analise matematica

1. .
С. Р. Насыров
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. МЕРА ЖОРДАНА.
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Казань – 2010

2. 1 Введение
В настоящем учебном пособии излагаются теория несобственных инте-
гралов от функций одной вещественной переменной, числовые ряды, а
также интегральное исчисления функций нескольких вещественных пе-
ременных, криволинейные и поверхностные интегралы. Материал соот-
ветствует курсу «Математический анализ» для классических универси-
тетов.
2 Несобственные интегралы
2.1 Определение несобственного интеграла
Если функция f интегрируема по Риману на отрезке [a; b], то говорят, что
f интегрируема в собственном смысле на [a; b]. Если f не интегрируема
в собственном смысле на [a; b], то выражение
R b
a f(x)dx называют несоб-
ственным интегралом Римана. Кроме того, несобственным интегралами
называют выражения вида
R +∞
a f(x)dx,
R b
−∞ f(x)dx,
R +∞
−∞ f(x)dx.
В дальнейшем будем рассматривать несобственные интегралы вида
R b
a f(x)dx, где −∞ ≤ a < b ≤ +∞.
Если a 6= −∞ и для любого t ∈ [a; b) функция f нтегрируема по Ри-
ману на [a; t], то будем говорить, что интеграл
R b
a f(x)dx является несоб-
ственным интегралом с единственной особенностью на верхнем пределе
интегрирования (в точке b). Аналогично определяется несобственный ин-
теграл с единственной особенностью на нижнем пределе интегрирования
(в точке a). Несобственные интегралы с единственной особенностью на
верхнем или на нижнем пределе интегрирования называются простейши-
ми несобственными интегралами. Сначала мы займемся исследованием
простейших несобственных интегралов.
Говорят, что интеграл
R b
a f(x)dx с единственной особенностью в точ-
ке b сходится, если существует конечный предел α := limt→b−
R t
a f(x)dx.
В этом случае число α называют значением несобственного интеграла
R b
a f(x)dx. Если интеграл
R b
a f(x)dx не сходится, то говорят, что он расхо-
дится.
Аналогично определяются несобственный интеграл с единственной
особенностью в точке a и его сходимость. Сходимость несобственного ин-
теграла
R b
a f(x)dx в этом случае означает существование конечного пре-

3. дела β := limt→a+
R b
t f(x)dx. Число β называется значением интеграла.
Примеры. 1)
R 1
0
dx
x
. Функция f(x) = dx
x
интегрируема на любом от-
резке [t; 1], 0 < t < 1, но не интегрируема на отрезке [0; 1], так как не
ограничена на этом отрезке. (Фактически функция f не определена в
точке 0, но как бы мы ни определили ее в этой точке, интеграл в соб-
ственном смысле не существует!) Имеем
Z 1
t
dx
x
= ln x|1
t = − ln t → +∞, t → 0 + .
Следовательно, несобственный интеграл с единственной особенностью в
точке 0 расходится.
2)
R 1
0
dx
√
x
. Этот интеграл также простейший с единственной особенно-
стью на нижнем пределе. Он сходится, так как
Z 1
t
dx
√
x
= 2
√
x|1
t = 2(
√
t − 1) → 2, t → 0+,
и его значение равно 2.
3)
R +∞
0
dx
1+x2 . Этот интеграл имеет единственную особенность в точке
+∞. Имеем
Z +∞
0
dx
1 + x2
= lim
t→+∞
Z t
0
dx
1 + x2
= lim
t→+∞
arctg t =
π
2
.
2.2 Свойства простейших несобственных
интегралов
Поскольку изучение интегралов с особенностью на нижнем пределе со-
вершенно аналогично изучению интегралов с особенностью на верхнем
пределе, мы ограничимся рассмотрением только интегралов с особенно-
стью на верхнем пределе.
Теорема 1 (линейность). Пусть
R b
a f(x)dx и
R b
a g(x)dx — два сходя-
щихся несобственных интеграла с единственной особенностью в точ-
ке b. Тогда для любых α, β ∈ R интеграл
R b
a [αf(x) + βg(x)]dx сходится
и Z b
a
[αf(x) + βg(x)]dx = α
Z b
a
f(x)dx + β
Z b
a
g(x)dx. (1)

4. Доказательство. Для любого t ∈ (a; b) в силу линейности собственных
интегралов справедлива формула
Z t
a
[αf(x) + βg(x)]dx = α
Z t
a
f(x)dx + β
Z t
a
g(x)dx. (2)
Устремляя t → b− видим, что правая часть (2) стремится к правой части
(1). Следовательно, левая часть имеет конечный предел. Это означает,
что интеграл
R b
a [αf(x) + βg(x)]dx сходится и справедливо (1).
Теорема 2 (аддитивность). Если
R b
a f(x)dx — несобственный ин-
теграл с единственной особенностью в точке b, то для любого c ∈ (a; b)
сходится интеграл
R b
c f(x)dx и справедливо равенство
Z b
a
f(x)dx =
Z c
a
f(x)dx +
Z b
c
f(x)dx.
Обратно, если для некоторого c ∈ (a; b) сходится интеграл
R b
c f(x)dx, то
сходится и интеграл
R b
a f(x)dx.
Доказательство проведите самостоятельно.
Теорема 3 (формула Ньютона-Лейбница). Пусть функция f
непрерывна на [a; b) и F — некоторая первообразная функции f [a; b). То-
гда несобственный интеграл
R b
a f(x)dx сходится тогда и только тогда,
когда существует конечный предел F(b−) := limx→b− F(x). При этом
Z b
a
f(x)dx = F(b−) − F(a). (3)
Доказательство. Для любого t ∈ (a; b) по формуле Ньютона-Лейбница
для собственных интегралов имеем
Z t
a
f(x)dx = F(t) − F(a) (4).
Если существует конечный limx→b− F(x), то существует конечный предел
правой части равенства (3). Следовательно, существует конечный пре-
дел и левой части (3). Это означает, что
R b
a f(x)dx сходится. Переходя к
пределу в (3), получаем (4).
Замечание. На практике полагают F(b) = limx→b− F(x) и форму-
лу Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов для несобственных
интегралов записывают в том же виде, что и для собственных:
Z b
a
f(x)dx = F(x)|b
x=a = F(b) − F(a).

5. Примеры.
1)
Z 1
0
dx
√
1 − x2
= arcsin x|1
0 =
π
2
.
2)
Z +∞
1
dx
x2
= −
1
x

9. +∞
1
= 1.
Теорема 4 (интегрирование по частям). Пусть функции f и g
непрерывно дифференцируемы на [a; b). Если существует конечный пре-
дел limx→b−[f(x)g(x)], то из сходимости одного из интегралов
R b
a f(x)g0
(x)dx,
R b
a g(x)f0
(x)dx следует сходимость другого, и справедлив о соотношение
Z b
a
g(x)f0
(x)dx = lim
x→b−
[f(x)g(x)] − f(a)g(a) −
Z b
a
f(x)g0
(x)dx. (5)
Доказательство. Для любого t ∈ (a; b) справедлива формула интегри-
рования по частям для собственных интегралов
Z t
a
g(x)f0
(x) = f(t)g(t) − f(a)g(a) −
Z t
a
f(x)g0
(x). (6)
Если, к примеру, сходится интеграл
R b
a f(x)g0
(x), то правая часть (5) име-
ет конечный предел. Значит, конечный предел имеет и левая часть. Это
означает, что интеграл
R b
a g(x)f0
(x)dx сходится. Переходя к пределу в (5)
при t → b−, получаем (6).
Замечание. На практике часто пишут вместо limx→b−[f(x)g(x)] про-
сто f(b)g(b)].
Теорема 5 (замена переменных). Пусть функция ϕ : [α; β) →
[a; b) непрерывно дифференцируема, строго монотонно возрастает и об-
ладает свойствами ϕ(α) = a, limt→β ϕ(t) = b. Тогда если один из несоб-
ственных интегралов
R b
a f(x)dx,
R β
α f(ϕ(τ))ϕ0
(τ)dτ сходится, то сходит-
ся и другой и они равны:
Z b
a
f(x)dx =
Z β
α
f(ϕ(τ))ϕ0
(τ)dτ. (7)
Доказательство. Пусть сначала сходится интеграл
R b
a f(x)dx. Для лю-
бого t ∈ (α; β) справедлива формула замены переменных в собственном
интеграле:
Z ϕ(t)
a
f(x)dx =
Z t
α
f(ϕ(τ))ϕ0
(τ)dτ. (8)

10. Устремим t → β−. Тогда ϕ(t) → b и левая часть (8) имеет конечный пре-
дел, равный
R b
a f(x)dx. Следовательно, и правая часть (8) имеет тот же
конечный предел. Это означает, что интеграл
R β
α f(ϕ(t))ϕ0
(t)dt сходится
и справедливо (7).
Обратно, пусть сходится
R β
α f(ϕ(τ))ϕ0
(τ)dτ. Тогда из строгой моно-
тонности ϕ следует, что
Z u
a
f(x)dx =
Z ϕ−1(u)
α
f(ϕ(τ))ϕ0
(τ)dτ. (8)
При этом ϕ−1
(u) → β, u → b−. Далее рассуждаем так же, как и в первом
случае. Теорема доказана.
Замечание. При замене переменных несобственный интеграл может
перейти в собственный.
Примеры.
1)
Z 1
0
ln x = x ln x|1
0 −
Z 1
0
xd ln x = −
Z 1
0
x ·
dx
x
= −
Z 1
0
dx = −1.
Отметим, что при вычислениях мы использовали следующий табличный
предел: limx→0+(x ln x) = 0.
2)
Z +∞
0
xe−x
dx = −
Z +∞
0
xd(e−x
) = −xe−x
|+∞
0 +
Z +∞
0
e−x
dx = −e−x
|+∞
0 = 1,
так как limx→+∞ xe−x
= 0.
3)
Z 1
0
dx
√
1 − x2
=
Z π/2
0
cos tdt
cos t
=
Z π/2
0
dt = 0.
Здесь сделана замена переменных x = sin t, при этом несобственный ин-
теграл перешел в собственный.
2.3 Признаки сходимости несобственных
интегралов от неотрицательных функций
Пусть
R b
a f(x)dx — простейший несобственный интеграл с особенностью
в точке b и f — неотрицательная функция. Тогда функция F(t) :=

