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![例：球の体積（部分）
r
S
t
V =
Z t
r
Sdx
=
Z t
r
⇡(r2
x2
)dx
= ⇡[r2
x
x3
3
]t
r
= ⇡{r2
t
t3
3
( r2
r
r3
3
)}
= (
t3
3
+ r2
t +
2
3
r3
)⇡
円の面積を重ねる
呪文
理解
x
y](https://image.slidesharecdn.com/20180125-180124100216/85/Unity-17-320.jpg)
![指定終端速度 を得るための外力
[Unity]RigidbodyのDragから終端速度を得る
https://qiita.com/yuji_yasuhara/items/1f438f0f27f5ef854a73参
考
:質量
:Drag
m
k
F =
1 dt
vmk
k
v F](https://image.slidesharecdn.com/20180125-180124100216/85/Unity-70-320.jpg)
![〜実践的な物理入門〜
https://www.youtube.com/watch?v=FqjM9oujyNE
[Unity道場 札幌スペシャル]
プロが教える脱初心者スクリプト術！
参
考](https://image.slidesharecdn.com/20180125-180124100216/85/Unity-71-320.jpg)
Uploaded byUnity Technologies Japan K.K.
【Unity道場】物理シミュレーション完全マスター
2018/1/25に開催されたUnity道場 物理シミュレーション完全マスター の講演スライドです。 講師：安原 祐二（ ユニティ・テクノロジーズ・ジャパン合同会社 ） ゲームのみならず様々なアプリケーションにおいて、物理挙動の導入は品質の向上や開発の効率化につながります。Unityに搭載されている物理シミュレーションはたいへん優れたもので、その原理を理解することでより一層表現力が高まるでしょう。この講演では、物理の初歩を丁寧に解説しつつ、プロの現場で応用されるテクニックについてお話しします。 こんな人にオススメ ・UnityでRigidbodyを使用したことのあるプログラマ ・物理シミュレーションの概観を知りたい方 得られる知見 ・コンピュータにおける物理シミュレーションの原理 ・物理シミュレーションを扱う上での注意点 ・物理シミュレーションの具体的な応用例 関連動画： [Unity道場 札幌スペシャル]プロが教える脱初心者スクリプト術！ https://youtu.be/FqjM9oujyNE Unityのイベント資料はこちらから： https://www.slideshare.net/UnityTechnologiesJapan/clipboards
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【Unity道場】物理シミュレーション完全マスター
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- 17. 例：球の体積（部分） r S t V = Z t r Sdx = Zt r ⇡(r2 x2 )dx = ⇡[r2 x x3 3 ]t r = ⇡{r2 t t3 3 ( r2 r r3 3 )} = ( t3 3 + r2 t + 2 3 r3 )⇡ 円の面積を重ねる 呪文 理解 x y
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- 21. 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity +=acceleration * dt;
- 22. 速度m/sを時間tで積分→位置m 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity +=acceleration * dt;
- 23. 速度m/sを時間tで積分→位置m 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity +=acceleration * dt; position += velocity * dt; これが物理シミュ
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- 25. public class MyRigidbody: MonoBehaviour { public Vector3 acceleration; public Vector3 velocity; public Vector3 position; const float dt = 1f/60f; public void AddForce(Vector3 force) { acceleration += force; } void FixedUpdate() { velocity += acceleration * dt; position += velocity * dt; if (position.y < 0.5f) { velocity = -velocity; } transform.position = position; acceleration = Vector3.zero; } }
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- 45. 速度m/sを時間tで積分→位置m 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity +=acceleration * dt; position += velocity * dt; これが物理シミュ 加速度があれば位置を出せる
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- 50. AddForceは足すだけ void FixedUpdate() { Vector3f = new Vector3(0f, -9.81f, 0f); // 重力 f += new Vector3(1f, 0f, 0f); // 風の影響 f += new Vector3(0f, 1f, 0f); // 浮力 rigidbody.AddForce(f); } こんなふうにあらかじめ足しても良い AddForceをそれぞれ呼ぶのと同じ
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- 55. 浮力の計算はたいへん 球で代用する V = ( t3 3 +r2 t + 2 3 r3 )⇡ 単純な式で出せる！ 向きを考慮しなくていい 波の対応も容易 r S t x y
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- 58. 加速度は 微小期間の速度変化 mF= a a dv dt = mF=dv dt これも運動方程式
- 59. 加速度は 微小期間の速度変化 mF= dv dtmF =dvdt 力積 運動量（速度）の変化
- 60. 加速度は 微小期間の速度変化 mF= dv dtmF =dvdt 力積 力積も運動量も の変形に過ぎない F = ma 運動量（速度）の変化
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- 67. if (hit) { rb.AddForce(force); } if(hit) { rb.AddForce(force, ForceMode.Impulse); } 誤 正 を変えると動作が変わってしまう 瞬間的な外力には力積を使用する dt
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- 86. 「質量 」 F =m dv dt m m F v 外力 ：速度v 質量は「動かしにくさ」
- 87. T = I d! dt 慣性テンソルは「回しにくさ」 回転ににおける「慣性テンソル 」 F= m dv dt 移動における「質量 」 m I m I T ! F v 外力 トルク ：速度v ：角速度!
