eksponetial

1. Fungsi Eksponensial
& Fungsi Logaritma
Oleh :
KBK MATEMATIKA TERAPAN
MATA KULIAH BERSAMA
FMIPA UGM
MATEMATIKA KONTEKSTUAL

2. Eksponen

3. Sifat-sifat Eksponen
Soal Latihan
1. Tentukan x, y, w
2. Tentukan x dan z

4. Sifat-sifat Eksponen
Soal Latihan
1. Tentukan x dan y
2. Tentukan x, y dan z

5. Aturan Dasar Eksponen
Aturan Contoh
1. x y x y
b b b 
 
2.
x
x y
y
b
b
b


 4.
x x x
ab a b
 3.
y
x xy
b b
5.
x x
x
a a
b b
 
 
 
1/ 2 5/ 2 6/ 2 3
2 2 2 2 8   
512
53
= 512-3
= 59
 
6
1/3 6/3 2 1
8 8 8
64

 
  
 
3 3 3 3
2 2 8m m m 
1/3 1/3
1/3
8 8 2
27 327
 
  
 

6. Contoh:
1. Sederhanakan permasalahan
2. Selesaikan persamaan
 
4
2 1/ 2
3 7
3x y
x y
4 8 2
3 7
3 x y
x y

5
5
81x
y

3 1 4 2
4 2x x 

 2 3 1 4 2
2 2
x x 

6 2 4 2
2 2x x 

6 2 4 2x x  
2 4x  
2x  

7. Latihan
Soal Latihan
1. Tentukan x & y
2. Hitung

8. Latihan
3. Hitung

9. Fungsi Eksponensial
 ( ) 0, 1x
f x b b b  
Suatu fungsi eksponensial dengan
basis b and eksponen x
Co:
( ) 3x
f x 
Domain: Real
Range : y > 0
(0,1)
( )y f x
0 1
1 3
2 9
11
3

x y

10. Sifat Fungsi Eksponensial
1. Domain:
2. Range:
3. Melewati titik (0, 1).
4. Kontinu di seluruh domain.
5. Jika b > 1, fungsi naik pada
Jika b < 1, fungsi turun pada  , 
 ( ) 0, 1x
f x b b b  
 , 
 , 
(0,¥)

11. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Expo02.svg
y = b( )
x
Fungsi Eksponensial

12. Logaritma
Logaritma dari x dengan basis b>0 dan b≠1 didefinisikan sebagai
Contoh.
3
7
1/3
5
log 81 4
log 1 0
log 9 2
log 5 1


 

x = by
x > 0( )y = logb
x jika dan hanya jika

13. Contoh
Selesaikan persamaan berikut
a.
b.
2log 5x 
5
2 32x  
27log 3 x
3 27x

3
3 3 x

1 3x
1
3
x
 m n
a a m n  

14. Notasi:
Logaritma Umum
Logaritma Natural
10log log
ln loge
x x
x x


Aturan Logaritma
1. log log log
2. log log log
3. log log
4. log 1 0
5. log 1
b b b
b b b
n
b b
b
b
mn m n
m
m n
n
m n m
b
 
 
  
 




15. eln x
= x x > 0( )
ln ex
= x (untuk seluruh x real)
ex
& ln x
Contoh: Selesaikan
2 11
10
3
x
e 

2 1
30x
e 

2 1 ln(30)x  
ln(30) 1
1.2
2
x

 
ln utk ruas kiri & kanan

16. Contoh
Sederhanakan:
7 1/2
5 5 5 5log 25 log log logx y z   
7
5
25
log
x y
z
5 5 5
1
2 7log log log
2
x y z   

17. Fungsi Logaritma dan sifat-sifatnya
 ( ) log 0, 1bf x x b b  
0,¥( )
1. Domain:
2. Range:
3. Melewati titik (1, 0).
4. Kontinyu pada
5. Jika b > 1, fungsi naik pada
Jika b < 1, fungsi turun pada
0,¥( )
 , 
0,¥( )
0,¥( )

18. Grafik Fungsi Logaritmik
Ex.
3( ) logf x x
(1,0)
3x
y 
3logy x
1
3
x
y
 
  
 
1/3logy x
1/3( ) logf x x

19. Fungsi Logaritma
y = b( )
x
Û log y = xlogb
Û x =
log y
logb
Û x = logb
y
Fungsi Logaritma
adalah Invers dari Fungsi Eksponensial

20. Fungsi Logaritma basis e
y = loge
x = ln x e= 2.718281828

21. nb: Konstanta “e”
e=Konstanta Napier (e=Euler)

22. nb: Konstanta “e”
dx
x1
e
ò = lne =1
Luas daerah
di bawah hiperbola 1/x dan di atas sumbu x
antara x=1 dan x=e:

23. APLIKASI
Fungsi Eksponensial
& Fungsi Logaritma

24. Pertumbuhan EksponensialContoh: Film
“Pay It Forward” (th 2000)
Ide: Setiap orang menolong 3 orang yang
lain. Jika orang yg ditolong merasakan
manfaatnya, maka dia juga harus menolong
orang lain, dst…
RUMUS yg mana?

25. Contoh:
Pada awal tahun kita menabung A rupiah dengan
bunga tertentu (misal=r) di sebuah Bank.
Berapakah jumlah uang kita pada waktu yang
akan datang?
Untuk membuat model matematika dari masalah
ini, dapat diidentifikasi beberapa variabel yang
mempengaruhinya, misalnya
• suku bunga (interest rate) dan
• waktu.
Pertumbuhan Eksponensial

26. Model waktu diskrit:
Jika masalah kita sederhanakan dengan asumsi
suku bunga konstan “r” per tahun.
Waktu (t) sebagai variabel mengikuti bilangan
bulat tak negatif t=0,1,2,3,… dan
G(t) menyatakan jumlah uang pada saat setelah
tahun ke t, maka kita mendapatkan:
Pertumbuhan Eksponensial
G(t) = A 1+ r( )
t

27. Pertumbuhan Eksponensial
Contoh: Menyimpan uang 100 jt di bank dengan bunga r (8%)
T=0
Rp. 100 jt
T=1 T=2 T=3
100 1+0.08( )
1
100 1+0.08( )
2
100 1+0.08( )
3
G(t) = A 1+r( )
t

28. G(t) =100 1+0.08( )
t
t =1,2,… ,20
Pertumbuhan Eksponensial

29. Pertumbuhan Eksponensial
Contoh: Menyimpan uang sejumlah 100 juta di bank
dengan bunga 8% per tahun, tetapi bunga diberikan setiap
r/n periode (misal n=periode dalam setiap bulan)
T=0
Rp. 100 M
T=1 T=2 T=3
100 1+
0.08
12
æ
è
ç
ö
ø
÷
12
100 1+
0.08
12
æ
è
ç
ö
ø
÷
24
100 1+
0.08
12
æ
è
ç
ö
ø
÷
36
G(t) = A 1+
r
n
æ
è
ç
ö
ø
÷
nt

30. Pertumbuhan Eksponensial