11. R t
a f(x)dx является монотонно возрастающей функцией на [a; b). Поэтому
существует конечный или бесконечный предел limt→b− F(t). Если предел
конечен, то несобственный интеграл сходится, если бесконечен, то инте-
грал расходится, но ему можно приписать значение +∞. В этом случае
говорят, что интеграл расходится к +∞.
Итак, в случае неотрицательной подинтегральной функции простей-
шему несобственному интегралу можно приписать конечное или беско-
нечное значение. В этом существенное отличие от случая, когда подин-
тегральная функция не знакопостоянна! Если функция f меняет знак
на любом интервале (t; b), содержащемся в (a; b), то часто интегралу
нельзя приписать никакого определенного значения (если не существует
limt→b− F(t)).
Теорема 1 (признак сравнения в форме неравенства). Пусть
даны два несобственных интеграла
R b
a f(x)dx и
R b
a f(x)dx с единственной
особенностью в точке b. Если 0 ≤ f(x) ≤ g(x), x ∈ [a; b), то из сходи-
мости интеграла
R b
a g(x)dx следует сходимость интеграла
R b
a f(x)dx;
из расходимости интеграла
R b
a f(x)dx следует расходимость интеграла
R b
a (x)dx.
Доказательство. Для любого t ∈ (a; b) имеем F(t) :=
R t
a f(x)dx ≤
R t
a g(x)dx =: G(t). Пусть интеграл
R b
a g(x)dx сходится. Тогда существует
конечный предел limx→b− G(x). В силу монотонного возрастания функ-
ции G получаем G(t) ≤ limx→b− G(x) < +∞. Следовательно, функция
G ограничена. Из неравенства F(t) ≤ G(t), t ∈ (a; b), следует, что мо-
нотонно возрастающая функция F также ограничена сверху. По свой-
ству монотонных функций существует конечный предел limx→b− F(x).
Это означает сходимость интеграла
R b
a f(x)dx. Второе утверждение тео-
ремы сразу следует из первого.
Теорема 2 (признак сравнения в предельной форме). Пусть
даны два несобственных интеграла
R b
a f(x)dx и
R b
a f(x)dx с единствен-
ной особенностью в точке b. Пусть f(x) > 0, g(x) > 0, x ∈ [a; b), и
существует предел α := limx→b−
f(x)
g(x)
. Если α < +∞, то из сходимо-
сти интеграла
R b
a g(x)dx следует сходимость интеграла
R b
a f(x)dx. Если
α > 0, то из расходимости интеграла
R b
a g(x)dx следует расходимость
интеграла
R b
a f(x)dx.
Доказательство. 1) Пусть α < +∞. В силу свойств предела функции

12. ∀ε > 0 ∃ c ∈ (a; b): ∀x ∈ (c; b) f(x)
g(x)
< α + ε, т.е. f(x) < (α + ε)g(x). Если
интеграл
R b
a g(x)dx сходится, то в силу теоремы 2 предыдущего пункта
для любого d ∈ (c; b) интеграл
R b
d g(x)dx сходится. В силу линейности
интегралов сходится интеграл
R b
d (α + ε)g(x)dx. По теореме 1 сходится
интеграл
R b
d f(x)dx. Тогда схоидтся и интеграл
R b
a f(x)dx.
2) Если α > 0, то limx→b−
g(x)
f(x)
= 1
α
< +∞ и утверждение следует из
доказанного п. 1).
Примеры.
1)
Z +∞
1
dx
xp
=
x1−p
1 − p

17. − 1+∞
=
1
1 − p
, p > 1.
При p < 1 аналогичными вычислениями показываем, что
Z +∞
1
dx
xp
= +∞.
Наконец, при p = 1 имеем
Z +∞
1
dx
xp
= ln x|+∞
1 = +∞.
Итак, интеграл
R +∞
1
dx
xp сходится тогда и только тогда, когда p > 1.
2)
Z 1
0
dx
xp
=
x1−p
1 − p

22. 1
0
=
1
1 − p
, p < 1.
При p > 1 видим, что Z 1
0
dx
xp
= +∞.
Наконец, при p = 1 получаем
Z 1
0
dx
xp
= ln x|1
0 = +∞.
Итак, интеграл
R 1
0
dx
xp сходится тогда и только тогда, когда p < 1.
3) Основываясь на примере 2), получаем, что интегралы вида
R b
a
dx
(x−a)p ,
R b
a
dx
(b−x)p сходятся тогда и только тогда, когда p < 1.
Из теоремы 2 с использованием этих примеров следуют следующие
утверждения.

23. Теорема 3. Рассмотрим несобственный интеграл
R +∞
a f(x)dx с един-
ственной особенностью на верхнем пределе. Предположим, что суще-
ствует limx→+∞ xp
f(x) = α. Если p > 1 и α < +∞, то интеграл
R +∞
a f(x)dx сходится. Если p ≤ 1 и α > 0, то интеграл
R +∞
a f(x)dx
расходится.
Теорема 4. Рассмотрим несобственный интеграл
R b
a f(x)dx с един-
ственной особенностью на верхнем пределе b < +∞. Предположим,
что существует limx→b−(b − x)p
f(x) = α. Если p < 1 и α < +∞,
то интеграл
R +∞
a f(x)dx сходится. Если p ≥ 1 и α > 0, то интеграл
R +∞
a f(x)dx расходится.
Упражение. Сформулируйте и докажите утверждения, аналогичные
теоремам 3 и 4 для интегралов с особенностями на нижнем пределе.
Примеры.
1)
Z +∞
2
dx
x2(1 + x)
сходится, так как 1
x2(1+x)
∼ 1
x3 , p = 3 > 1.
2)
Z 1
0
dx
sin x
расходится, так как 1
sin x
∼ 1
x
, p = 1.
3) Z 1
0
ln2
xdx
сходится. Действительно, для любого p ∈ (0, 1) имеем limx→0+(xp
ln2
x) =
0.
2.4 Несобственные интегралы
от незнакопостоянных функций
Теорема 1 (критерий Коши). Интеграл
R b
a f(x)dx с единственной
особенностью на верхнем пределе сходится тогда и только тогда, когда
∀ε > 0 ∃tε ∈ (a; b): ∀t0
, t00
∈ (tε; b)

28. Z t00
t0
f(x)dx

33. < ε.

34. Доказательство. Пусть F(t) =
R t
a f(x)dx. Несобственный интеграл
R b
a f(x)dx сходится тогда и только тогда. когда существует конечный пре-
дел limt→b− F(t). силу критерия Коши существования предела функции
это будет тогда и только тогда, когда ∀ε > 0 ∃tε ∈ (a; b): ∀t0
, t00
∈ (tε; b)
|F(t0
) − F(t00
)| < ε. Но
|F(t0
) − F(t00
)| =

39. Z t0
a
f(x)dx −
Z t00
a
f(x)dx

44. =

49. Z t00
t0
f(x)dx

54. .
Это завершает доказательство теоремы.
Говорят, что несобственный интеграл
R b
a f(x)dx сходится абсолютно,
если сходится интеграл
R b
a |f(x)|dx.
Теорема 2 (признак абсолютной сходимости). Если интеграл
R b
a f(x)dx сходится абсолютно, то он сходится.
Доказательство. Пусть
R b
a |f(x)|dx сходится. Тогда по критерию Коши
∀ε > 0 ∃tε ∈ (a; b): ∀t0
, t00
∈ (tε; b)

59. Z t00
t0
|f(x)|dx

64. < ε.
Следовательно, при таких t0
, t00

69. Z t00
t0
f(x)dx

74. ≤

79. Z t00
t0
|f(x)|dx

84. < ε.
По критерию Коши интеграл
R b
a f(x)dx сходится.
Замечание. Обратное утверждениен неверно. существуют интегра-
лы, которые сходятся, но не сходится абсолютно. Такие интегралы на-
зываются условно сходящимися.
Теорема 3 (признак Дирихле). Интеграл
R b
a f(x)g(x)dx сходится,
если
1) функция f непрерывна на [a; b) и имеет ограниченную первообраз-
ную F на [a; b);
2) функция g непрерывно дифференцируема и монотонна на [a; b);
3) limx→b− g(x) = 0.

85. Доказательство. Применим к интегралу
R b
a f(x)g(x)dx критерий Ко-
ши. Для любых t0
, t00
∈ (a; b) имеем
Z t00
t0
f(x)g(x)dx =
Z t00
t0
g(x)dF(x) = F(x)g(x)|t00
t0 −
Z t00
t0
F(x)g0
(x)dx. (1)
Выберем константу M > 0 так чтобы |F(x)| ≤ M, x ∈ [a; b).
Так как функция g монотонна на [a; b), то ее производной либо неот-
рицательна, либо неположительна на [a; b). Пусть, для определенности,
g0
(x) ≥ 0, x ∈ [a; b). Так как limx→b− g(x) = 0, по определению предела
∀ε > 0 ∃tε ∈ (a; b): ∀x ∈ (tε; b) выполняется неравенство |g(x)| ≤ ε
4M
.
Оценим слагаемые в правой части (1). Имеем

88. F(x)g(x)|t00
t0

91. ≤ |F(t00
)||g(t00
)| + |F(t0
)||g(t0
)| ≤
≤ M(|g(t00
)| + |g(t0
)|) ≤ M
ε
4M
+
ε
4M
=
ε
2
, t0
, t00
∈ (tε; b), (2)

96. Z t00
t0
F(x)g0
(x)dx

101. ≤

106. Z t00
t0
|F(x)||g0
(x)|dx

111. ≤ M

116. Z t00
t0
|g0
(x)|dx

121. =
= M

126. Z t00
t0
g0
(x)dx

131. = M|g(t00
) − g(t0
)| ≤ M(|g(t00
)| + |g(t0
)| ≤
≤ M
ε
4M
+
ε
4M
=
ε
2
, t0
, t00
∈ (tε; b). (3)
Применяя к оценке правой части (1) неравенство треугольника с учетом
(2) и (3), получаем

136. Z t00
t0
f(x)g(x)dx

141. ≤
ε
2
+
ε
2
= ε, t0
, t00
∈ (tε; b).
По критерию Коши интеграл
R b
a f(x)g(x)dx сходится.
Теорема 4 (признак Абеля). Интеграл
R b
a f(x)g(x)dx сходится,
если
1) функция f непрерывна на [a; b) и интеграл
R b
a f(x)dx сходится;
2) функция g непрерывно дифференцируема и монотонна на [a; b);
3) функция g ограничена на [a; b).
Доказательство. Функция g монотонна и ограничена на [a; b). Сле-
довательно, существует конечный предел α := limx→b− g(x). Применим

142. признак Дирихле к интегралу
R b
a f(x)(g(x)−α)dx. Первообразная F(x) =
R x
a f(t)dt функции f имеет конечный предел при x → b−, поэтому она
ограничена. функция g(x)−α непрерывно дифференцируема, монотонна
на [a; b) и limx→b−(g(x) − α) = 0. Следовательно,
R b
a f(x)(g(x) − α)dx cхо-
дится. В силу линейности сходится интеграл
R b
a f(x)g(x)dx =
R b
a f(x)(g(x)−
α)dx + α
R b
a f(x)dx.
Примеры.
1) Интеграл
Z 1
0
sin 1
1−x
√
1 − x
dx
сходится абсолютно, так как

147. sin 1
1−x
√
1 − x

152. ≤
1
√
1 − x
=
1
(1 − x)1/2
и интеграл
R 1
0
dx
(1−x)1/2 сходится.
2) Интеграл Z +∞
1
sin x
x
dx
сходится по признаку Дирихле. Действительно, пусть f(x) = sin x, g(x) =
1/x. Функция f имеет ограниченную первообразную F(x) = − cos x,
|F(x)| ≤ 1. Функция g непрерывно дифференцируема, монотонна и стре-
мится к нулю при x → +∞.
Покажем, что интеграл не сходится абсолютно. Применим признак
сравнения. Имеем

156. sin x
x

160. ≥
sin2
x
x
=
1 − cos 2x
2x
.
Достаточно доказать, что
R +∞
1
sin2 x
x
dx расходится. Если бы этот интеграл
сходился, то сходился бы и интеграл
Z +∞
1
dx
x
= 2
Z +∞
1
sin2
x
x
dx +
Z +∞
1
cos 2x
x
dx.
(Интеграл
R +∞
1
cos 2x
x
dx сходится по признаку Дирихле, это показывается
так же, как и выше для интеграла
R +∞
1
sin x
x
dx). Однако интеграл
R +∞
1
dx
x
расходится.
Таким образом, интеграл
R +∞
1
sin x
x
dx сходится условно.