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- 92. B 行列 〜ベクトルに掛けるもの〜 BにPを掛けたらA AもBもひとつの値（スカラー）なら大きさしか変えない が、ベクトルの場合は大きさも方向も変えるのでPは行列 0 @ Ax Ay Az 1 A 0 @ Bx By Bz 1 A 0 @ P00 P01P02 P10 P11 P12 P20 P21 P22 1 A= PA =
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- 95. 速度m/sを時間tで積分→位置m 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity +=acceleration * dt; position += velocity * dt; これが物理シミュ 再掲 加速度があれば位置を出せる
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- 107. 速度と角速度の関係 !v = ⇥r 運動方程式 = m d dt v f fT r= X ⇥ トルクと力の関係
- 108. !T = X r ⇥m d dt ( ⇥r) 運動方程式 = m d dt v f 速度と角速度の関係 !v = ⇥ rfT r= X ⇥ トルクと力の関係 トルクと角速度の関係！
- 109. トルクと角速度の関係 ! = d dt T IT 右辺はベクトル を線形変換している この変換は必ず行列 とおけて ! （計算略） d dt I T = X r ⇥ m d dt ( ⇥r) トルクと角速度の関係！
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- 111. ~A ⇥ (~B ⇥ ~C) = ( ~A · ~C) ~B ( ~A · ~B) ~C ~r ⇥ (~! ⇥ ~r) = (~r · ~r)~! (~r · ~!)~r = |~r|2 ~! (rx!x + ry!y + rz!z)~r = |~r|2 ~! (rx!x + ry!y + rz!z) 0 @ rx ry rz 1 A = |~r|2 ~! 0 @ r2 x!x + rxry!y + rzrx!z rxry!x + r2 y!y + ryrz!z rzrx!x + ryrz!y + r2 z!z 1 A = (r2 x + r2 y + r2 z)~! 0 @ r2 x rxry rzrx rxry r2 y ryrz rzrx rxry r2 z 1 A 0 @ !x !y !z 1 A = 0 @ r2 y + r2 z rxry rzrx rxry r2 x + r2 z ryrz rzrx ryrz r2 x + r2 y 1 A ~! 参考 密度と 物体形状で を 積分したものが 慣性テンソル I
- 112. 0 @ r2 y + r2 zrxry rzrx rxry r2 x + r2 z ryrz rzrx ryrz r2 x + r2 y 1 A x y z a b c m abc Z c 2 c 2 Z b 2 b 2 Z a 2 a 2 (y2 + z2 )dxdydz = m 12 (b2 + c2 ) I = 0 @ m 12 (b2 + c2 ) 0 0 0 m 12 (c2 + a2 ) 0 0 0 m 12 (a2 + b2 ) 1 A 例：直方体の慣性テンソル ９要素すべてを計算
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- 116. 0 @ A00 0 0 0A11 0 0 0 A22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 対角化とは0 @ a00 a01 a02 a10 a11 a12 a20 a21 a22 1 A 対角行列に変換する術 対角行列 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 1 =
- 117. 0 @ A00 0 0 0A11 0 0 0 A22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 0 @ a00 a01 a02 a10 a11 a12 a20 a21 a22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 1 = IdIr I Ir 1
- 118. 0 @ A00 0 0 0A11 0 0 0 A22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 0 @ a00 a01 a02 a10 a11 a12 a20 a21 a22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 1 = IdIr I Ir 1 I = IrIdIr 1
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- 121. public class SimpleRotator: MonoBehaviour { void Update() { if (Input.GetMouseButton(0)) { var rb = GetComponent<Rigidbody>(); var omega = new Vector3(0f, 1f, 0f); var R = transform.rotation; var RI = Quaternion.Inverse(transform.rotation); var Id = rb.inertiaTensor; var Ir = rb.inertiaTensorRotation; var IrI = Quaternion.Inverse(Ir); var torque = R * Ir * Vector3.Scale(Id, IrI * RI * omega); rb.AddTorque(torque, ForceMode.Impulse); } } } 鉛直の角速度をもたらすトルクを得るサンプル （現在の姿勢も考慮したもの）
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