специальные функции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
И.А. Акимов, А.И. Акимов, Е.О. Каракулина
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Учебно-методическое пособие для студентов
физико-математических факультетов педвузов
Оренбург
2015
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 517.58(075.8)
ББК 22.16я75
А 39
Рецензенты
А.М. Пищухин, доктор технических наук, профессор, декан факультета
информационных технологий Оренбургского государственного университета
В.В. Тугов, кандидат технических наук, доцент кафедры системного анализа и
управления Оренбургского государственного университета
Акимов, И. А.
А 40 Специальные функции: учебно-методическое пособие для студентов
физико-математических факультетов педвузов / И.А. Акимов, А.И. Акимов,
Е.О. Каракулина; Мин-во образования и науки Рос. Федерации, ФГБОУ ВПО
«Оренб. гос. пед. ун-т». – Оренбург: Южный Урал, 2015.– 91 с.: ил.
УДК 517.58(075.8)
ББК 22.16я75
©Акимов И.А., Акимов А.И., Каракулина Е.О., 2015
© Оформление. Издательство Южный Урал, 2015

3
Содержание
1.
Комбинации
показательных
функций
..................................................................................
4

1.1
Гиперболические
функции
.................................................................................................................
4

1.2
Обратные
гиперболические
функции
...........................................................................................
7

2.
Эйлеровы
интегралы
..................................................................................................................
15

2.1
Гамма-‐функция
и
ее
свойства
..........................................................................................................
15

2.2
Бета-‐функция
и
ее
свойства
..............................................................................................................
23

3.
Цилиндрические
функции
.......................................................................................................
29

3.1
Уравнение
Лапласа
в
цилиндрических
координатах.
Уравнения
Бесселя
.................
29

3.2
Бесселевы
функции
первого
рода
.................................................................................................
31

3.3
Формулы
приведения
для
бесселевых
функций
....................................................................
34

3.4
Бесселевы
функции
с
полуцелым
индексом
.............................................................................
36

3.5
Функции
Бесселя
второго
и
третьего
рода
................................................................................
38

4.
Применение
цилиндрических
функций
к
задачам
математической
физики
..
42

4.1
Разделение
переменных
в
уравнении
Δu =
1
a2
∂2
u
∂t2
+b
∂u
∂t
+Cu
в
цилиндрической

системе
координат
...........................................................................................................................................
42

4.2
Применение
метода
частных
решений
к
краевой
задачи
для
цилиндра.
Пример
из

теории
теплопроводности
...........................................................................................................................
44

4.3
Задача
об
охлаждении
цилиндра
...................................................................................................
47

5.
Дельта-‐функция
Дирака
............................................................................................................
50

5.1
Понятие
о
дельта-‐функции
Дирака
...............................................................................................
50

5.2
Наиболее
употребительные
формулы
и
соотношения,
содержащие
дельта-‐
функцию
Дирака
...............................................................................................................................................
53

6.
Интеграл
вероятности
и
связанные
с
ним
функции
....................................................
58

6.1
Интеграл
вероятности
и
его
основные
свойства
....................................................................
58

6.2
Приложения
к
теории
вероятностей
............................................................................................
60

6.3
Приложение
к
теории
теплопроводности.
Остывание
плоской
поверхности

нагретого
тела
...................................................................................................................................................
61

7.
Интегральная
показательная
функция
и
родственные
ей
специальные

функции
....................................................................................................................................................
64

7.1
Интегральная
показательная
функция
и
ее
основные
свойства
....................................
64

7.2
Интегральный
синус
и
косинус
.......................................................................................................
67

7.3
Интегральный
логарифм
...................................................................................................................
69

А
Сводка
основных
формул
для
решения
уравнений
Бесселя
............
73

Б
Таблица
оригиналов
и
изображений
..........................................................
74

В
Варианты
контрольных
работ
........................................................................
76

Список
использованной
литературы
..........................................................................................
91


4
1. Комбинации показательных функций

1.1 Гиперболические функции
Показательные функции широко применяются в математике и ее
приложениях к естествознанию и технике. Многие изучаемые в естествознании
явления относятся к числу таких процессов, в которых скорости изменения
участвующих в них функций пропорциональны величинам самих функций, то
есть сводятся к решению дифференциального уравнения
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑘𝑦,
где k – некоторый постоянный коэффициент пропорциональности.
Общее решение этого уравнения имеет вид 𝑦 = 𝐶𝑒!"
, то есть выражается с
помощью показательной функции.
При заданных начальных условиях 𝑦 = 𝑦! при 𝑥 = 𝑥!, можно определить
произвольную постоянную 𝐶 = 𝑦! 𝑒!!!! и найти частное решение
дифференциального уравнения 𝑦 = 𝑦! 𝑒! !!!!
, которое представляет собой
интегральный закон рассматриваемого процесса.
Наряду с отдельными показательными функциями в математике и ее
приложениях находят применение различные комбинации показательных
функций, среди которых особое значение имеют некоторые линейные и
дробно-линейные комбинации функций 𝑒!
и 𝑒!!
так называемые
гиперболические функции. Этих функций шесть, для них выведены следующие
специальные наименования и обозначения:
гиперболический синус
sh𝑥 =
𝑒!
− 𝑒!!
2
,
гиперболический косинус
ch𝑥 =
𝑒!
+ 𝑒!!
2
,

5
гиперболический тангенс
th𝑥 =
𝑒!
− 𝑒!!
𝑒! + 𝑒!!
,
гиперболический котангенс
cth𝑥 =
𝑒!
+ 𝑒!!
𝑒! − 𝑒!!
,
гиперболический секанс
sch𝑥 =
2
𝑒! + 𝑒!!
,
гиперболический косеканс
csch𝑥 =
2
𝑒! − 𝑒!!
.
Эти функции получили такие названия в связи с тем, что соотношения,
связывающие тригонометрические функции с координатами точек окружности
единичного радиуса, аналогичны соотношениям, связывающим
гиперболические функции с координатами точек равносторонней гиперболы с
единичной полуосью.
Основные тождества гиперболических функций
sh 𝑥 ± 𝑦 = sh𝑥 ∙ ch𝑦 ± ch𝑥 ∙ sh𝑦,
ch 𝑥 ± 𝑦 = ch𝑥 ∙ ch𝑦 ± sh𝑥 ∙ sh𝑦,
sh2𝑥 = 2sh𝑥 ∙ ch𝑥,
ch2𝑥 = ch!
𝑥 + sh!
𝑥,
Основное тождество гиперболической геометрии:
ch!
𝑥 − sh!
𝑥 = 1.
Термин «гиперболический означает, что равенства 𝑥 = 𝑎 ⋅ ch𝑡, 𝑦 = 𝑎 ⋅ sh𝑡
задают равнобочную гиперболу 𝑥!
− 𝑦!
= 𝑎!
. Подобно тому, как равенства
𝑥 = a cos𝑡 , 𝑡 = 𝑎sin𝑡 задают окружность 𝑥!
+ 𝑦!
= 𝑎!
. Параметр 𝑡 в
уравнениях гиперболы равен удвоенной площади гиперболического сектора.
Гиперболические функции определены и непрерывны на R, причем ch𝑥 –
четная функция, а sh𝑥 – нечетная функция.

6
Рисунок 1.1 – Графики функций 𝑦 = ch𝑥 и 𝑦 = sh𝑥
Из определения гиперболических функций sh𝑥 и ch𝑥 следует, что:
sh𝑥 + ch𝑥 = 𝑒!
,
ch!
𝑥 − sh!
𝑥 = 1,
ch2𝑥 = 1 + 2sh!
𝑥,
sh2𝑥 = 2sh𝑥 ⋅ ch𝑥.
По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические
тангенс и котангенс определяются соответственно формулами
th𝑥 =
sh𝑥
ch𝑥
cth𝑥 =
ch𝑥
sh𝑥
.
Функция th𝑥 определена и непрерывна на 𝑅, а функция cth𝑥 определена
и непрерывна на множестве 𝑅 с выколотой точкой 𝑥 = 0; обе функции –
нечетные, их графики представлены на рисунках ниже.
y = sh x
y=chx
0

7
Рисунок 1.2 – График функции th𝑥
Рисунок 1.3 – График функции cth𝑥
1.2 Обратные гиперболические функции
Можно показать, что функции 𝑦 = sh𝑥 , 𝑦 = th𝑥 и 𝑦 = ch𝑥, 𝑥 ≥ 0 –
строго возрастающие, а функция 𝑦 = ch𝑥, 𝑥 ≤ 0 – строго убывающая. Поэтому
указанные функции обратимы.
-1 0 1
-1
1
y = th x
y = cth x
1
-1
O

8
Определим и опишем обратные гиперболические функции
Обратные гиперболические функции:
1. Обратный гиперболический синус, гиперболический арккосинус,
ареакосинус sh arsh𝑥 = 𝑥: arsh𝑥 = ln 𝑥 + 𝑥! + 1 ;
2. Обратный гиперболический косинус, гиперболический арккосинус,
ареакосинус ch (arch𝑥) = 𝑥, где 𝑥 ≥ 1: Arch𝑥 = ln(𝑥 + 𝑥! − 1);
3. Обратный гиперболический тангенс, гиперболический арктангенс,
ареатангенс: Arth𝑥 =
!
!
ln
!!!
!!!
;
4. Обратный гиперболический котангенс, гиперболический
арккотангенс, ареаконтангенс: Arcth𝑥 =
!
!
ln
!!!
!!!
;
5. Обратный гиперболический секанс, гиперболический арксеканс,
ареасеканс: Arsch𝑥 = ± ln
!! !!!!
!
;
6. Обратный гиперболический косеканс, гиперболический
арккосеканс, ареакосеканс:
Arsh𝑥 =
ln
1 − 1 + 𝑥!
𝑥
𝑥 < 0;
ln
1 + 1 + 𝑥!
𝑥
𝑥 > 0;
Обратные гиперболические функции часто появляются при
интегрировании рациональных дробей и квадратичных иррациональностей.
Обратные гиперболические функции, рассматриваемые в комплексной
области, многозначны. Их однозначные ветви (главные значения) получаются,
если в формулах обратных гиперболических функций брать для логарифма его
главные значения; они обозначаются arsh𝑧 ; arch𝑧 , arth𝑧 . Обратные
гиперболические функции связаны с главными значениями обратных
тригонометрических функций формулами:
arsh 𝑧 =
1
𝑖
arc sin 𝑖𝑧
arch 𝑧 = 𝑖 arc cos 𝑧

9
crth 𝑧 =
1
𝑖
crc th 𝑖𝑧
arsh 𝑥 = ln 𝑥 + 1 + 𝑥! , 𝑥 ∈ 𝑅
arth 𝑥 =
1
2
ln
1 + 𝑥
1 − 𝑥
𝑥 < 1
arch! 𝑥 = ln 𝑥 − 𝑥! − 1 , 𝑥 ≥ 1
arch! 𝑥 = ln 𝑥 + 𝑥! − 1 , 𝑥 ≥ 1
Наиболее важные формулы дифференцирования и интегрирования
гиперболических функций имеют вид:
ch𝑥 !
= sh𝑥 sh 𝑥𝑑𝑥 = ch𝑥 + 𝐶
sh𝑥 !
= ch𝑥 ch 𝑥𝑑𝑥 = sh𝑥 + 𝐶
th𝑥 !
= sech!
𝑥 sech!
𝑥𝑑𝑥 = th𝑥 + 𝐶
cth𝑥 !
= − csch!
𝑥 csch!
𝑥𝑑𝑥 = −cth𝑥 + 𝐶
(sech𝑥)′ = −sech𝑥 ∙ th𝑥 sech 𝑥 ∙ th𝑥𝑑𝑥 = −sech𝑥 + 𝐶
csch𝑥 !
= −csch𝑥 ∙ cth𝑥 csch𝑥 ∙ cth𝑥𝑑𝑥 = −csch𝑥 + 𝐶
Примеры решения задач
Пример 1
Вычислить интеграл
ch𝑥
2 + 3sh𝑥
𝑑𝑥.
Решение.
Сделаем подстановку

10
ch𝑥
2 + 3sh𝑥
𝑑𝑥 =
𝑢 = 2 + 3sh𝑥 ⇒
⇒ 𝑑𝑢 = 3ch𝑥𝑑𝑥 ⇒
⇒ 𝑐ℎ𝑥𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
3
=
𝑑𝑢
3𝑢
=
1
3
𝑑𝑢
𝑢
=
1
3
ln 2 + 3sh𝑥 + 𝐶.
Пример 2
sh!
𝑥𝑑𝑥
Решение.
Поскольку ch!
𝑥 − sh!
𝑥 = 1, и, следовательно, sh!
𝑥 = ch!
𝑥 − 1, интеграл
можно переписать в виде
𝐼 = sh!
𝑥𝑑𝑥 = sh!
𝑥sh𝑥𝑑𝑥 = 𝑐ℎ!
𝑥 − 1 sh𝑥𝑑𝑥
Делая замену, получаем
𝐼 = ch!
𝑥 − 1 sh𝑥𝑑𝑥 =
𝑢 = ch𝑥 ⇒
⇒ 𝑑𝑢 = sh𝑥𝑑𝑥
=
= 𝑢!
− 1 𝑑𝑢 =
𝑢!
3
− 𝑢 + 𝐶 =
ch!
𝑥
3
− ch𝑥 + 𝐶.
Пример 3
𝑥sh𝑥𝑑𝑥.
Решение.
Используем интегрирование по частям: 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢.
𝑥sh𝑥𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑥
𝑑𝑣 = sh𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑣 = ch𝑥
= 𝑥ch𝑥 − ch𝑥𝑑𝑥 = 𝑥ch𝑥 − sh𝑥 + 𝐶.
Пример 4
𝑒!
sh𝑥𝑑𝑥.

