Trigonometri merupakan cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi pada bangun datar, khususnya segitiga. Dokumen menjelaskan tentang perbandingan trigonometri seperti sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, dan kotangen serta menunjukkan rumus dan contoh penggunaannya. Selain itu dibahas pula identitas trigonometri dan nilai khusus trigonometri untuk sudut-sudut tertentu se

1. TRIGONOMETRY
SINE &
TRIGONOMETRY TRIGONOMETRY COSINE
RATIOS IDENTITY RULE
TRIANGLE
AREA

2. A. Trigonometri ratios
hypotenuse
Right-angle side

Right-angle side S
opposite side O
Sine  =
hypotenuse h c
cosine =
adjacent side a t
hypotenuse
h o
tan = opposite side
a
adjacent side

3. Secant
( sec )
 =
hypotenuse
adjacent side
Cosecant 
( csc/cosec )
=
hypotenuse
opposite side
Cotangen
( cot )  =
adjacent side
opposite side

4. Sisi miring
sisi depan

Sisi samping
de
sisi depan
Sinus  =
sisi miring
mi
Cosinus  =
sisi samping sa
sisi miring
sisi depan
mi
tangen = de
sisi samping
sa

5. sisi miring
Secan  = 1 =
( sec ) cos  sisi samping
Cosecan  = 1
sin 
=
sisi miring
( csc ) sisi depan
Cotangen
( cot / ctg )  =
cos 
sin 
=
sisi samping
sisi depan

6. Example 1 :
It is known that triangle ABC is right angled on point B with
AB = 3 cm, BC = 4 cm and measure of angle BAC = 
Determine the value of :
a. Sine  d. sec 
b. Cos  e. csc 
c. Tan  f. cot 
Solution :
C
AC2 = AB2 + BC2
4 cm 5 = 32 + 42
= 9 + 16
 A = 25
B 3 cm
AC = 25
AC = 5

7. a. sin  =
4
5
b. cos  =
3
5
c. Tan  = 4
3
d. sec  = 5
3
e. csc  =
5
4
f. cot  =
3
4

8. Example 2 :
=
1
If sine then determine the value of :
d. sec 
3
a. Sine 
b. Cosine  e. csc 
c. tangen  f. Cot 
Solution :

8
b. cosine =
3
tangen 
3 1 1 2 1
1 c. =  8 2 2
8 8 8 4

8
d. Sec  =
3
=
3
2
8 4
e. csc  = 3 f. cot  =
8
1

9. Example 3 :
Determine other trigonometric ratios values if it is known
that cos 
= 0,4 . 
is an acute angle
Solution : 21 1
sin  =  21
5 5
5 21 1
21 tan  =  21
2 2
 5
2 sec  =
2
5 5
4 2 csc  =  21
0,4 =  21 21
10 5
2 2
cot  =  21
21 21

10. Perbandingan Trigonometri
sudut-sudut khusus
( sudut istimewa = Extraordinary angles )
Sudut-sudut khusus yang dimaksud adalah :
00, 300, 450, 600, 900
Untuk menentukan perbandingan trigonometri sudut 00 dan 900
Kita bisa gunakan lingkaran satuan di koordinat Cartesius.

11. P(x,y) Titik P (x,y) terletak pada lingkaran
satuan.
y Garis OP membentuk sudut 
o dengan sumbu x.
N x
Panjang ON adalah x satuan,
panjang PN adalah y satuan dan
y panjang OP adalah 1 satuan ( krn
OP jari-jari lingkaran )
 ONP adalah segitiga siku – siku
.
Perbandingan trigonometri untuk sudut  adalah sbb :
sin  =
y
1
= y, cos  =
x
= x, tan  =
y
x
1

