( )( ) 0 0 22 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2ln 2ln 4 1 1 1 4 1 1 1 2 1 1 2 2ln 2 4ln 2 1 . 4 42 1 u u u u u u u u− − + + = − + = + ÷ ÷− + − − − − = − = + − ÷ + 0,25 3 1,0
- 89. . 2 111 222 abc cba abcacbbca ++ ≤ + + + + + Ta có: abcabc abcabc cabcab cabcab bcabca bcabca 2 11 2 2 11 2 2 11 2 2 2 2 2 2 2 ≤ + ⇒≥+ ≤ + ⇒≥+ ≤ + ⇒≥+ 0.5 2 22 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2. 2 2 2 a bc b ca c ab a bc b ca b ca b c c a a b bc ca ab a b c abc abc abc ⇒ + + ≤ + + + + + + + + + + + + + + = ≤ = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 0.5
- 90. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 -2014 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 16) I. PHẦN CHUNG: Câu 1: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 2 4 1 x x − + 2. Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(- 3;0) và N(- 1; - 1) Câu 2: 1. Giải phương trình: 4cos4 x – cos2x 1 3x os4x +cos 2 4 c− = 7 2 2. Giải phương trình: 3x .2x = 3x + 2x + 1 Câu 3: Tính tích phân: K = 2 0 1 sinx 1+cosx x e dx π + ÷ ∫ Câu 4: Cho hình chóp tam gíac đều S.ABC độ dài cạnh bên bằng 1. Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy một góc α. Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABC. Câu 5: Cho đường thẳng (d): 2 4 3 2 2 x y z− − = = − và hai điểm A(1;2; - 1), B(7;-2;3). Tìm trên (d) những điểm M sao cho khoảng cách từ đó đến A và B là nhỏ nhất II. PHẦN RIÊNG: 1) Theo cương trình chuẩn: Câu 6a: 1.Năm đoạn thẳng có độ dài 2cm, 4cm, 6cm, 8cm, 10cm. Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng trên. Tìm xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác. 2. Giải hệ phương trình: 8 5 x x y x y y x y − = + − = Câu 7a: Tìm giá trị nhỏ nhất y = 2 osx sin (2 osx -sinx) c x c với 0 < x ≤ 3 π 2) Theo chương trình nâng cao: Câu 6b: 1. Tìm các giá trị x trong khai triển nhị thức Newton: ( )5lg(10 3 ) ( 2)lg3 2 2 x n x− − + biết rằng số hạng thứ 6 của khai triển bằng 21 và 1 3 2 2n n nC C C+ =
- 91. 2. Cho 2 2 3os in 3 3 c s π π α = + ÷ . Tìm các số phức β sao cho β3 = α Câu 7b: Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng: 2 2 252 2 2 27 a b c abc≤ + + + < ------------------------------Hết--------------------------------- HƯỚNG DẪN GIẢI: (đề số 16) LỜI GIẢI TÓM TẮT: I. PHẦN CHUNG: Câu 1: 1. Bạn đọc tự giải. 2. MN uuuur = (2;-1). ==> MN: x + 2y + 3 = 0 Đường thẳng (d) ⊥ MN, (d) có dạng phương trình y = 2x + m. Gọi A, B là hai điểm thuộc (C) đối xứng nhau qua đường thẳng MN Hoành độ của A và B là nghiệm của phương trình: 2 4 2 1 x x m x − = + + ⇒ 2x2 + mx + m + 4 = 0 ( x ≠ - 1) (1) Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có ∆ = m2 – 8m – 32 > 0 Ta có A(x1,2x1 + m), B(x2;2x2 + m) với x1, x2 là nghiệm của (1) Trung điểm của AB là I 1 2 1 2; 2 x x x x m + + + ÷ ≡ I(( ; ) 4 2 m m − ( theo định lý Vi-et) Ta có I ∈ MN ==> m = - 4, (1) ⇒ 2x2 – 4x = 0 ⇒ A(0; - 4), B(2;0) Câu 2: 1. 4cos4 x – cos2x 1 3x os4x +cos 2 4 c− = 7 2 ⇔ (1 + cos2x)2 – cos2x 21 3x (2 os 2 1)+cos 2 4 c x− − = 7 2 ⇔ cos2x + 3x os 4 c = 2 ⇔ os2x = 1 3x cos 1 4 c = ( vì VT ≤ 2 với mọi x) ⇔ ( ; )8 3 x k k mm x π π = ∈ = ¢ ⇔ x = 8nπ (n∈¢ ) 2. Ta thấy phương trình: 3x .2x = 3x + 2x + 1 (2) có hai nghiệm x = ± 1. Ta có x = 1 2 không là nghiệm của phương trình nên
