Документ представляет собой содержание курса дифференциального и интегрального исчисления, охватывающее множество тем, включая первообразные функции, определенные и неопределенные интегралы, техники интегрирования и их приложения в геометрии и физике. Он также содержит главы о бесконечных рядах, несобственных интегралах, а также свойствах и преобразованиях различных типов интегралов. В документе представлены определения, теоремы и примеры, что делает его ценным учебным пособием.

1. Г.М.Фихтенгольц
КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ТОМ 2
Содержание
ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
(НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления 11
263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) 11
264. Интеграл и задача об определении площади 14
265. Таблица основных интегралов 17
266. Простейшие правила интегрирования 18
267. Примеры 19
268. Интегрирование путем замены переменной 23
269. Примеры 27
270. Интегрирование по частям 31
271. Примеры 32
§ 2. Интегрирование рациональных выражений 36
272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде 36
273. Простые дроби и их интегрирование 37
274. Разложение правильных дробей на простые 38
275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей 42
276. Выделение рациональной части интеграла 43
277. Примеры 47
§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы 50
278. Интегрирование выражений вида 







δ+γ
β+α
m
x
x
xR , . Примеры 50
279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры 51
280. Формулы приведения 54
281. Интегрирование выражений вида ( )cbxaxxR ++2
, . Подстановки
Эйлера
56
282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок 59
283. Примеры 60
284. Другие приемы вычисления 66
285. Примеры 72
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и 74

2. показательную функции
286. Интегрирование дифференциалов R(sin x, cos x) dx 74
287. Интегрирование выражений sinν xcosµx 76
288. Примеры 78
289. Обзор других случаев 83
§ 5. Эллиптические интегралы 84
290. Общие замечания и определения 84
291. Вспомогательные преобразования 86
292. Приведение к канонической форме 88
293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода 90
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение и условия существования определенного интеграла 94
294. Другой подход к задаче о площади 94
295. Определение 96
296. Суммы Дарбу 97
297. Условие существования интеграла 100
298. Классы интегрируемых функций 101
299. Свойства интегрируемых функций 103
300. Примеры и дополнения 105
301. Нижний и верхний интегралы как пределы 106
§ 2. Свойства определенных интегралов 108
302. Интеграл по ориентированному промежутку 108
303. Свойства, выражаемые равенствами 109
304. Свойства, выражаемые неравенствами 110
305. Определенный интеграл как функция верхнего предела 115
306. Вторая теорема о среднем значении 117
§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов 120
307. Вычисление с помощью интегральных сумм 120
308. Основная формула интегрального исчисления 123
309. Примеры 125
310. Другой вывод основной формулы 128
311. Формулы приведения 130
312. Примеры 131
313. Формула замены переменной в определенном интеграле 134

3. 314. Примеры 135
315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена 141
316. Другой вывод формулы замены переменной 143
§ 4. Некоторые приложения определенных интегралов 145
317. Формула Валлиса 145
318. Формула Тейлора с дополнительным членом 146
319. Трансцендентность числа e 146
320. Многочлены Лежандра 148
321. Интегральные неравенства 151
§ 5. Приближенное вычисление интегралов 153
322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций 153
323. Параболическое интерполирование 156
324. Дробление промежутка интегрирования 158
325. Дополнительный член формулы прямоугольников 159
326. Дополнительный член формулы трапеций 161
327. Дополнительный член формулы Симпсона 162
328. Примеры 164
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
§ 1. Длина кривой 169
329. Вычисление длины кривой 169
330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее
вычислению
171
331. Примеры 174
332. Натуральное уравнение плоской кривой 180
333. Примеры 183
334. Длина дуги пространственной кривой 185
§ 2. Площади и объемы 186
335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности 186
336. Площадь как предел 188
337. Классы квадрируемых областей 190
338. Выражение площади интегралом 192
339. Примеры 195
340. Определение понятия объема. Его свойства 202
341. Классы тел, имеющих объемы 204