161. 2.5 Несобственные интегралы общего вида
Пусть дан несобственный интеграл
R b
a f(x)dx и существует конечное чис-
ло точек t1 t2 . . . tn на (a, b) таких, что интегралы
Z t1
a
f(x)dx,
Z t2
t1
f(x)dx, . . . ,
Z tn
tn−1
f(x)dx,
Z b
tn
f(x)dx
являются простейшими несобственными интегралами. Если все эти ин-
тегралы сходятся, то интеграл
R b
a f(x)dx называется сходящимся и его
значение равно сумме значений соответствующих простейших интегра-
лов. В противном случае интеграл называется расходящимся. Отметим,
что это определение не зависит от выбора точек tj.
Примеры.
1) Рассмотрим интеграл
Z +∞
0
sin x
x
dx.
Разобъем его на два простейших интеграла:
Z 1
0
sin x
x
dx +
Z +∞
1
sin x
x
dx.
Первый интеграл имеет особенность на нижнем предел и сходится, по-
скольку sin x
x
→ 1, x → 0. Сходимость второго интеграла доказана выше.
Следовательно, интеграл сходится.
2) Интеграл
Z +∞
0
dx
xp
dx
разобъем на два простейших. Первый
Z 1
0
dx
xp
dx
сходится при p 1, второй
Z +∞
1
dx
xp
dx
при p 1. Cледовательно, интеграл не сходится ни при каких значениях
параметра p.

162. 3)
Z 2
0
dx
√
1 − x
dx
сходится, так как сходятся интегралы
Z 1
0
dx
√
1 − x
dx
и Z 2
1
dx
√
1 − x
dx.
2.6 Интеграл, понимаемый в смыcле главного значе-
ния по Коши
Рассмотрим пример. Интеграл
Z 1
0
dx
x − 1/2
расходится, так как, простейшие несобственные интегралы
Z 1/2
0
dx
x − 1/2
,
Z 1
1/2
dx
x − 1/2
расходятся. Таким образом, не существует предела
lim
t0,t00→1/2
Z t0
0
dx
x − 1/2
Z 1
t00
dx
x − 1/2
!
.
Однако если выбирать t0
t00
не произвольно, а симметрично относительно
точки (1/2), то предел существует:
lim
ε→0+
Z 1/2−ε
0
dx
x − 1/2
+
Z 1
1/2+ε
dx
x − 1/2
!
=
= lim
ε→0+
ln

166. x −
1
2

170. 1/2−ε
0
+ ln

174. x −
1
2

178. 1
1/2+ε
!
=
= lim
ε→0+
(ln ε − ln(1/2) + ln(1/2) − ln ε) = 0.
Этот пример наводит на следующее определение.

179. Пусть несобственный интеграл
R b
a f(x)dx имеет единственную особен-
ность в точке c ∈ (a; b). Говорят, что этот интеграл существует в смысле
главного значения по Коши, если существует конечный предел
lim
ε→0+
Z c−ε
a
f(x)dx +
Z b
c+ε
f(x)dx
#
.
Этот предел обозначают
v.p.
Z b
a
f(x)dx.
Пример. Пусть функция ϕ непрерывно дифференцируема на [a; b].
Тогда для любого c ∈ (a; b) существует v.p.
R b
a
ϕ(x)dx
x−c
. Действительно,
ϕ(x)
x − c
=
ϕ(x) − ϕ(c)
x − c
+ ϕ(c)
1
x − c
,
и
lim
ε→0+
Z c−ε
a
ϕ(x)dx
x − c
+
Z b
c+ε
ϕ(x)dx
x − c
#
=
= lim
ε→0+
Z c−ε
a
(ϕ(x) − ϕ(c))dx
x − c
+
Z b
c+ε
(ϕ(x) − ϕ(c))dx
x − c
#
+
+ϕ(c) lim
ε→0+
Z c−ε
a
dx
x − c
+
Z b
c+ε
dx
x − c
#
=
=
Z c
a
(ϕ(x) − ϕ(c))dx
x − c
+
Z b
c
(ϕ(x) − ϕ(c))dx
x − c
+
+ϕ(c) lim
ε→0+
h
ln |x − c||c−ε
a + ln |x − c||b
c+ε
i
=
Z b
a
(ϕ(x) − ϕ(c))dx
x − c
+ ln
b − c
c − a
.
Последний интеграл существует как несобственный.
3 Числовые ряды
3.1 Сходимость числового ряда
Числовым рядом называется формальная сумма
∞
X
n=1
an = a1 + a2 + . . . + an + . . . ,

180. где an — некоторая числовая последовательность. Частичной (точнее,
n-й частичной) суммой ряда
P∞
n=1 an называется величина Sn :=
Pn
k=1 ak.
Говорят, что ряд
P∞
n=1 an сходится, если существует конечный предел
limn→∞ Sn. При этом число S := limn→∞ Sn называется суммой ряда
P∞
n=1 an и пишут
S =
∞
X
n=1
an.
Если ряд не сходится, то говорят, что он расходится. Если limn→∞ Sn =
+∞ или limn→∞ Sn = −∞, то говорят, что ряд расходится к +∞ или
−∞.
Примеры.
1) Покажем, что ряд
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+
1
3 · 4
+ . . . =
∞
X
k=1
1
k · (k + 1)
сходится. Его частичные суммы
Sn =
∞
X
k=1
1
k · (k + 1)
=
∞
X
k=1
1
k
−
1
k + 1
=
=
1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+. . .+
1
n
−
1
n + 1
= 1−
1
n + 1
→ 1, n → ∞.
Таким образом, ряд сходится и его сумма равна 1.
2) Геометрическая прогрессия
1 + q + q2
+ q3
+ . . . + qn
+ . . . =
∞
X
k=1
qk−1
имеет частичные суммы
Sn ==
n
X
k=1
qk−1
=
1 − qn
1 − q
.
Если |q| 1, то limn→∞ qn
= 0 и S = limn→∞ Sn = 1
1−q
. Если |q| ≥ 1, то
ряд расходится.

181. 3.2 Критерий Коши. Необходимое условие
сходимости ряда
Теорема (критерий Коши). Числовой ряд
P∞
n=1 an сходится тогда и
только тогда, когда ∀ε 0 ∃N: ∀n ≥ m ≥ N выполнено неравенство

186. n
X
k=m
ak

191. ε.
Доказательство. Воспользуемся критерием Коши для последователь-
ностей. Числовой ряд
P∞
n=1 an сходится тогда и только тогда, когда схо-
дится последовательность частичных сумм Sn. В свою очередь, это будет
тогда и только тогда, когда последовательность Sn фундаментальна, т. е.
∀ε 0 ∃N: ∀n ≥ m ≥ N |Sn − Sm−1| ε. (Понятно, что можно брать
Sm−1 вместо Sm.) Остается заметить, что
Pn
k=m ak = Sn − Sm−1.
Следствие (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд
P∞
n=1 an сходится, то an → 0, n → ∞.
Для доказательства достаточно взять в условии теоремы m = n.
Вывод: при исследовании сходимости ряда следует начинать, как пра-
вило, с проверки необходимого условия сходимости limn→∞ an = 0. Если
это условие не выполняется, то ряд сходиться не может. Если оно выпол-
няется. то ряд может и сходиться, и расходиться, и исследование сходи-
мости требует использования дополнительных признаков или критериев.
Примеры.
1) Рассмотрим сумму геометрической прогрессии
∞
X
n=1
qn
.
Имеем qn
→ 0 тогда и только тогда, когда |q| 1. Следовательно, при
|q| ≥ 1 ряд расходится.
2) Так называемый гармонический ряд
∞
X
n=1
1
n
.
Для него выполняется необходимое условие сходимости ряда: 1
n
→ 0, n →
∞. Покажем, что, тем не менее, ряд расходится. Для этого применим

192. критерий Коши. Установим, что ∃ε 0: ∀N ∃n ≥ m ≥ N:
Pn
k=m
1
k
ε.
Возьмем ε = 1/2. Для любого натурального N пусть m = N, n = 2N −1.
Тогда
2N−1
X
k=N
1
k
2N−1
X
k=N
1
2N
=
1
2N
2N−1
X
k=N
1 =
1
2
.
3.3 Сходимость ряда с неотрицательными
членами
Отметим на некоторую аналогию между рядами
P∞
n=1 an и несобствен-
ными интегралами
R +∞
a f(x)dx. При этом аналогом частичной суммы
Pn
k=1 ak выступают интегралы
R x
a f(t)dt.
Теорема. Ряд
P∞
n=1 an с неотрицательными членами сходится то-
гда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм
ограничена.
Доказательство. Так как все an ≥ 0, последовательность Sn являет-
ся монотонно возрастающей. Но монотонная последовательность имеет
конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена.
Следующая теорема позволяет достаточно просто исследовать сходи-
мость рядов, используя аналогия с интегралами. Например, ряду
∞
X
n=1
1
√
n
можно сопоставить интеграл
Z +∞
1
dx
√
x
.
Так как интеграл сходится, то отсюда можно вывести сходимость ряда.
Теорема (интегральный признак сходимости ряда). Пусть f :
[1; +∞) → [0; +∞) некоторая невозрастающая функция. Ряд
P∞
n=1 f(n)
сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл
R +∞
1 f(x)dx.
Доказательство. Пусть k = [x]. Тогда f(k + 1) ≤ f(x) ≤ f(k). Инте-
грируя, получаем
f(k + 1) ≤
Z k+1
k
f(x)dx ≤ f(k).

193. Суммируя эти неравенства, имеем
n
X
k=1
f(k + 1) ≤
Z n
1
f(x)dx ≤
n
X
k=1
f(k)
или
Sn − f(1) ≤
Z n
1
f(x)dx ≤ Sn−1. (1)
Если ряд
P∞
n=1 f(n) сходится, то последовательность Sn сходится, сле-
довательно, ограничена, т. е. существует M 0 такое, что Sn ≤ M, n ≥ 1.
Обозначим F(x) =
R x
1 f(t)dt. Тогда в силу неотрицательности f и (1)
F(x) ≤
Z n+1
1
f(t)dt ≤ Sn ≤ M,
где n = [x]. Значит монотонно возрастающая функция F ограничена
сверху, поэтому имеет конечный предел при x → +∞. это означает схо-
димость интеграла
R +∞
1 f(x)dx.
Обратно, из сходимости интеграла следует. что функция F ограниче-
на сверху, т. е. существует константа C 0 такая, что |F(x)| ≤ C, x ≥ 1.
Используя (1), получаем, что Sn ≥ f(1) + C, n ≥ 1. Из предыдущей
теоремы следует, что ряд
P∞
n=1 f(n) сходится.
Примеры.
1) Рассмотрим ряд
P∞
n=1
1
np . Если p ≤ 0, то этот ряд расходится, так
как не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Пусть p
0. Тогда Функция f(x) = 1
xp неотрицательна и монотонно убывает на
[1; +∞). Интеграл
R +∞
1
dx
xp сходится тогда и только тогда, когда p 1.
Следовательно, ряд
P∞
n=1
1
np сходится тогда и только тогда, когда p 1.
2) Ряд
P∞
n=2
1
n ln2
n
сходится. Действительно, функция f(x) = 1
x ln2
x
неотрицательна и монотонно убывает на [2; +∞), а интеграл
Z +∞
2
dx
x ln2
x
=
Z +∞
2
d ln x
ln2
x
=
Z +∞
ln 2
dt
t2
= 1
сходится. (Конечно, то, что суммирование начинается с 2 не существен-
но!)

