1. Если дифференцируемая на промежутке
Х функция y=f(x) достигает
наибольшего или наименьшего
значения во внутренней точке х0 этого
промежутка, то производная функции
в этой точке равна 0:
f ′( x0 ) = 0

2. Пусть функция y=f(x) дифференцируема на
промежутке Х и в точке x0 ∈ X
принимает наименьшее значение.
Тогда f ( x0 +∆ ) ≥ f ( x0 )
x
если x0 +∆ ∈X
x
Величина ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ≥ 0
Следовательно
∆y ∆y
≥ 0 при ∆x > 0 ≤ 0 при ∆x < 0
∆x ∆x

3. Переходим в этих неравенствах
соответственно к пределу справа и слева:
∆y ∆y
lim ≥0 и lim− ≤0
∆x →0 +
∆x ∆x →0
∆x
По условию функция y=f(x) дифференцируема в
точке х0, следовательно ее предел при ∆ →
x 0
не должен зависеть от способа стремления Δх к
нулю, т.е.
∆y ∆y
lim+
∆x →0
∆x
= ∆x→0−
lim
∆x
=0 f ′( x0 ) = 0

4. В точке наибольшего или наименьшего
значения, достигаемого внутри промежутка
Х, касательная к графику функции
параллельна оси Х.

5. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет
следующим условиям:
1. Непрерывна на отрезке [a,b].
2. Дифференцируема на интервале (a,b).
3. На концах отрезка принимает равные
значения: f(a)=f(b).
Тогда внутри отрезка существует по
крайней мере одна такая точка ξ, в
которой производная равна нулю:
f ′(ξ ) = 0

6. По теореме Вейерштрасса, функция, непрерывная
на отрезке, достигает на нем своего
наибольшего М и наименьшего m значений.
Если оба этих значения достигаются на концах
отрезка,то они по условию равны: М= m, а это
значит, что функция постоянна на [a,b]. Тогда
f ′( x) = 0 во всех точках этого отрезка.
Если же хотя бы одно из этих значений
достигается внутри отрезка, то по теореме
Ферма, производная функции в этой точке
равна нулю: f ′( x) = 0

7. Найдется хотя бы одна точка, в которой
касательная к графику функции
параллельна оси Х, в этой точке
производная функции будет равна нулю.

8. y
y = f (x)
a ξ1 ξ2 b x

9. Если же хотя бы одно условие теоремы Ролля
нарушено, то заключение теоремы может быть
неверным.
Например:
1
Отсутствует непрерывность на [a,b].
y y = f (x)
f (b)
f (a)
a b x

10. 2
Отсутствует дифференцируемость на (a,b).
y = f (x)
y f (a ) f (b)
x
a b

11. 3
f (a ) ≠ f (b)
y f (b)
f (a )
y = f (x)
a b x

12. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет
следующим условиям:
1. Непрерывна на отрезке [a,b].
2. Дифференцируема на интервале (a,b).

13. Тогда внутри отрезка существует по
крайней мере одна такая точка ξ, в
которой производная функции равна
частному от деления приращения
функции на приращение аргумента на
этом отрезке:
f (b) − f (a )
f ′(ξ ) =
b−a

14. Введем новую функцию g(x):
f (b) − f (a )
g ( x) = f ( x) − ⋅ ( x − a)
b−a
Эта функция удовлетворяет всем условиям
теоремы Ролля:
Она непрерывна на [a,b], дифференцируема на
(a,b) и на концах отрезка принимает равные
значения:
f (b) − f (a )
g (b) = f (b) − ⋅ (b − a )
b−a

15. g (b) = f (b) − f (b) + f (a ) = f (a )
f (b) − f (a)
g (a ) = f (a ) − ⋅ (a − a)
b−a
0
g (a) = f (a) g (a ) = g (b)
Следовательно, по теореме Ролля существует
точка
ξ ∈ ( a, b)
такая, что
g ′(ξ ) = 0

16. f (b) − f (a )
или g ′(ξ ) = f ′(ξ ) − ⋅ (ξ − a)′ = 0
b−a
f (b) − f (a )
g ′(ξ ) = f ′(ξ ) − =0
b−a
отсюда
f (b) − f (a )
f ′(ξ ) =
b−a

17. Эту теорему часто записывают в виде:
f ′(ξ ) ⋅ (b − a ) = f (b) − f (a )

18. y B
y = f (x)
A
a ξ b x

19. Если перемещать прямую АВ
параллельно начальному положению,
то найдется хотя бы одна точка
ξ ∈( a, b)
в которой касательная к графику
функции y=f(x) и хорда АВ, проведенная
через концы дуги АВ будут
параллельны.

20. Если производная функции y=f(x) равна 0
на некотором промежутке Х, то эта
функция постоянна на всем
промежутке.

21. Возьмем на промежутке Х [a,х], тогда по теореме
Лагранжа
f ′(ξ ) ⋅ ( x − a ) = f ( x) − f (a )
По условию теоремы f ′(ξ ) = 0
0 ⋅ ( x − a ) = f ( x) − f (a)
0 = f ( x) − f (a)
То есть
f ( x) = f (a)