4. 342. Выражение объема интегралом 205
343. Примеры 208
344. Площадь поверхности вращения 214
345. Примеры 217
346. Площадь цилиндрической поверхности 220
347. Примеры 222
§ 3. Вычисление механических и физических величин 225
348. Схема применения определенного интеграла 225
349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой 228
350. Примеры 229
351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской
фигуры
230
352. Примеры 232
353. Механическая работа 233
354. Примеры 235
355. Работа силы трения в плоской пяте 237
356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов 239
§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения 244
357. Основные понятия. Уравнения первого порядка 244
358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение
переменных
245
359. Задачи 247
360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений 253
361. Задачи 254
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С
ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
§ 1. Введение 257
362. Основные понятия 257
363. Примеры 258
364. Основные теоремы 260
§ 2. Сходимость положительных рядов 262
365. Условие сходимости положительного ряда 262
366. Теоремы сравнения рядов 264
367. Примеры 266
368. Признаки Коши и Даламбера 270

5. 369. Признак Раабе 272
370. Примеры 274
371. Признак Куммера 277
372. Признак Гаусса 279
373. Интегральный признак Маклорена—Коши 281
374. Признак Ермакова 285
375. Дополнения 287
§ 3. Сходимость произвольных рядов 293
376. Общее условие сходимости ряда 293
377. Абсолютная сходимость 294
378. Примеры 296
379. Степенной ряд, его промежуток сходимости 298
380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты 300
381. Знакопеременные ряды 302
382. Примеры 303
383. Преобразование Абеля 305
384. Признаки Абеля и Дирихле 307
385. Примеры 308
§ 4. Свойства сходящихся рядов 313
386. Сочетательное свойство 313
387. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов 315
388. Случай неабсолютно сходящихся рядов 316
389. Умножение рядов 320
390. Примеры 323
391. Общая теорема из теории пределов 325
392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов 327
§ 5. Повторные и двойные ряды 329
393. Повторные ряды 329
394. Двойные ряды 333
395. Примеры 338
396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости 346
397. Примеры 348
398. Кратные ряды 350
§ 6. Бесконечные произведения 350
399. Основные понятия 350

6. 400. Примеры 351
401. Основные теоремы. Связь с рядами 353
402. Примеры 356
§ 7. Разложения элементарных функций 364
403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора 364
404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических
функций и др.
366
405. Логарифмический ряд 368
406. Формула Стирлинга 369
407. Биномиальный ряд 371
408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения 374
§ 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов 378
409. Общие замечания 378
410. Вычисление числа π 379
411. Вычисление логарифмов 381
412. Вычисление корней 383
413. Преобразование рядов по Эйлеру 384
414. Примеры 386
415. Преобразование Куммера 388
416. Преобразование Маркова 392
§ 9. Суммирование расходящихся рядов 394
417. Введение 394
418. Метод степенных рядов 396
419. Теорема Таубера 398
420. Метод средних арифметических 401
421. Взаимоотношение между методами Пуассона—Абеля и Чезаро 403
422. Теорема Харди—Ландау 405
423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов 407
424. Другие методы обобщенного суммирования рядов 408
425. Примеры 413
426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования 416
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. Равномерная сходимость 419
427. Вводные замечания 419

7. 428. Равномерная и неравномерная сходимости 421
429. Условие равномерной сходимости 425
430. Признаки равномерной сходимости рядов 427
§ 2. Функциональные свойства суммы ряда 430
431. Непрерывность суммы ряда 430
432. Замечание о квази-равномерной сходимости 432
433. Почленный переход к пределу 434
434. Почленное интегрирование рядов 436
435. Почленное дифференцирование рядов 438
436. Точка зрения последовательности 441
437. Непрерывность суммы степенного ряда 444
438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов 447
§ 3. Приложения 450
439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход к
пределу
450
440. Примеры на почленное интегрирование рядов 457
441. Примеры на почленное дифференцирование рядов 468
442. Метод последовательных приближений в теории неявных функций 474
443. Аналитическое определение тригонометрических функций 477
444. Пример непрерывной функции без производной 479
§ 4. Дополнительные сведения о степенных рядах 481
445. Действия над степенными рядами 481
446. Подстановка ряда в ряд 485
447. Примеры 487
448. Деление степенных рядов 492
449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются 494
450. Решение уравнений рядами 498
451. Обращение степенного ряда 502
452. Ряд Лагранжа 505
§ 5. Элементарные функции комплексной переменной 508
453. Комплексные числа 508
454. Комплексная варианта и ее предел 511
455. Функции комплексной переменной 513
456. Степенные ряды 515
457. Показательная функция 518