11
Решение.
Так как
sh𝑥 =
𝑒!
− 𝑒!!
2
,
то интеграл равен
𝑒!
sh𝑥𝑑𝑥 = 𝑒!
𝑒!
− 𝑒!!
2
𝑑𝑥 =
1
2
(𝑒!!
− 1)𝑑𝑥 =
1
2
1
2
𝑒!!
− 𝑥 + 𝐶 =
=
𝑒!!
4
−
𝑥
2
+ 𝐶.
Пример 5
Найти интеграл
𝑑𝑥
1 + ch𝑥
.
Решение.
По определению,
ch𝑥 =
𝑒!
+ 𝑒!!
2
.
Подставляя это в интеграл, получаем
𝑑𝑥
1 + 𝑐ℎ𝑥
=
𝑑𝑥
1 +
!!!!!!
!
=
2𝑑𝑥
2 + 𝑒! + 𝑒!!
= 2
𝑒!
𝑑𝑥
2𝑒! + 𝑒!! + 1
=
= 2
𝑒!
𝑑𝑥
2𝑒! + 𝑒!! + 1
= 2
𝑑 𝑒!
+ 1
𝑒! + 1 !
= −
2
𝑒! + 1
+ 𝐶.
Пример 6
Найти интеграл
𝑑𝑥
sh𝑥 + 2ch𝑥
.
Решение.
По определению,
sh𝑥 =
𝑒!
− 𝑒!!
2
, ch𝑥 =
𝑒!
+ 𝑒!!
2
.

12
Следовательно,
𝐼 =
𝑑𝑥
sh𝑥 + 2ch𝑥
=
𝑑𝑥
!!!!!!
!
+ 2 ⋅
!!!!!!
!
=
2𝑑𝑥
𝑒! − 𝑒!! + 2𝑒! + 2𝑒!!
=
= 2
𝑑𝑥
3𝑒! + 𝑒!!
= 2
𝑒!
𝑑𝑥
3𝑒!! + 1
.
Сделаем замену и вычислим искомый интеграл.
𝐼 = 2
𝑒!
𝑑𝑥
3𝑒!! + 1
=
𝑢 = 𝑒!
𝑑𝑢 = 𝑒!
𝑑𝑥
= 2
𝑑𝑢
3𝑢! + 1
=
2
3
𝑑𝑢
𝑢! +
!
!
=
=
2
3
𝑑𝑢
𝑢! +
!
!
! =
2
3
⋅
3
1
arctg
𝑢
!
!
+ С =
2
3
arctg 3𝑢 + 𝐶 =
=
2
3
arctg 3𝑒! + 𝐶.
Пример 7
sh2𝑥 ∙ ch3𝑥𝑑𝑥.
Решение.
Подставив формулы
sh𝑥 =
𝑒!
− 𝑒!!
2
, ch𝑥 =
𝑒!
+ 𝑒!!
2
получаем
sh2𝑥ch3𝑥𝑑𝑥 =
𝑒!!
− 𝑒!!!
2
⋅
𝑒!!
+ 𝑒!!!
2
𝑑𝑥 =
=
1
4
𝑒!!
− 𝑒!!!
𝑒!!
+ 𝑒!!!
𝑑𝑥 =
=
1
4
𝑒!!!!!
− 𝑒!!!!!!
+ 𝑒!!!!!
− 𝑒!!!!!!
𝑑𝑥 =
=
1
4
𝑒!!
− 𝑒!
+ 𝑒!!
− 𝑒!!!
𝑑𝑥 =
1
4
𝑒!!
5
− 𝑒!
− 𝑒!!
+
𝑒!!!
5
+ 𝐶 =
=
1
10
⋅
𝑒!!
+ 𝑒!!!
2
−
1
2
⋅
𝑒!
+ 𝑒!!
2
+ 𝐶 =
ch5𝑥
10
−
ch𝑥
2
+ 𝐶.

13
Пример 8
sh𝑥 ∙ cos𝑥𝑑𝑥.
Решение.
Интегрируем по частям два раза подряд, получим
sh𝑥 ∙ cos𝑥𝑑𝑥 =
𝑢 = cos𝑥
𝑑𝑣 = sh𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑢 = −sin𝑥𝑑𝑥
𝑣 = ch𝑥
=
= ch𝑥 ∙ cos𝑥 − ch𝑥 −sin𝑥 𝑑𝑥 = ch𝑥cos𝑥 + ch𝑥 ∙ sin𝑥𝑑𝑥 =
=
𝑢 = sin𝑥
𝑑𝑣 = ch𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑢 = cos𝑥𝑑𝑥
𝑣 = sh𝑥
=
= ch𝑥 ∙ cos𝑥 + sh𝑥 ∙ sin𝑥 − sh𝑥 ∙ cos𝑥𝑑𝑥
Получаем
sh𝑥 ∙ cos𝑥𝑑𝑥 = ch𝑥 ∙ cos𝑥 + sh𝑥 ∙ sin𝑥 − sh𝑥 ∙ cos𝑥𝑑𝑥.
Решая полученное уравнение относительно sh𝑥 ∙ cos𝑥𝑑𝑥, находим ответ
sh𝑥 ∙ cos𝑥𝑑𝑥 =
ch𝑥 ∙ cos𝑥 + sh𝑥 ∙ sin𝑥
2
+ 𝐶.
Задачи для самостоятельной работы
1) Доказать равенства
a) sh 𝑥 + 𝑦 = sh𝑥 ⋅ ch𝑦 + ch𝑥 ⋅ sh𝑦,
b) ch 𝑥 + 𝑦 = ch𝑥 ⋅ ch𝑦 + sh𝑥 ⋅ sh𝑦.
2) Вычислить интегралы
1)
ch𝑥𝑑𝑥
2 + 3sh𝑥
; 2) sh!
𝑥𝑑𝑥;
3) 𝑥sh𝑥𝑑𝑥; 4) 𝑒!
sh𝑥𝑑𝑥;
5)
𝑑𝑥
1 + ch𝑥
; 6)
𝑑𝑥
sh𝑥 + 2ch𝑥
;

14
7) sh 2𝑥 ch3𝑥𝑑𝑥; 8) sh𝑥 cos𝑥𝑑𝑥;
9) cth!
𝑥𝑑𝑥; 10)
𝑑𝑥
sh𝑥
11) sh!
𝑥𝑑𝑥; 12) ch!
𝑥𝑑𝑥;
13)
𝑑𝑥
sh! 𝑥ch! 𝑥
; 14) 𝑥!
ch3𝑥𝑑𝑥;
15) 𝑥!
sh𝑥𝑑𝑥; 16) sh2𝑥 arcsh𝑥 ;
17) ch2𝑥 arch𝑥 ; 18) th2𝑥 arth𝑥;
19) cth 𝑥 arcth𝑥. 20)
𝑑𝑥
ch𝑥
.

15
2. Эйлеровы интегралы

2.1 Гамма-функция и ее свойства
Определение. Эйлеровым интегралом второго рода или гамма-
функцией называют интеграл
Г 𝑎 = 𝑥!!!
𝑒!!
𝑑𝑥
!
!
(2.1)
c двумя особыми точками 𝑥 = 0 и 𝑥 = ∞.
Некоторые свойства гамма-функции
Свойство 1. Область определения функций Г(𝑎) есть промежуток 0, +∞ .
Для нахождения области определения гамма-функции интеграл (2.1)
представим в виде суммы:
Г 𝑎 = 𝑥!!!
𝑒!!
𝑑𝑥
!
!
+ 𝑥!!!
!
!
𝑒!!
𝑑𝑥 = Г! + Г!. (2.2)
Интеграл Г! сходится при каждом 𝑎 > 0 и расходится при 𝑎 ≤ 0, так как
𝑒!!
𝑥!!!
≤ 𝑒!
𝑥!!!
≤ 𝑥!!!
при 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
Интеграл
𝑥!!!
𝑑𝑥
!
!
при 𝑎 > 0 сходится и при 𝑎 ≤ 0 расходится.
Интеграл Г! сходится при всех 𝑎. Это следует из следующей оценки
0 < 𝑒!!
𝑥!!!
≤ 𝑐𝑒!!/!
при
𝑥 ≤ 1, 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡,
и из сходимости интеграла

16
𝑒!
!
!
!
!
𝑑𝑥 = 2𝑒!
!
!.
Следовательно, интеграл (2.1) сходится при 𝑎 > 0 и расходится при 𝑎 ≤ 0.
Свойство 2. Функция Г 𝑎 в области определения непрерывна и имеет
так же непрерывные производные любого порядка.
Для этого покажем, что интеграл (2.1) сходится равномерно на любом сегменте
[𝛼, 𝛽] ∈ 0, +∞ , где 0 < α < 𝛽 < +∞. Действительно, при α ≤ 𝑎 ≤ 𝛽:
0 < 𝑥!!!
𝑒!!
≤ 𝑥!!!
𝑒!!
,
если 0≤ 𝑥 ≤ 1;
0 < 𝑥!!!
𝑒!!
≤ 𝑥!!!
𝑒!!
,
если 𝑥 ≥ 1 и интегралы
𝑥!!!
𝑒!!
𝑑𝑥
!
!
, 𝑥!!!
𝑒!!
𝑑𝑥
!
!
сходятся. Тогда из равенства (2.2) на основании признака Вейерштрасса о
равномерной сходимости интегралов вытекает равномерная сходимость
интеграла (2.1) на [α, β]. Отсюда следует непрерывность функции Г 𝑎 на [α, β]
в силу произвольности сегмента. [𝛼, 𝛽] ∈ 0, +∞ , следовательно она является
непрерывной на всей области определения.
Теперь докажем дифференцируемость этой функции при 𝑎 > 0. Заметим,
что функция
𝑓!
!
= 𝑥!!!
⋅ ln 𝑥 ⋅ 𝑒!!
непрерывна при 𝑎 > 0 и 𝑥 > 0, и покажем, что интеграл:
𝑓!
!
𝑥, 𝑎 𝑑𝑥 =
!
!
𝑥!!!
⋅ ln 𝑥 ⋅ 𝑒!!
𝑑𝑥 =
!
!
= 𝑥!!!
ln 𝑥𝑒!!
𝑑𝑥 = 𝑥!!!
ln 𝑥 ⋅ 𝑒!!
𝑑𝑥 = 𝐼! + 𝐼!
!
!
!
!
.
(2.3)
сходится равномерно по 𝑎 на каждом сегменте [𝛼, 𝛽] ∈ 0, +∞ .

17
Выберем число 𝜀 так, чтобы 0 < 𝜀 < α. Тогда𝑥!
ln 𝑥 → 0 при 𝑥 → 0 + 0.
Поэтому существует число 𝐶 > 0 такое, что 𝑥!
ln 𝑥 ≤ 𝐶 при 𝑥 ∈ 0,1 .
Поэтому на 0,1 справедлива оценка 𝑥!!!
ln 𝑒!!
≤ 𝐶𝑥!!!!!
при 𝛼 ≥ 𝑎 и
интеграл от правой части этой оценки сходится. Тогда по признаку
Вейерштрасса интеграл 𝐼! сходится равномерно на сегменте [α, β]. Аналогично
для достаточного малого числа 𝜀 > 0: 𝑥!!
ln 𝑥 → 0 при 𝑥 → ∞ . Поэтому
существует число 𝐶! > 0 такое, что 𝑥!!
ln 𝑥 ≤ 𝐶! при 𝑥 ≥ 1 и для таких 𝑥
при любом 𝑎 ∈ 𝛼, 𝛽
𝑥!!!
ln 𝑥 ⋅ 𝑒!!
≤ 𝑥!!
ln 𝑥 ⋅ 𝑥!!!!!!!
≤ 𝐶! 𝑥!!!!!
𝑒!!
.
Отсюда в силу сходимости интеграла Г! вытекает равномерная
сходимость интеграла 𝐼! на сегменте 𝛼, 𝛽 . Таким образом, интеграл (2.3)
сходится равномерно по а на каждом сегменте 𝛼, 𝛽 , следовательно, функция
Г 𝑎 дифференцируема при 𝑎 > 0 и справедливо равенство:
Г!
𝑎 = 𝑥!!!
ln 𝑥 ∙ 𝑒!!
𝑑𝑥
!!
!
. (2.4)
Относительно интеграла (2.4), повторяя те же рассуждения, получим:
Г′′(𝑎) = 𝑥!!!
ln!
𝑥 ∙ 𝑒!!
𝑑𝑥
!!
!
.
Методом математической индукции доказывается, что гамма функция
бесконечно дифференцируема на промежутке 0, +∞ и для ее 𝑛 -ой
производной справедливо равенство:
Г(!)
𝑎 = 𝑥!!!
(ln 𝑥)!
𝑒!!
𝑑𝑥.
!
!
Свойство 3. Функция Г 𝑎 удовлетворяет следующему функциональному
уравнению:
Г 𝑎 + 1 = 𝑎Г 𝑎 (2.5)
Для обоснования тождества (2.5) достаточно в интеграле для Г 𝑎 + 1
интегрировать по частям:

18
Г 𝑎 + 1 = 𝑥!
𝑒!!
𝑑𝑥
!
!
=
𝑢 = 𝑥!