12. Jika  = 00, maka garis OP berimpit dengan sumbu x,
dengan demikian posisi P adalah ( 1, 0 ), akibatnya :
Sin 00 = y = 0
Cos 00 = x = 1
y 0
Tan 00 =  0
x 1
Jika  = 900, maka garis OP berimpit dengan sumbu y,
dengan demikian posisi P adalah ( 0, 1 ), akibatnya :
Sin 900 = y = 1
Cos 900 = x = 0
y 1
Tan 900 =   tak terdefnisi
x 0

13. Untuk sudut 300, Perhatikan gambar dibawah ini:
B  ABC siku – siku di C,
600
c  BAC = 300 dan  ABC = 600
a
300  ADC merupakan pencerminan
A b 900 C
dari  ABC terhadap AC
Karena setiap sudut pada  ABD
= 600, maka  ABD= sama sisi
D sehingga AB = AD = BD = 2a
atau c = 2a
Dalam  ABC berlaku teorema Pythagoras :
c2 = a2 + b2
(2a)2 = a2 + b2
b2 = 4a2 – a2
b = 3a 2 a 3

14. Kita peroleh :
a a = 1 b a 3 1
sin 300 = = Sin 600 = = = 3
c 2a 2 c 2a 2
b a 3 1 a a 1
cos 300 = = = 3 Cos 600 = =
=
c 2a 2 c 2a 2
1 a b a 3
a= Tan 600 = = = 3
Tan 300 = = 3 a a
b a 3 3

15. Untuk sudut 450
Perhatikan gambar dibawah ini :
B
 ABC siku siku di C dan  BAC = 450
c Karena  BAC = 450 maka
a
 ABC = 450 sehingga  ABC
450 merupakan segitiga siku-siku sama
A b C kaki ( a = b )
c2 = a2 + b2
= a2 + a2
= 2a2
c = 2a 2 = a 2

16. B
Kita peroleh :
a 2 Sin 450 =
a =
1
a 2
a 2 2
450
C
A a
a 1
Cos 450 = = 2
a 2 2
a
Tan 450 = = 1
a
Berdasarkan nilai perbandingan trigonometri diatas, kita
dapat mengganti panjang sisi – sisi pada gambar menjadi
a = b = 1 dan c = 2

17. Tabel perbandingan trigonometri sbb :
Trigonometry ratios Extraordinary angles = sudut – sudut istimewa
00 300 450 600 900
1 1
sine  0
1
2 2
2
2
3 1
1
cosine  1
2
3 1
2
1
2
0
2
tan  0 1
3 1 3 undefined
3

18. Example 1 :
Determine the value of :
a. sin 30  cos 45  tan 45
0 0 0
b. sin 30
2 0
 cos 302
Solution :
a. sin 30  cos 45  tan 45
0 0 0
= 1 1 – 1
+ 2
2 2
1 1
= 2–
2 2

19. b. sin 30  cos 30
2 0 2
= sin 30   cos 30 
0 2 0 2
2
1 + 1 
2
=    3
2 2 
1 3
=   +
 
4 4
= 1

20. cos 450. cos 300  sin 450. sin 600
c.
tan 300. tan 600
1 1 1 1
2. 3 2. 3
= 2 2 2 2
1
3. 3
3
1 1 1
6.  6 6
= 4 4 = 2
1 1
.3
3
1
= 6
2

21. B. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Teorema Phytagoras :
y
x2 + y2 = r2
Jika dibagi dengan r2 maka :
x2 y2 r2
B
2
 2  2
r r r
r 2 2 2
y  x  y r
      
 r   r  r
x O x A
cos   sin   1
2 2

22. x2 + y2 = r2 x2 + y2 = r2
Jika dibagi x2 maka : Jika dibagi y2 maka :
2 2 2
2 2 2 x y r
x y r
 2  2 2
 2  2
x 2
x x y y y
2 2 2
 x  y r
2 2 2
 x  y r 
             
 y  y  y
 x  x  x      
1+tan2  = sec2  cot   1  csc 
2 2

23. contoh Buktikan :
cos 
2
1.  1  sin 
1  sin 
Ruas kiri
=
cos 2
1  sin 
=
1  sin 2 
 a b
2 2
 a  ba  b
1  sin 
1  sin  1  sin  
=
1  sin 
= 1 sin 