8. 458. Логарифмическая функция 520
459. Тригонометрические функции и им обратные 522
460. Степенная функция 526
461. Примеры 527
§ 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера—Маклорена 531
462. Примеры 531
463. Определения 533
464. Основные свойства асимптотических разложений 536
465. Вывод формулы Эйлера—Маклорена 540
466. Исследование дополнительного члена 542
467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера—Маклорена 544
468. Другой вид формулы Эйлера—Маклорена 547
469. Формула и ряд Стирлинга 550
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами 552
470. Определение интегралов с бесконечными пределами 552
471. Применение основной формулы интегрального исчисления 554
472. Примеры 555
473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы 558
474. Сходимость интеграла в случае положительной функции 559
475. Сходимость интеграла в общем случае 561
476. Признаки Абеля и Дирихле 563
477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду 566
478. Примеры 569
§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций 577
479. Определение интегралов от неограниченных функций 577
480. Замечание относительно особых точек 581
481. Применение основной формулы интегрального исчисления.
Примеры
582
482. Условия и признаки существования интеграла 584
483. Примеры 587
484. Главные значения несобственных интегралов 590
485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов 595
§ 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов 597
486. Простейшие свойства 597

9. 487. Теоремы о среднем значении 600
488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов 602
489. Примеры 602
490. Замена переменных в несобственных интегралах 604
491. Примеры 605
§ 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов 611
492. Некоторые замечательные интегралы 611
493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных
сумм. Случай интегралов с конечными пределами
615
494. Случай интегралов с бесконечным пределом 617
495. Интегралы Фруллани 621
496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными
пределами
623
497. Смешанные примеры и упражнения 629
§ 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов 641
498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей 641
499. Примеры 642
500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных
интегралов
646
501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с
бесконечным пределом
647
502. Использование асимптотических разложений 650
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ
ПАРАМЕТРА
§ 1. Элементарная теория 654
503. Постановка задачи 654
504. Равномерное стремление к предельной функции 654
505. Перестановка двух предельных переходов 657
506. Предельный переход под знаком интеграла 659
507. Дифференцирование под знаком интеграла 661
508. Интегрирование под знаком интеграла 663
509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра 665
510. Введение множителя, зависящего лишь от x 668
511. Примеры 669
512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры 680
§ 2. Равномерная сходимость интегралов 682

10. 513. Определение равномерной сходимости интегралов 682
514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами 684
515. Достаточные признаки равномерной сходимости 684
516. Другой случай равномерной сходимости 687
517. Примеры 689
§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов 694
518. Предельный переход под знаком интеграла 694
519. Примеры 697
520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру 710
521. Интегрирование интеграла по параметру 714
522. Применение к вычислению некоторых интегралов 717
523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла 723
524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла 733
§ 4. Дополнения 743
525. Лемма Арцела 743
526. Предельный переход под знаком интеграла 745
527. Дифференцирование под знаком интеграла 748
528. Интегрирование под знаком интеграла 749
§ 5. Эйлеровы интегралы 750
529. Эйлеров интеграл первого рода 750
530. Эйлеров интеграл второго рода 753
531. Простейшие свойства функции Г 754
532. Однозначное определение функции Г ее свойствами 760
533. Другая функциональная характеристика функции Г 762
534. Примеры 764
535. Логарифмическая производная функции Г 770
536. Теорема умножения для функции Г 772
537. Некоторые разложения в ряды и произведения 774
538. Примеры и дополнения 775
539. Вычисление некоторых определенных интегралов 782
540. Формула Стирлинга 789
541. Вычисление эйлеровой постоянной 792
542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г 793
Алфавитный указатель 795
Алфавитный указатель

