情報幾何学の基礎3.5-3.7です。(https://www.amazon.co.jp//dp/4434208810) ほぼ、教科書どおりですが一部補足的な説明をいてれいます。

1. 復習
が接続: 濃 鰐。 昭は 器 器
を 満たす アゾの こと
つまり 、
、
局所 座標系の 変換に 対応 して
、
ぶが
変換 が あるよう な 接続係数 が多様体
に 与え られる こと .
以下、 多様体 を 心 と 書く

2. 曲 率テンソル場
R :
xwyxxlmxxl.MN で川
に は、 Y 、 ZI 1つ の日には したがな
( XT は他の ピ級 ベクトル場 全体ノ
性
筩 0 なら ば 平行移動 が 経路 に よらない
で テンソル 性
( RHX.gY.hztfghRLX.Y.tl) を満たす
、
いっ) 型 テンソル場 と見 なな
2~TTYR.tlMIX X (MIX X ( M) → XIM )
疲 こ かい姒 が川 X で は川 が 例 → 0 km )
n e r ve

3. 捩 率 テンソル場
た がツメ XIM) -
) で川
( X 4 1 1-
) T -
T
-
[X.
Y]
性質
r
た 0 なら ば平行 移動 先 は 経路 に よら ない
・ テンソル 性 ( THX .
9 4に 打た どり )
・
1 .
1 .
2
) 型 テンソル場 と 見なせる 、
T : XIM) XIM) -
) XIM)
票 がツメ が川 メメ ( MH 0CM)

4. 3 .
5 章の 内容
を興味平坦 ⇐」 で巡の各点の 周り に
てっきりLaine がアフィン座標近傍が
存在
し
齵を 持つ 人
R も T も 共に 恒等 的は公
なる 時 ハル は 不 平坦 で ある という
- _ -
㔟つに 接続 力 をもつ 川 の 座標近傍( い たが )
っていうにおい で 接続係数印 が } が 恒等 的 に 0 と なる と き
|1い たが1 で アイン座標近傍 といい 局所座標鯏 を
隊 黔

5. 注意
nnnt
曲 率 R や 捩率 T は テンソル場 なので、
それが 0 に なる という
性質 は、 局所座標系 に よら ない 。
一方 、
接続係数 は
テンソル 場 で は ないので 兄がな0 が全て の PEU で成り だ
という 性質 は 座標系の
取り 方 に 依存する 、
証明
ii) まで
は より 接続係数 が 恒等的 に 0 .
となる局所座標系 がある
が4
) より
Rii み ぷー
お 屁と の は 1だがた 。
(3 .
1 8 ) より
Tij
"
こ ぼ ー
だ
く
こ 0
よって 、
M は P 平坦

6. "
箱管所 座標系 について 、
Ra た0 の 時、 任意の 座標近傍
ux、
灬
で1 から 1% に0 を満たす 座標近傍 に ぶろり への 変換が
あり 、
それ が 同相 事象 で あれば 、 ルル の 座標近傍 と なる
① 変よ魚 がある ことについて
「
接続係数の 座標 変換の
式 は 5) より、
に 品
に
器 器 器 +
翡。 器 (3.io
)
を 示せ ばよい ( 以下 教科書と同じ)
さて、 恒等 式 :
背 發 ン
Sf の 両辺 を ご で偏微分 する と 、
簶 + 器 器が-0
両辺 に Jacobi 行列 鬼 と 器 の 逆行列 を かける と、
髄 -
鐫舞 器が

7. この 式 を し3.201 は代入 すると
0
る
劇でい 蠟環
艶が 齶
ば が 、
劇
な
意 の知識 に み
) を 示せ ばよい 、
連立方程式の 形 で書くと 、
選 = 0と
20 た が

8. この 連立 偏 微分 方程式の
可積分条件 は
-
がどこ
も
がが
鼗器
より 、
これら を使用 すると 、
「
蕊 、
簶 録 な 点 でい た後 ならば だ な」
、
鬱蕊銃( 雌に 誂渺が ・
蠑簶
t
。潜
2兆斌 / とは 別でん だり 屁な 0 と は 砒 はん Roto
で

