2. Содержание
Понятие первообразной
Неопределенный интеграл
Таблица первообразных
Три правила нахождения первообразных
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции (1)
Площадь криволинейной трапеции (2)
Площадь криволинейной трапеции (3)
Площадь криволинейной трапеции (4)
Пример (1)
Пример (2)
3. Понятие первообразной
Функцию F(x) называют первообразной для
функции f(x) на интервале (a; b), если на нем
производная функции F(x) равна f(x):
F ′( x ) = f ( x )
Операцию, обратную дифференцированию
называют интегрированием.
5. Неопределенный интеграл
Неопределенным интегралом от непрерывной
на интервале (a; b) функции f(x) называют
любую ее первообразную функцию.
f ( x )dx = F ( x ) + c
∫
Где С – произвольная постоянная (const).
6. Примеры
′=A
1. ∫ Adx = Ax + C ; ( Ax + C )
2. ∫ e dx = e + С ;
x
x
(e
x
4. ∫ x dx =
+ С;
4
3
)
′
+C =e
x
( − cos x + C)
3. ∫ sin xdx = − cos x + С ;
4
x
′
′=
( tg x + C )
1
2
cos x
= sin x
′
x
1
+ С = ⋅ 4x 3 = x 3
4
4
1
5. ∫
dx = tg x + C ;
2
cos x
4
7. Три правила нахождения
первообразных
1º Если F(x) есть первообразная для f(x), а G(x) –
первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть
первообразная для f(x) + g(x).
2º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k –
постоянная, то функция kF(x) есть первообразная
для kf.
3º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b –
1
постоянные, причем k ≠ 0, то функция k F(kx + b)
есть первообразная для f(kx + b).
11. y
Площадь криволинейной
трапеции (2)
D
y = f(x)
y = g(x)
C
SPMCD = S ABCD − S ABMP =
M
0
Aa
b B
b
a
P
b
a
= ∫ f ( x ) dx − ∫ g( x ) dx =
b
=
x
( f ( x ) − g( x ) ) dx
∫
a
12. y
Площадь криволинейной
трапеции (3)
D
0
= f(x)
y
C
SPMCD = S ABCD + S ABMP =
A
a
B
b
b
a
P
b
a
= ∫ f ( x ) dx − ∫ g( x ) dx =
b
y = g (x )
x
M = ∫ ( f ( x ) − g( x ) ) dx
a
13. Пример
1:
вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = x2, y = x + 2.
y
y
y=x
C
=
x
+
2
SВОС = S ABCD − S ABOCD =
2
2
−1
−1
( )
= ∫ ( x + 2) dx − ∫ x 2 dx =
2
B
A
-1
2
2
=
( х + 2 − х ) dx = x2
∫
2
−1
O
D
2
2
+ 2x −
3
x
3
2
=
−1
8 1
1
1
= 2 + 4 − − − 2 + = 5 − = 4,5
3 2
3
2
x
15. вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями
Пример 2:
y
y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
y=
2√
8–
4
x
S АDВ = S ADС + SСDB =
D
y=
(x –
2
2)
0
A
2
4
C
8
B
x