11. Абелевы интегралы 84
Абель 290, 292, 527
Абеля лемма 306
- подстановка 69, 608
- преобразование 305, 312, 403
- признак равномерной сходимости
ряда 429
- - сходимости интеграла 564
- - - ряда 307
- теорема 328, 397, 516
Абеля—Пуассона метод
обобщенного суммирования
рядов 401, 409
Абсолютно интегрируемая функция
563, 586
- сходящееся произведение 356
- сходяшийся несобственный
интеграл 563, 586
- - ряд 296, 356, 513
- - - переместительное свойство 315,
332, 356, 513
- - - умножение 321, 513
Адамар 300
Аддитивная функция промежутка
225
Аддитивность объема 203
- площади 188
Алгебраическая часть интеграла,
выделение 68
Амплитуда 252
Аналитическая функция 449, 450,
491, 499, 502
Аргумент комплексного числа 510
Арксинус, главное значение 525
- степенной ряд 458, 467, 503, 526
Арктангенс, главное значение 524
- степенной ряд 368, 457, 524
Архимедова спираль 175, 199
Арцела 433, 438, 743, 745
Асимптотический ряд 534, 650, 793
- - действия 536
- - дифференцирование 540, 793
- - единственность 534
- - интегрирование 538
- - потенцирование 538
Астроида 175, 184, 185, 202, 210, 218
Барроу 15
Бернулли Иоганн 95
Бернуллиевы числа 494, 541, 703, 704
Бертрана признак 279
Бесконечно малых элементов
суммирование 221, 228
Бесселевы функции 345, 464, 468,
709, 734
Бесселя дифференциальное
уравнение 468, 675
Бета-функция 750
- - рекуррентная формула 751
- - связь с гамма-функцией 755
- - симметричность 751
Биномиальный дифференциал,
интегрирование 51
- ряд 372, 452, 468, 487, 526
Био и Савара закон 242, 557
Бонне формула 119
Бореля метод обобщенного
суммирования рядов 411
Буняковского неравенство 153, 590
Валлиса формула 145, 352, 371, 377,
613, 704
Ван-дер-Варден 479
Варианта комплексная 511
- - предел 511
Вейерштрасс 424, 479, 488
Вейерштрасса формула 362, 473, 775,
778
Вивиани кривая 186, 223
Виета 352
Винтовая линия 186
Вороного методы обобщенного
суммирования рядов 408
Выделение алгебраической части
интеграла 68
- рациональной части интеграла 44
Вычисление интегралов:

12. - ∫
π
+−
0
2
)cos21ln( dxrxr 122, 140, 464,
673
- ∫
π
0
sinln xdx 611, 616, 726, 785
- dxe x
∫
∞
−
0
2
612, 704, 719, 757
- bxdxe x
cos
0
2
∫
∞
−
701, 726
- dx
x
x
∫
∞
0
sin
614, 621, 718, 742
- dx
xa
x
∫
∞
+
β
0
22
cos
706, 721, 729, 740, 741
- dx
xa
xx
∫
∞
+
β
0
22
sin
721, 729, 740
- dx
x
x
∫
∞ −α
+0
1
1
699, 717
- dxxdxx ∫∫
∞∞
0
2
0
2
cos,sin 721, 729
Вычисление определенных
интегралов,
дифференцирование по
параметру 673, 674, 717, 721,
723, 782
- - - интегральные суммы 120, 615,
617
- - - интегрирование по параметру
679, 718, 721, 722, 732, 756, 786
- - - интегрирование по частям 131,
603, 632, 634, 636
- - - искусственные приемы 611, 621,
623
- - - основная формула интегрального
исчисления 124, 554, 582
- - - подстановка 134, 143, 605, 611,
630, 631, 764
- - - предельный переход по
параметру 704, 717, 719, 722,
735, 788
- - - разложение в ряд 457—467, 614,
632, 670, 671, 672, 697, 710
Гамма-функция 361, 753
- Вейерштрасса формула 362, 775
- Гаусса формула 772
- график 755
- дополнения формула 377, 757
- Коши формула 771
- Лежандра формула 760, 774
- логарифмическая производная 473,
770, 774
- максимумы и минимумы 755, 780
- определение ее свойствами 760, 762
- Раабе интеграл 759
- распространение 780
- рекуррентная формула 361, 754
- Стирлинга формула и ряд 792, 793
- таблицы логарифмов 793
- Эйлера произведение 758
- Эйлера—Гаусса формула 361, 754,
769, 775, 780
Гармонический ряд 263, 267, 270, 289
Гаусс 281, 680, 769
Гаусса признак 280
- формулы 142, 772
Гаусса—Эйлера формула 361, 754,
769, 775, 780
Гельдера методы обобщенного
суммирования рядов 411
Гипербола 177, 195
Гиперболические подстановки 29
- функции, сопоставление с
тригонометрическими 196, 523
Гипергеометрический ряд 280, 297,
359, 470, 769
Гипергеометрическое
дифференциальное уравнение
470
Гипоциклоида 185
Главное значение аргумента
комплексного числа 510