𝑑𝑣 = 𝑒!!
𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 𝑎𝑥!!!
𝑑𝑥
𝑣 = −𝑒!!

=
= −𝑥!
𝑒!!
!
!
+ 𝑎 𝑥!!!
𝑒!!
𝑑𝑥 = 𝑎Г 𝑎 .
!
!
Отметим, что тождество (2.5) является основным функциональным
соотношением для гамма-функции. На нем основана вся теория гамма-
функции. Прежде всего заметим, что формула (2.5), повторно дает
Г 𝑎 + 𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑎 + 𝑛 − 2 ⋅ … ⋅ 𝑎 + Г 𝑎 Г 𝑎 (2.6)
Это равенство показывает, что достаточно знать Г 𝑎 на (0,1], чтобы
вычислить ее значение при любом, 𝑎 > 0. Если в (2.6) положить, 𝑎 = 1 и
принять во внимание, что
Г 1 = 𝑒!!
𝑑𝑥 = 1,
!
!
то получим
Г 𝑛 + 1 = 𝑛 𝑛 + 1 ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 𝑛!
Далее, формула (2.5) позволяет исследовать поведение Г 𝑎 при,
𝑎 → 0 + 0:
Г 𝑎 =
Г(𝑎 + 1)
𝑎
~
Г(1)
𝑎
=
1
𝑎
Отсюда видим, что Г 𝑎 → +∞ при 𝑎 → 0 + 0.
Из выражения для второй производной гамма-функции видно, что Г!!
𝑎 > 0
при всех 𝑎 > 0.Следовательно, функция Г!!
𝑎 строго возрастает на, (0, +∞).
Поскольку Г 1 = Г 2 = 1, то по теореме Ролля на сегменте 1,2 производная
Г!!
𝑎 имеет единственный нуль в точке 𝑎! 1,2 . Значит Г!
𝑎 < 0 при 𝑎 < 𝑎!
и Г!
𝑎 > 0 при 𝑎 > 𝑎! , т.е. функция Г(а) на 𝑎, 𝑎! строго убывает и на
(𝑎!, +∞) строго возрастает; при 𝑎 = 𝑎! имеет минимум. Вычисления
показывают, что
𝑎! = 1,4616 … , min Г 𝑎 = Г 𝑎! = 0,8856. . ..
При а > 2 из формулы (2.5) следует, что Г 𝑎 + 1 = 𝑎 Г 𝑎 → 𝑎Г 2 = 𝑎,

19
Из которого Г 𝑎 → +∞ при 𝑎 → +∞.
Формула (2.5) позволяет продолжать функцию Г 𝑎 с сохранением её
свойств на отрицательные значения 𝑎 , не равные −1, −2, … , −𝑛, . .. . Для
−1 < 𝑎 < 0 положим по определению:
Г 𝑎 =
Г 𝑎 + 1
𝑎
(2.7)
Правая часть этого равенства определена для 𝑎 ∈ −1,0 . Получаем, что так
продолженная функция Г 𝑎 на (−1,0) принимает отрицательные значения и
при а → −1 + 0, а так же при 𝑎 → 0 − 0 функция Г 𝑎 → −∞.
Определив, таким образом, Г 𝑎 на (−1,0), можно по той формуле (2.7)
продолжить ее на интервале (−2, −1) . На этом интервале продолженная,
функция будет принимать уже положительные значения и Г 𝑎 → +∞ при
𝑎 → −1 − 0 и при 𝑎 → −2 + 0. Продолжая этот процесс, определим функцию
Г 𝑎 на все отрицательные значения 𝑎, кроме целых отрицательных чисел.
График функции Г 𝑎 представлен на рисунке 2.1.
Рисунок 2.1 – График функции Г 𝑎
Свойство 4.
Г
1
2
= 𝜋.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
-1
1
2
3

20
Так как
𝑒!!!
𝑑𝑥 =
!!
!
𝜋
2
,
то
𝑒!!!
𝑑𝑥 =
𝑥 = 𝑡 , 𝑡! = 0
𝑑𝑥 =
𝑑𝑡
2 𝑡
, 𝑡! = ∞
=
𝑒!!
2 𝑡
𝑑𝑡 =
1
2
!
!
𝑡!
!
! 𝑒!!
𝑑𝑡 =
1
2
!
!
!
!
Г
1
2
=
𝜋
2
.
Отсюда следует Г
!
!
= 𝜋.
Свойство 5.
Г 𝑛 +
1
2
=
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2𝑛 − 1
2!
𝜋,
𝑛 – целое положительное.
Так как
Г
3
2
=
𝜋
2
Г
5
2
=
3 𝜋
2!
,
Г
7
2
=
3 ⋅ 5
2!
𝜋,
… … … … … … … … … . . …,
Г 𝑛 +
1
2
=
3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2𝑛 − 1
2!
𝜋.
Свойство 6.
Г
1
2
= −2 𝜋.
Так как
Г −
1
2
=
Г −
!
!
+ 1
−
!
!
= −2 𝜋,
Г −
3
2
=
Г(−
!
!
+ 1)
−
!
!
=
2
3
Г −
1
2
=
2!
3
….
Свойство 7. Г(0) = Г(−1) = ⋯ = Г(−𝑛) = ∞.
Так как

21
Г 0 =
Г 1
0
=
1
0
= ∞,
Г −1 =
Г(0)
−1
= ∞,
Г −2 =
Г(−1)
−2
= ∞,
……………………………..
Свойство 8.
Г 𝑎 ⋅ Г 1 − 𝑎 =
𝜋
sin 𝜋𝑥
.
Свойство 9.
Г 𝑎 ⋅ Г 𝑎 +
1
2
= 2!!!!
⋅ 𝜋 ⋅ Г 2𝑎 .
Свойство 10.
Г 𝑎 Г 𝑎 +
1
𝑛
⋅. . .⋅ Г 𝑎 +
𝑛 − 1
𝑎
= (2𝜋)
!!!
! ⋅ 𝑛
!
!
!!"
⋅ Г 𝑛𝑎 .
Г 𝑠 Г 1 − 𝑠 =
𝑥!!!
1 + 𝑥
!
!
𝑑𝑥, 0 < 𝑠 < 1 .
Г 𝑠 ⋅ Г 1 − 𝑠 =
𝜋
sin 𝜋𝑠
, 0 < 𝑠 < 1 .
Вычислить интегралы, используя гамма- функции:
Пример 1
𝑥!
𝑒!!!!
𝑑𝑥
!
!
=
𝑚𝑥!
= 𝑡 ⇒ 𝑥!
=
𝑡
𝑚
⇒ 𝑥 =
𝑡
!
𝑚
! ⇒ 𝑑𝑥 =
1
𝑚
! ⋅
1
𝑛
𝑡
!
!
!!
𝑑𝑡
𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 0; 𝑥 → ∞ ⇒ 𝑡 → ∞
=

22
=
𝑡
𝑚
!
!
𝑒!!
!
!
⋅
1
𝑚
! ⋅
1
𝑛
𝑡
!
!
!!
𝑑𝑡 =
1
𝑛 𝑚!!!! 𝑡
!
!
!
!
⋅ 𝑡
!
!
!!
𝑒!!
𝑑𝑡 =
=
1
𝑛 𝑚!!!! 𝑡
!!!
!
!!
𝑒!!
𝑑𝑡 =
1
𝑛 𝑚!!!! Г
𝑘 + 1
𝑛
.
!
!
Пример 2
𝑥!!
⋅ 𝑒!!!
𝑑𝑥 =
𝑥!
= 𝑡 ⇒ 𝑥 = 𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 =
1
2
𝑡!
!
! 𝑑𝑡
𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 0; 𝑥 → ∞ ⇒ 𝑡 → ∞
=
!
!
𝑡!
𝑒!!
⋅
1
2
𝑡!
!
! 𝑑𝑡 =
!
!
=
1
2
𝑡!!
!
!
!
!
⋅ 𝑒!!
𝑑𝑡 =
1
2
𝑡!!
!
!
!!
⋅ 𝑒!!
𝑑𝑡 =
1
2
Г 𝑛 +
1
2
=
!
!
=
3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ (2𝑛 − 1)
2!!!
𝜋.
Пример 3
𝑥!
⋅ 𝑒!!!
𝑑𝑥 =
𝑥!
= 𝑡 ⇒ 𝑥 = 𝑡
!
! ⇒ 𝑑𝑥 =
1
𝑛
𝑡
!
!
!!
𝑑𝑡
𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 0; 𝑥 → ∞ ⇒ 𝑡 → ∞
=
!
!
= 𝑡
!
! ⋅ 𝑒!!
⋅
1
𝑛
𝑡
!
!
!!
𝑑𝑡 =
1
𝑛
𝑡
!!!
!
!!
𝑒!!
𝑑𝑡 =
1
𝑛
Г
𝑚 + 1
𝑛
.
!
!
!
!
Пример 4
𝑥!
⋅ 𝑒!!"
ln(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑎𝑥 = 𝑡 ⇒ 𝑥 =
𝑡
𝑎
⇒ 𝑑𝑥 =
𝑑𝑡
𝑎

𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 0; 𝑥 → ∞ ⇒ 𝑡 → ∞
!
!
=
=
𝑡!
𝑎!
!
!
𝑒!!
ln 𝑡
𝑑𝑡
𝑎
=
1
𝑎!!!
𝑡!
𝑒!!
ln 𝑡𝑑𝑡 =
1
𝑎!!!
⋅ Г′ 𝑝 + 1 .
!
!

23
Пример 5
𝑥!!!!
⋅ 𝑒!!!
𝑑𝑥 =
𝑥!
= 𝑡 ⇒ 𝑥 = 𝑡
!
! ⇒ 𝑑𝑥 =
1
2
𝑡!
!
! 𝑑𝑡
𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 0; 𝑥 → ∞ ⇒ 𝑡 → ∞
!
!
=
= 𝑡!!
!
! 𝑒!!
!
!
⋅
1
2
𝑡!
!
! 𝑑𝑡 =
1
2
𝑡!!
!
! 𝑒!!
𝑑𝑡 =
1
2
𝑡!!
!
!
!!
𝑒!!
𝑑𝑦 =
1
2
Г 𝑝 +
1
2
.
!
!
!
!
2.2 Бета-функция и ее свойства
Определение. Эйлеровым интегралом первого рода или бета-функцией
называют интеграл вида:
𝐵 𝑎, 𝑏 = 𝑥!!!
⋅ (1 − 𝑥)!!!
𝑑𝑥
!
!
(2.8)
В этом интеграле 𝑎 и 𝑏 являются параметрами. Если 𝑎 < 1, и 𝑏 < 1, то
интеграл (2.8) является несобственным, зависящим от этих параметров.
Подынтегральная функция имеет особые точки 𝑥 = 0 и 𝑥 = 1, так как в этих
точках она обращается в бесконечность.
Некоторые свойства Бета-функций
Свойство 1. Область определения функции 𝐵(𝑎, 𝑏) от двух переменных 𝑎
и 𝑏 является множество пар (𝑎, 𝑏), где 𝑎 > 0 и 𝑏 > 0, так как именно для таких
𝑎 и 𝑏 интеграл (2.8) сходится.
Свойство 2. Функция 𝐵(𝑎, 𝑏) в области определения 𝑎 > 0 и 𝑏 > 0
непрерывна и имеет там непрерывные частные производные любого порядка.
Свойство 3. Функция 𝐵(𝑎, 𝑏) симметрична относительно своих
аргументов, т. е. 𝐵 𝑎, 𝑏 = 𝐵 𝑏, 𝑎 .
Для доказательства этого свойства следует делать замену 𝑥 = 1 − 𝑡 в
интеграле (2.8)

