1. Проектная работа
«Математический анализ не менее всеобъемлющ, чем сама
природа; он определяет все ощутимые взаимосвязи, измеряет
времена, пространства, силы, температуры»
М.Фурье.
Аталян Александра
Антоненко Анна
10 «Б» класс

2. f
Весь анализ бесконечных вращается вокруг
переменных величин и их функций
Л.Эйлер
Определение: Функцией называют такую
зависимость переменной у от
переменной х, при которой каждому
значению переменной х соответствует
единственное значение переменной у.

3. f
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Область определения функции.
Четность и нечетность, периодичность функци
Производная функции. Область определения ф
Стационарные точки.
Монотонность функции.
Точки экстремума и экстремумы функции.
Точки пересечения графика функции с осями
Построение графика функции.

4. y
x
f
Определение:
D(f)=[a;b]
Областью определения
функции, заданной формулой,
считают множество всех
значений переменной х, при
которой эта формула имеет
смысл. D(у), D(f).
f(x)
х - независимая переменная
(аргумент).
у - зависимая переменная
(значение функции)

5. f
1.
Если у=Р(х), где Р(х)-целый многочлен, а также для
функций у=ех, у=cosx, y=sinx D(у)=R. Функция
определена и непрерывна на множестве всех
действительных чисел.
2.
Если у=f(x)/g(x), то D(у)=R, кроме тех значений при
которых g(х)≠0.
3.
Если у=√h(x), то D(у) все значения, при которых
выполняется условие h(х)≥0.Функция определена
и непрерывна на множестве неотрицательных
чисел.
4.
Если функция у=logax, то D(у)=R+. Функция
определенна и непрерывна на множестве
положительных чисел при а>0, а≠1.

6. f
Четность и нечетность
функции
функции.
1.Четность
 Функция f называется четной, если для любого х из
её области определения
f(-x) = f(x).
 График четной функции симметричен относительно
оси ординат.

7. f
Четность и нечетность
функции
2. Нечетность функции.
Функция называется нечетной, если для
любого х из её области определения
f(-x) = - f(x).
График нечетной функции симметричен
относительно начала координат.

8. f
Примеры ни четных, ни
нечетных функций
Функция у=х нечетная, так
как график этой функции
симметричен относительно
начала координат
Функции у=f(х), у=10 х, у=lg x
ни четные, ни нечетные, так как
графики этих функций не
симметричны

9. f
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функцию f называют
периодической с периодом Т≠0, если для любого х
из области определения значения этой функции в
точках х, х-Т, х+Т равны, то есть
f(х+Т)=f(х)=f(х-Т)
f(b1)=f(b2)=f(b3)

10. f
Для построения графика
периодической
функции
с
периодом
Т
достаточно
провести
построение
на
отрезке длиной Т и затем
параллельно
перенести
на
расстояния nT вправо и влево
вдоль оси Ох.
T=2π
F(x)=tg x
T=π

11. f
Таблица производных
элементарных функций
(C) '=O;
(C-постоянная)
(kx+b) '=k
(sinx) '=cosx
(x) '=1
(tgx) '=1/cos2x
(xn) ' =nxn-1
(ctgx) '=-1/sin2x
(x2) '=2x;
(ex)' =ex
(x3) '=3x2
(ax) '=axlna;(a›0;a≠1)
(1/x) '=-1/x2(x≠0)
(lnx) '=1/x;(x›0)
(√x) '=1/2√x;(x›0)
(logax)' =(lna)/х;
x›0;а›0,а≠1
(cosx)' =-sinx

12. f
Определение:
Внутренние
точки
области
определения функции, в которых её
производная
равна
нулю,
называются стационарными точками
этой функции.
Чтобы найти стационарные точки, нужно решить
уравнение f ‘(х)=0.
у
•
•
х
х0
Х0 - стационарная точка
•
х
•
1
х
х0
Стационарные точки х0 и х1

13. f
Исследование функции на
монотонность
Достаточный признак возрастания функции
▪ Если f ‘(х)>0 в каждой точке некоторого
интервала, то функция f возрастает на этом
интервале.
Достаточный признак убывания функции
▪ Если f ‘(х)<0 в каждой точке некоторого
интервала, то функция f убывает на этом
интервале.
Знаки функции f '(x)
возрастает
возрастает
убывает
возрастает

14. и
f
функции
Убывание функции
x1<x2 и f(x1)>f(x2)
Для всех x1, x2 из D(f)
Возрастание функции
x1<x2 и f(x1)<f(x2)
Для всех x1, x2 из D(f)
Стационарная
точка
•
Стационарные
точки

15. f
Признак максимума функции
Если функция f непрерывна в точке х0, а f ‘(x)>0
на интервале(а;х0) и f ‘(x)<0 на интервале (х0;b),
то точка х0 является точкой максимума функции.
Если в точке х0 производная меняет знак с
плюса на минус, то х0 есть точка максимума.
max
max
Точка перегиба
f(x)
min
Производная не существует

16. f
Признак минимума функции
Если функция f непрерывна в точке х0, а f ‘(x)<0 на
интервале (а;х0) и f ‘ (x) >0 на интервале (х0;b), то точка х0
является точкой минимума функции.
Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс,
то х0 есть точка минимума.
max
min
Точки максимума и минимума – точки экстремума

17. f
Экстремумы функции это значения функции в
точках максимума и минимума
)
max
У(b
max
)
у(g
Точка перегиба
Производная не существует
у(c)
min
у(b), y(g), y(c) – экстремумы функции
min

18. Точки пересечения с
осями координат
f
Точки пересечения с ось Х:
(х;0), т.е.f(x)=0.Значения аргумента, при которых функция
f(x)=0
обращается в нуль, называют нулями функции.
Точки пересечения с осью У: (0;у), т.е. х=0
•x
1
•
•x
x2
A
•
3
•
x
4
x1, x2, x3, x4 - абсциссы точек пересечения с осью Х
А(0;у) - точка пересечения с осью У

19. f
Сближение теории с практикой
дает самые благотворные результаты,
и не одна практика от этого
выигрывает,
сами науки развиваются под её
влиянием.
П.Л. Чебышев.

20. Литература
•Алгебра: учебник для 9 кл. / А.Г.Мордкович /
•Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11
кл. в двух частях /А.Г.Мордкович/
•Алгебра в таблицах.11
класс./Т.Г.Роева,Н.Ф.Хроленко/
•Алгебра в таблицах /Е.П.Нелин/
•Энциклопедический словарь юного
математика/А.П.Савин/