- 92. (2) 2 1 3 2 1 xx x + ⇔ = − Ta có hàm số y = 3x tăng trên R hàm số y = 2 1 2 1 x x + − luôn giảm trên mỗi khoảng 1 1 ; , ; 2 2 −∞ ∞ ÷ ÷ Vậy Phương trình (2) chỉ có hai nghiệm x = ± 1 Câu 3: Ta có 2 2 1 2sin os 1 sinx 12 2 tan 1+cosx 22 os 2 os 2 2 x x c x x x c c + + = = + Vậy: K = 2 2 20 0 tan 22 os 2 x xe dx x e dx x c π π +∫ ∫ = M + N Với M = 2 20 2 os 2 x e dx x c π ∫ Dùng phương pháp tptp Đặt 2 ' 1 ' tan 2 os 2 2 x xu e u e xv vx c = = ⇒ = = Vậy M = tan 2 2 0 x x e π - N = 2 e π - N ==> K = 2 e π Câu 4: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung điểm của BC, theo tính chất của hình chóp đều ·AMS α= Gọi I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, I ∈ SO; N là hình chiếu của I trên SM, MI là phân giác của ·AMS α= Ta có SO = OM tanα = 3 6 a tanα ( Với a là độ dài của cạnh đáy) Ta có SO2 + OM2 = SB2 – BM2 2 2 2 2 tan 1 12 12 4 a a a α⇔ + = − 2 2 3 4 tan a α ⇒ = +
- 93. r = OI= OM.tan 2 α = 2 tan 2 4 tan α α = + Vậy V = ( ) 3 32 4 tan 2 3 4 tan α π α+ Câu 5: Ta có (6; 4;4)AB = − uuur ==> AB//(d) Gọi H là hình chiếu của A trên (d) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và (P) ⊥ (d) ==> (P): 3x – 2y + 2z + 3 = 0 H = (d)∩ (P) ==> H(- 1;2;2) Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (d) ==> H là trung điểm của AA’ ==> A’(- 3;2;5) Ta có A;A’;B;(d) cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M = A’B∩(d) Lập phương trình đường thẳng A’B ==> M(2;0;4) II. PHẦN RIÊNG: 1) Theo cương trình chuẩn: Câu 6a: 1. Gọi A là biến cố: “ba đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác” Các khả năng chọn được ba đoạn thẳng lập thành một tam giác {4;6;8}, {4;8;10}, {6;8;10} Vậy: n(Ω) = 3 5 10C = ; n(A) = 3 ==> P(A) = 3 10 2. 8 5 x x y x y y x y − = + − = ⇔ ( 1) ( 8) 5 x x y y y x − = + = − 2 2 0 0 ( 1) ( 8) 5 x y x x y y y x ≥ ≥ ⇔ − = + = − ⇔ 2 1 0 3 22 45 0 5 x y x x y x > ≥ − − = = − ⇔ 9 4 x y = = Câu 7a: Trên nửa khoảmg 0; 3 π , cosx ≠ 0 chia tử và mẫu của hàm số cho cos3 x ta được y = 2 2 3 1 tan 2tan tan x x x + − Đặt t = tanx ==> t (0; 3]∈
- 94. Khảo sát hàmsố y = 2 2 3 1 2 t t t + − trên nửa khoảng 0; 3 π y’ = 4 2 2 3 2 3 4 (2 ) t t t t t + − − ; y’ = 0 0 1 x x = ⇔ = Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi x = 4 π 2) Theo chương trình nâng cao: Câu 6b: 1. Điều kiện: n nguyên dương và n ≥ 3 Ta có 1 3 2 2n n nC C C+ = ⇔ ! ! ! 2 1!( 1)! 3!( 3)! 2!