24
𝐵 𝑎, 𝑏 = 𝑥!!!
!
!
(1 − 𝑥)!!!
𝑑𝑥 =
𝑥 = 1 − 𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 = −𝑑𝑡
𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 1 ; 𝑥 = 1, ⇒ 𝑡 = 0
=
= − (1 − 𝑡)!!!
!
!
⋅ 𝑡!!!
𝑑𝑡 = 𝑡!!!
!
!
(1 − 𝑡)!!!
𝑑𝑡 = 𝐵 𝑏, 𝑎 .
Свойство 4. Для бета-функции справедливы следующие интегральные
представления:
𝐵 𝑎, 𝑏 =
𝑦!!!
(1 + 𝑦)!!!
𝑑𝑦 =
!
!
𝑦!!!
+ 𝑦!!!
(1 + 𝑦)!!!
!
!
𝑑𝑦.
Первая формула получится при замене в (2.8) 𝑥 = 𝑦(1 − 𝑦)!!
, вторая
если разбить на два интеграла в промежутках 0,1 и 1, +∞ и во втором
интеграле заменить
!
!
= 𝑧.
Свойство 5. Для функции 𝐵 𝑎, 𝑏 справедливы следующие формулы
приведения:
𝐵 𝑎 + 1, 𝑏 =
𝑎
𝑎 + 𝑏
В 𝑎, 𝑏 , 𝐵 𝑎, 𝑏 + 1 =
𝑏
𝑎 + 𝑏
В 𝑎, 𝑏 .
Для обоснования первой из этих формул достаточно в интеграле для
функции 𝐵 𝑎 + 1, 𝑏 интегрировать по частям. Вторая формула следует из
первой в силу свойства симметрии.
Свойство 6. При 0 < 𝑎 < 1справедлива формула:
𝐵 𝑎, 1 − 𝑎 =
𝑦!!!
1 + 𝑦
𝑑𝑦 =
𝜋
sin 𝑎𝜋
.
!
!
Отсюда, в частности, если 𝑎 = 1 − 𝑎 =
!
!
, то В
!
!
,
!
!
= 𝜋.
Свойство 7. Функция 𝐵 𝑎, 𝑏 выражается через гамма-функцию по
формуле
𝐵 𝑎, 𝑏 =
Г(𝑎)Г(𝑏)
Г(𝑎 + 𝑏)
.
Из последних формул вытекает следующая формула дополнения для гамма-
функции:

25
𝜋
sin 𝑎𝜋
= В 𝑎, 1 − 𝑎 =
Г 𝑎 Г 1 − 𝑎
Г 1
= Г 𝑎 Г 1 − 𝑎 ,
то есть при 𝑎 ≠ ±𝑘, 𝑘 = 0,1,2 … справедлива формула
Г 𝑎 Г 1 − 𝑎 =
𝜋
sin 𝜋𝑎
.
При 𝑎 =
!
!
из последней формулы следует
Г
1
2
= 𝑥!
!
! 𝑒!!
𝑑𝑥 = 𝜋
!
!
.
Выполнив в последнем интеграле замену 𝑥 = 𝑦!
, получим известный на
интеграл Пуассона:
𝑒!!!
𝑑𝑦 =
𝜋
2
!
!
.
Свойство 8. Справедливо формула Лежандра 𝐵 𝑎, 𝑎 = 2!!!!
⋅ 𝐵
!
!
, 𝑎 .
Заменив в обеих частях бета-функцию через гамма-функцию, получаем:
Г 𝑎 Г 𝑎 +
1
2
= 2!!!!
𝜋 Г 2𝑎 .
Свойство 9. Для больших 𝑛 справедлива формула Стирлинга:
Г(𝑛 + 1) = 𝑛! = 2𝜋𝑛 ⋅
𝑛
𝑒
1 +
1
12𝑛
+
1
288𝑛!
−
139
51840𝑛!
+ 0(𝑛!
) .
Свойство 10. 𝐵 𝑎, 𝑏 =
𝑏 − 1
𝑎 + 𝑏 − 1
В 𝑎, 𝑏 − 1 =
𝑎 − 1
𝑎 + 𝑏 − 1
В 𝑎 − 1, 𝑏 .
Свойство 11. 𝐵 𝑚, 𝑛 =
(𝑚 − 1)! (𝑛 − 1)!
(𝑚 + 𝑛 − 1)!
Свойство 12. 𝐵 𝑆, 1 − 𝑠 =
𝑥!!!
1 + 𝑥
𝑑𝑥, 0 < 𝑠 < 1 .
!
!
Свойство 13. 𝐵 𝑎, 𝑛 =
(𝑛 − 1)!
𝑎 𝑎 + 1 ⋅ … ⋅ (𝑎 + 𝑛 − 1)
.

26
Свойство 14. 𝐵 𝑚, 𝑛 =
(𝑚 − 1)!
𝑏 𝑏 + 1 ⋅ … ⋅ 𝑏 + 𝑚 − 1
.
Вычислить интегралы, используя бета и гамма-функции.
Пример 1
𝑥 − 𝑥!
𝑑𝑥 = 𝑥 1 − 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥!!!
1 − 𝑥 !!!
𝑑𝑥 =
!
!
!
!
!
!
𝐵 2,2 =
Г 2 ⋅ Г(2)
Г(4)
=
=
1
3!
=
1
6
.
Пример 2
𝑥 − 𝑥! 𝑑𝑥 =
!
!
𝑥
!
!(1 − 𝑥)
!
! 𝑑𝑥
!
!
= 𝑥
!
!
!!
(1 − 𝑥)
!
!
!!
𝑑𝑥 = 𝐵
3
2
,
3
2
!
!
=
=
Г
!
!
⋅ Г
!
!
Г 3
=
Г 1 +
!
!
⋅ Г 1 +
!
!
2!
=
𝜋
8
.
Пример 3
𝑥!
𝑎! − 𝑥! 𝑑𝑥 =
!
!
= 𝑎!
𝑥!
𝑎!
1 −
𝑥!
𝑎!
𝑑𝑥 =
𝑥!
𝑎!
= 𝑡 ⇒ 𝑥!
= 𝑎!
𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 =
𝑎𝑑𝑡
2 𝑡
𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 0; 𝑥 = 𝑎 ⇒ 𝑡 = 1
=
!
!
=
𝑎!
2
𝑡
!
!
!!
(1 − 𝑡)
!
!
!!
𝑑𝑡 =
𝑎!
2
!
!
𝐵
3
2
,
3
2
=
𝑎!
2
∙
Г
!
!
⋅ Г
!
!
Г 3
=
𝜋𝑎!
16
.

27
Пример 4
𝑑𝑥
1 − 𝑥!! =
𝑥!
= 𝑡 ⇒ 𝑥 = 𝑡
!
! ⇒ 𝑑𝑥 =
1
2
𝑡
!
!
!!
𝑑𝑡
𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 0; 𝑥 = 𝑎 ⇒ 𝑡 = 1
=
1
2
𝑡
!
!
!!
⋅ (1 − 𝑡)!
!
! 𝑑𝑡
!
!
!
!
=
=
1
2
𝑡
!
!
!!
(1−𝑡)
!
!
!!
𝑑𝑡 =
1
2
𝐵
1
2
,
1
2
=
1
2
𝐵
1
2
,
1
2
=
Г
!
!
Г
!
!
2Г 1
=
𝜋
2
.
!
!
Пример 5
𝑥
!
!(1 + 𝑥)!!
𝑑𝑥 =
используем формулу
𝑥!!!
(1 + 𝑥)!!!
𝑑𝑦 = 𝐵 𝑎, 𝑏
!
!
=
!
!
=
𝑥
!
!
!!
(1 + 𝑥)
!
!
!
!
!
𝑑𝑥 = 𝐵
5
4
;
3
4
=
Г
!
!
Г
!
!
Г(2)
= Г
1
4
⋅ Г
1
4
+
1
2
=
!
!
= Г 𝑎 ⋅ Г 𝑎 +
1
2
= 2!!!!
𝜋 ∙ Г 2𝑎 = 2!!!∙
!
! 𝜋 ∙ Г
2
4
= 2𝜋.
1) Вычислить интегралы
1) 𝑥
!
!
1 − 𝑥!!
𝑑𝑥; 2)
𝑑𝑥
1 − 𝑥!! ;
!
!
3)
𝑑𝑥
1 − 𝑥!! ;
!
!
4)
𝑥𝑑𝑥
1 − 𝑥!
!
!
;
5) 1 − 𝑥!!
!
!
𝑑𝑥; 6) cos 𝑥!!!
⋅ sin 𝑥!!!
𝑑𝑥;
!
!
!
7) 𝑥!
𝑒!!
𝑑𝑥;
!
!
8) tg 𝑥!
𝑑𝑥;
!
!
!

28
9) sin 𝑥!!!!
⋅ cos 𝑥!!!!
𝑑𝑥;
!
!
!
10)
𝑑𝑥
1 − 𝑥!! ;
!
!
11)
𝑑𝑥
1 − 𝑥!! .
!
!
12) Показать, что 𝐵 𝑎, 𝑏 = 𝐵 𝑎 + 1, 𝑏 + 𝐵(𝑎, 𝑏 + 1)
13) Показать, что 𝐵 𝑎 + 1, 𝑏 =
!
!
𝐵(𝑎, 𝑏 + 1)
14) Показать, что
(1 + 𝑥)!!!
(1 − 𝑥)!!!
𝑑𝑥 = 2!!!!!
⋅ 𝐵 𝑎, 𝑏 .
!
!!

29
3. Цилиндрические функции

3.1 Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Уравнения
Бесселя
Чтобы объяснить происхождение Бесселевых функций, рассмотрим
уравнение Лапласа в пространстве:
𝜕!
𝑢
𝜕𝑥!
+
𝜕!
𝑢
𝜕𝑦!
+
𝜕!
𝑢
𝜕𝑧!
= 0. (3.1)
Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам: 𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 ,
𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 𝑧, то уравнение (3.1) примет следующий вид:
𝜕!
𝑢
𝜕𝑟!
+
1
𝑟
∙
𝜕𝑢
𝜕𝑟
+
1
𝑟!
∙
𝜕!
𝑢
𝜕𝜑!
+
𝜕!
𝑢
𝜕𝑧!
= 0. (3.2)
Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут
быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых
зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:
𝑢 = 𝑅(𝑟) ∙ Ф(𝜑) ∙ 𝑍(𝑧),
где 𝑅, Ф, предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.
Пусть 𝑈 есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (3.2) получим:
𝑅!!
∙ Ф ∙ 𝑍 +
!
!
∙ 𝑅!
∙ Ф ∙ 𝑍 +
!
!!
∙ 𝑅 ∙ Ф!!
∙ 𝑍 + 𝑅 ∙ Ф ∙ 𝑍!!
= 0,
откуда (после деления на 𝑅 ⋅ Ф ⋅ 𝑍)
𝑅′′
𝑅
+
1
𝑟
∙
𝑅!
𝑅
+
1
𝑟!
∙
Ф!!
Ф
+
𝑍!!
𝑍
= 0.
Записав это в виде:
−
𝑅′′
𝑅
−
1
𝑟
∙
𝑅′
𝑅
−
1
𝑟!
∙
Ф′′
Ф
=
𝑍′′
𝑍
,
найдем, что левая часть не зависит от 𝑧 , правая не зависит от 𝑟 , 𝜑 ;
следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная 𝑎.
Отсюда:

30
𝑍′′
𝑍
= 𝑎; 𝑍!!
− 𝑎 ∙ 𝑍 = 0;
−
𝑅′′
𝑅
−
1
𝑟
∙
𝑅′
𝑅
−
1
𝑟!
∙
Ф′′
Ф
= 𝑎;
𝑅′′
𝑅
+
1
𝑟
∙
𝑅′
𝑅
+ 𝑎 = −
1
𝑟!
∙
Ф
Ф
;
𝑟!
∙ 𝑅!!
+ 𝑟 ∙ 𝑅!
+ 𝑎 ∙ 𝑟!
∙ 𝑅
𝑅
= −
Ф′′
Ф
В последнем равенстве левая часть не зависит от 𝜑, правая не зависит от
𝑟; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная
𝑏. Отсюда:
−
Ф′′
Ф
= 𝑏, Ф!!
+ 𝑏 ∙ Ф = 0;
𝑟!
∙ 𝑅!!
+ 𝑟 ∙ 𝑅!
+ 𝑎 ∙ 𝑟!
∙ 𝑅
𝑅
= 𝑏, 𝑟!
∙ 𝑅!!
+ 𝑟 ∙ 𝑅!
+ 𝑎 ∙ 𝑟!
− 𝑏 ∙ 𝑅 = 0.
Таким образом, 𝑅 , Ф , 𝑍 должны удовлетворять линейным
дифференциальным уравнениям второго порядка:
𝑟!
∙ 𝑅!!
+ 𝑟 ∙ 𝑅!
+ 𝑎 ∙ 𝑟!
− 𝑏 ∙ 𝑅 = 0,
Ф!!
+ 𝑏 ∙ Ф = 0, 𝑍!!
− 𝑎 ∙ 𝑍 = 0,
(3.3)
из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с
постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с
переменными коэффициентами нового вида.
Обратно, если 𝑅, Ф, 𝑍 удовлетворяют уравнениям (3.3), то 𝑢 = 𝑅 ⋅ Ф ⋅ 𝑍
есть решение уравнения (3.2). В самом деле, подставляя 𝑅 ⋅ Ф ⋅ 𝑍 в левую часть
(3.2) и деля затем на 𝑅 ⋅ Ф ⋅ 𝑍 получим:
𝑅′′
𝑅
+
1
𝑟
∙
𝑅′
𝑅
+
1
𝑟!
∙
Ф′′
Ф
+
𝑍′′
𝑍
=
𝑅′′
𝑅
+
1
𝑟
∙
𝑅′
𝑅
−
𝑏
𝑟!
+ 𝑎 =
=
𝑟!
∙ 𝑅!!
+ 𝑟 ∙ 𝑅!
+ (𝑎 ∙ 𝑟!
− 𝑏) ∙ 𝑅
𝑟! ∙ 𝑅
= 0
Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (3.2), которые
являются произведение трех функций, каждая из которых зависит от одного
аргумента, есть𝑢 = 𝑅 ⋅ Ф ⋅ 𝑍 , где 𝑅, Ф, 𝑍 – любые решения уравнения (3.3) при
любом выборе чисел 𝑎, 𝑏.