13. - - арксинуса 525
- - арктангенса 524
- - логарифма 525
- - несобственного интеграла 591, 594
- - степени 526
Гладкая кривая 192
- поверхность 204
Гольдбах 338
Гульдина теоремы 229, 232
Даламбера признак 271, 278, 296, 513
Дарбу 97
- интегралы, верхний и нижний 100
- - как пределы 106
- суммы, верхняя и нижняя 97
- теорема 106
Двойной ряд 333, 452
Декартов лист 200
Дзета-функция 264, 287, 362, 469,
769, 777
Дини 290, 291, 292
- теорема 431
- - обобщение 657, 695, 711
Дирихле 290, 754, 769
- признак сходимости интеграла 564
- - - равномерной ряда 429
- - - ряда 307
- разрывный множитель 633, 640, 741
- ряды 309, 451, 469
- функция 105, 106, 587
Дифференциальное уравнение 244
- - Бесселя 469, 675
- - Гипергеометрическое 470
- - составление 253
Дифференцирование интеграла по
верхнему (нижнему) пределу
116, 600
- - по параметру (дифференцирование
под знаков интеграла) 661, 666,
669, 710, 749
- ряда, почленное 447, 517
Длина кривой 169, 171
- - выражение интегралом 169
- - - производная 169
- - пространственной кривой 185
e (число), трансцендентность 146
Ермакова признак 285
Живой силы закон 235
Зайдель 424
Знакопеременный ряд 302
- - оценка остатка 303
Инерции момент плоской фигуры
241
- - тела 241
Интегральная сумма 97
- - верхняя, нижняя 97
Интегральный косинус 83, 566, 639,
652
- логарифм 83, 593, 650
- признак Маклорена—Коши 282
- синус 83, 566, 639, 652, 709
Интегралы, не выражающиеся в
конечном виде 36, 52, 83, 86, 92,
459
Интегрирование биномиальных
дифференциалов 51
- в конечном виде 36
- интеграл по параметру
(интегрирование под знаком
интеграла) 663, 669, 714, 749
- по частям 31, 130, 602
- подстановкой (путем замены
переменной) 23, 135, 143, 602
- правила 18
- простых дробей 37
- радикальных выражений 50, 51, 56,
66, 529
- рациональных выражений 43
- ряда почленное 447, 668, 697, 710
- тригонометрических и
показательных выражений 74,
83, 529
Интегрируемая функция 97
- - классы 101
- - свойства 103
- - с квадратом 590
Интегрируемость предельной
функции 437, 659

14. Интерполирование параболическое
156
Канторович 642
Кардиоида 178, 185, 200, 218
Каталана постоянная 168, 460, 734
Квадратура 16
Квадрируемая фигура 187
Квадрируемости условие 187, 189,
191
Квази-равномерная сходимость 433
Кеплера уравнение 509
Кнопп 311
Комплексная варианта 511
- переменная, функция от нее 513,
519, 520, 522, 526
- плоскость 509
Комплексное число 508
- - аргумент 510
- - вещественная часть 508
- - действия 508
- - мнимая часть 508
- - модуль 508
- - тригонометрическая форма 510
Конус круговой 208, 239, 240, 241
Корень из комплексного числа 511
Корни из вещественных чисел,
вычисление 383
Косинус, аналитическое определение
477
- бесконечное произведение 377
- в комплексной области 523
- гиперболический, бесконечное
произведение 378
- - степенной ряд 367
- степенной ряд 367, 523
- - - для логарифма 497
Котангенс, Адамара теорема 300
- гиперболический, разложение на
простые дроби 473
- разложение на простые дроби 472
- степенной ряд 484, 496, 524
Коши 290, 502, 591
- Гёльдера неравенство для
интегралов 151
- - - - рядов 293
- Маклорена признак 282
- признаки 270, 290, 561, 584
- теорема 321, 326
- формула 321
Кратный ряд 350
Кубируемое тело 202
Куммера преобразование рядов 388
- признак 277
Лагерра (Чебышева) многочлены 604
Лагранжа ряд 504
Ламберта ряд 311, 341
Ландау 310
Ландена преобразование 143
Лаплас 508, 701, 721, 729
Лежандр 92, 677, 703, 750, 753, 794
Лежандра многочлены 138, 148, 491,
508, 530, 671
- формула 760, 774
- функции K (k), E (k) 142, 166, 177,
214, 224, 252, 352, 465, 675, 734,
768
- - K (k, ϕ), E (k, ϕ) 93, 116, 177
Лейбниц 15, 95, 395
Лейбница и Ньютона теорема 15
- правило 661
- теорема 302, 308
Лемниската 178, 200, 219
Лиувилль 92
Лобачевский 614
Лобачевского формулы 634, 672
Логарифм комплексного числа 520
Логарифмическая спираль 176, 184,
185
- функция в комплексной области 520
- - степенной ряд 368, 453, 457, 484,
503, 522
Логарифмы, вычисление 381
Мажорантный интеграл 685
- ряд 427
Мажорантных рядов метод 502
Маклорена—Коши признак 281
Маркова преобразование рядов 392
Маятник математический 250

