Документ рассматривает понятие первообразной и интеграла функции, описывая основные свойства первообразных и ключевые правила интегрирования. Обсуждается связь между определенным интегралом и первообразной, а также геометрический и физический смысл интегралов, включая вычисление площадей и объемов. Приводятся формулы и методы для вычисления определенных интегралов в различных контекстах.

1. Первообразная и интеграл

2. Первообразная
 Функция F(x) называется
первообразной для функции f(x) на
данном промежутке, если для любого x
из этого промежутка F’(x) = f(x).
 Пример:
Первообразной для функции f(x)=x на всей
числовой оси является F(x)=x2/2, поскольку
(x2/2)’=x.

3. Основное свойство первообразных
 Если F(x) – первообразная функции f(x), то и
функция F(x)+C, где C – произвольная
постоянная, также является первообразной
функции f(x).
 Графики всех
первообразных данной
функции f(x) получаются
из графика какой-либо
одной первообразной
параллельными
переносами вдоль оси y.
Геометрическая интерпретация
y
x

4. Неопределенный интеграл
 Совокупность всех первообразных данной
функции f(x) называется ее неопределенным
интегралом и обозначается :
,
где C – произвольная постоянная.
 dxxf )(
CxFdxxf  )()(

5. Правила интегрирования
constcdxxfcdxxcf   ,)()(
  dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
0,)(
1
)(  aCbaxF
a
dxbaxf

6. Определенный интеграл
 В декартовой прямоугольной
системе координат XOY фигура,
ограниченная осью OX, прямыми
x=a, x=b (a<b) и графиком
непрерывной неотрицательной
на отрезке [a;b] функции y=f(x),
называется криволинейной
трапецией

7. Определенный интеграл
 Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем
отрезок [a;b] на n равных частей. Проведем через
полученные точки прямые, параллельные оси OY.
Заданная криволинейная трапеция разобьется на n
частей. Площадь всей трапеции приближенно равна
сумме площадей столбиков.
по определению , его называют
определенным интегралом от функции
y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:
n
nnn
SS
xxfxxfxxfS

  111100 )(...)()(
n
n
SS lim


b
a
dxxf )(

8. Связь между определенным
интегралом и первообразной
(Формула Ньютона - Лейбница)
 Для непрерывной функции
где F(x) – первообразная функции f(x).
)()(|)()( aFbFxFdxxf b
a
b
a


9. Основные свойства определенного
интеграла
0)( 
a
a
dxxf
abdx
b
a

 
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(

10. Основные свойства определенного
интеграла
 
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
constcdxxfcdxxcf
b
a
b
a
  ,)()(
 
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

11. Геометрический смысл
определенного интеграла
 Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
положительной на промежутке [a;b] функции
f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

b
a
dxxfS )(

12. Геометрический смысл
определенного интеграла
 Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
отрицательной на промежутке [a;b] функции
f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

b
a
dxxfS )(

13. Геометрический смысл
определенного интеграла
 Замечание: Если функция изменяет знак на
промежутке [a;b] , то

b
a
dxxfSS )(21

14. Физический смысл
определенного интеграла
 При прямолинейном движении перемещение s
численно равно площади криволинейной
трапеции под графиком зависимости скорости v
от времени t:

2
1
)(
t
t
dttvS

15. с помощью определенного интеграла
Вычисление площадей и объемов

16. Площадь фигуры,
 Ограниченной графиками непрерывных
функций y=f(x) и y=g(x) таких, что
для любого x из [a;b], где a и b – абсциссы точек
пересечения графиков функций:
 
b
a
dxxgxfS ))()((
)()( xgxf 

17. Объем тела,
 полученного в результате вращения вокруг оси
x криволинейной трапеции, ограниченной
графиком непрерывной и неотрицательной
функции y=f(x) на отрезке [a;b]:

b
a
dxxfV )(2