9. 仮定より た0.RO なので、
連立微分 方程式はな積分。
今 、
p EU に おいて い での 局所 座標表示 で 初期 条件 ( 弥 は哆
を与える。
これを 満たす は川 の 解が な 積分で あること から 、
阿 近傍
で存在 する 。 よって 、
初期 条件 を dee は冽は 0 となる が) で
取れば、 逆景像定理より、 U -
) 4 の
座標変換は 同相写像
と し 、 ぽ) を 満たす 座標 近傍( いがろり が存在 する 、 on
Them 3.5は
多様体M に 座標近傍 ( いが といぽ) が あっ て 1 では
局所 で アフィン座木栗系だった とする。
この 時 UAV において 1 列 も
|鬱鬱鬱鬱嚚鬱鬱鬱鬱鬱鬱.ee?Tsss.iEhAは孝久科 書 に

10. 3- 6 章
R.am計量 心み 型テンソル 929 ijdedxbgij.isば 劇
Riemann 多様体 : Riemann 計量 9 が与えられた多様体 (M.gl と書く
んが Riemann 接続、
(Levi -
Civitas 接続)
Riemann 多様体 はり の 各座標近傍 心 が、
一
で1 において、
っきりだ が こ だ たが こま しむ9jkttj9.intはij )
で 定まる M の アフィン接続という。
また この 接続が
定める(以上の 平行移動 を 山 に ムバで
平行移動 という
ーーーーーー
孿式 で 定が された 関数の 組で ぷがたに 接続を定める か 、
座標変換 則 : 昼に 器楽器 品は 離 器 を満たせば

11. が私 で は9のいるが -
Ni; 1
で は 9 ( 謝親ノ は 9 (淼 捻れは ば淼、
は1 讞 創は 器鋓嬥 淼t.is
+ 影a 噬縣9.cat 淼號 の
9.am・
楽器に9 が 鐚 trsab )
9 の 対称性より
も
器影ども 楽裴影 」 がい な。 9ants)
こ 龍 離、
環 鷃 ぼと

12. ここ で 、
に5) より 、
だ9 が 農農金がgekt 箱 器で、
韙継9.at 籤 影の
よっ た
なにも は) の 座標変換 が成立

13. Riemann 接続の 性質
@Pij.k は なお とる の 内 種
•
た。
状 =
9 し ない んに91 がみ みた が
91de.dkHyek@Pij.kと ア げ の 情報は 同等 ( 全 単射)
・
9 は 正定値行列 なので、
正則 、
お2 逆行列 があり、 9
か と 書ける
ヌ、9 ggjhft よって 、
な、 に なに なたばこ がよどこ が、
よっ て 正則 行列 で
移る ので、
全単射、

14. 讃 がな曲線( ピー級) に しかない だろ う に
沿っ た
2euicita~EEEpg.TT移動 を始 と書くと 、
任意の t.me た姚に対し、
9 似 た と の だ。 い ない した か
|-1証明 )
に 沿っ て
平行 な2 つ の ベクトル場 に 作。 1,
な 区間 に対し 、
内積 9 、 田 ( Yp い ない が不変で ある こと を 示せばよい。
これは、
戦いが細っ た が 20 と 同値 。
成分 表示 に考える 、
Ye が なし み たり、
Z かが は 知
9 似 たい た が 9 かげ di de は仙 弘がはがし 珱
よっ て
新 が伽は 継げ判=
は別 がぼ +9が1 鈊渕

15. Y. 2- はく に 沿っ て
平行 なので
、
」
が唎 が 内 ではなり
がいど が1 で もただ で も
これら を代入 すると
新 明には
(は
9,1
とが だら が なだらか と なり で
だ9 げ なの だ 9げたれ
たが心 t Pwi でどこ 蟵 御 げど
い、よって 、
イン テラ クス いれかえ
新 ( 4.
2-
) 北 は はら) 一応;
ー
た川 で ど が
Riemann 接続 の 定が 式より 、
t.si;
-
屁が 届い た9 ij
-
えは9
ijtdigk-tjg.it#tk9iittj9ikts)=Iltk9ij-Lgji)-Jl2i9jk-ti9が 、 主 は 9 に お 9 ik)
= 0 ( gij_gji.gs に9 が 、
9 は9 ik より 1 .
よ、 2 Riemann 接続 が 定める 平行 移動 は 、
内 禾集 大変 で ある