194. 3.4 Верхний и нижний пределы последовательности
По теореме Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последова-
тельности xn можно выделить сходящуюся в R подпоследовательность.
Если последовательность не ограничена, то тогда существует ее подпо-
следовательность, сходящаяся либо к +∞ либо к −∞. В любом случае,
из любой последовательности можно выделить подпоследовательность,
сходящуюся в R к некоторому числу a. Будем называть число a частич-
ным пределом последовательности xn. Обозначим через A(xn) множество
всех частичных пределов последовательности xn. Как мы показали, это
множество непусто.
Примеры. 1) Рассмотрим последовательность 1, −1, 1, −1, 1, −1, . . ..
Очевидно, что множество частичных пределов A(xn) = {−1, 1}.
2) Пусть xn = (−1)n
+ 1
n
. Тогда A(xn) = {1, 1}.
3) Занумеруем множество рациональных чисел Q натуральными чис-
лами. В результате получаем последовательность xn. Что можно сказать
про A(xn)?
4) Пусть натуральное число n = α1α2 . . . αk, т.е. αj — цифры числа n
его десятичной записи. Рассмотрим последовательность xn = 0, α1α2 . . . αk.
Выпишем несколько первых членов последовательности:
0, 1; 0, 2; 0, 3; . . . ; 0, 9; 0, 10; 0, 11; 0, 12; . . . .
Тогда A(xn) = [0, 1; 1]. Действительно, пусть x ∈ [0, 1; 1]. Тогда x мож-
но представить в виде десятичной дроби x = 0, β1β2 . . .. Пусть yn =
0, β1β2 . . . βn. Существует натуральное число kn такое, что yn = xkn . То-
гда limn→∞ xkn = limn→∞ yn = x. С другой стороны, множество членов
последовательности лежит в [0, 1; 1], поэтому A(xn) и лежит в [0, 1; 1].
Теорема 1. Для любой числовой последовательности xn множество
A(xn) содержит свои точные верхнюю и нижнюю грани.
Доказательство. Рассмотрим для примера случай точной верхней гра-
ни. Пусть a = sup A(xn) ∈ R. В силу свойств sup существует последова-
тельность am ∈ A(xn), сходящаяся к a. Так как am ∈ A(xn), существует
xnm такое, что |xnm − am| 1
m
. (Можно выбирать номера nm после-
довательно таким образом, чтобы они возрастали с ростом m.) Тогда
|xnm − a| ≤ |xnm − am| + |am − a| 1
m
+ |am − a| → 0, m → ∞. Следова-
тельно, limm→∞ xnm = a, т.е. a ∈ A(xn).

195. Если a = −∞, то A(xn) = {−∞} содержит одну точку — точку a.
Если a = +∞, то последовательность xn не ограничена сверху, следо-
вательно содержит подпоследовательность, сходящуюся к +∞. Теорема
доказана.
Определение. Число sup A(xn) называется верхним пределом после-
довательности xn, а inf A(xn) — нижним пределом.
Обозначается верхний предел limn→∞xn, а нижний — limn→∞xn.
Очевидна следующая
Теорема 2. Справедливо неравенство
lim
n→∞
xn ≤ lim
n→∞
xn.
Последовательность xn сходится тогда и только тогда, когда limn→∞ xn =
limn→∞ xn, при этом limn→∞ xn = limn→∞ xn = limn→∞ xn.
Теорема 3 (характеристическое свойство верхнего предела).
Число a ∈ R является верхним пределом последовательности xn тогда
и только тогда, когда выполняются два условия:
1) ∀ε 0 ∃N: ∀n ≥ N (xn a + ε);
2) ∀ε 0 ∀N: ∃n ≥ N (xn a − ε).
Замечание. Если имеет место условие ∃N: ∀n ≥ N (xn ∈ A), то
множество A называется ловушкой последовательности xn. Если имеет
место условие ∀N: ∃n ≥ N (xn ∈ A), то множество A называется кор-
мушкой последовательности xn. Число a ∈ R является верхним пределом
последовательности xn тогда и только тогда, когда ∀ε 0 множество
(−∞; a + ε) является ловушкой xn, а (−∞; a − ε) — кормушкой.
Доказательство. Необходимость. Пусть a = limn→∞ xn. Предполо-
жим, что 1) не имеет место. Тогда ∃ε 0 ∀N: ∃n ≥ N (xn ≥ a + ε).
Это означает, что существует подпоследовательность xnk
, для которой
выполняется неравенство xnk
≥ a+ε. Выделим из xnk
сходящуюся подпо-
следовательность xnkj
. Ее предел α удовлетворяет условию α ≥ a+ε a.
Таким образом, существует α ∈ A(xn) такое, что α a. Это противоре-
чит тому, что a = limn→∞ xn.
Теперь предположим, что не имеет место 2). Тогда ∃N: ∀n ≥ N
(xn ≤ a − ε). Таким образом, для любой сходящейся подпоследователь-
ности xnk
с некоторого номера выполняется неравенство xnk
≤ a − ε.

196. Значит и любой частичный предел β последовательности xn удовлетво-
ряет неравенству β ≤ a − ε. Значит и a ≤ a − ε — противоречие.
Достаточность. Пусть выполняется 1) и 2). Из 1) следует, что для
любого ε 0 любой частичный предел α удовлетворяет неравенству
α ≤ a + ε. Следовательно, α ≤ a, т.е. a — мажоранта множества A(xn)
и sup A(xn) ≤ a. Из 2) следует, что для любого ε 0 существует подпо-
следовательность xnk
, удовлетворяющая неравенству xnk
a − ε. Выде-
лим из xnk
подпоследовательность, сходящуюся к некоторому β. Тогда
β ∈ A(xn), β ≥ a−ε. Следовательно, sup A(xn) ≥ a, откуда sup A(xn) = a.
Теорема доказана.
Теорема 3 (характеристическое свойство нижнего предела).
Число a ∈ R является нижним пределом последовательности xn тогда
и только тогда, когда выполняются два условия:
1) ∀ε 0 ∃N: ∀n ≥ N (xn a − ε);
2) ∀ε 0 ∀N: ∃n ≥ N (xn a + ε).
Упражнения. 1) Сформулируйте аналоги теорем 3 и 4 для случая,
когда a = ±∞.
2) Докажите, что limn→∞ xn = lim supm≥n xm, limn→∞ xn = lim infm≥n xm.
3.5 Теоремы сравнения для знакопостоянных рядов
Теорема 1. Пусть 0 ≤ an ≤ bn, n ≥ 1. Если ряд
P∞
n=1 bn сходится, то
сходится и ряд
P∞
n=1 an. Если ряд
P∞
n=1 an расходится, то и ряд
P∞
n=1 bn
расходится.
Доказательство. Пусть Sn =
Pn
k=1 ak, Σn =
Pn
k=1 bk — частичные сум-
мы. Так как ak, bk ≥ 0, то последовательности Sn, Σn возрастают. Если
ряд
P∞
n=1 bn сходится, то последовательность Σn =
Pn
k=1 bk имеет конеч-
ный предел Σ, следовательно, ограничена сверху числом Σ. Из нера-
венства 0 ≤ Sn ≤ Σn ≤ Σ, n ≥ 1, следует, что монотонная последова-
тельность Sn ограничена, поэтому имеет конечный предел. Это означает
сходимость ряда
P∞
n=1 an. Теорема доказана.
Замечание. Сходимость ряда не зависит от величины первых чле-
нов. Поэтому теорема 1 справедлива и в случае, если условие 0 ≤ an ≤ bn
выполняется при n ≥ n0, где n0 — некоторое число. Это же справедливо
и для других признаков.

197. Теорема 2. Пусть an, bn 0, n ≥ 1.
1) Если limn→∞
an
bn
+∞, то из сходимости ряда
P∞
n=1 bn следует
сходимость ряда
P∞
n=1 an.
2) Если limn→∞
an
bn
0, то из расходимости ряда
P∞
n=1 bn следует
расходимость ряда
P∞
n=1 an.
Доказательство. 1) Пусть limn→∞
an
bn
= α +∞. Выберем α β
+∞. По характеристическому свойству верхнего предела ∃N: ∀n ≥ N
an
bn
β. Следовательно, an βbn, n ≥ N. Если ряд
P∞
n=1 bn сходится, то
ряд
P∞
n=1(βbn) также сходится. По теореме 1 сходится ряд
P∞
n=1 an.
2) Если α = limn→∞
an
bn
0, то limn→∞
bn
an
= 1
α
+∞, и остается
применить утверждение 1).
Теорема 3. Пусть an, bn 0 и an+1
an
≤ bn+1
bn
, n ≥ 1. Если ряд
P∞
n=1 bn
сходится, то ряд
P∞
n=1 an также сходится.
Доказательство. Имеем
a2
a1
·
a3
a2
·
a4
a3
· . . . ·
an
an−1
≤
b2
b1
·
b3
b2
·
b4
b3
· . . . ·
bn
bn−1
,
то есть
an
a1
≤
bn
b1
, n ≥ 1.
Следовательно, an ≤ a1
b1
bn, n ≥ 1, и в силу теоремы 1 получаем утвер-
ждение нашей теоремы.
Теорема 4 (признак Даламбера). Пусть an 0, n ≥ 1. Если
limn→∞
an+1
an
1, то ряд
P∞
n=1 an сходится. Если limn→∞
an+1
an
1, то
ряд
P∞
n=1 an расходится.
Доказательство. Пусть α = limn→∞
an+1
an
1. Фиксируем число q ∈
(α; 1). По характеристическому свойству верхнего предела ∃N: ∀n ≥ N
an+1
an
≤ q =
qn+1
qn
.
Ряд
P∞
n=1 qn
сходится, так как q 1. По теореме 3 сходится ряд
P∞
n=1 an.
Пусть теперь β := limn→∞
an+1
an
1. Фиксируем число q ∈ (1; β). Тогда
an+1
an
≥ q =
qn+1
qn
, n ≥ N,