( 2)! n n n n n n ⇔ + = − − − ⇔ n2 – 9n + 14 = 0 ⇒ n = 7 Ta có số hạng thứ 6 : ( ) ( ) 2 5 55 lg(10 3 ) ( 2)lg3 7 2 2 x x C − − = 21 ⇔ 21.2 lg(10 3 )x − 2(x – 2)lg3 = 21 ⇔ lg(10 – 3x ) + lg3(x – 2) = 0 ⇔ (10 – 3x )3x – 2 = 1 ⇔ 32x - 10.3x + 9 = 0 0 2 x x = ⇔ = 2. Gọi β = r( cosϕ + isinϕ) ⇒ β3 = r3 ( cos3ϕ + isin3ϕ) Ta có: r3 ( cos3ϕ + isin3ϕ) = 2 2 3 os in 3 3 c s π π + ÷ 3 3r = ⇒ 3 3 2 2 9 3 r kπ π ϕ = ⇒ = + Suy ra β Câu 7b: Theo tính chất ba cạnh của một tam giác, ta có độ dài mỗi cạnh nhỏ hơn 1 ( vì a + b + c = 2). Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho ba số dương: 1 – a, 1 – b, 1 – c 3 – (a + b + c) 33 (1 )(1 )(1 )a b c≥ − − − > 0 1 (1 )(1 )(1 ) 0 27 a b c⇔ ≥ − − − > 28 1 27 ab bc ca abc⇔ ≥ + + − > 56 2 2 2 2 2 27 ab bc ca abc⇔ < + + + ≤ 2 2 2 2 56 2 ( ) ( 2 ) 27 a b c a b c abc⇔ < + + − + + + ≤ 2 2 252 2 2 27 a b c abc⇔ ≤ + + + < Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2 3
- 96. ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 -2014 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 17) Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số mxxxy +−−= 93 23 , trong đó m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi 0=m . 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Câu II: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 sin 2 1 3 cos 4 1 22 xx =+ . 2. Giải phương trình: )4(log3)1(log 4 1 )3(log 2 1 8 8 42 xxx =−++ . Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: ∫ + = 4 6 2 cos1cos tan π π dx xx x I . Câu IV: (1,0 điểm) Tính thể tích của khối hộp ''''. DCBAABCD theo a . Biết rằng ''' DBAA là khối tứ diện đều cạnh a . Câu V: ( 1,0 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm duy nhất thuộc đoạn − 1; 2 1 : mxxx =++−− 12213 232 ( Rm ∈ ). Câu VI: (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng )(d có phương trình: 052 =−− yx và hai điểm )2;1(A ; )1;4(B . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng )(d và đi qua hai điểm A , B . 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm )2;1;1(A , )2;0;2(B . a. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho 522 =− MBMA . b. Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng )(OAB và )(Oxy . Câu VII: (1,0 điểm) 1. Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức: 113210 2).2().1(.....4.3.2 −− +=+++++++ nn n n nnnnn nCnCnCCCC .
- 97. 2. Giải hệphương trình: x iy 2z 10 x y 2iz 20 ix 3iy (1 i)z 30 + − = − + = + − + = ……………………. Hết……………………... Lời giải tóm tắt(Đề 17) Câu I: 2. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng ⇔ Phương trình 3 2 3 9 0− − + =x x x m có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng ⇔ Phương trình 3 2 3 9x x x m− − = − có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng ⇔ Đường thẳng y m= − đi qua điểm uốn của đồ thị .11 11m m⇔ − = − ⇔ = Câu II: 1. ( ) ( ) ( ) cos sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 3 2 3 2 1 1 4 3 2 2 2 1 1 13 4 2 4 2 1 2 2 1 3 2 2 2 3 3 2 2 2 1 4 3 2 4 2 4 3 0 4 4 3 0 x x x x x x x a a a a a a a a a a a a + = + − ⇔ + = ⇔ + + = − ⇔ + = − = ÷ ⇔ + − = − − ⇔ + − + − = ⇔ + − =