16. 定理16.2 w e re
Riemann 多様体 術) の アフィン接続7 が Riemann接続で ある
ため の 必要十分条件 は 、
7 が 計量的 であった が 捩新が0 である こと1--2-8し
続 が 計量的 であると は 、
計 量が平行移動 で保たれること
1--29--9--81証明 )
計量的 1 た0 の アイン接続は Riemann 接続、
計量的 である 時 、
み9
が .it T.it igjk2
局は 属 が9 .. に 尿
.it?ji.kti9jktdj9kintkgij=(Pij.ktPji.a)tYkJPkij)tlPjki-Pkjil
た 0 より、 なに な i.k.Pn.it?.i.j,PiiuTji なっ た
tigjkttjgkrtag.TN?j.k
よ、 て Riemann 接続の 定ギ 式 となる 、

17. アフィン 接矮が Riemann接続も 計量的 n た。
定理3.6 、
1 より 、
Riemann 接続の 計量的 、
ヌ、 Riemann 接続は
ij で 対称なので
たが、
こ
ななに かない が、
よっ て た
と
の t.tn た 0 0
nzzmee
座標系によらない Riemann 接続
T.ir 9 した Y.
2-
)、
軍学的 である ことは以下のよう に なる、
Xg (
Y.ZHMY.ZHH.KZ/Y9lEXk9eDt9CZ.RX)Z9LX.Y1=9RzX.Y)H(X.)
よって、
xgly.ZHYglz.DZ94.4に 917×4.2-
) +91 を )
+ (9 1 4 .
が) -917が 41419になりs N 、
かり

18. ここ で 、
g の 対称 性 と 線形 性より、
9 1 4. e
-
9 姒 は914 やxz -
砂,
9 (たが人が、 列物 には剛
た 0 何 かに 名 に [ドは 20 より 、
914,1 の子 が刈に 914,4、
砂、
9 ( いし だ砂
に9 (X,
[Y、
ZJ
)
方 が1 .
が9 は、 列 29 側が9 した がほぼ ない なら 別
これら を代入 すると、
こ 29 例 が+91で LY は
見附ながいには) で1 9 は州 では別 -9 は 、
[YH
-
9 ( Y.LX.ES) -
9 ( X .
では
川
が { kg には1 +49は州 でがり -914.1が 列
tg ( 4 .
に は 、
竹 は、
ムバ
川
( 托孤 積 の 対称 性 を使用 し な
よって、 教科書 の
通り と なった

19. 3.の 部分 多様体
っきり
智然 数 mn は m < n を満たして いると する の 次元多様体 N の部分集合化 が
N の m 次元部分多様体で あるとは、 M の 任意 の 郎の 周り に 、 N の ある
座標近傍 ( しこ かっか ) が とれて は のし で はがた 、
一 が 北 となる こ
2fnmzi.HRの 部分集合 である 単位 球面 の仁 には、 の ERで たの時11 は部分多様体
M 上 の 点 を かける。
p = 1 で 列 列 。
原点 ではないので、
では、
との どれかは0 ではない、
簡単の ため 、
で 7 0 とする .
P を含む R
'
の 開 集合 に 他は、
引 では4 ,
Z> 0
1 と定が する、
これ は、
R
'
における U の 局所 座標系と なる 、
U に 、
別 の 局所 座標系を入れる。
4 : Un P
'
91 で は、
かこ ( x . の Z -
FEF) と 定義する、
どこ が 1 と する。
4 は ピー 級微分同相 写像となる
よって ( U .
4) は 成 の 座標近傍

20. U
'
を ( a .
b .
4 を 表す、
U
'
を 4で N に 引き戻す と 、
座標変換 は、
「
ax.by CA-
Fotyhy と なる、
王求面 上で、
CaO より 、
MU U -
1 1 ab.de UI に
01
Z 70 とした が、
ZO でも 成立 、
又 、
Zのみ ならず、
0.2 で も成立、
よって、
M 上の 任意の 点で
MUUTIX.AZ/EUlxwortoore1 が
MM 2次 多様体 と なる、
篠鬣欝鼗 雋多様体 性での 部分多様体 とす
るtTEf
任意の p
EM と KYE NMI に対し 、
TYPE TPM
と なる 時 、 M は 接続 力 に関する Nの 自己 平行部分多様体
u.int

