Hasil Kali Dalam Alinear Aljabar

1. 6.1. Hasil Kali Dalam.
6.2. Sudut dan Ortogonalitas.
3x + 2x
2x+1
ILMU KOMPUTER 2021
ALJABAR LINEAR

2. Delvino Ardi - 1313621025
Mochamad Adam Lazuardi - 1313621018
Roland Roman Topuh - 1313621026
Yohanes Kukuh Parlindungan - 131362130
Fikri Ilham Arifin - 1313621027
1.
2.
3.
4.
5.
KELOMPOK
9

3. Hasil Kali
Dalam
6.1

4. Review
REVIEW
Kita sudah mengenal definisi dari dot product pada definisi 4, bab 3.2 .
Definisi
Jika dan merupakan vektor-vektor di , maka
dot product (atau disebut juga sebagai hasil kali dalam euclidis) dari yang dilambangkan
dengan dan didefinisikan dengan

5. Definisi 1
suatuhasilkalidalampadasuaturuangvektorrealVadalahsuatufungsiyangmenghubungkansuatu
bilanganreal dengansetiappasanganvektorpadaVsehinggaaksioma-aksiomaberikutdapat
dipenuhiuntuksemuavektoru,v,danwdidalamruangvektorVdansemuaskalark.
1 (simetris)
2 (aditivitas)
3 (homogenitas)
4 dan jikadanhanyajikav=0(positifitas)
Suaturuangvektorrealdenganhasilkalidalamdisebutruanghasilkalidalamreal.
Hasil kali dalam
Pembahasanpadababiniberfokusuntukmenghubungkangagasandotproductkeruang
vektorumum.

6. Karena aksioma-aksioma untuk ruang hasil kali dalam real berdasarkan operasi dot product, Aksioma-aksioma tersebut akan
terpenuhi secara otomatis jika kita mendefinisikan hasil kali dalam antara dua vektor sebagai hasil kali
dalam euclidis
Hasil kali dalam
euclidis terboboti
Jika merupakan bilangan real positif yang disebut bobot, dan jika
dan merupakan vektor di maka hasil kali dalam euclidis terboboti pada didefinisikan
sebagai,

7. Contoh
Solusi:

9. PANJANG DAN JARAK DALAM RUANG HASIL KALI DALAM
JikaVmerupakanhasilkalidalam,makapanjangdarivektorvdidalamVyangdilambangkan
dengan dandidefinisikandengan
danpanjangantaraduavektoryangdilambangkandengan sertadinyatakandengan
Vektoryangmemilikipanjang1disebutsebagaivektorsatuan.
Hasil kali dalam dapat digunakan untuk mendefinisikan panjang dan jarak di dalam ruang hasil kali dalam.
Definisi 2

10. TEOREMA TERKAIT PANJANG DAN JARAK DALAM RUANG
HASIL KALI DALAM

11. Perlu diingat bahwa panjang vektor dan jarak antara dua vektor bergantung pada hasil kali dalam yang digunakan. Jika hasil kali
dalam diubah, maka panjang dan jarak antara dua vektor juga akan berubah.
Contoh
Vektor dan di
Jika menggunakan hasil kali dalam euclidis, akan didapatkan Jika diubah ke hasil kali dalam euclidis terboboti,
maka didapatkan

12. Definisi
SATUAN LINGKARAN DAN BOLA DI RUANG PRODUK DALAM
Jika V adalah suatu ruang hasil kali dalam, maka himpunan titik-titik dalam V yang memenuhi
disebut bola satuan / lingkaran satuan dalam V,

13. Contoh

14. Contoh

15. HASIL KALI DALAM DENGAN MATRIKS
JIKA adalah vektor-vektor dalam Rn
(dinyatakan dalam matriks n x 1), dan anggap
matriks standard A n x n invertible
maka : Jika u .v adalah hasil kali dalam Eucl. pada Rn ;
mendefinisikan hasil kali dalam pada
Rn yang dihasilkan oleh A