198. для некоторого N. Так как ряд
P∞
n=1 qn
сходится (q 1), по теореме 3
ряд
P∞
n=1 an также расходится.
Теорема 5 (радикальный признак Коши) Пусть an ≥ 0, n ≥ 1.
Если limn→∞
n
√
an 1, то ряд
P∞
n=1 an сходится, если limn→∞
n
√
an 1,
то ряд
P∞
n=1 an расходится.
Доказательство. Пусть α := limn→∞
n
√
an 1. Фиксируем число q ∈
(α; 1). По характеристическому свойству верхнего предела ∃N: ∀n ≥ N
n
√
an q, т.е. an qn
. Так как ряд
P∞
n=1 qn
сходится (q 1), по теореме 1
сходится ряд
P∞
n=1 an.
Пусть теперь α := limn→∞
n
√
an 1. Тогда существует подпоследова-
тельность nk такая, что при достаточно больших k имеет место неравен-
ство nk
√
ank
1, т.е. ank
1. Но тогда an 6→ 0, n → ∞. Следовательно, не
выполняется необходимое условие сходимости ряда
P∞
n=1 an, и ряд рас-
ходится.
Примеры.
1) Ряд
P∞
n=1
1
n!
сходится по признаку Даламбера, так как an = 1
n!
,
an+1
an
= 1
n+1
→ 0 1, n → ∞.
2) Ряд
P∞
n=1
1
nn сходится по радикальному признаку Коши, так как
n
√
an = 1
n
→ 0 1, n → ∞.
3) Ряд
P∞
n=1
n!
nn сходится по признаку Даламбера, так как
an+1
an
=
(n + 1)!
(n + 1)n+1
·
nn
n!
=
nn
(n + 1)n
=
1
1 + 1
n
n →
1
e
1, n → ∞.
4) Рассмотрим ряд
P∞
n=1
2n
((−1)n+2)n . Имеем n
√
an = 2
(−1)n+2
. Так как
limn→∞
n
√
an = 2 1, то по радикальному признаку Коши ряд расходит-
ся.
5) Теперь рассмотрим ряд
P∞
n=1
1
np . Так как an+1
an
→ 1, n
√
an → 1,
n → ∞, то ни признак Даламбера, ни признак Коши не дают ответа,
сходится ряд или нет. Однако мы знаем, что при p 1 ряд сходится,
при p ≤ 1 — расходится. Этот пример показывает, что для исследования
некоторых рядов нужны более тонкие признаки, чем признаки Коши и
Даламбера. Одним из таких признаков является признак Раабе.
Теорема 6 (признак Раабе). Пусть an 0. Если
lim
n→∞
n
1 −
an+1
an
1,

199. то ряд
P∞
n=1 an сходится. Если
lim
n→∞
n
1 −
an+1
an
1,
то ряд
P∞
n=1 an расходится.
Доказательство. 1) Пусть β := limn→∞ n
1 − an+1
an
1.Фиксируем
число λ ∈ (1; β). Тогда ∃N: ∀n ≥ N
n
1 −
an+1
an
λ =⇒
an+1
an
1 −
λ
n
1 −
λ
n + 1
.
Докажем, что при 0 x 1 выполняется неравенство 1 − λx (1 −
x)λ
. Действительно, функция f(x) := 1−λx−(1−x)λ
имеет производную
f0
(x) = −λ(1 − (1 − x)λ−1
) 0, x ∈ (0; 1), следовательно она строго
монотонно убывает на [0; 1]. Из неравенства f(x) f(0) = 0 следует
доказываемое неравенство. Применяя его получаем
an+1
an
1 −
λ
n + 1
(1 −
1
n + 1
)λ
=
n
n + 1
λ
=
bn+1
bn
,
где bn = 1
nλ . Итак,
an+1
an
bn+1
bn
, n ≥ N.
Так как ряд
P∞
n=1 bn =
P∞
n=1
1
nλ сходится, то по признаку сравнения (тео-
рема 3) ряд
P∞
n=1 an сходится.
2) Пусть γ := limn→∞ n
1 − an+1
an
1. Тогда ∃N: ∀n ≥ N
n
1 −
an+1
an
1 =⇒
an+1
an
bn+1
bn
,
где bn = 1
n−1
. Ряд
P∞
n=2 bn =
P∞
n=2
1
n−1
расходится, поэтому по признаку
сравнения (теорема 3) ряд
P∞
n=1 an расходится. Теорема доказана.
Замечание. Если limn→∞ n
1 − an+1
an
= 1 или limn→∞ n
1 − an+1
an
=
1, то ни из одного из этих равенств нельзя вывести информацию о схо-
димости (расходимости ряда) без дополнительных исследований. Однако
есть более тонкие признаки, например, признак Гаусса, которые позво-
ляют иногда доказывать сходимость (расходимость) рядов.

200. Примеры. 1) Применим признак Раабе к исследованию сходимости
ряда
∞
X
n=1
n!
(x + 1)(x + 2) · . . . · (x + n)
,
где x — некоторое число, не являющееся целым отрицательным. Имеем
an+1
an
=
n + 1
x + n + 1
,
lim
n→∞
n
1 −
an+1
an
= lim
n→∞
n
1 −
n + 1
x + n + 1
= lim
n→∞
n
x
x + n + 1
= x.
Если x 1, то ряд сходится, если x 1, то ряд расходится. Если x = 1,
то получаем по существу гармонический ряд, который тоже расходится.
2)
∞
X
n=1
n
e
n
n!
.
Имеем
an+1
an
=
n + 1
n
n
1
e
,
откуда с использованием замены переменной и правила Лопиталя полу-
чаем
lim
n→∞
n
1 −
an+1
an
= lim
n→∞
n
1 −
1
e
1 +
1
n
n
=
= lim
x→0+
1 − 1
e
(1 + x)1/x
x
= − lim
x→0+
1
e
(1 + x)1/x ln(1 + x)
x
!0
=
= −
1
e
lim
x→0+
(1+x)1/x
lim
x→0+
1
1+x
x − ln(1 + x)
x2
= − lim
x→0+
x − (1 + x) ln(1 + x)
x2
=
= − lim
x→0+
− ln(1 + x)
x
=
1
2
1.
Следовательно, ряд расходится.

201. 3.6 Некоторые дополнительные свойства рядов
1) Если сходятся ряды
P∞
n=1 an,
P∞
n=1 bn, то для любых λ, µ ∈ R сходится
и ряд
P∞
n=1(λan + µbn), и
P∞
n=1(λan + µbn) =
P∞
n=1 λan +
P∞
n=1 µbn.
2) Сходимость ряда не зависит от первых членов: для любого N ряд
P∞
n=1 an сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд
P∞
n=N an.
3) Группировка членов ряда. Пусть l1 l2 . . . ln . . . — некото-
рая последовательность натуральных чисел. Рассмотрим ряд
P∞
n=1 an и
последовательность b1 =
Pl1
n=1, b2 =
Pl2
l1+1, . . . , bn =
Pln
ln−1+1 . . ..
Если ряд
P∞
n=1 an сходится, то сходится и ряд
P∞
n=1 bn, и суммы этиз
рядов равны. Действительно, n-я частичная сумма ряда
P∞
n=1 bn равна
n
X
k=1
bk =
ln
X
j=1
aj,
т.е. совпадает с ln-й частичной суммой Sln ряда
P∞
n=1 an. Так как последо-
вательность Sn имеет конечный предел, ее подпоследовательность также
имеет тот же конечный предел.
Обратное утверждение неверно. Рассмотрим расходящийся ряд
∞
X
n=1
(−1)n
= 1 − 1 + 1 − 1 + . . . .
Сгруппируем его члены таким образом: (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . . =
0+0+0+. . .. В результате получаем сходящийся ряд. Однако справедливо
следующее утверждение.
Пусть
bn =
ln
X
ln−1+1
an. (∗)
Если an → 0, n → ∞, и последовательность ln − ln−1 (число членов в
сумме (∗)) ограничена, то из сходимости ряда
P∞
n=1 bn следует сходимость
ряда
P∞
n=1 an.
Для доказательства рассмотрим частичные суммы ряда
P∞
n=1 an. Име-
ем p
X
n=1
an =
q
X
k=1
bk +
p
X
n=lq+1
an,
где q таково, что lq ≤ p ≤ lq+1. При p → ∞ имеем q → ∞ и
Pq
k=1 bk →
P∞
k=1 bk. Докажем, что
Pp
n=lq+1 an → 0, p → ∞. Пусть ln − ln−1 ≤ M

202. для любого n. Тогда, с использованием необходимого условия сходимости
ряда, получаем

208. p
X
n=lq+1
an

214. ≤
p
X
n=lq+1
|an| ≤
lq+1
X
n=lq+1
|an| ≤ (lq+1 − lq) max
lq+1≤n≤lq+1
|an| ≤
≤ M max
lq+1≤n≤lq+1
|an| → 0,
p → ∞.
3.7 Признаки Дирихле и Абеля
Теорема 1 (признак Дирихле). Ряд
P∞
n=1 anbn сходится, если
1) последовательность an монотонна;
2) limn→∞ an = 0;
3) последовательность частичных сумм Bn =
Pn
k=1 bk ряда
P∞
k=1 bk
ограничена.
Доказательство. Для n ≥ m 1 имеем
Pn
k=m akbk =
Pn
k=m ak(Bk −
Bk−1) =
Pn
k=m akBk −
Pn
k=m akBk−1 =
Pn
k=m akBk −
Pn−1
k=m−1 ak+1Bk =
Pn
k=m akBk −
Pn
k=m ak+1Bk + an+1Bn − amBm−1 =
Pn
k=m(ak − ak+1)Bk +
an+1Bn − amBm−1. Последовательность an монотонна. Без ограничения
общности можно считать, что an монотонно убывает. Так как limn→∞ an =
0, то an ≥ 0, n ≥ 1. Кроме того, существует C 0 такое, что |Bk|leC,
k ≥ 1. Тогда

219. n
X
k=m
akbk

224. ≤
n
X
k=m
|ak − ak+1||Bk| + |an+1||Bn| + |am||Bm−1| ≤
≤ C
n
X
k=m
|ak − ak+1| + |an+1| + |am|
!
=
= C
n
X
k=m
(ak − ak+1) + an+1 + am
!
= C((am − an) + am + an) = 2Cam.
Для любого ε 0 выберем N так, чтобы am ε
2C
. Тогда при n ≥ m ≥ N
получаем

229. n
X
k=m
akbk

234. ε.
По критерию Коши ряд
P∞
n=1 anbn сходится.