31
Первое из уравнений (3.3) в случае 𝑎 = 1, 𝑏 ≥ 0 называется уравнением
Бесселя. Полагая в этом случае 𝑏 = 𝑣!
, обозначая независимую переменную
буквой 𝑥 (вместо 𝑟), а неизвестную функцию – буквой 𝑦 (вместо 𝑅), найдем,
что уравнение Бесселя имеет вид:
𝑥!
∙ 𝑦!!
+ 𝑥 ∙ 𝑦!
+ 𝑥!
− 𝑣!
∙ 𝑦 = 0. (3.4)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с
переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях
математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или
цилиндрическими функциями.
3.2 Бесселевы функции первого рода
Будем искать решение уравнения Бесселя (3.4) в виде ряда:
𝑦 = 𝑎! ∙ 𝑥!!!
!!
!!!
.
Тогда
𝑥 ∙ 𝑦!
= 𝑣 + 𝑘 ∙ 𝑎! ∙ 𝑥!!!
!!
!!!
,
𝑥!
∙ 𝑦!!
= 𝑣 + 𝑘 ∙ 𝑣 + 𝑘 − 1 ∙ 𝑎! ∙ 𝑥!!!
,
!!
!!!
𝑥!
− 𝑣!
∙ 𝑦 = 𝑎! ∙ 𝑥!!!!!
!!
!!!
− 𝑣!
𝑎! ∙ 𝑥!!!
!!
!!!
=
= 𝑎!!! ∙ 𝑥!!!
− 𝑣!
∙ 𝑎! ∙ 𝑥!!!
!!
!!!
,
!!
!!!
𝑥!
∙ 𝑦!!
+ 𝑥 ∙ 𝑦!
+ 𝑥!
− 𝑣!
∙ 𝑦 =
= (𝑣 + 𝑘)!
− 𝑣!
∙ 𝑎! ∙ 𝑥!!!
+ 𝑎!!! ∙ 𝑥!!!
=
!!
!!!
!!
!!!

32
= 𝑘 ∙ 2 ∙ 𝑣 + 𝑘 ∙ 𝑎! ∙ 𝑥!!!
+ 𝑎!!! ∙ 𝑥!!!
!!
!!!
.
!!
!!!
Следовательно, приходим к требованию
2 ∙ 𝑣 + 1 ∙ 𝑎! ∙ 𝑥!!!
+ 𝑘 ∙ 2 ∙ 𝑣 + 𝑘 ∙ 𝑎! + 𝑎!!! ∙ 𝑥!!!
= 0
!!
!!!
или к бесконечной системе уравнений
2 ∙ 𝑣 + 1 ∙ 𝑎! = 0,
𝑘 ∙ 2 ∙ 𝑣 + 𝑘 ∙ 𝑎! + 𝑎!!! = 0 ,
… … … … … … … … … … … … … …
𝑘 = 2,3,4 … которая распадается на две системы:
2 ∙ 𝑣 + 1 ∙ 𝑎! = 0,
3 ∙ 2 ∙ 𝑣 + 3 ∙ 𝑎! + 𝑎! = 0,
5 ∙ 2 ∙ 𝑣 + 5 ∙ 𝑎! + 𝑎! = 0,
… … … … … … … … … … … … …
2 ∙ 2 ∙ 𝑣 + 2 ∙ 𝑎! + 𝑎! = 0,
4 ∙ 2 ∙ 𝑣 + 4 ∙ 𝑎! + 𝑎! = 0,
6 ∙ 2 ∙ 𝑣 + 6 ∙ 𝑎! + 𝑎! = 0,
… … … … … … … … … … … … . . .
Первая из них удовлетворится, если взять 𝑎! = 0, 𝑎! = 0, 𝑎! = 0, … Во
второй системе 𝑎! можно взять произвольно; тогда 𝑎!, 𝑎!, 𝑎!, … однозначно
определяются (если 𝑣 не является целым отрицательным числом). Взяв
𝑎! =
1
2! ∙ Г(𝑣 + 1)
,
найдем следовательно:
𝑎! = −
𝑎!
4 ∙ (𝑣 + 1)
= −
1
2!!! ∙ (𝑣 + 1) ∙ Г(𝑣 + 1)
= −
1
2!!! ∙ 1! ∙ Г(𝑣 + 2)
,
𝑎! = −
𝑎!
4 ∙ 2 ∙ (𝑣 + 2)
= −
1
2!!! ∙ 2! ∙ (𝑣 + 2) ∙ Г(𝑣 + 2)
= −
1
2!!! ∙ 2! ∙ Г(𝑣 + 3)
,
𝑎! = −
𝑎!
4 ∙ 3 ∙ (𝑣 + 3)
= −
1
2!!! ∙ 3! ∙ (𝑣 + 3) ∙ Г(𝑣 + 3)
= −
1
2!!! ∙ 3! ∙ Г(𝑣 + 4)
,
и в качестве решения уравнения (3.4) получим ряд:

33
𝑦 =
1
2! ∙ Г 𝑣 + 1
∙ 𝑥!
−
1
2!!! ∙ 1! ∙ Г 𝑣 + 2
∙ 𝑥!!!
+
1
2!!! ∙ 2! ∙ Г 𝑣 + 3
∙ 𝑥!!!
−
− ⋯ =
!
!
!
Г 𝑣 + 1
−
!
!
!!!
1! ∙ Г 𝑣 + 2
+
!
!
!!!
2! ∙ Г 𝑣 + 3
− ⋯ =
= −1 !
∙
1
𝑘! ∙ Г 𝑣 + 𝑘 + 1
!!
!!!

𝑥
2
!!!∙!
.
Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (3.4), сходится для всех
положительных значений 𝑥 и, следовательно, является решением уравнения
(3.4) в области 0 < 𝑥 < +∞, а в случае целого 𝑣 в области −∞ < 𝑥 < +∞.
Функция
𝐽! 𝑥 = (−1)!
∙
( 𝑥
2)!!!∙!
𝑘! ∙ Г(𝑣 + 𝑘 + 1)
!!
!!!
, (3.5)
называется бесселевой функцией первого рода с индексом 𝑣. Она является
одним из решений уравнения Бесселя (3.4). В случае целого неотрицательного
индекса 𝑛 получим:
𝐽! 𝑥 = (−1)!
∙
𝑥
2
!!!∙!
𝑘! ∙ 𝑛 + 𝑘 !
,
!!
!!!
(3.5')
и, в частности,
𝐽! 𝑥 = (−1)!
∙
( 𝑥
2)!∙!
(𝑘!)!
, 𝐽! 𝑥 = (−1)!
∙
( 𝑥
2)!∙!!!
𝑘! 𝑘 + 1 !
!
!!!
!!
!!!
− табулированы.
𝐽! 𝑥 = (−1)!
∙
( 𝑥
2)!!!
𝑘! 𝑛 + 𝑘 !
!
!!!
. 𝐽! 𝑥 = (−1)!
∙
( 𝑥
2)!!!!
𝑘! Г(𝑣 + 𝑘 + 1)
−
!
!!!
функция Бесселя 1-го рода.
В случае нецелого индекса 𝑣 функции 𝐽!(𝑥) и 𝐽!!(𝑥) являются решениями
уравнения (3.4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены
рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и
содержат разные степени 𝑥. Таким образом, в случае нецелого индекса общее
решение уравнения Бесселя есть:

34
𝑦 = 𝐶! ∙ 𝐽! 𝑥 + 𝐶! ∙ 𝐽!! 𝑥 . (3.6)
Если 𝑣 = −𝑛 (целое отрицательное число), то функция, определяемая
формулой (3.5), (учитывая, что 1/Г(𝑠) равно нулю для 𝑠 = 0, −1, −2, … ,
принимает вид:
𝐽!! 𝑥 = (−1)!
∙
( 𝑥
2)!!!!∙!
𝑘! ∙ Г(−𝑛 + 𝑘 + 1)
= (−1)!
∙
( 𝑥
2)!!!!∙!
𝑘! ∙ −𝑛 + 𝑘 !
,
!!
!!!
!!
!!!
(3.5'')
или, после замены индекса суммирования 𝑘 на 𝑙 + 𝑛,
𝐽!! 𝑥 = (−1)!
∙ (−1)!
∙
( 𝑥
2)!!!∙!
𝑙 + 𝑛 ! ∙ 𝑙!
= (−1)!
∙ 𝐽! 𝑥 ,
!!
!!!
(3.7)
откуда видно, что 𝐽!!(𝑥) удовлетворяет вместе с 𝐽!(𝑥) уравнению Бесселя
𝑥!
∙ 𝑦!!
+ 𝑥 ∙ 𝑦!
+ 𝑥!
− 𝑛!
∙ 𝑦 = 0.
Но формула (3.6) в случае целого 𝑣 уже не дает общего решения
уравнения (3.4).
3.3 Формулы приведения для бесселевых функций
Имеем
𝐽! 𝑥 =
(−1)!
∙ (𝑥/2)!!!∙!
𝑘! ∙ Г(𝑣 + 𝑘 + 1)
!!
!!!
;
𝐽!(𝑥)
𝑥!
=
1
2!
∙
(−1)!
∙ (𝑥/2)!∙!
𝑘! ∙ Г(𝑣 + 𝑘 + 1)
!!
!!!
;
𝑑
𝑑𝑥
𝐽!(𝑥)
𝑥!
=
1
2!
∙
(−1)!
∙ (𝑥/2)!∙!!!
𝑘 − 1 ! ∙ Г(𝑣 + 𝑘 + 1)
,
!!
!!!
𝑘 = 𝑙 + 1;
𝑑
𝑑𝑥
𝐽!(𝑥)
𝑥!
=
1
2!
(−1)!!!
∙ (𝑥/2)!∙!!!
𝑙! ∙ Г(𝑣 + 𝑙 + 2)
=
!!
!!!
= −
𝑥
2!!!
∙
(−1)!
∙ (𝑥/2)!∙!
𝑙! ∙ Г(𝑣 + 𝑙 + 2)
= −𝑥 ∙
𝐽!!!(𝑥)
𝑥!!!
.
!!
!!!
𝑑
𝑥 ∙ 𝑑𝑥
𝐽!(𝑥)
𝑥!
= −
𝐽!!!(𝑥)
𝑥!!!
. (3.8)

35
Таким образом, операция
!
!∙!"
(состоящая в дифференцировании с
последующим умножением на 1/𝑥 ), применяя к
!!(!)
!!
, повышает в этом
выражении индекс 𝑣 на единицу и меняет знак. Применяя эту операцию 𝑚 раз,
где 𝑚 – любое натуральное число, получаем:
𝑑
𝑥 ∙ 𝑑𝑥
!
𝐽! 𝑥
𝑥!
= −1 !
∙
𝐽!!! 𝑥
𝑥!!!
. (3.8')
Имеем
𝑥!
+ 𝐽! 𝑥 = 2!
∙
(−1)!
∙ (𝑥/2)!∙!!!∙!
𝑘! ∙ Г(𝑣 + 𝑘 + 1)
= 2!
∙
(−1)!
∙ (𝑥/2)!∙!!!∙!
𝑘! ∙ (𝑣 + 𝑘) ∙ Г(𝑣 + 𝑘)
!!
!!!
!!
!!!
;
𝑑
𝑑𝑥
𝑥!
∙ 𝐽!(𝑥) = 2!
∙
(−1)!
∙ (𝑥/2)!∙!!!∙!!!
𝑘! ∙ Г(𝑣 + 𝑘)
!!
!!!
=
= 𝑥 ∙ 2!!!
∙
(−1)!
∙ (𝑥/2)!∙ !!! !!∙!
𝑘! ∙ Г(𝑣 + 𝑘)
= 𝑥 ∙ 𝑥!!!
∙ 𝐽!!!(𝑥)
!!
!!!
𝑑
𝑑𝑥
𝑥!
∙ 𝐽! 𝑥 = 𝑥!!!
∙ 𝐽!!! 𝑥 (3.9)
Таким образом, операция
!
!∙!"
, примененная к 𝑥!
∙ 𝐽!(𝑥), понижает в этом
выражении индекс v на единицу. Применяя эту операцию m раз, получаем:
𝑑
𝑥 ∙ 𝑑𝑥
!
𝑥!
∙ 𝐽!(𝑥) = 𝑥!!!
∙ 𝐽!!!(𝑥) (3.9')
Из выведенных формул можно получить некоторые следствия. Используя (3.8),
получим:
𝐽!
𝑥!
!
= −
𝐽!!!
𝑥!
;
𝐽′!
𝑥!
−
𝑣 ∙ 𝐽!
𝑥!!!
= −
𝐽!!!
𝑥!
; 𝐽′! −
𝑣
𝑥
∙ 𝐽! = −𝐽!!!.
Отсюда, в частности, следует, что 𝐽′! = 𝐽!. Используя (3.9), получим:
𝑥!
∙ 𝐽!
!
= 𝑥!
∙ 𝐽!!!; 𝑥!
∙ 𝐽′! + 𝑣 ∙ 𝑥!!!
∙ 𝐽! = 𝑥!
∙ 𝐽!!!; 𝐽′! +
𝑣
𝑥
∙ 𝐽! = 𝐽!!!.
Почленное сложение и вычитание полученных равенств дает:
2 ∙ 𝐽′! = 𝐽!!! − 𝐽!!!, (3.10)

