Документ описывает численные алгоритмы, используемые для решения различных математических задач, таких как алгебраические и трансцендентные уравнения, системы дифференциальных уравнений и оптимизация. Приведены пошаговые методы для нахождения корней уравнений, поиска минимума функций одной и нескольких переменных, включая алгоритм градиентного спуска и метод симплекса. Также рассматриваются алгоритмы типа 'разделяй-и-властвуй' и их применение в данных задачах.

1. Численные алгоритмы. Численные алгоритмы: решение алгебраических и трансцендентных уравнений, решение систем линейных алгебраических уравнений, решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений, решение уравнений в частных производных, оптимизация, обработка числовых данных. Алгоритмы типа «разделяй-и-властвуй» реализуются в задачах поиска корня алгебраических и трансцендентных уравнений, а также в задачах оптимизации.

2. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений Дано уравнение где функция определена и непрерывна на отрезке a < x < b Всякое значение ξ , обращающее в нуль (т.е. ) является корнем уравнения Алгоритм решения: Отделение корней Уточнение приближенных значений корней A B X F(x)

3. Отделение корней производится разбиением интервала [ a , b ] на участки [a - x 1 - x 2 - x 3- … - xn - b] , на которых произведение f ( x(i )* f ( x ( i +1))<0 x1 x2 x3 Уточняем значение корня на каждом из выделенных участков [ x(i ) - x ( i +1)] A B X F(x)

4. Корень нелинейного уравнения. Деление отрезка пополам. Функция f ( x ) задана на отрезке [ a , b ] и имеет только один корень x * . ε , δ – малые значения , b>a . Шаг1: Вычисляем значения функции f ( x ) на концах интервала - f ( a ), f ( b ). Шаг2: Определяем середину интервала x ср=( a + b )/2 и вычисляем в этой точке значение функции f ( x ср ) Шаг3: Вычисляем произведение – f ( a )* f ( x ср ) . Если f ( a )* f ( x ср )<0 , то присваиваем b = x ср , иначе присваиваем a = x ср Шаг4: Признак завершения счета. Если abs ( b - a )< δ или abs ( f ( b ) ) < ε и abs (f ( a ))< ε , то перейти к шагу 5 , иначе перейти к шагу 2 . Шаг5: Вычисляем x *=( a + b )/2 и f ( x *)

5. a b x ср f(a) f(b) f(x ср ) a b x ср f(a) f(x ср ) f(b) a b x ср

6. Оптимизация Поиск минимума функции одной переменной. Поиск минимума функции нескольких переменных.

7. Поиск минимума функции одной переменной : дихотомия Функция F ( x ) задана на отрезке [ a , b ] и имеет только один минимум. ε , δ – малые значения, b>a . Шаг1: Определяем середину интервала x ср=( a + b )/2 , выделяем две точки на оси аргументов x 1= x ср – ε и x 2= x ср + ε . Шаг2: Вычисляем в этих точках значения функции F ( x 1) и F ( x 2 ). Шаг3: Сравниваем значения функции F ( x 1) и F ( x 2 ). Если F ( x 1) < F ( x 2 ) , то присваиваем b = x ср , иначе a = x ср . Шаг4: Завершение счета. Если abs ( b - a )< δ или abs ( F ( b )) < ε и abs ( F ( a ))< ε , то перейти к шагу 5 , иначе перейти к шагу 2 . Шаг5: Вычисляем xmin =( a + b )/2 и F ( xmin )

8. a x1 x ср x 2 b a x1 x ср x 2 b a x1 x ср x 2 b F(x1) F(x2) F(x2) F(x1)

9. Функция F ( x ) задана на отрезке [ a , b ] и имеет один минимум. ε , δ – малые значения , b>a . Поиск минимума функции одной переменной : деление отрезка пополам.

10. F(x1) F(xср) F(x1)< F (xср) Возможные положения минимума функции a X1 X ср X2 b F(x2) F(xср) F(x1)>F(xср) Возможные положения минимума функции F(x2)< F(x ср ) a X1 X ср X2 b F(x) 2 F(x ср) F(x1)>f(xср) Возможные положения минимума функции F(x2)>F(xср) A X1 X ср X2 B

11. Шаг1: Определяем середину отрезка x ср=( a + b )/2 Шаг2: Выделяем две точки x 1= x ср – abs ( b - a )/4 и x 2= x ср + abs ( b - a )/4 . Шаг3: Вычисляем в этих точках значения функции F ( x ср) , F ( x 1) и F ( x 2 ). Шаг4: Сравниваем значения функции F ( x 1) и F ( x ср ). Если F ( x 1) < F ( x ср ) , то присваиваем b = x ср , x ср= x 1 и переходим к шагу 6 , иначе переходим к шагу 5 . Шаг5: Сравниваем значения функции F ( x 2) и F ( x ср ). Если F ( x2 ) < F ( x ср ) , то присваиваем a = x ср , x ср= x 2, иначе присваиваем a = x 1 , b = x 2 Шаг6: Завершение счета. Если abs ( b - a )< δ или ( abs ( F ( b )) < ε и abs ( F ( a ))< ε , то перейти к шагу 7 , иначе перейти к шагу 2 . Шаг7: Вычисляем xmin =( a + b )/2 и F ( xmin )