235. Теорема 2 (признак Абеля). Ряд
P∞
n=1 anbn сходится, если
1) последовательность an монотонна;
2) последовательность an ограничена;
3) ряд
P∞
k=1 bk сходится.
Доказательство. Из условий 1) и 2) следует, что существует конечный
предел a := limn→∞ an. Тогда
∞
X
n=1
anbn =
∞
X
n=1
(an − a)bn +
∞
X
n=1
abn.
Первый ряд
P∞
n=1(an − a)bn сходится по признаку Дирихле, так как по-
следовательность (an − a) монотонна и стремится к нулю, а последова-
тельность частичных сумм ряда
P∞
k=1 bk имеет конечный предел, следо-
вательно, ограничена. Второй ряд
P∞
n=1 abn сходится в силу условия 3).
Тогда в силу линейности и ряд
P∞
n=1 anbn сходится.
Пример. Рассмотрим ряд
∞
X
n=1
sin nx
n
.
Если x = 2πn, n ∈ N, то ряд очевидно сходится. Пусть x 6= 2πn ∀n ∈ N.
Покажем, что в этом случае ряд сходится по признаку Дирихле. Дей-
ствительно, пусть an = 1
n
, bn = sin nx. Очевидно, что an монотонно убы-
вает и стремится к нулю. Рассмотрим частичные суммы Bn =
Pn
k=1 bk =
Pn
k=1 sin kx. Имеем 2 sin x
2
Bn =
Pn
k=1 2 sin x
2
sin kx =
Pn
k=1(cos (2k−1)x
2
−
cos (2k+1)x
2
) = (cos x
2
−cos 3x
2
)+(cos x
2
−cos 3x
2
)+. . .+(cos (2n−1)x
2
−cos (2n+1)x
2
) =
cos x
2
− cos (2n+1)x
2
= 2 sin nx
2
sin (n+1)x
2
. Следовательно,
|Bn| =

241. sin nx
2
sin (n+1)x
2
sin x
2

247. ≤
1
| sin x
2
|
.
Итак, последовательность Bn ограничена, поэтому ряд сходится по при-
знаку Дирихле.
Теорема 3 (признак Лейбница). Пусть an — монотонно убыва-
ющая последовательность и limn→∞ an = 0. Тогда ряд
a1 − a2 + a3 − a4 + . . . + (−1)n+1
an

248. сходится.
Справделивость признака Лейбница легко обосновывается с помощью
признака Дирихле, если положить bn = (−1)n+1
.
3.8 Признак абсолютной сходимости ряда
Ряд
P∞
n=1 an называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
P∞
n=1 |an|.
Теорема 1. Абсолютно сходящийся ряд сходится.
Доказательство. Так как |
Pn
k=m ak| ≤
Pn
k=m |ak|, утверждение сразу
следует из критерия Коши.
Замечание. Если ряд сходится, то
P∞
n=1 an, то отсюда не следует, что
сходится ряд
P∞
n=1 |an|.
Пример. Ряд
P∞
n=1
(−1)n+1
n
= 1 − 1
2
+ 1
3
− 1
4
+ . . . сходится по признаку
Лейбница, но не сходится абсолютно, так как гармонический ряд
P∞
n=1
1
n
расходится.
Если ряд сходится. но не сходится абсолютно, то говорят, что он схо-
дится условно. Справедлива
Теорема 2. Если ряд
P∞
n=1 an сходится условно, то для любого чис-
ла A ∈ R существует биекция f : N → N такая, что ряд
P∞
n=1 af(n)
сходится к числу A.
Таким образом, сумма ряда существенно зависит от порядка следо-
вания его членов. Однако для абсолютно сходящихся рядов сумма не
зависит от порядка суммирования.
Теорема 3. Если ряд
P∞
n=1 an сходится абсолютно, то для любой
биекции f : N → N ряд
P∞
n=1 af(n) сходится абсолютно, причем к той
же сумме.
Доказательство. Имеем
n
X
k=1
|af(k)| ≤
l
X
j=1
|aj| ≤
∞
X
j=1
|aj| +∞,
где l = max{f(1), f(2), . . . , f(n)}. Следовательно, последовательность ча-
стичных сумм ряда
P∞
n=1 |af(n)| ограничена и ряд сходится.

249. Теперь докажем, что ряд
P∞
n=1 af(n) сходится к той же сумме, что и
ряд
P∞
n=1 an. По критерию Коши ∀ε 0 ∃N: ∀n ≥ m ≥ N
Pn
k=m |an| ε.
Рассмотрим частичную сумму SN =
PN
k=1 ak. Любое ak является одновре-
менно af(lk), где lk = f−1
(k). Пусть f
m = max1≤k≤N .lk. Ясно, что f
m ≥ N.
Пусть n ≥ f
m. Тогда для некоторого L ≥ N

254. n
X
k=1
ak −
n
X
k=1
af(k)

259. ≥
L
X
k=N
|an| ε,
так как при вычитании любой член ak первой суммы будет сокращаться с
некоторым членом второй суммы, если k N. Из этого неравенства сле-
дует, что последовательности частичных сумм рядов
P∞
n=1 af(n) и
P∞
n=1 an
имеют одинаковый предел. Теорема доказана.
3.9 Произведение рядов
Рассмотрим два ряда
a0 + a1x + a2x2
+ . . . + anxn
+ . . . , b0 + b1x + b2x2
+ . . . + bnxn
+ . . . .
Формально перемножим эти два ряда как два многочлена бесконечной
степени, сгруппировав члены с одинаковыми степенями переменной x:
a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2
+ . . . +
+(a0bn + a1bn−1 + . . . + anb0)xn
+ . . . =
∞
X
n=0
cnxn
,
где cn = a0bn +a1bn−1 +. . .+anb0. Это наводит на следующее определение.
Произведением рядов
P∞
n=0 an и
P∞
n=0 bn называется ряд
P∞
n=0 cn, где
cn =
Pn
j=0 ajbn−j.
Теорема (Мертенс). 1) Если ряды
P∞
n=0 an и
P∞
n=0 bn, причем по
крайней мере один из низ сходится абсолютно, то произведение схо-
дится и ∞
X
n=0
n
X
j=0
ajbn−j =
∞
X
n=0
an
∞
X
k=0
bk.
2) Если оба ряда
P∞
n=0 an и
P∞
n=0 bn сходятся абсолютно, то и их
произведение сходится абсолютно.

260. 3) Если оба ряд сходятся условно, то их произведение не обязано
сходиться.
Доказательство. 1) Пусть B =
P∞
n=0 bn, Bn =
Pn
k=0 bk, βn = B − Bn =
P∞
k=n+1 bk. Частичная сумма произведения
n
X
k=0
ck = a0b0+(a0b1+a1b0)+(a0b2+a1b1+a2b0) . . .+(a0bn+a1bn−1+. . .+anb0) =
= a0Bn +a1Bn−1 +. . .+anB0 = a0(B−βn)+a1(B−βn−1)+. . .+an(B−β0) =
= (a0 + a1 + . . . + an)B − a0βn − a1βn−1 − . . . − anβ0 = AnB − γn,
где An =
Pn
k=0 ak, γn = a0βn + a1βn−1 + . . . + anβ0. При n → ∞ имеем
An → A :=
P∞
k=0 a − n и AnB → AB. Если мы докажем, что γn → 0,
то тогда последовательность
Pn
k=0 ck частичных сумм будет сходиться к
AB. Это и будет означать, что произведение рядов сходится к AB.
Пусть ряд
P∞
n=0 an сходится абсолютно. Обозначим через α его сумму
P∞
n=0 |an|. Можно считать, что α 0. Так как Bn → B, то βn → 0,
n → ∞. Фиксируем ε 0. Тогда ∃N: ∀n ≥ N |βn| ε
2α
. Кроме того,
последовательность βn ограничена, т.е. ∃M 0: |βn| ≤ M. Имеем при
n ≥ N
|γn| ≤
n−N
X
k=1
|ak||βn−k| +
n
X
n−N+1
|ak||βn−k| ≤
≤
ε
2α
n−N
X
k=1
|ak| + M
n
X
n−N+1
|ak| ≤
ε
2
+ M
n
X
k=n−N+1
|ak|.
По критерию Коши ∃N1: ∀n ≥ m ≥ N1
Pn
k=m |ak| ε
2M
. Если n ≥ N +N1,
то
M
n
X
k=n−N+1
|ak| M
ε
2M
=
ε
2
и |γn| ε. Это означает, что γn → 0, n → ∞, что и требовалось доказать.
2) Если оба ряда
P∞
n=0 an и
P∞
n=0 bn сходятся абсолютно, то
n
X
k=0
|ck| =
n
X
k=0
(|a0||bk| + |a1||bk−1| + . . . + |ak||bn|) ≤
≤
n
X
k=0
|ak|
n
X
j=0
|bj| ≤
∞
X
k=0
|ak|
∞
X
j=0
|bj| +∞.

261. Так как частичные суммы ряда
P∞
k=0 |ck| с неотрицательными членами
ограничены сверху, этот ряд сходится.
3) Приведем пример рядов, которые сходятся, но их произведение
расходится. Пусть an = bn = (−1)n
√
n+1
. Ряды
P∞
n=0 an и
P∞
n=0 bn сходятся по
признаку Лейбница. Рассмотрим n-й член произведения
cn =
1
√
1
·
1
√
n + 1
+
1
√
2
·
1
√
n
+. . .+
1
√
n + 1
·
1
√
1
=
n
X
k=0
1
√
k + 1
·
1
√
n − k + 1
.
о неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом
q
(k + 1)(n − k + 1) ≤
n + 2
2
,
поэтому
cn ≥
n
X
k=0
2
n + 2
=
2(n + 1)
n + 2
≥ 1,
т. е. cn 6→ 0, n → ∞. Таким образом, не выполняется необходимое условие
сходимости ряда
P∞
n=0 cn, т.е. ряд расходится.
4 Мера Жордана в Rn
Мера Жордана является вспомогательным инструментом для построе-
ния кратного интеграла Римана. На плоскости (в R2
) мера Жордана
множества — это его площадь, в R3
— объем, в Rn
— n-мерный объем.
Однако подходы к определению меры (площади, объема) существуют
разные. Дело в том, что не любому множеству в Rn
можно сопоста-
вить неотрицательное число (его меру), которое обладает свойством: ме-
ра объединения непересекающихся множеств равна сумме мер каждого
из множеств. Основная задача теории меры заключается в следующем.
Разбить все множество подмножеств Rn
на две части — Σ и Σc
. Эле-
менты из Σ называются измеримыми множествами, элементы из Σc
—
неизмеримыми. На Σ определить функцию (меру) µ : Σ → R, при этом
Σ и µ обладают свойствами:
1) ∀A ∈ Σ µ(A) ≥ 0;
2) ∀A, B ∈ Σ A ∩ B, A ∪ B, A B ∈ Σ;
3) если A, B ∈ Σ, A ∩ B = ∅, то µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).
Мы будем строить σ и меру µ (меру Жордана), обладающие допол-
нительными естественными свойствами:

262. 4) Если ϕ — некоторое движение в Rn
, то ∀A ∈ Σ множество ϕ(A) ∈ Σ
и µ(ϕ(A)) = µ(A);
5) Множество Σ содержит все параллелепипеды вида [a1; b1]×[a2; b2]×
. . . × [an; bn], при этом µ([a1; b1] × [a2; b2] × . . . × [an; bn]) =
Qn
k=1(bk − ak).
4.1 Внутренняя и внешняя меры Жордана
Двоичным кубом ранга k в Rn
назовем множество вида
m1
2k
;
m1 + 1
2k
×
m2
2k
;
m2 + 1
2k
× . . . ×
mn
2k
;
mn + 1
2k
,
где m1, m2, . . . , mn ∈ Z.
Пусть множество A ⊂ Rn
. Обозначим через l∗(k; a) число двоичных
кубов ранга k, содержащихся в A◦
, a через l∗
(k; a) число двоичных кубов
ранга k, пересекающихся с A−
. Пусть
µ∗(k; a) = l∗(k; a) ·
1
2kn
, µ∗
(k; a) = l∗
(k; a) ·
1
2kn
.
Отметим, что величина 1
2kn — это объем двоичного куба ранга k в
Rn
, поэтому величины µ∗(k; a) и µ∗
(k; a) имеют важный геометрический
смысл: это объемы фигур, составленных из двоичных кубов ранга k,
которые соответственно лежат во внутренности или пересекаются с за-
мыканием множества A.
Лемма. Для любого A ⊂ Rn
и любого k ∈ Z
0 ≤ µ∗(k; a) ≤ µ∗(k + 1; a) ≤ µ∗
(k + 1; a) ≤ µ∗
(k; a)
Доказательство. Неравенство 0 ≤ µ∗(k; a) очевидно. Неравенство µ∗(k+
1; a) ≤ µ∗
(k + 1; a) следует из того, что A◦
⊂ A−
. Осталось доказать, что
µ∗(k; a) ≤ µ∗(k + 1; a), (1)
µ∗
(k + 1; a) ≤ µ∗
(k; a). (2)
Докажем сначала (1). Пусть Q — двоичный куб ранга k, который
содержится в A◦
. Этот куб состоит из ровно 2n
двоичных кубов ранга
(k + 1), поэтому l∗(k + 1; a) ≥ 2n
l∗(k; a). Умножая это неравенство на
1
2n(k+1) , получаем (1).