21. clef .
全測地的部分多様体
N を アフィン 接続 マ を持つ 多様体 、
ルイを" の 部分多様体とする
|鑾の祭質と た嵓器、
? の鬱鬱
.TT/PHEMとなるとき 、 M は接続 力 に関する N の 全測地的
部分 多様体 で あるという 、
-
つまり 、 全測地的 部分多様体 で ある と PEM を通り 、
1つ で M に
接する
"
N の
り
測地線が、
州 の 中 に 留まっ ている という こと、
The 3.
7-
1
tthhf14 を アフィン 接続 7を 持つ 多様体 、
MIN の 部分多様体
と する、
ルル が 自己 平行 である なら ば、
ルイ は全測地的 で
如leesee

22. (補足) 自己平行 なら ば たと0
( に し が 、
mH と は
叶
定義より 、
肩 が なれ、
自 と平行の 場合、
"
( にげ ミツ
に ijtm において、
ntltk En の
影響 は 常に ない 。
よって この 成分の 接続係数 は0 .
である 必要 がある、
以上 から
だた 。 11 代 に m.mn ん に
川

23. ( 証明 )
从が自己平行で ある とき か を局所 的 に したー
」
が
、 0.no ) と
表す
N の
座標近傍 ( いがが、
が、
一
刈 に関する 接続係数
だが 全ての 任じ た m.mn EKIN に対して、
M 上で Pfo、
今 、
がし りこ が10120 Lmt に kEn ) で、
1 4 の 測地 線 方程式の
でないが印 に11 姚成 にいこ 0
で 装がい tf だが城に 0 倒
これ は 任意の 初期条件 は4 0 1 .
が H Hwan に対して 一意な
解 ( かい ー
が 円) を持っ 、
ヌ、 mt に km で
は新能など が 8 ixboa で は 0
では い i
mini( mH W = 0
2 0 (orntl t.tl ( ど-0 )

24. もし がした atl ( 0 で の 時
a.塒 選で望地で北では
総灤ど
た。
任意の だ成り立つ 時 awo 、
御だが
よって で は こ 0 .
よっ 2 .
では0 ( mtには
川
以上より、 測地線は 1では
一
では 0 .
.
.
. 0) となり 、
M は 全シ則 地的
Th . 7.
2
の筋籖襲器霳 鬱鬱器、
leeels一s一し教科書の
通り なので、 スキップ)

25. 、
鬱鬱!鬱鬱鬱鬱鬱鬱時 以下 が
訕TTTTf
Mm次元部分多様体 M が自己平行
↳ 仏 がN の アフィン 座標系D.im の アフィン部分空間 に対応。
つまり 、
M の ある局所座標系例 にau
と rank Azm なる
nxm 行列 A、
および BER " があり、
以下の よう に なる
ilne_

26. (証明)
か) M が 自己平行 なら、
平坦なN の アファイン 接続から 川 に
誘導 された 接続 戸 の 曲 率も捩率 も 0 。
よって 、 M は
し、 アファイン座標系を持つ 。 それを 134, un とする。
M 上で ( Men は かにに m の 関数 となり 、
共 変徳欠分の 定かと 接続係数の 変換より
0 -
T.ba た が ( 飛器 なな 器が み、
も) に ien は N の がアフィン座標系なので 卩が w
よ っし 器が0 、
これを 解くと
巘 川

27. k) が2 0 で
鼷が 1 割 は 讞」
より
かね ば 鄂州-
劇 teay
これが 全ての 点 p で 成立 する ので、
やり たい m を 拡張して 、
13 en.TO では En
を とると
Radb こ
Paste O .
( に a に ml
よって 、
名 が-0
( 1 Eab Em 、
mtkc En
) より .
M は 自己 平行 。
さらに 座標系 ( 列 a.am
は、
元 アイン座標系

28. まとめ 、
( アフィン接続 の 性質 1
曲 率0 07
が計量的 部分多様体○
S と 8 0
e.
'
鼗淑○蠟
全測
な① Riemann 多様体
fし
t 」
:
翻
巉:鬱鬱
.tt?
鼷 鬱鬱鬱鬱望