12. F(X1)< F(X ср ), X ср X1, X2 F(X ср ), F(X1),F(X2) F(X2)< F(X ср ), abs ( b - a )< δ b = X ср , X ср= X 1 a = X ср , X ср= x2 a = X1 , b=X2 Xmin , F( Xmin)

13. a b x1 x ср x2 F(x1) F(x ср ) F(x 2 ) a b a b x1 x ср x2 F(x1) F(x ср ) F(x 2 ) x1 x2

14. Поиск минимума функции одной переменной: Золотое сечение. Геометрическая интерпретация этого принципа заключается в следующем. Дан отрезок AB Отношение отрезков определяется соотношением AC / AB = CB / AC , т.е. отношение большего отрезка к целому равно отношению меньшего отрезка к большему отрезку. Если принять целый отрезок АВ=1, то АС≈0.62, а СВ≈0.38 . Пусть функция F ( x ) задана на отрезке [ a , b ] и имеет только один минимум. ε , δ – малые значения. А С В

15. Шаг1: Задаем коэффициенты k 2=0.62, k 1=0.38 , интервал [ a , b ] и отрезок L = b - a . Шаг2: Выделяем две точки на оси аргументов v = L * k 1 и w = L*k 2 . Шаг3: Если b - a < δ , то перейти к шагу 9 , иначе перейти к шагу 4 Шаг4: Вычисляем значения F ( v ) и F ( w ). Шаг5: Сравниваем значения F ( w ) и F ( v ). Если F ( w ) < F ( v ) , то присваиваем a = v , v = w и w := a +( b - a )* k 2; иначе переходим к шагу 7 . Шаг6: Присваиваем F ( v )= F ( w ) и вычисляем новое значение F ( w ) и переходим к шагу 3 . Шаг7: Присваиваем b = w , w = v и v := a +( b - a )* k 1 . Шаг8: Присваиваем F ( w )= F ( v ) и вычисляем новое значение F ( v ) и переходим к шагу 3 . Шаг9: Вычисляем xmin =( a + b )/2 и F ( xmin )

16. F(w) F(v ) F(v)>F(w ) Возможные положения минимума функции a V W b F(w) F(v ) F(v) < F(w ) Возможные положения минимума функции a V W b

17. a V W a V W b a V W b b W V F(v) F(w) F(v) F(w)

18. Нахождение минимума многомерной функции. поверхность уровни Проекции линий уровней на плоскость Целевая функция – функция, описывающая ( n+1)- мерную поверхность.

19. Алгоритм покоординатного спуска Шаг 1: Фиксируем значение y1 . Функция F(x,y) зависит только от x - F(x, y1 ) Шаг 2: находим минимум F(x, y1 ) в точке x1. Шаг 3 :Фиксируем значение x1 . Функция F(x,y) зависит только от y - F( x1 ,y) Шаг 4 : находим минимум F( x1 ,y) в точке y2. Шаг 5 : Фиксируем значение y2 . Функция F(x,y) зависит только от x - F(x, y2 ) Шаг 6 : находим минимум F(x, y2 ) в точке x2. Шаг 7 :Фиксируем значение x2 . Функция F(x,y) зависит только от x - F( x2 ,y) Шаг 8 : находим минимум F( x2 ,y) в точке y3. Условия выхода: Значения функции F(x,y) на двух соседних итерациях меньше малого числа ε Интервал между локальными минимумами на двух соседних итерациях меньше малого числа δ

20. Ввод стартовой точки Вычисление минимума f(x,y) по направлению y Вычисление минимума f(x,y) по направлению x Проверка на глобальный минимум да нет выход

21. Вычисление минимума по направлению Фиксирование значения одного из параметров целевой функции f(x,y) Обращение к процедуре поиска минимума функции одной переменной (деление отрезка пополам) Функция f(x,y) записывается как function Возврат в вызывающую программу

23. Плоскости сечения поверхности по x и y Локальный минимум минимум x y z x или (y) Сечение поверхности уровни Локальный минимум

24. Ограниченность метода покоординатного спуска Возможные зоны «зацикливания» алгоритма

25. Метод градиентного спуска Шаг 1: в стартовой точке определяем градиент целевой функции F(x,y) . Шаг 2: Проводим сечение поверхности в плоскости вектора градиента функции Шаг 3: Проводим спуск вдоль линии сечения в направлении противоположном градиенту и находим локальный минимум одномерной функции Шаг 4: и далее Повторяем последовательность шагов 1-3 для каждой найденной точки локального минимума. Условия выхода: Значения функции F(x,y) на двух соседних итерациях меньше малого числа ε Интервал между локальными минимумами на двух соседних итерациях меньше малого числа δ

26. Градиентный метод поиска минимума функции Стартовая точка Линия градиента Минимум по направлению градиента Минимум функции

27. Симплекс-метод x y x1,y1 x3,y3 x2,y2 симплекс

28. Преобразование симплекса Центр тяжести отображение растяжение сжатие редукция

29. Многоэкстремальная функция