16. Jika V adalah Hasil kali dalam Euclidean.〈u,v 〉bisa ditulis sebagai hasil kali matrik
v transpose u. sehingga 〈u,v 〉= Au · Av dapat ditulis dalam bentuk alternatif suatu
ruang hasil kali dalam, maka himpunan titik-titik dalam V yang memenuhi :
HASIL KALI DALAM DENGAN MATRIKS
Hasil kali dalam pada Rn yang dibangkitkan oleh matriks identitas nxn adalah hasil kali
dalam Euclidean, dan dengan mensubsitusikan A= I didapat :
〈u,v 〉= Iu . Iv = u . v

17. MATRIKS MENGHASILKAN PRODUK DALAM
EUCLIDEAN TERBOBOTI
Untuk hasil kali dalam Euclidean terboboti (weighted Euclidean inner product)
adalah hasil kali dalam Rn yang dibangkitkan oleh:

18. Hasil kali dalam Euclidean terboboti 〈u,v 〉=
CONTOH MATRIKS MENGHASILKAN PRODUK DALAM
EUCLIDEAN TERBOBOTI
Contoh :
Diketahui
Menggunakan rumus

19. PRODUK DALAM STANDAR DI MNN
Adalah matriks 2x2, maka definisi hasil kali dalam M22
Jika u = U dan v = V adalah matriks di ruang vektor maka rumusnya :
Misal
&
tr = trace
Norma vektor U :

20. CONTOH PRODUK DALAM STANDAR DI MNN
Misal :
&
maka 〈u,v 〉= 1(-1) + 2(0) + 3(3) + 4(2) = 16

21. PRODUK DALAM STANDAR DI PN
maka :
Jika p dan q adalah polinom dimana :
Norma matriks P :
&

22. EVALUASI PRODUK DALAM PADA PN
maka :
Jika p dan q adalah polinom dimana :
Norma vektor P :
&

23. CONTOH EVALUASI PRODUK DALAM PADA PN
maka :
misalkan P2 memiliki hasil kali dalam evaluasi pada titik-titik
Norma vektor P :

24. 〈0, v 〉= 〈v, 0 〉= 0
〈u, v + w 〉= 〈u, v 〉+ 〈u, w 〉
〈u, v - w 〉= 〈u, v 〉- 〈u, w 〉
〈u - v, w 〉= 〈u, w 〉- 〈v, w 〉
k〈u, v〉= 〈u, kv 〉
Beberapa Sifat Hasil Kali Dalam:
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam real, dan k
adalah sebarang skalar, maka:
1.
2.
3.
4.
5.
teorema
6.1.2
SIFAT ALJABAR DARI
PRODUK DALAM

25. CONTOH

26. bab 6.2
SUDUT DAN ORTOGONALITAS DALAM
RUANG HASIL KALI DALAM

27. Di bab 3.2 telah didefinsi gagasan sudut antar vektor di
KETIDAKSAMAAN CAUCHY-SCHWARZ
->

28. PEMBUKTIAN
untuk kasus dimana u = 0, dua sisi dari (3) itu sama/setara karena (u,v) dan
keduanya itu 0. jadi kita hanya perlu mempertimbangkan kasus dimana buat
asumsi
Di bab 6.2 memiliki rumus dan teorema yang sama yaitu
dan t = bilangan real apapun. Karena aksioma positif menyatakan bahwa hasil kali dalam
dari setiap vektor dengan dirinya sendiri adalah nonnegatif, maka

29. PEMBUKTIAN
ketidaksamaan ini menyiratkan bahwa polinomial kuadrat tidak memiliki
akar real atau akar real berulang. oleh karena itu, diskriminannya harus memenuhi
pertidaksamaan .Menyatakan koefisien a, b, dan c dalam bentuk vektor
u dan v memberikan atau
Mengambil akar kuadrat dari kedua sisi dan menggunakan fakta bahwa dan
adalah hasil nonnegatif :
atau
bentuk alternatif ketidaksamaan cauchy-schwarz :

30. Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz dapat digunakan untuk mendefinisikan
sudut dalam ruang hasil kali dalam
SUDUT ANTAR VEKTOR
sudut unik θ (di antara u dan v) yaitu :
dan

31. SUDUT ANTAR VEKTOR
Hal ini memungkinkan kita untuk mendefinisikan sudut antara u dan v menjadi

32. CONTOH SOAL
jika memiliki standar hasil kali dalam.Tentukan kosinus sudut antara vektor
penyelesaian :

33. Di pembahasan sebelumnya (3.2), kita menggunakan titik untuk memeperluas
pengertian dari panjang dan jarak ke dan kita menunjukkan bahwa
teorema geometri dasar tetaplah valid. Dengan membuat sedikit penyesuaian
pada pembuktian teorema-teorema tersebut, kita dapat menunjukkan bahwa
mereka sebenarnya tetaplah valid di setiap ruang hasil kali dalam.
SIFAT-SIFAT PANJANG DAN JARAK
DALAM RUANG HASILKALI DALAM
Pembuktian :
Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam V, dan jika k
adalah suatu satuan skalar. maka

34. PEMBUKTIAN
Jika diakarkan pada kedua sisi, persamaan akan menjadi :
Maka akan dibuktikan dengan teorema sebagai berikut :

35. DEFINISI 1 : Dua vektor u dan v dalam suatu hasil kali dalam disebut
ortogonal jika <u, v> = 0.
ORTOGONALITAS
Suatu vektor dapat dikatakan ortogonal jika kedua vektor
mempunyai hasil kali dalamnya adalah 0, tetapi tidak semua vektor
berorotgonalitas terhadap satu sama lain seperti contoh berikut.

36. APAKAH KEDUA VEKTOR
INI ORTOGONAL?
YA TIDAK
Contoh #1
u = (1,1) dan v = (1,-1)

37. Kedua vektor, u = (1,1) dan v = (1,-1) adalah otogonal karena terhadap
hasil kali dalam produk Euclidean pada R2 karena
Pembuktian
Kedua vektor, u = (1,1) dan v = (1,-1) juga bisa dibilang tidak ortogonal jika
dilihat terhdapan hasil kali dalam produk Euclidean weighted
Yang menjadikan

38. APAKAH MATRIKS 2X2 INI
TERMASUK ORTOGONAL?
YA TIDAK
Contoh #2

39. Kedua matriks tersebut, matriks u dan matriks v tergolong ortogonal
dikarenakan :
Pembuktian #2
Dikarenakan hasil kali dalam kedua matriks u dan v adalah 0, jadi
kedua matriks bisa dibilang ortogonal.

40. TENTUKAN NILAI K AGAR
U ORTHOGONAL DI V!
-1 -2
Contoh #3
u = (2,k) , v = (k,2k)
dengan
< u,v > = x1x2 + y1y2

41. Agar u ortogonal dengan v, maka butuh < u,v > = 0
<(2,k).(k,2k)> = 0
2k + k(2k) = 0
2k + 2k^2 = 0
k(2+2k) = 0
Penyelesaian #3
Maka :
k = 0 dan 2+2k = 0
2+2k = 0 -> 2k = -2 -> k = -1, nilai k agar ortogonal maka = -1.

42. Komplemen
Ortogonal

43. TEOREMA

44. Pembuktian

45. contoh

46. solusi
Subruang W sama dengan ruang baris matriks
Karena ruang baris dan ruang nol dari A adalah komplemen ortogonal,
masalah ini direduksi untuk menemukan basis ruang nol dari matriks ini.
Dalam Contoh 4 Bagian 4.7 ditunjukkan bahwa

48. Terima Kasih!