15. Мертенса теорема 328
Механическая работа 233
Минковского неравенств 293, 590
Многозначные функции комплексной
переменной 513, 521, 524, 525,
526
Множитель сходимости 718, 722
Моавра формула 374
Модуль комплексного числа 509
- перехода от натуральных
логарифмов к десятичным 382
- эллиптического интеграла 93
Момент инерции плоской фигуры,
тела 241
Мэшина формула 380
Направление в промежутке 108
Натуральное уравнение кривой 180
- - эволюты 185
Натуральный логарифм
комплексного числа 520
Начальное значение величины 14
Начальные условия 14, 244
Неабсолютно сходящееся
произведение 356
- сходящийся интеграл 563, 565, 569,
586
- - ряд 296, 304, 336, 516
Неопределенный интеграл 11
- - геометрическое истолкование 14
- - свойства 13
- - существование 116
- - таблица 17
Неопределенных коэффициентов
метод 42, 45, 67, 91, 470, 488,
492
Непрерывная функция без
производной 479
Непрерывность интеграла по
параметру 660, 675, 678, 710
- предельной функции 420, 657
- суммы ряд 430
- - степенного ряда 444, 446
- функции комплексной переменной
513
Неравенства для интегралов 151
- для рядов 293
Неравномерная сходимость
интеграла 683, 689
- - последовательности, ряда 429, 446
Неравномерности точки 425, 444
Несобственный интеграл от
неограниченной функции 577,
578
- - с бесконечным пределом 552, 580
- - сходящийся, расходящийся 552,
578
- - - аналогия и связь с рядами 558,
586, 713
- - - признаки сходимости 561, 564,
584
- - - свойства 597
- - - условия существования 562, 585
Нечетная функция, интеграл по
симметричному промежутку
138
Неявные функции 474, 498
Ньютон 15, 248, 372
Ньютона—Лейбница теорема 15
- - формула 124
Обвертывающий ряд 534, 544, 550,
651, 792
Обратные тригонометрические
функции
- Арксинус и Арктангенс
Обращение степенного ряда 502, 506
Объем тела 202
- - аддитивность 203
- - внутренний, внешний 202
- - вращения 207
- - выражение интегралом 205
- - как предел 203
- - по поперечным сечениям 206, 207
- - условие существования 203, 204
Определенный интеграл в
собственном смысле 96
- - вычисление с помощью
интегральных сумм 120
- - - - - первообразной 124

16. - - свойства 108
- - схема применения 225
- - условия существования 100, 105,
107
Ориентированный промежуток 108,
598
Основная последовательность
разбиений промежутка 96
- теорема алгебры 680
- формула интегрального исчисления
123, 127, 128, 554, 582
Особая точка функции 577, 580, 581
Особенности выделения при
вычислении интегралов 642,
646
Остаток ряда 260
Остаточное произведение 353
Остроградского метод выделения
рациональной части интеграла
43
- формула 45
Ось вещественная 509
- мнимая 509
Оценка остатка ряда 283, 303, 378
Парабола 16, 174, 197, 232, 233
Параметр 654
Первообразная функция 11
- - восстановление с помощью
определенного интеграла 129,
583
Переместительное свойство
абсолютно сходящегося
произведения 356
- - - - ряда 315, 332, 513
Перестановка двух предельных
переходов 442, 443, 658
Периодическая функция, интеграл по
периоду 138
π(число), приближенное вычисление
379
Площадь криволинейной трапеции
192
- - - как первообразная 16
- - - - предел суммы 94
- плоской фигуры 187
- - - аддитивность 188
- - - внутренняя, внешняя 187
- - - выражение интегралом 192
- - - как предел 188
- - - условия существования 187, 189,
191
- поверхности вращения 214
- цилиндрической поверхности 220
Повторный ряд 330
Подынтегральная функция 12
Подынтегральное выражение 12
Подстановка (замена переменной) 23,
134, 143, 604
- Абеля 69
- гиперболическая 29
- дробно-линейная 70, 87
- ряда в ряд 485
- тригонометрическая 29
- Эйлера 57, 59
Показательная функция в
комплексной области 517
- - связь с тригонометрическими
функциями 519, 523
- - степенной ряд 367, 452, 454, 468,
518
Последовательных приближений
метод 474
Почленное дифференцирование ряда
438, 517
- интегрирование ряда 436, 669, 697,
710
- умножение рядов 321, 328, 333, 407,
456, 513
Почленный переход к пределу 434,
515
Правильная дробь, разложение на
простые 21, 39
Предел интеграла по параметру
(предельный переход под
знаком интеграла) 442, 659, 668,
694, 696, 745, 748
- функции комплексной переменной
514