36
2 ∙ 𝑣
𝑥
∙ 𝐽! = 𝐽!!! + 𝐽!!! (3.11)
Формула (3.11) позволяет выразить бесселевы функции с целыми индексами
через 𝐽!, 𝐽!. Действительно, из (3.11) находим (полагая 𝑣 = 𝑛 − 1):
𝐽! =
2 ∙ 𝑛 − 2
𝑥
∙ 𝐽!!! − 𝐽!!!, (3.11')
откуда последовательно получаем:
𝐽! =
2
𝑥
∙ 𝐽! − 𝐽!,
𝐽! =
4
𝑥
∙ 𝐽! − 𝐽! =
8
𝑥!
− 1 ∙ 𝐽! −
4
𝑥
∙ 𝐽!, … … … … ….
3.4 Бесселевы функции с полуцелым индексом
Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми трансцендентными
функциями, не выражающимися через элементарные функции. Исключение
составляют бесселевы функции с индексом 𝑛 + 1/2, где 𝑛-целое. Эти функции
могут быть выражены через элементарные функции. Имеем:
𝐽!
!
𝑥 =
−1 !
∙
!
!
!
!
!!∙!
𝑘! ∙ Г 𝑘 +
!
!
!!
!!!
, Г 𝑘 +
3
2
=
1 ∙ 3 ∙ 5 … (2 ∙ 𝑘 + 1)
2!!!
∙ 𝜋,
Г 𝑘 +
3
2
=
1 ∙ 3 ∙ 5 … (2 ∙ 𝑘 + 1)
2!!!
∙ 𝜋,
следовательно,
𝐽!
!
𝑥 =
(−1)!
∙ (𝑥/2)
!
!
!!∙!
∙ 2!!!
𝑘! ∙ 1 ∙ 3 ∙ 5 … (2 ∙ 𝑘 + 1) ∙ 𝜋
=
(−1)!
∙ 𝑥
!
!
!!∙!
2!!
!
! ∙ 1 ∙ 3 ∙ 5 … (2 ∙ 𝑘 + 1) ∙ 𝜋
!!
!!!
!!
!!!
.
Но 2!
∙ 𝑘! ∙ 1 ∙ 3 ∙ 5 … 2 ∙ 𝑘 + 1 = 2 ∙ 𝑘 + 1 !, значит:
𝐽!
!
𝑥 =
2
𝜋 ∙ 𝑥
∙
−1 !
∙ 𝑥!∙!!!
2 ∙ 𝑘 + 1 !
=
2
𝜋 ∙ 𝑥
∙ sin𝑥
!!
!!!
. (3.12)
Далее

37
𝐽!
!
!
𝑥 =
−1 !
∙
!
!
!
!
!
!!∙!
𝑘! ∙ Г 𝑘 +
!
!
,
!!
!!!
Г 𝑘 +
1
2
=
1 ∙ 3 ∙ 5 … (2 ∙ 𝑘 − 1)
2!
∙ 𝜋,
следовательно,
𝐽!
!
!
𝑥 =
−1 !
∙
!
!
!
!
!
!!∙!
∙ 2!
𝑘! ∙ 1 ∙ 3 ∙ 5 … 2 ∙ 𝑘 − 1 ∙ 𝜋
=
!!
!!!
=
−1 !
∙ 𝑥!
!
!
!!∙!
2!!
!
! ∙ 𝑘! ∙ 1 ∙ 3 ∙ 5 … 2 ∙ 𝑘 − 1 ∙ 𝜋
!!
!!!
.
Но 2!
∙ 𝑘! ∙ 1 ∙ 3 ∙ 5 … 2 ∙ 𝑘 − 1 = 2 ∙ 𝑘 !, поэтому
𝐽!
!
!
𝑥 =
2
𝜋 ∙ 𝑥
∙
−1 !
∙ 𝑥!∙!
2 ∙ 𝑘 !
=
2
𝜋 ∙ 𝑥
∙ cos𝑥
!!
!!!
(3.13)
С помощью (3.8') находим:
𝑑
𝑥 ∙ 𝑑𝑥
! 𝐽!
!
𝑥
𝑥
!
!
= −1 !
∙
𝐽!!
!
!
𝑥
𝑥!!
!
!
,
а учитывая (3.12)
𝐽!
!
(𝑥)
𝑥
!
!
=
2
𝜋
∙
sin𝑥
𝑥
,
следовательно, при целом положительном 𝑛
𝐽!!
!
!
𝑥 = −1 !
∙
2
𝜋
∙ 𝑥!!
!
! ∙
𝑑
𝑥 ∙ 𝑑𝑥
!
sin𝑥
𝑥
(3.14)
С помощью (3.9') находим:
𝑥
𝑥 ∙ 𝑑𝑥
!
𝑥!
!
! ∙ 𝐽!
!
!
𝑥 = 𝑥!
!
!
!!
∙ 𝐽!
!
!
!!
𝑥 ,
но в силу (3.13)
𝑥!
!
! ∙ 𝐽!
!
!
𝑥 =
2
𝜋
∙
cos𝑥
𝑥
,

38
и, следовательно, при целом положительном 𝑛
𝐽! !!
!
!
𝑥 =
2
𝜋
∙ 𝑥!!
!
!
𝑑
𝑥 ∙ 𝑑𝑥
!
cos𝑥
𝑥
(3.15)
3.5 Функции Бесселя второго и третьего рода
Чтобы получить представление произвольной цилиндрической функции,
пригодное для решения при любых значениях 𝑥 параметра 𝜈 , вводят в
рассмотрение функцию Бесселя 2-го рода 𝑌!(𝑥), которую для произвольных 𝑥,
принадлежащей плоскости с разрезом (−∞, 0) определяет при помощи
равенства
𝑌! 𝑥 =
𝐽! 𝑥 cos𝜈𝜋 − 𝐽!!(𝑥)
sin𝜈𝜋
(3.16)
При целых значениях 𝑛 условимся понимать:
𝑌! 𝑥 = lim
!→!
𝑌! 𝑥 . (3.17)
Так как решения 𝐽! 𝑥 и 𝑌!(𝑥) линейно-независимы, то общее решение
исходного уравнения можно написать в виде
𝑦 = 𝑐! 𝐽! 𝑥 + 𝑐! 𝑌! 𝑥 (3.18)
Функция Бесселя 2-го рода удовлетворяет тем же конкретным
соотношениям, что и функции 1-го рода, именно:
𝑌!!! 𝑥 + 𝑌!!! 𝑥 =
2𝑣
𝑥
𝑌! 𝑥
𝑌!!! 𝑥 − 𝑌!!! = 2𝑌!
!
𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑥!
𝑌! 𝑥 = 𝑥!
𝑌!!! 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑥!!
𝑌! 𝑥 = −𝑥!!
𝑌!!! 𝑥
(3.19)
и т.д.
Отметим еще формулу

39
𝑌!! 𝑥 = −1 !
𝑌! 𝑥 , 𝑛 = 0,1,2, … ., (3.20)
позволяющую свести вычисление функций с отрицательным целым значением
к вычислению функций, индекс которых положителен.
К цилиндрическим функциям относятся также функции Бесселя третьего
рода или функции Ханкеля 𝐻!
!
(𝑥) и 𝐻!
!
(𝑥) которые для произвольного 𝜈 и 𝑥,
принадлежащего плоскости с разрезом вдоль полуоси (−∞, 0), определяется
при помощи формулы
𝐻!
!
𝑥 = 𝐽! 𝑥 + 𝑖𝑌! 𝑥 , 𝐻!
!
𝑥 = 𝐽! 𝑥 − 𝑖𝑌! 𝑥 , (3.21)
где 𝐽!(𝑥) и 𝑌!(𝑥) - функции Бесселя 1-го и 2-го рода.
Целесообразность введения этих функций обусловлена тем, что
рассматриваемые линейные комбинации из 𝐽!(𝑥) и 𝑌!(𝑥) обладают наиболее
простыми асимптотическими разложениями при больших x и часто встречается
в приложениях.
Из определения функции Бесселя 3-го рода (или функции Ханкеля)
следует, что эти функции представляют собой регулярные функции 𝑥 в
плоскости с разрезом (−∞, 0) и целые функции 𝑣 . Очевидно, что
рассматриваемые функции линейно независимы между собой и по отношению
к 𝐽!(𝑥) , так что общий интеграл уравнения Бесселя (3.1)' может быть
представлен в одной из следующих форм:
𝐴! 𝐽! 𝑥 + 𝐴! 𝐻!
!
𝑥 = 𝐵! 𝐽! 𝑥 + 𝐵! 𝐻!
!
𝑥 = Ф! 𝐻!
!
𝑥 + Ф! 𝐻!
!
, (3.22)
где 𝐴!, 𝐴! , 𝐵!, 𝐵!, Ф!, Ф! - произвольные постоянные.
Являясь линейными комбинациями функций 𝐽!(𝑥) и 𝑌!(𝑥) , функции
Бесселя 3-го рода удовлетворяют тем же рекуррентным соотношениям, что и
эти функции, т.е.

40
𝐻!!!
!
𝑥 + 𝐻!!!
!
𝑥 =
2𝑣
𝑥
𝐻!
!
𝑥 ,
𝐻!!!
!
𝑥 − 𝐻!!!
!
𝑥 = 2
𝑑𝐻!
!
𝑥
𝑑𝑥
,
𝑑
𝑑𝑥
𝑥!
𝐻!
!
𝑥 = 𝑥!
𝐻!!!
!
𝑧 ,
𝑑
𝑑𝑥
𝑥!!
𝐻!
!
𝑥 = −𝑥!!
𝐻!!!
!
𝑥
(3.22)
и т.д.
1) Доказать, что 𝐽! 𝑥 = −𝐽! 𝑥 .
2) Доказать, что 𝑥𝐽! 𝑥 !
= 𝑥𝐽! 𝑥 .
3) Решить уравнение 𝑥!
𝑦!!
+ 𝑥𝑦!
+ 𝑥!
−
!
!
𝑦 = 0. Найти общее решение.
Ответ:
𝑦 = 𝐶!
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥
+ 𝐶!
𝑐𝑜𝑠
𝑥
=
= 𝐶! 𝑥!
!
! 1 −
𝑥!
3!
+
𝑥!
5!
−
𝑥!
7!
+ ⋯ + 𝐶! 𝑥!
!
! 1 −
𝑥!
2!
+
𝑥!
4!
− ⋯
4) Решить уравнение 𝑥𝑦!!
+ 𝑦!
+ 𝑥𝑦 = 0 при 𝑦 0 = 1, 𝑦!
0 = 0.
Ответ:
𝑦 = 1 −
𝑥!
2!
+
𝑥!
1 ∙ 2 !2!
+
𝑥!
1 ∙ 2 ∙ 3 !2!
+ ⋯ + −1 !
𝑥!!
𝑘! !2!!
+ ⋯
5) 𝑦!!
+
!
!
𝑦 + 4𝑦 = 0.
Найти 1) 𝐽! 2𝑥 , 2) 𝑌! 2𝑥 .

41
6) Написать функции Бесселя I, II, III рода для уравнений:
а) 𝑥!
𝑦!!
+ 𝑥𝑦!
+ 𝑥!
− 2 𝑦 = 0
б) 𝑥!
𝑦!!
+ 𝑥𝑦!
+ 𝑥!
− 12 𝑦 = 0
7) Найти общие решения уравнений Бесселя
а) 𝑥!
𝑦!!
+ 𝑥𝑦!
+ 𝑥!
− 4 𝑦 = 0,
б) 𝑥!
𝑦!!
+ 𝑥𝑦!
+ 𝑥!
−
!
!"
𝑦 = 0,
в) 𝑥!
𝑦!!
+ 𝑥𝑦!
+ 𝑥!
−
!
!
𝑦 = 0,
г) 𝑦!!
+
!
!
𝑦!
+ 4𝑦 = 0.