263. Теперь докажем (2). Если двоичный куб Q ранга k не пересекается
с A−
, то и составляющие его кубы ранга (k + 1) не пересекается с A−
.
Если же Q пересекается с A−
, то некоторые составляющие его 2n
куба
ранга (k + 1) пересекаются с A−
, некоторые могут не пересекаться. В
результате получаем неравенство l∗
(k + 1; a) ≤ 2n
l∗
(k; a), откуда следует
(2). Лемма доказана.
Следствие. Пусть множество A ограничено. Тогда последователь-
ности µ∗(k; A) и µ∗
(k; A) монотонны, ограничены и, следовательно, име-
ют конечные пределы
µ∗(A) := lim
k→∞
µ∗(k; A), µ∗
(A) := lim
k→∞
µ∗
(k; A).
Величины µ∗(A) и µ∗
(A) называются внутренней и внешней мерой
Жордана множества A.
Теорема. Для любых ограниченных множеств A, B ⊂ Rn
имеют
место следующие утверждения.
1) 0 ≤ µ∗(A) ≤ µ∗
(A) +∞.
2) Если A ⊂ B, то µ∗(A) ≤ µ∗(B), µ∗
(A) ≤ µ∗
(B).
3) Если A ∩ B = ∅, то µ∗(A ∪ B) ≥ µ∗(A) + µ∗(B).
4) µ∗
(A ∪ B) ≤ µ∗
(A) + µ∗
(B).
5) µ∗
(∂A) = µ∗
(A) − µ∗(A).
6) µ∗(A◦
) = µ∗(A), µ∗
(A−
) = µ∗
(A).
Доказательство. 1) Для любого k ∈ Z имеем l∗(k; A) ≤ l∗
(k; A), так
как если куб Q ⊂ A◦
, то Q ⊂ A−
, т.е. Q ∩ A−
6= ∅. Умножая это неравен-
ство на 1
2kn получаем µ∗(k; A) ≤ µ∗
(k; A). Устремляя k к бесконечности,
получаем нужное неравенство.
2) Если A ⊂ B, то A◦
⊂ B◦
и A−
⊂ B−
. Следовательно, l∗(k; A) ≤
l∗(k; B), l∗
(k; A) ≤ l∗
(k; B) Умножая эти неравенства на 1
2kn b устремляя
k к бесконечности, получаем справедливость 2).
3) Имеем A◦
∪ B◦
⊂ (A ∪ B)◦
, причем A◦
∩ B◦
= ∅. Следовательно,
двоичные кубы ранга k, которые входят в множества A◦
и B◦
не пе-
ресекаются и входят в число двоичных кубов ранга k, содержащихся в
(A ∪ B)◦
. Следовательно, l∗(k; A ∪ B) ≥ l∗(k; A) + l∗(k; B), откуда следует
нужное неравенство.
4) Имеем (A ∪ B)−
= A−
∪ B−
. Пуэтому если куб Q пересекается
с (A ∪ B)−
, то он пересекается либо с A−
, либо с B−
. Следовательно,
l∗
(k; A∪B) ≤ l∗
(k; A)+l∗
(k; B). Из этого неравенства следует требуемое.

264. 5) Граница ∂A является замкнутым множеством, поэтому (∂A)−
=
∂A. Рассмотрим двоичный куб Q. Условие Q ∩ (∂A)−
6= ∅ равносильно
условию Q∩∂A 6= ∅. Последнее выполняется тогда и только тогда, когда
Q ∩ A−
6= ∅ и Q 6⊂ A◦
. Отсюда следует, что l∗
(k; ∂A) = l∗
(k; A) − l∗(k; A).
Требуемое равенство следует отсюда умножением на объем куба ранга
k и предельным переходом.
6) Так как (A◦
)◦
= A◦
, (A−
)−
= A−
, то l∗(k; A◦
) = l∗(k; A), l∗
(k; A−
) =
l∗
(k; A). Отсюда следуют нужные равенства.
4.2 Мера Жордана в Rn
. Множества меры нуль.
Пусть A — ограниченное множество в Rn
. Множество A называется из-
меримым (по Жордану), если µ∗(A) = µ∗
(A). При этом число µ(A) :=
µ∗(A) = µ∗
(A) называется мерой Жордана множества A. Множество A
называется множеством меры нуль или нуль-множеством, если оно из-
меримо и µ(A) = 0.
Отметим следующие свойства множеств меры нуль.
1) Ограниченное множество A является множеством меры нуль
тогда и только тогда, когда µ∗
(A) = 0.
2) Любое подмножество множества меры нуль является множе-
ством меры нуль.
3) Объединение конечного числа множеств меры нуль является мно-
жеством муры нуль.
Доказательство. 1) Необходимость очевидна из определения. Пусть
µ∗
(A) = 0. Из теоремы, п.1, следует, что 0 ≤ µ∗(A) ≤ µ∗
(A) = 0. Тогда
µ∗(A) = µ∗
(A) = 0. Следовательно, A измеримо и µ(A) = 0.
2) Пусть B ⊂ A и A является нуль-множеством. Так как A ограниче-
но, то и B ограничено. Из теоремы, п.2, следует, что 0 ≤ µ∗
(B) ≤ µ∗
(A) =
0. Значит, µ∗
(B) = 0. В силу свойства 1) B является нуль-множеством.
3) Достаточно доказать, что если A и B — нуль-множества, то A∪B —
нуль-множество. Так как A и B ограничены, то A∪B также ограничено.
По предыдущей теореме, п.4, 0 ≤ µ∗
(A∪B) ≤ µ∗
(A)+µ∗
(B) = 0. Значит,
µ∗
(A ∪ B) = 0, т.е. A ∪ B — нуль-множество в силу свойства 1).
4.3 Критерии измеримости
Теорема 1 (первый критерий измеримости). Ограниченное множе-
ство A измеримо тогда и только тогда, когда его граница ∂A является

265. нуль-множеством.
Доказательство. Множество A измеримо ⇐⇒ µ∗(A) = µ∗
(A) ⇐⇒
µ∗
(∂A) = µ∗
(A) − µ∗(A) = 0 ⇐⇒ ∂A — 0-множество.
Пример. Множество A = Q ∩ [0; 1] не измеримо по Жордану. Дей-
ствительно, A−
= [0; 1], A◦
= ∅, ∂A = A−
A◦
= [0; 1]. Нетрудно видеть,
что l∗
(k; ∂A) = 2k
+ 2, k ∈ N, так как двоичные кубы ранга k, пересе-
кающиеся с (∂A)−
= [0; 1] суть
h
m−1
2k ; m
2k
i
, m = 0, 1, 2 . . . , 2k
+ 1. Имеем
µ∗
(k; ∂A) = 2k+2
2k → 1, k → ∞. Таким образом, µ∗
(∂A) 6= 0 и по теореме 1
A не может быть измеримым множеством.
Теорема 2 (второй критерий измеримости). Ограниченное мно-
жество A измеримо тогда и только тогда, когда A−
и A◦
являются из-
меримыми множествами одинаковой меры. При этом µ(A−
) = µ(A◦
) =
µ(A).
Доказательство. Предположим, что множество A измеримо. Тогда
µ∗(A◦
) = µ∗(A) = µ(A) = µ∗
(A) = µ∗
(A−
) и µ∗(A◦
) ≤ µ∗
(A◦
) ≤ µ∗
(A−
) =
µ∗(A◦
). Отсюда следует, что µ∗(A◦
) = µ∗
(A◦
) = µ(A). Это означает, что
множество A◦
измеримо и µ(A◦
) = µ(A).
Аналогично показывается, что µ∗(A◦
) ≤ µ∗(A−
) ≤ µ∗
(A−
) = µ∗(A◦
).
Следовательно, µ∗(A−
) = µ∗
(A−
) = µ(A), т.е. множество A−
измеримо и
µ(A−
) = µ(A).
Обратно, пусть A−
и A◦
являются измеримыми множествами одина-
ковой меры. Тогда
µ(A◦
) = µ∗(A◦
) ≤ µ∗(A) ≤ µ∗
(A) ≤ µ∗
(A−
) = µ(A−
) = µ(A◦
).
Значит, все величины, входящие в это соотношение, равны, в частности,
µ∗(A) = µ∗
(A) = µ(A◦
) = µ(A−
). то означает, что множество A измеримо
и µ(A−
) = µ(A◦
) = µ(A).
4.4 Свойства измеримых множеств
Теорема 1. Если множества A и B измеримы, то множества A ∪ B,
A ∩ B, A B также измеримы.
Доказательство.Так как множества A и B измеримы, они ограниче-
ны. Поэтому в силу первого критерия измеримости достаточно доказать,
что границы множеств являются нуль-множествами A ∪ B, A ∩ B, A B.