17. Пределы интеграла нижний и
верхний 97
Предельная функция,
дифференцируемость 443
- - интегрируемость 443, 657
- - непрерывность 657
Предельный переход в ряде
почленный 434, 515
- - под знаком интеграла 443, 659,
668, 694, 696, 745, 748
Преобразование рядов по Куммеру
388
- - - Маркову 392
- - - Эйлеру 384
Приближенное вычисление
интегралов несобственных 641,
647, 650
- - - собственных 153, 646
Приближенные вычисления с
помощью рядов 378, 388, 390,
459, 460, 466, 650
Приведения формулы для
биномиальных дифференциалов
54
- - - интегралов от sin^nux cos^mu x
78
- - - определенных интегралов 130
Произведение бесконечное 351
- - абсолютно сходящееся 356
- - признаки сходимости и
расходимости 354
- - расходящееся 351
- - сходящееся 351
- остаточное 353
- частичное 351
Производная функции комплексной
переменной 515
Производящая функция для
бесселевых функций 345
- - - многочленов Лежандра 492, 508
Простые дроби 37
- - интегрирование 37
- - разложение правильной дроби 21,
39, 42
- - разложение функций ctg x, cth x, tg
x, x, x, x, 1/sin^2, 1/sh, 1/sin, 472,
473
Прямоугольников формула 154
- - дополнительный член 159
Псевдоэллиптнческие интегралы 86
Пуассон 122, 140, 612
Пуассона—Абеля метод
обобщенного суммирования
рядов 396
Пуассона формула 256
Раабе интеграл 759
- признак 273, 278
Равномерная сходимость интеграла
682, 687, 688
- - - признаки 684, 688
- - - связь с рядами 684, 688
- - - условие 684, 687
- - ряда, последовательности 419, 422,
424, 515
- - - признаки Абеля 429
- - - - Вейерштрасса 427
- - - - Дирихле 429
- - - условие 425
- - степенного ряда 444, 446
Равномерное стремление к
предельной функции 654
Разрывный множитель Дирихле 633,
640, 736, 741
Расходящиеся бесконечные
произведения 351
Расходящийся интеграл 552, 578
- - обобщенное значение 595
- ряд 258, 333
Расходящихся рядов суммирование,
см. Суммирование рядов
обобщенное
Рационализация подынтегрального
выражения 50, 51, 57, 74, 85
Рациональная функция, интеграл
между бесконечными
пределами 623
- часть интеграла, выделение 44
Регулярный метод суммирования 395

18. Решение уравнений рядами 498
Риман 97, 264
Римана теорема 317
Риманова (интегральная) сумма 97
Ряд (бесконечный) 257, 512
- гармонический 263, 267, 270, 289
- гипергеометрический 280, 297, 359,
470, 769
- двойной 333, 513
- знакопеременный 302
- кратный 350
- лейбницевского типа 303
- повторный 330
- расходящийся 258, 292, 333
- сходящийся 258, 292, 333, 512
- - абсолютно 296, 336, 513
- - неабсолютно 296, 317, 336, 516
- остаток 260
- сумма 258, 333, 512
- условие сходимости 294
- частичная сумма степенной, ряд,
также, см, 257, 333, 512
Сапогова признак 291
Симпсона формула 159
- - дополнительный член 162
Синус, аналитическое определение
477
- бесконечное произведение 376
- в комплексной области 523
- гиперболический, бесконечное
произведение 378
- - разложение обратной величины на
простые дроби 473
- - степенной ряд 367
- разложение обратной величины на
простые дроби 472
- степенной ряд 367, 454, 522
- - - для log sin x/x 497
Сочетательное свойство ряда 313,
332
Спрямляемая кривая 169
Сравнения теоремы для
несобственных интегралов 560
- - - рядов 264
Среднее значение, теорема 113
- - - вторая 117, 600
- - - обобщенная 114, 600
- - - - связь с формулой Лагранжа 124
Статический момент кривой 228
- - плоской фигуры 231
- - поверхности вращения 240
- - тела 239
- - цилиндрической поверхности 240
Степенная функция, главное
значение 526
Степенной ряд 298, 364, 515
- - действия 481, 485, 518
- - деление 492, 518
- - дифференцирование 447, 449
- - единственность 445
- - интегрирование 447
- - круг сходимости 515
- - непрерывность 444, 446
- - обращение 502, 506, 518
- - промежуток сходимости 299, 516
- - радиус сходимости 300, 515
- - с двумя переменными 346
- - с несколькими переменными 350
Стильтьес 651
Стирлинг 360
Стирлинга ряд 550, 792
- формулы 369, 550, 793
Стоке 424
Сумма ряда 257, 333, 512
Суммирование рядов обобщенное
395
- - - метод Бореля 411
- - - - Вороного 408
- - - - Гельдера 411
- - - - Пуассона—Абеля 396
- - - - Чезаро 401, 409
- - - - Эйлера 416
Сфера (полусфера) 241
Сходимости пограничная абсцисса
309
- принцип 308, 512
Сходимость бесконечного
произведения, признаки 354