- 98. ( ) cos cos cos .cos cos cos 0 30 313 3 2 2 2 62 3 3 3 3 3 loaïi 2 a x x k x k a x x x kk a π ππ π π π π ππ = = = + = +⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ = ± += = ± + = − 2. )4(log3)1(log 4 1 )3(log 2 1 8 8 42 xxx =−++ . Điều kiện: . 3 1 0 1 0 x x x x > − ≠ ⇔ < ≠ > Biến đổi theo logarit cơ số 2 thành phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) log log . 2 2 2 3 1 4 2 3 0 1 loaïi 3 3 x x x x x x x x + − = ⇔ − − = = − ⇔ ⇔ = = Câu III: ∫ + = 4 6 2 cos1cos tan π π dx xx x I tan tan cos tancos cos 4 4 2 2 2 26 6 1 21 x x dx dx x xx x π π π π = = ++ ∫ ∫ . Đặt tan . cos2 1 u x du dx x = ⇒ = . 1 6 3 1 4 x u x u π π = => = = ⇒ = . 1 2 1 3 2 u I dx u => = + ∫ Đặt 2 2 2 2 u t u dt du u = + ⇒ = + . 1 7 33 u t= ⇒ = .1 3u t= ⇒ =
- 99. . 3 3 7 7 3 3 7 37 3 3 3 I dt t − ⇒ = = = − =∫ Câu IV: ñaùyV S h= × . 2 ñaùy 3 2 a S = , 6 3 a h = . 3 3 2 a V=> = Câu V: mxxx =++−− 12213 232 ( Rm ∈ ). Đặt ( ) 2 3 2 3 1 2 2 1f x x x x= − − + + , suy ra ( )f x xác định và liên tục trên đoạn ; 1 1 2 − . ( )' 2 2 3 2 2 3 2 3 3 4 3 3 4 1 2 1 1 2 1 x x x x f x x x x x x x x + + = − − = − + ÷ − + + − + + . ; 1 1 2 x ∀ ∈ − ta có 2 3 2 4 3 3 4 3 4 0 0 3 1 2 1 x x x x x x + > − ⇒ + > ⇒ + > − + + . Vậy: ( )' 0 0f x x= ⇔ = . Bảng biến thiên: ( ) ( ) ' || || 1 0 1 2 0 1 CÑ 3 3 22 2 4 x f x f x − + − − − Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất thuộc ; 1 1 2 − 3 3 22 4 2 m − ⇔ − ≤ < hoặc 1m = .
- 100. Câu VI: 1. Phương trìnhđường trung trực của AB là 3 6 0x y− − = . Tọa độ tâm I của đường tròn là nghiệm của hệ: ( ); . 2 5 1 1 3 3 6 3 x y x I x y y − = = ⇔ ⇒ − − = = − 5R IA= = . Phương trình đường tròn là ( ) ( ) 2 2 1 3 25x y− + + = . 2. a. ( ), ,M x y z∀ sao cho 2 2 5MA MB− = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 2 2 2 22 1 1 2 2 2 5 2 2 7 0 x y z x y z x y ⇔ − + − + − − − − − − = ⇔ − − = Vậy quỹ tích các điểm M là mặt phẳng có phương trình 2 2 7 0x y− − = . b. ( ) ( ), ; ; ; ;2 2 2 2 11 1OA OB = − = − uuur uuur ( ) : 0OAB x y z⇒ + − = . ( ) : 0Oxy z = . ( ); ;N x y z cách đều ( )OAB và ( )Oxy ( )( ) ( )( ), ,d N OAB d N Oxy⇔ = 13 x y z z+ − ⇔ = ( ) ( ) . 3 1 0 3 3 1 0 x y z x y z z x y z + − + = ⇔ + − = ± ⇔ + + − = Vậy tập hợp các điểm N là hai mặt phẳng có phương trình ( )3 1 0x y z+ − + = và ( )3 1 0x y z+ + − = . Câu VII: Khai triển ( )1 n x+ ta có: ( ) ... .0 1 2 2 3 3 1 1 1 n n n n n n n n n n nx C C x C x C x C x C x− − + = + + + + + + Nhân vào hai vế với x∈¡ , ta có: ( ) ... .0 1 2 2 3 3 4 1 1 1 n n n n n n n n n n nx x C x C x C x C x C x C x− + + = + + + + + + Lấy đạo hàm hai vế ta có: ( ) ( ) ( )... 10 1 2 2 3 3 1 1 2 3 4 1 1 1 n nn n n n n n n n n nC C x C x C x nC x n C x n x x x −− − + + + + + + + = + + + ( ) ( ). 1 1 1 n x nx x − = + + + Thay 1x = , ta có ( ). . . ... . ( ). . .0 1 2 3 1 1 2 3 4 1 2 2n n n n n n n n nC C C C nC n C n− − + + + + + + + = + ------------------------Hết------------------------