266. Рассмотрим множество A ∪ B. Его граница ∂(A ∪ B) = (A ∪ B)−
∩
((A ∪ B)c
)−
= (A−
∪ B−
) ∩ (Ac
∩ Bc
)−
⊂ (A−
∪ B−
) ∩ Ac
∩ Bc
= (A ∩
Ac
∩ Bc
) ∪ (B ∩ Ac
∩ Bc
) ⊂ (A ∩ Ac
) ∪ (B ∩ Bc
) = ∂A ∪ ∂B. Так как ∂A
и ∂B — множества меры нуль, то ∂A ∪ ∂B также множество меры нуль.
Следовательно ∂(A ∪ B) является подмножеством нуль-множества, т.е.
само является нуль-множеством.
Аналогично доказывается, что множества ∂(A ∩ B), ∂(A B) ⊂ ∂A ∪
∂B, поэтому они также являются нуль-множествами (установите это са-
мостоятельно!). Теорема доказана.
Теорема 2 (монотонность меры). Если A и B — измеримые мно-
жества и A ⊂ B, то µ(A) ≤ µ(B).
Доказательство очевидно.
Теорема 3. Если A и B — измеримы, то µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) −
µ(A ∩ B).
Доказательство. 1) Сначала рассмотрим случай, когда A ∩ B = ∅.
Тогда µ(A ∩ B) = 0. Докажем, что µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B). Используя
ранее доказанные свойства, получаем µ∗(A∪B) ≥ µ∗(A)+µ∗(B) = µ(A)+
µ(B) = µ∗
(A) + µ∗
(B) ≥ µ∗
(A ∪ B) ≥ µ∗(A ∪ B). Отсюда делаем вывод,
что µ∗(A ∪ B) = µ∗
(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).
2) Общий случай. Имеем A ∪ B = A ∪ (B A), A ∩ (B A) = ∅.
Кроме того, B = (A ∩ B) ∪ (B A), (A ∩ B) ∩ (B A) = ∅. В силу 1)
µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B A), µ(B) = µ(A ∩ B) + µ(B A), откуда следует
требуемое равенство.
Следствие 1. Если A и B — измеримы, то µ(B A) = µ(B) − µ(A ∩
B).
Следствие 2. Если множества A1, A2 . . . , Am измеримы, то ∪m
k=1Ak
измеримо и µ (∪m
k=1Ak) ≤
Pm
k=1 µ(Ak).
Доказательство. Для двух множеств это следует сразу из теоремы 3.
Далее применяем метод математической индукции.
Теорема 4. Пусть множества A1, A2 . . . , Am измеримы и µ(Ai ∩
Aj) = 0, i 6= j. Тогда µ (∪m
k=1Ak) =
Pm
k=1 µ(Ak).
Доказательство. При m = 2 имеем µ(A1 ∪A2) = µ(A1)+µ(A2)−µ(A1 ∩

267. A2) = µ(A1) + µ(A2).
Предположим теперь, что утверждение теоремы справедливо для слу-
чая k множеств, 2 ≤ k ≤ m − 1 (m ≥ 3). Докажем, что тогда оно
справедливо и для m множеств. Имеем ∪m
k=1Ak = ∪m−1
k=1 Ak ∪ Am. При
этом µ
∪m−1
k=1 Ak ∩ Am
= µ (∪m
k=1(Ak−1 ∩ Am)) ≤ ∪m−1
k=1 µ(Ak ∩ Am) = 0.
Применяя наше предположение индукции для двух, а затем для m мно-
жеств, получаем µ (∪m
k=1Ak) = µ
∪m−1
k=1 Ak ∪ Am
= µ
∪m−1
k=1 Ak
+µ(Am) =
Pm−1
k=1 µ(Ak) + µ(Am) =
Pm
k=1 µ(Ak).
4.5 Произведение измеримых множеств
Изучим вопрос об измеримости и мере произведения измеримых мно-
жеств. Чтобы различать меры Жордана в пространствах различной раз-
мерности будем обозначать меру Жордана в Rn
через µn.
Заметим также что множество Q является двоичным кубом ранга k
в Rn=m
тогда и только тогда, когда Q можно представить в виде Q =
Q1 × Q2, где Q1 и Q2 — двоичные кубы ранга k в Rn
и Rm
.
Теорема. Если A — измеримое множество в Rn
, B — измеримое
множество в Rm
, то A × B — измеримое множество в Rn+m
и
µn+m(A × B) = µn(A)µm(B).
Доказательство. Предварительно установим, что 1) (A × B)◦
= A◦
×
B◦
; 2) (A × B)−
= A−
× B−
.
1) Возьмем точку z ∈ A × B. Она имеет вид z = (x, y), где x ∈ A,
y ∈ B. При этом kzk2
= kxk2
+ kyk2
, так как z = (z1, z2, . . . , zn+m) =
(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym, откуда kzk2
=
Pn+m
i=1 z2
i =
Pn
i=1 z2
i +
Pn+m
i=n+1 z2
i =
Pn
i=1 x2
i +
Pm
j=1 y2
j = kxk2
+ kyk2
.
Пусть z0 = (x0, y0) ∈ (A × B)◦
. Тогда существует Oε(z0) ∈ A × B.
Пусть δ = ε
2
Если x ∈ Oδ(x0), y ∈ Oδ(y0), то z = (x, y) ∈ Oε(z0), так как
kz − z0k2
= kx − x0k2
+ ky − y0k2
δ2
+ δ2
= ε2
, откуда (x, y) ∈ A × B.
Следовательно, x0 ∈ Oδ(x0) ⊂ A, y0 ∈ Oδ(y0) ⊂ B, откуда следует, что
x0 ∈ A◦
, y0 ∈ B◦
. Итак мы доказали, что (A × B)◦
⊂ A◦
× B◦
.
Обратно, пусть z0 = (x0, y0) ∈ A◦
× B◦
, т.е. x0 ∈ A◦
, y0 ∈ B◦
. Тогда
существуют ε1, ε2 0 такие, что Oε1 (x0) ⊂ A, Oε2 (y0) ⊂ B. Пусть ε =
min{ε1, ε2}. Тогда Oε(z0) ⊂ Oε1 (x0) × Oε2 (y0) ⊂ A × B. Действительно,
если z = (x, y) ∈ Oε(z0), то kx − x0k2
≤ kz − z0k2
ε2
≤ ε2
1, откуда

268. следует, что x ∈ Oε1 (x0). Аналогично y ∈ Oε2 (y0). Итак, Oε(z0) ⊂ A × B,
т.е. z0 ∈ (A × B)◦
. Это означает, что A◦
× B◦
⊂ (A × B)◦
.
2) Вспомним характеризацию точек прикосновения. Имеем z0 = (x0, y0) ∈
(A × B)−
тогда и только тогда, когда ∃zk = (xk, yk) ∈ A × B: zk → z0,
k → ∞ ⇐⇒ ∃xk ∈ A, xk → x0 и ∃yk ∈ B, yk → y0 ⇐⇒ x0 ∈ A−
и
y0 ∈ B−
⇐⇒ z0 ∈ A−
× B−
.
Теперь докажем теорему. Рассмотрим множество двоичных кубов Q
ранга k, лежащих в (A × B)◦
= A◦
× B◦
. Имеем Q = Q1 × Q2, где Q1
— двоичный куб ранга k, лежащий в A◦
, Q2 — двоичный куб ранга k,
лежащий в B◦
. Обратно если Q1 — двоичный куб ранга k, лежащий в
A◦
, Q2 — двоичный куб ранга k, лежащий в B◦
, то Q является двоичным
кубом ранга k, лежащим в (A × B)◦
. Отсюда следует, что l∗(k; A × B) =
l∗(k; A)×l∗(k; B)B). Умножая последнее равенство на 2−k(n+m)
, получаем
2−k(n+m)
l∗(k; A × B) = 2−kn)
l∗(k; A) × 2−km
l∗(k; B)B) или µ∗(k; A × B) =
µ∗(k; A) × µ∗(k; B)B). Переходя к пределу при k → ∞, получаем µ∗(A ×
B) = µ∗(A) × µ∗(B)B).
Аналогично устанавливаем, что l∗
(k; A × B) = l∗
(k; A) × l∗
(k; B)B)
(обоснуйте это самостоятельно!). Как и в случае внутренней меры, от-
сюда следует, что µ∗
(A × B) = µ∗
(A) × µ∗
(B).
Так как множества A и B измеримы, то µ∗(A) = µ∗
(A) = µn(A),
µ∗(B) = µ∗
(B) = µm(B). Значит, µ∗(A×B) = µ∗
(A×B) = µn(A)×µm(B),
т.е. множество A × B измеримо и µn+m(A × B) = µn(A)µm(B).
4.6 Классы измеримых множеств
1) Любой отрезок [a; b] измерим и µ([a; b]) = b − a.
а) Пусть сначала концы a и b отрезка [a; b] являются двоичными чис-
лами ранга N. Тогда они являются и двоичными числами ранга k ≥ N.
При этом, l∗(k; [a; b]) = (b − a)2k
− 2, l∗
(k; [a; b]) = (b − a)2k
+ 2, от-
куда µ∗(k; [a; b]) = (b − a) − 21−k
, µ∗
(k; [a; b]) = (b − a) + 2−1−k
. Име-
ем limk→∞ µ∗(k; [a; b]) = limk→∞ µ∗
(k; [a; b]) = b − a, поэтому µ∗([a; b]) =
µ∗([a; b]) = b − a. Итак, отрезок [a; b] измерим и µ([a; b]) = b − a.
б) Пусть теперь a и b — произвольные действительные числа. Мож-
но считать, что a 6= b. Для любого k ∈ N числа a принадлежат неко-
торым двоичным кубам [ak; ck] ранга k. Следовательно, ak ≤ a ≤ ck,
bk ≤ b ≤ dk. При этом кубы (отрезки) [ak; c; k] вложены друг в друга
и их длины стремятся к нулю. Следовательно, по принципу вложенных

269. отрезков ak, ck → a, k → ∞. Аналогично bk, dk → a, k → ∞. При до-
статочно больших k имеем ck bk, при этом [ck; bk] ⊂ [a; b] ⊂ [ak; dk]. По
свойству внутренней и внешней мер с учетом п. а) ck − bk ≤ µ([ck; bk]) =
µ∗([ck; bk]) ≤ µ∗([a; b]) ≤ µ∗
([a; b]) ≤ µ∗
([ak; dk]) = µ∗
([ak; dk]) = dk − ak.
При k → ∞ имеем b − a = limk→∞(ck − bk) ≤ µ∗([a; b]) ≤ µ∗
([a; b]) ≤
limk→∞(dk −ak) = b−a. Отсюда µ∗([a; b]) = µ∗
([a; b]) = b−a, отрезок [a; b]
измерим и µ([a; b]) = b − a.
Следствие 1. Любой параллелепипед
Qn
i=1[ai; bi] измерим и
µ
n
Y
i=1
[ai; bi]
!
=
n
Y
i=1
(bi − ai).
Следствие 2. Любое конечное множество в Rn
является нуль-множе-
ством.
Теорема 1. Пусть C — спрямляемая кривая в Rn
, n ≥ 2. Тогда C
является нуль-множеством.
Замечание. Пусть C — кривая в Rn
с представлением x = x(t) =
(x1(t), x2(t), . . . , xn(t), 0 ≤ t ≤ 1. Кривая C называется спрямляемой,
если
l(C) = sup
τ
p
X
i=1
v
u
u
t
n
X
k=1
(xi(tk) − xi(tk−1))2 +∞,
где супремум берется по всем разбиениям 0 = t0 t1 . . . tp = 1
отрезка [0; 1]. Число l(C) называется длиной кривой C.
Доказательство теоремы. Пусть l — длина кривой C. Фиксируем m ∈
N. Разобъем кривую C на (2m) частей C1, C2, . . . , C2m длины l
2m
точками
P1, P2, . . . , P2m−1 . Рассмотрим куб Qk центром в точке Pk и длиной сторо-
ны l
m
. Тогда Ck ∪ Ck+1 ⊂ Qk, поэтому C ⊂ ∪2m−1
k=1 Gk. Отсюда следует, что
0 ≤ µ∗
(C) ≤
P2m−1
k=1 µ∗
(Qk) =
P2m−1
k=1 µ(Qk) = (2m − 1)
l
m
n
≤ 2ln
mn−1 → 0,
m → ∞. Следовательно, µ∗
(C) = 0, т.е. C является нуль-множеством.
Следствие. Пусть D — ограниченная область в R2
, граница кото-
рой является спрямляемой кривой C. Тогда D измерима.
Теорема 2. График непрерывной функции, определенной на компакт-
ном множестве в Rn
, является нуль множеством в Rn+1
.