42
4. Применение цилиндрических функций к задачам
математической физики
Цилиндрические функции имеют весьма широкую область применения в
математической физике и технике. Рассмотрим некоторые приложения
аппарата цилиндрических функций к проблемам математического
моделирования технических объектов на основе уравнений математической
функции.
4.1 Разделение переменных в уравнении Δu =
1
a2
∂2
u
∂t2
+b
∂u
∂t
+Cu в
цилиндрической системе координат
Источником для разнообразных приложений цилиндрических функций к
задачам математической физики служит приложение метода честных решений
к уравнению
∆𝑢 =
1
𝑎!
𝜕!
𝑢
𝜕𝑡!
+ 𝑏
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝐶𝑢, (4.1)
где ∆𝑢 - оператор Лапласа, 𝑡 – время, 𝑎, 𝑏, 𝑐 – заданные постоянные. Частными
случаями являются дифференциальные уравнения упругих колебаний,
электродинамики, теории теплопроводности и т.д.
Если в условиях задачи целесообразно использовать систему
цилиндрических координат (𝑟, 𝜑, 𝑧) связанных с прямоугольными
координатами (𝑥, 𝑦, 𝑧) соотношениями:
𝑥 = 𝑟cos 𝜑
𝑦 = 𝑟sin 𝜑
𝑧 = 𝑧
(0 ≤ 𝑟 ≤ ∞ , −π ≤ 𝜑 < π, −∞ ≤ 𝑧 ≤ +∞)
(4.2)
рассматриваемое уравнение приводится к виду

43
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
𝜕!
𝑢
𝜕𝑟
+
1
𝑟!
𝜕!
𝑢
𝜕𝜑!
+
𝜕!
𝑢
𝜕𝑧!
=
1
𝑎!
𝜕!
𝑢
𝜕𝑡!
+ 𝑏
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝐶𝑢 (4.3)
и допускает бесконечное множество решений в форме произведения
множителей, каждый из которых зависит от данного переменного
𝑢 = 𝑅 𝑟 ⋅ Φ 𝜑 ⋅ 𝑍 𝑧 ∙ 𝑇 𝑡 . (4.4)
Подставим (4.4) в (4.3) и разделив на 𝑅 ⋅ 𝑍 ⋅ Φ ⋅ 𝑇 находим
1
𝑅𝑟
⋅
𝑑
𝑑𝑟
𝑟𝑅!
+
1
𝑟!
Φ"
Φ
+
𝑍"
𝑍
− 𝐶 =
1
𝑇
1
𝑎!
𝑇" + 𝑏𝑇 .
Вследствие независимости переменных, где стороны полученного
уравнения должны равняться некоторой постоянной, которую удобно
обозначить через (−𝜒!
)
Таким образом мы получим
1
𝑎!
𝑇" + 𝑏𝑇′ + 𝜒!
𝑇 = 0 (4.5)
и
1
𝑅𝑟
𝑑
𝑑𝑟
𝑟𝑅!
+ 𝜒!
+
1
𝑟!
Φ"
Φ
= 𝐶 −
𝑍"
𝑍
.
В свою очередь, из последнего равенства вытекает, что каждая из сторон
есть постоянная, которую обозначим через (−λ!
)
Получим
𝑍" − (λ!
+ 𝐶)𝑍 = 0
𝑟!
1
𝑅𝑟
𝑑
𝑑𝑟
𝑟𝑅!
+ λ!
+ 𝜒!
= −
Φ"
Φ
(4.6)
Обозначим новую постоянную через 𝜇!
, находим
Φ" + 𝜇!
Φ = 0 (4.7)
1
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
𝑟𝑅′ λ!
+ 𝜒!
−
𝜇!
𝑟!
𝑅 = 0 (4.8)
Таким образом, процесс разделения переменных приводит к бесконечной
совокупности решений вида (4.4), зависящих от трех параметров (𝜒, 𝜆, µμ),
которые могут принимать вещественные или комплексные значения.

44
Определение множителей в произведении (4.4) сводится к
интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений (4.5), (4.7),
(4.8).
Решение уравнения Лапласа
∆𝑢 =
𝜕!
𝑢
𝜕𝑥!
+
𝜕!
𝑢
𝜕𝑦!
+
𝜕!
𝑢
𝜕𝑧!
= 0
рассмотрено выше. Оно приводит к уравнениям Бесселя. Функции Бесселя
широко используются при решении краевых задач.
4.2 Применение метода частных решений к краевой задачи для
цилиндра. Пример из теории теплопроводности
Важный класс задач математической физики составляет краевые задачи
теории потенциала, которые заключаются в определении 𝑢, гармонической в
некоторой трехмерной области, удовлетворяющей на ее границе условию
одного из трех типов:
I 𝑢 ! = 𝑓
II
𝑑𝑢
𝑑𝑛 !
= 𝑓
III
𝑑𝑢
𝑑𝑛
+ ℎ𝑢
!
= 𝑓
(4.9)
где 𝑓 - заданная функция точки на поверхности 𝜎, 𝑛 – внешняя нормаль к
поверхности.
Рассмотрим задачу об отыскании стационарного распределения
температуры в теле заданной формы по известному распределению
температуры на его поверхности, которая эквивалентна первой краевой задаче,
соответствующей условию вида (4.9).
В том случае, когда область представляет собой цилиндр, краевые задачи
могут быть решены при помощи метода разделения переменных, если
предположить, что функция равно нулю на боковой поверхности цилиндра или
на его торцах. Общий случай произвольных граничных условий первого рода

45
может быть сведен к этим частным случаям путем разложения задачи на две
вспомогательные, с граничными условиями
1 𝑢 !!! = 0, 𝑢 !!! = 𝑓!, 𝑢 !!! = 𝑓!,
2 𝑢 !!! = 𝐹, 𝑢 !!! = 𝑢 !!! = 0.
(4.10)
Введем систему цилиндрических координат (𝑟, 𝜑, 𝑧) , ось 𝑧 которой
совпадает с осью цилиндра, а начало координат лежит в плоскости одного из
торцов (рисунок 4.1), и предположим, для определенности, что мы имеем дело
с первой краевой задачей.
Рисунок 4.1
Для упрощения предположим, что граничные условия не содержат
переменной 𝑢, т.е. 𝑓! = 𝑓!(𝑟), 𝑓! = 𝑓!(𝑟) и 𝐹 = 𝐹(𝑧). Искомая функция 𝑢 так же
не будет зависеть от 𝜑, поэтому частное решение уравнения Лапласа может
быть представлено в форме
𝑢 = 𝑅 𝑟 ⋅ 𝑍 𝑧 ,
где множители есть интегралы дифференциальных уравнений:
l
l
a
O
z

46
1
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
𝑟𝑅!
+ 𝜆!
𝑅 = 0, 𝑍" − 𝜆!
𝑍 = 0. (4.11)
Выполнив интегрирование находим:
𝑅 = 𝐴𝐽! 𝜆𝑟 + 𝐵𝑌! 𝜆𝑟 , 𝑍 = 𝐶ch 𝜆𝑧 + 𝐷sh 𝜆𝑧, (4.12)
где 𝐽!(𝑥) и 𝑌!(𝑥) – функции Бесселя первого и второго ряда.
Т.к. 𝐽!(𝜆𝑟) → 1 , 𝑌!(𝜆𝑟) → ∞ , при 𝑟 → 0 , мы должны для ограниченности
решения на оси цилиндра положить 𝐵 = 0 , после чего из однородного
граничного условия 𝐴𝐽!(𝜆𝑎) , откуда определяются допустимые значения
параметра λ:
𝜆 = 𝜆! =
𝑥!
𝑎
,
где 𝑥! – положительные нули функции Бесселя 𝐽!(𝑥).
Таким образом, получаем следующую совокупность частных решений
уравнения Лапласа:
𝑢 = 𝑢! = 𝑀!ch
𝑥! 𝑧
𝑎
+ 𝑁!sh
𝑥! 𝑧
𝑎
∙ 𝐽! 𝑥!
𝑟
𝑎
, 𝑛 = 1,2 … (4.13)
из которых, путем их суперпозиции, может быть построено решение
рассматриваемой задачи.
В случае граничных условий типа (4.2) для того, чтобы удовлетворить
однородным граничным условиям необходимо положить С = 0 и выбрать 𝜆
чисто мнимым числом, равным
!"#
!
(𝑛 = 1,2 …). Интервалы уравнений (4.12)
принимают в этом случае вид:
𝑅 = 𝐴𝐼!
𝑛𝜋
𝑙
𝑟 + 𝐵𝐾!
𝑛𝜋
𝑙
𝑟 , 𝑧 = 𝐷sin
𝑛𝜋
𝑙
𝑧 (4.14)
где 𝐼!(𝑥) и 𝐾!(𝑥) – цилиндрические функции мнимого аргумента.
Так как 𝐾!
!"
!
𝑟 → ∞ при 𝑟 → 0, следует принять 𝐵 = 0, следовательно,
подходящая система частных решений уравнения Лапласа будет
𝑢 = 𝑢! = 𝑀! 𝐼!
𝑛𝜋
𝑙
𝑟 sin
𝑛𝜋𝑧
𝑙
, 𝑛 = 1,2 … (4.15)
Искомое решение может быть построено в форме ряда

47
𝑈 = 𝐹!
𝐼!
!"#
!
𝐼!
!"#
!
sin
𝑛𝜋𝑧
𝑙
,
!
!!!
(4.16)
где 𝐹! – коэффициент Фурье в разложении функции 𝐹(𝑧) в ряд по sin
!"#
!
:
𝐹! =
2
𝑙
𝐹 𝑧 sin
𝑛𝜋𝑧
𝑙
𝑑𝑧.
!
!
(4.17)
Решение краевых задач с граничными условиями других типов
получается аналогичным образом, причем подходящим оператором,
заменяющим ряды Фурье-Бесселя, являются в этом случае ряды Дини.
4.3 Задача об охлаждении цилиндра
В качестве примера приложения цилиндрических функций к
нестационарным задачам математической физики рассмотрим задачу об
охлаждении бесконечного длинного цилиндра радиуса а, нагретого до
температуры 𝑢! = 𝑓(𝑟) (𝑟 – расстояние от оси цилиндра) и излучающего тепло
в окружающую среду, находящуюся при нулевой температуре. С
математической точки зрения задача приводится к интегрированию уравнения
теплопроводности.
𝑐𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝑘∆𝑢 (4.18)
где 𝑐, 𝜌, 𝑘 – теплоемкость, плотность и коэффициент теплопроводности
вещества,
при начальном условии
𝑢|!!! = 𝑓(𝑟) (4.19)
и граничном условии
−𝑘
𝜕𝑢
𝜕𝑡 !!!
= 𝜆𝑢 !!!, (4.20)
где 𝜆 - коэффициент теплопроводности в окружающую среду.

48
Если, следуя методу Фурье, искать частные решения уравнения (4.18) в
виде
𝑢 = 𝑅 𝑟 𝑇 𝑡 ,
то для определения множителей получим уравнения
𝑏𝑇!
+ 𝜒!
𝑇 = 0,
1
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
𝑟𝑅!
+ 𝜒!
𝑅 = 0 𝑏 =
𝑐𝜌
𝑘
,
откуда следует
𝑅 = 𝐴𝐽! 𝜒𝑟 + 𝐵𝑌! 𝜒𝑟 , 𝑇 = 𝐶𝑒
!!!
!
!
.
Так как при 𝑟 → 0, 𝐽! 𝜒𝑟 → 1, 𝑌! 𝜒𝑟 → ∞, то для ограничения решения
на оси цилиндра необходимо положить 𝐵 = 0, после чего из условия (4.20)
вытекает, что параметр 𝜒 должен быть выбран таким образом, чтобы
удовлетворять уравнению
ℎ𝐽! 𝜒𝑎 − 𝜒𝐽! 𝜒𝑎 = 0, где ℎ =
!
!
Если положить 𝜒𝑎 = 𝑥, то последнее уравнение приводится к виду
ℎ𝑎𝐽! 𝑥 − 𝑥𝐽! 𝑥 = 0, (4.21)
откуда следует, что оно имеет только вещественные корни, расположенные
симметрично относительно начала координат.
Обозначая положительные корни уравнения (4.21) через 𝑥! 0 < 𝑥! < 𝑥! < ⋯
получаем, что допустимые значения параметра 𝜒 будут
𝜒! =
𝑥!
𝑎
и, таким образом, совокупность частных решений уравнения (4.18), пригодных
для рассмотрения данной задачи, имеет вид
𝑢 = 𝑢! = 𝑀! 𝑒
!
!!
!
!!!
!
⋅ 𝐽! 𝑥!
𝑟
𝑎
, 𝑛 = 1,2 … (4.22)
Суммируя найденные решения, находим
𝑢 = 𝑀! 𝑒!
!!
!
!!!
!
𝐽! 𝑥!
𝑟
𝑎
,
!
!!!
(4.23)
где, в соответствии с начальным условием (4.19), коэффициенты 𝑀! должны
быть выбраны таким образом, чтобы удовлетворялось равенство

49
𝑓 𝑟 = 𝑀! 𝐽! 𝑥!
𝑟
𝑎
0 ≤ 𝑟 < 𝑎 .
!
!!!
(4.24)
Последняя задача равносильна задаче разложения функции 𝑓(𝑟) в ряд
Дини, и ее решение может быть получено из общих формул.
Воспользовавшись этими формулами, находим
𝑀! =
2
𝑎! 𝐽!
!
𝑥! + 𝐽!
!
𝑥!
𝑟𝑓 𝑟 𝐽! 𝑥!
𝑟
𝑎
𝑑𝑟,
!
!
(4.25)
и решение рассматриваемой проблемы теории теплопроводности
представляется рядом (4.23).