19. - - ряда, признаки: Абеля 307,
Бертрана 279, Гаусса 279,
Даламбера 271, 288, 296, 513,
Дирихле 307, Ермакова 285,
Коши 270, Коши—Маклорена
282, Куммера 277, Лейбница
302, 308, Раабе 273, 278,
Сапогова 291
- - - условие 293
- несобственного интеграла,
признаки 561, 563, 584
- - - условие 560, 584
Сходящееся бесконечное
произведение 351
Сходящийся бесконечный ряд 258,
292
- несобственный интеграл 552, 578
Тангенс в комплексной области 523
- разложение на простые дроби 472
- степенной ряд 493, 497, 524
Таубера теорема 398, 405
Тейлора ряд 364, 449, 450
- формула 364
- - дополнительный член 146, 366
Теплица теорема 325
Тождество степенных рядов 445
Тор 230, 233
Торичелли 242
Трактриса 179, 248
Трапеций формула 155
- - дополнительный член 161
Тригонометрическая форма
комплексного числа 510
Тригонометрические подстановки 29
- функции, аналитическое
определение 477
- - в комплексной области 522, см.,
также, Синус, и, т.д.
- - связь с гиперболическими
функциями 196б, 523
- - - - показательной функцией 519,
523
Улитка 177, 199
Умножение рядов 321, 328, 333, 407,
456, 513
Уникурсальная кривая 85
Френель 721, 729
Фробениус 401
- теорема 403
Фруллани интегралы 621, 635, 636,
638, 639
Харди 576, 740
Харди—Ландау теорема 403
Центр тяжести кривой 229
- - плоской фигуры 232
- - поверхности вращения 240
- - тела 239
- - цилиндрической поверхности 240
Цепная линия 174, 184, 195, 209, 217
Циклоида 175, 184, 185, 199, 209, 218,
230, 233
Цилиндрический отрезок 210, 222,
240
Частичная сумма 257, 333, 512
Чебышев 52
Чебышёва—Лагерра многочлены 604
Четная функция, интеграл по
симметричному промежутку
138
Шаровой пояс 217
Шлёмильх 373
Штейнер 339
Штольца теорема 326
Эвольвента круга 175, 183, 185
- цепной линии 189
Эволюта, натуральное уравнение 185
Эйлер 57, 255, 263, 358, 361, 362, 363,
376, 377, 395, 611, 699, 717, 756,
758, 764, 778
Эйлера метод обобщенного
суммирования рядов 412
- преобразование рядов 384
- ряд 462, 490, 496, 671
- формулы 519, 527
Эйлера—Гаусса формула 361, 754,
775

20. Эйлера—Маклорена формула 540,
547
- - - дополнительный член 540, 548
Эйлера—Маклорена ряд 543, 549
- - - приближенные вычисления 546
Эйлерова постоянная 270, 285, 319,
353, 772, 775, 776, 782, 793
Эйлеровы интегралы первого и
второго рода 750, 753
- подстановки 57, 59
Эллипс 176, 195, 198, 199, 201, 202,
229, 233
Эллипсоид 209, 211, 212, 219
Эллиптические интегралы 86
- - в форме Лежзндра 93, 111
- - 1-го—3-го рода 90
- - полные 143, 166, 177, 179, 214,
224, 252, 352, 465, 675, 734, 768
Эллиптический синус 252
Эпициклоида 185
Эрмит 146