Документ представляет собой лекцию по элементам интегрального исчисления, рассматривающую первообразные и неопределенные интегралы. Он охватывает основные методы вычисления интегралов, включая интегрирование функций с квадратными трехчленами, дробно-рациональными и тригонометрическими функциями. Также обсуждаются свойства интегралов и примеры их вычисления с применением различных методов.

1. Неопределенный интеграл
Лекция7

2. Элементы интегрального
исчисления
1.Первообразная и неопределенный
интеграл
2.Основные приемы вычисления
неопределенных интегралов
3.Интегрирование функций, содержащих
квадратный трехчлен
4.Интегрирование дробно-рациональных
функций
5.Интегрирование тригонометрических
функций
6.Интегрирование некоторых
иррациональностей

3. Неопределенный интеграл,
его свойства и вычисление

4. Первообразная и
неопределенный интеграл
Определение. Функция называется
первообразной функции , определенной на
некотором промежутке, если для
каждого из этого промежутка.
Например, функция является
первообразной функции , так как
.

5. Первообразная и неопределенный
интеграл
Очевидно, если - первообразная
функции , то , где -
некоторая постоянная, также является
первообразной функции .
Если есть какая-либо первообразная
функции , то всякая функция вида
также является
первообразной функции и всякая
первообразная представима в таком виде.

6. Первообразная и
неопределенный интеграл
Определение. Совокупность всех
первообразных функции ,
определенных на некотором
промежутке, называется
неопределенным интегралом от
функции на этом промежутке и
обозначается .

7. Первообразная и
неопределенный интеграл
Если - некоторая первообразная функции
, то пишут , хотя
правильнее бы писать .
Мы по устоявшейся традиции будем писать
.
Тем самым один и тот же символ
будет обозначать как всю
совокупность первообразных функции ,
так и любой элемент этого множества.

8. Свойства интеграла,
вытекающие из определения
Производная неопределенного
интеграла равна подынтегральной
функции, а его дифференциал-
подынтегральному выражению.
Действительно:
∫ ∫
∫
=′=
=′=′+=′
.)())(()(.2
);()())(())(.(1
dxxfdxdxxfdxxfd
xfxFCxFdxxf

9. Свойства интеграла,
вытекающие из определения
Неопределенный интеграл от
дифференциала непрерывно
дифференцируемой функции равен
самой этой функции с точностью до
постоянной:
3.
так как является первообразной
для
∫ ∫ +=′= ,)()()( Cxdxxxd ϕϕϕ
)(xϕ
).(xϕ′

10. Свойства интеграла
Сформулируем далее следующие свойства
неопределенного интеграла:
4.Если функции и имеют
первообразные, то функция
также имеет первообразную, причем
;
5. ;
6. ;
7. .

11. Таблица неопределенных
интегралов
1. . 6. .
2. . 7. .
3. . 8. .
4. . 9. .
5. . 10. .

12. Таблица неопределенных
интегралов
11. . 16. .
12. . 17. .
13. .. 18. .
14. 19. .
15. . 20. .

13. Свойства дифференциалов
При интегрировании удобно
пользоваться свойствами:
.
3
1
.4
,
2
1
.3
),(
1
.2
)(
1
.1
32
2
dxdxx
dxxdx
baxd
a
dx
axd
a
dx
=
=
+=
=

14. Примеры
Пример . Вычислить .
Решение. В таблице интегралов найдем
.
Преобразуем данный интеграл к табличному,
воспользовавшись тем, что .
Тогда:
= =
= .

15. Примеры
Пример. Вычислить .
Решение. Так как под знаком интеграла
находится сумма четырех слагаемых, то
раскладываем интеграл на сумму четырех
интегралов:

16. Независимость от вида
переменной
При вычислении интегралов удобно
пользоваться следующими свойствами
интегралов:
Если , то
.
Если , то
.

17. Пример
Вычислим
.)32(
63
1
)32( 65
Cxdxx ++
⋅
=+∫

18. Методы интегрирования

19. Интегрирование по частям
Этот метод основан на формуле .
Методом интегрирования по частям берут такие интегралы:
а) , где ;
б) , где ;
в) , где ;
г) , где .
При вычислении интегралов а) и б) вводят
обозначения: , тогда , а, например
,тогда .
При вычислении интегралов в), г) обозначают за функцию
, , а за берут .

20. Примеры
Пример. Вычислить .
Решение.
=
.

21. Примеры
Пример. Вычислить
=
= .

22. Метод замены переменной
Пусть требуется найти , причем
непосредственно подобрать первообразную
для мы не можем, но нам известно, что
она существует. Часто удается найти
первообразную, введя новую переменную,
по формуле
, где , а - новая
переменная

23. Интегрирование функций, содержащих
квадратный трехчлен
Рассмотрим интеграл ,
содержащий квадратный трехчлен в
знаменателе подынтегрального
выражения. Такой интеграл берут также
методом подстановки, предварительно
выделив в знаменателе полный
квадрат.

24. Пример
Вычислить .
Решение. Преобразуем ,
выделяя полный квадрат по формуле .
Тогда получаем :

25. Пример
Найти
∫∫∫ ∫
∫∫
=
+
−+
+
+
+
=
+
+
+
=
=
+
+
=
=
==
=
+
+
dt
t
t
t
td
dt
t
t
t
tdt
tdt
t
t
tdtdx
txtx
dx
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
11
2
1
)1(
1
2
1
2
2
1
1
2
,,
1
1
.22)1ln(
22)1ln(
1
22)1ln(
2
2
2
Cxarctgxx
Carctgttt
t
dt
dtt
+−++=
=+−++=
=
+
−++= ∫ ∫