50
5. Дельта-функция Дирака
5.1 Понятие о дельта-функции Дирака
Рассмотрим функцию 𝑦 = Φ!(𝑥) имеющую максимум при 𝑥 = 0, быстро
убывающую в обе стороны от 𝑥 = 0, и притом такую, что
Φ! 𝑥 𝑑𝑥 = 1.
!!
!!
Эти условия отнюдь не определяют вид функции Φ! 𝑥 ; можно
придумать функций, удовлетворяющих всем поставленным выше требования,
например:
1) Φ! 𝑥 =
1
𝜋
∙
1
1 + 𝑥!
,
2) Φ! 𝑥 =
1
𝜋
⋅ 𝑒!!!
.
Числовой множитель обеспечивает равенство интеграла единице.
Графики этих функций изображены на рисунке 5.1.
Рисунок 5.1
-2 -1 0 1 2
1
π
1
π
1)
2)

51
Если увеличить график в 𝑚 раз и уменьшить ширину в 𝑚 раз, то получим
функцию
𝑦 = 𝑚Φ! 𝑚𝑥 .
Например, из 1) получим
Φ! 𝑥 =
𝑚
𝜋
⋅
1
1 + (𝑚𝑥)!
.
Ясно, что площадь, заключенная между графиком и осью 𝑥, при растяжении к
верху увеличивается в 𝑚 раз, а при сжатии с боков уменьшается во столько же
раз, т. е. в конечном счете останется без изменения. Это можно легко доказать с
помощью интегрирования, т. е.
Φ! 𝑥 𝑑𝑥 = Φ! 𝑚𝑥 𝑑 𝑚𝑥 = 𝑚𝑥 = 𝑡 = Φ! 𝑡 𝑑𝑡 = Φ! 𝑥 𝑑𝑥.
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
При любом фиксированном 𝑥 ≠ 0 величина 𝑦 = 𝑚Φ! 𝑚𝑥 будет
неограниченно приближаться к нулю при неограниченном росте 𝑚, потому что
уменьшение Φ! 𝑚𝑥 при увеличении m происходит быстрее, чем рост
множителя 𝑚. Для этого надо, чтобы Φ! 𝑥 при 𝑥 → ±∞ стремилась к нулю
быстрее, чем
!
!
(Это и означает, что функция быстроубывающая). Такая
скорость убывания автоматически следует из сходимости интеграла.
Так, например, Φ! 𝑥 =
!
!
⋅
!
!!(!!)!
при 𝑥 ≠ 0 (𝑚𝑥)!
≫ 1, т. е. порядок
бесконечности выше чем у знаменателя.
Вторая функция Φ! 𝑥 =
!
!
𝑒!(!")!
еще быстрее стремится к 0.
Пусть теперь 𝑥 = 0. Тогда Φ! 𝑚𝑥 = Φ! 0 при любом 𝑚, а поэтому
Φ! 0 = 𝑚Φ! 0 неограниченно увеличивается с ростом 𝑚.
Таким образом неограниченно увеличивая 𝑚, мы получаем функцию со
следующими свойствами:
1) Функция равна 0 при всех 𝑥 < 0 и при 𝑥 > 0.
2) Функция бесконечна при 𝑥 = 0.

52
3) Φ! 𝑥 𝑑𝑥 = 1.
!!
!!
Функция, обладающая этими свойствами, называется дельта-функция
Дирака и обозначается 𝛿 𝑥 . Функция 𝛿 𝑥 необычайно удобно и широко
применяется сейчас в физике.
Грубо говоря, дельта-функция – это функция, принимающая на узком
участке большие значения, причем эти значения согласованы с шириной
участка так, что выполняется условие 3). Отсюда следует, в частности, что
размерность 𝛿 𝑥 =
!
[!]
.
Из свойств 𝛿 𝑥 следует основное соотношение:
𝐽 = 𝛿 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 0 .
!!
!!
(5.1)
В самом деле, 𝛿 𝑥 = 0, при всех 𝑥 ≠ 0, поэтому
𝐽 = 𝛿 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝛿 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥,
!!
!!
!!
!!
где 𝜀 − малая величина.
В последнем интеграле промежуток интегрирования мал (его длина 2𝜀 ),
поэтому на нем 𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 0 , следовательно
𝐽 = 𝛿 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝛿 𝑥 ⋅ 𝑓 0 𝑑𝑥 = 𝑓 0 ⋅ 𝛿 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 0 ⋅ 1 = 𝑓 0 .
!
!!
!
!!
!
!!
Итак, формула (5.1) следует из трех свойств 𝛿 𝑥 . Справедливо и
обратное утверждение: из (5.1) следует три свойства 𝛿 𝑥 .
Заметим, что, 𝛿 𝑥 − 𝑎 отличное от нуля (и притом бесконечна только
при 𝑥 = 𝑎).
Рассуждая аналогично, получим:
𝛿 𝑥 − 𝑎 ⋅ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑎 .
!!
!!
(5.2)

53
Отметим еще некоторые интересные формулы для 𝛿 𝑥 .
𝛿 𝑎𝑥 =
1
𝑎
𝛿 𝑥 , 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ≠ 0 . (5.3)
𝛿 𝜑 𝑥 =
1
𝜑!(𝑥!)
𝛿 𝑥 − 𝑥! , (5.4)
если 𝜑(𝑥) обращается в нуль лишь при 𝑥 = 𝑥!.
С помощью дельта-функции чрезвычайно удобно записывать многие
физические соотношения.
𝑓 𝑥 ⋅ 𝛿 𝑥 − 𝑎 = 𝑓 𝑎 ⋅ 𝛿 𝑥 − 𝑎 . (5.5)
Пример 1
Вычислить
𝑥!
𝛿 𝑥 − 3 𝑑𝑥 = 3!
= 9.
!!
!!
Пример 2
Упростить выражения:
а) 𝑥!
+ 3 𝛿 𝑥 + 5 = [ −5)!
+ 3 ⋅ 𝛿 𝑥 + 5 = 28𝛿 𝑥 + 5 .
б) 𝛿 2𝑥 − 8 = 𝛿 2 𝑥 − 4 =
!
!
⋅ 𝛿 𝑥 − 4 .
в) 𝛿 𝑥!
+ 𝑥 − 2 = 𝛿 𝑥 − 1 𝑥 + 2 =
!
!
𝛿 𝑥 − 1 +
!
!
𝛿 𝑥 + 2 ;
5.2 Наиболее употребительные формулы и соотношения,
содержащие дельта-функцию Дирака
Далее отметим только наиболее употребительные формулы и
соотношения, содержащие дельта-функцию Дирака без выводов этих формул.
Они следуют из определения и свойств дельта-функции Дирака.

54
1) 𝛿 𝑥 =
0, при 𝑥 < 0, 𝑥 > 0
∞, при 𝑥 = 0
𝛿 𝑥 𝑑𝑥 = 1
!!
!!
;
𝟐) 𝛿 𝑡!
− 𝑎!
=
𝛿 𝑡 − 𝑎 + 𝛿(𝑡 + 𝑎)
2 𝑎
;

𝟑) 𝛿 𝑡 − 𝑎 𝑡 − 𝑏 =
𝛿 𝑡 − 𝑎 + 𝛿(𝑡 − 𝑏)
𝑎 − 𝑏
;

4) 𝛿(𝑡) ÷ 1,

𝛿!
𝑡 ÷ 𝑝,

𝛿!!
𝑡 ÷ 𝑝!
,

𝛿 !
𝑡 ÷ 𝑝!
;
5) 𝛿 𝑡 − 𝜏 ÷ 𝑒!!"
, 𝛿!
𝑡 − 𝜏 ÷ 𝑝𝑒!!"
, …, 𝛿 !
− 𝜏 ÷ 𝑝!
𝑒!!"
.
6) η 𝑡 = 𝛿(𝜏)𝑑𝜏
!
!!
,
где η 𝑡 − единичная функция Хевисайда.
7) 𝛿′ 𝑡 = −
𝛿 𝑡
𝑡
𝛿!!
𝑡 = −
2
𝑡!
𝛿 𝑡 ,
……………………..,
𝛿(!)
(𝑡) = −1 !
𝑛!
𝑥!
𝛿 𝑥 .
8) 𝑡𝛿 𝑡 = 0, 𝑡!
𝛿!
𝑡 = 0, … , 𝑡!!!
𝛿 !
𝑡 = 0;
9) 𝜑 𝑥 𝛿 𝑥 = 𝜑(0)𝛿(𝑥);
10) 𝜑 𝑎 ± 𝑥 𝛿 𝑥 = 𝜑 𝑎 𝛿 𝑥 ;
11) 𝛿 𝑥 − 𝑡 𝛿 𝑠 − 𝑡 𝑑𝑡 = 𝛿(𝑥 − 𝑠)
!!
!!
;
12) 𝜑 𝑥 𝛿!
𝑥 − 𝑥! 𝑑𝑥 = −𝜑!
𝑥! , если 𝜑 𝑥 непрерывна при 𝑥 = 𝑥!
!!
!!
.
13) 𝛿!
𝑥 − 𝑡
!!
!!
𝛿 𝑠 − 𝑡 𝑑𝑡 = 𝛿!
𝑥 − 𝑠 ;
14) 𝜑(𝑥)
𝜕!
𝛿(𝑥 − 𝑠)
𝜕𝑥!
!!
!!
𝑑𝑥 = (−1)!
⋅ 𝜑 !
𝑠 ,

55
если 𝜑 !
𝑠 непрерывна при 𝑥 = 𝑠.
15) 𝜑 𝑡 𝛿 !
𝑡 𝑑𝑡 = (−1)!
𝜑 !
(0)
!!
!!
.
16) 𝜑 𝑛 𝛿 𝑀, 𝑀! 𝑑𝜏!!
!!
!!
𝜑 𝑀! .
17) Фурье- преобразование дельта-функции 𝛿(𝑥 − 𝑥!)имеет вид:
𝛿 𝜀 =
1
2𝜋
𝛿 𝑥 − 𝑥! 𝑒!"#
𝑑𝑥
!!
!!
=
1
2𝜋
𝑒!"!!
следовательно
𝛿 𝑥 − 𝑥! =
1
2𝜋
𝛿 𝜀
!!
!!
𝑒!!"#
𝑑𝜉 =
1
2𝜋
𝑒!!"(!!!!)
𝑑𝜉.
!!
!!
18) Для трехмерного случая: 𝛿 𝑀, 𝑀! = 𝛿 𝑥 − 𝑥! ⋅ 𝛿 𝑦 − 𝑦! ⋅ 𝛿(𝑧 − 𝑧!).
19) 𝛿 𝑀, 𝑀! =
!
!
𝛿 𝑟 − 𝑟! ⋅ 𝛿(𝜑 − 𝜑!) в полярных координатах на плоскости.
20) 𝛿 𝑀, 𝑀! =
!
!!
𝛿 𝑟 − 𝑟! ⋅
!
!"# !
𝛿(𝜃 − 𝜃!)𝛿(𝜑 − 𝜑!) в сферических
координатах.
21) Обобщение функции 𝛿! 𝑥 и 𝛿!(𝑥)определяются формально
𝛿! 𝑥 =
1
2𝜋
𝑒!!"#
𝑑𝜉
!
!
,
𝛿! 𝑥 =
1
2𝜋
𝑒!!"#
!
!!
𝑑𝜀 =
1
2𝜋
𝑒!"#
𝑑𝜉
!
!
Очевидно, 𝛿! 𝑥 + 𝛿! 𝑥 = 𝛿 𝑥 и 𝛿! −𝑥 = 𝛿! 𝑥 .
Пример 1
Упростить выражения:
𝑎) 𝑥!
+ 4 ⋅ 𝛿 𝑥 + 5 = −5 !
+ 4 𝛿 𝑥 + 5 = 29 𝛿 𝑥 + 5 .

56
б) 𝛿 2𝑥 − 10 = 𝛿 2 𝑥 − 5 =
1
2
𝛿 𝑥 − 5 .
в) 𝛿(𝑥!
+ 𝑥 − 6 = 𝛿[ 𝑥 + 3 𝑥 − 2 =
1
5
𝛿 𝑥 + 3 +
1
5
𝛿 𝑥 − 2 .
Пример 2
Вычислить:
𝑎) 𝑥!
𝛿 𝑥 − 4 𝑑𝑥 = 4!
= 16;
!!
!!
б) (𝑥!
!!
!!
+ 3𝑥 + 2)𝛿 𝑥 − 2 𝑑𝑥 = 2!
+ 6 + 2 = 12;
в) 𝑥!
+ 3𝑥 + 2
!!
!!
𝛿!
𝑥 − 2 𝑑𝑥 = −7.

Пример 3
Проинтегрировать уравнение:
а) 𝑥!!
= 𝛿 𝑡 , 𝑥 0 = 0, 𝑥!
0 = 0
Решение. Используем преобразование Лапласа:
Ζ 𝑥!!
𝑡 = Ζ 𝛿 𝑡
𝑝!
= 𝑋 𝑝 = 1
𝑋 𝑝 =
1
𝑝!
𝑥 𝑡 = 𝑡, 𝑥!
𝑡 = 1
Следовательно, 𝛿 -функцию можно интегрировать как мгновенно
большую силу с импульсом, равным единице, сообщающую материальной
точке с массой 𝑚 = 1 при 𝑡 = 0 скорость 𝜗 = 1.
б) 𝑥!!
𝑡 + 𝜔!
𝑥 𝑡 = 𝜗! 𝛿 𝑡 − 𝜏 + ℎ 𝛿!
𝑡 − 𝜏 , 𝑥 0 = 𝑥!, 𝑥!
0 = 𝑥!
!.

специальные функции

специальные функции

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (7)

Similar to специальные функции

Similar to специальные функции (20)

More from Иван Иванов

More from Иван Иванов (20)

специальные функции