24. 2.
cos A  sin Acos A  sin A  1  2 sin 2
A
ruas kiri :
= cos A  sin Acos A  sin A
= cos 2 A  sin 2 A
= 1  sin A  sin A
2 2
= 1 2 sin 2 A

25. 3.
4

cos  1  tan   cos  2
 2
ruas kiri
=
4

cos  1  tan  2

= cos  sec 
4
 2

 1 
= cos  
4

 cos  
2
 1 
= cos  . cos  
2 2

 cos  
2
= cos 
2

26. 4. 1  cot   csc 
2 2
Ruas kiri :
= 1 cot  2
sin 2  cos 2 
= 
sin 
2
sin 2 
= sin 2   cos 2 
sin 
2
=
1 = csc 2

sin 2

27. 5 1  tan  1  cos    tan
2 2 2

Ruas kiri :
= sec  . sin 
2 2
1
= . sin 
2
cos 
2
= sin  2
cos 
2
= tan 
2

28. KOORDINAT KUTUB / POLAR
P(x,y) P(r,  )
r r
y y
 
O O
x x
Koordinat cartesius Koordinat polar/kutub
sin  = y r= x2  y2
r
y = r sin  tan  =
y
x x
cos  = r y
 = arc tan
x = r cos  x

29. Tentukan koordinat cartesius dari titik berikut :
1. P ( 5, 450 )  Pr ,  
x = r cos  y = r sin 
= 5 cos 450 = 5 sin 450
= 5.
1 1
2 = 5. 2
2 2
5 5
= 2 = 2
2 2
Jadi koordinat cartesius P ( x,y ) adalah
5 5 
 2 , 2
2 2 

30. 2. Tentukan koordinat polar dari titik P ( 4, – 4 )
P ( 4, – 4 )  P x , y 
y
r x y tan  
2 2
x
r  4   4
2 2
4
tan    1
4
r  32
r4 2   arc tan 1
  3150
Jadi koordinat kutub P(4,– 4 ) adalah 
P 4 2 , 3150 

31. ATURAN SINUS
C Lihat ACD Lihat BCD
CD CD
b a sin A  sin B 
AC BC
CD = AC sin A CD = BC sin B
B
A D CD = a sin B
CD = b sin A
c
CD = CD
b sin A = a sin B
a b

sin A sin B

32. C
E a
Lihat ACE Lihat ABE
b AE AE
sin C  sin B 
AC AB
B AE = AC sin C AE = AB sin B
A c
AE = b sin C AE = c sin B
AE = AE
b sin C = c sin B
b c

sin B sin C
a b c
Jadi  
sin A sin B sin C

33. Contoh 1
Diket  ABC dengan A  300 Panjang sisi BC = 2 cm,
Dan panjang sisi AB = 4 cm. Tentukan besar sudut dan
Panjang sisi yang belum diketahui.
C
a c
b 
2 sin A sin C
0
30 2

4
A 4 B 0
sin 30 sin C
2 sin C = 4 sin 300
1
4.
sin C  2 1
2
C  90 0

34. b  c a
2 2
B  180  (30  90 )
0 0 0
b  4 2
2 2
B  60 0
b  16  4
b  12
b2 3
2. Diket  ABC A  300 , C  450 dan panjang sisi
AB = 5 cm. Tentukan besar sudut B dan panjang sisi a
dan sisi b

35. A
30 0 B  180  (30  45 )
0 0 0
b
5 B  1050
450 C
B a
a c 5
 a
sin A sin C 2
a sin 450 = 5 sin 300 5 2
a .
1 1 2 2
a. 2  5.
2 2 5
1 a 2
5. 2
a 2
1
2
2

36. b c
 b

a
sin B sin C sin B sin A
b 5 5
 2
sin 105 0
sin 45 b
 2 0
sin 1050 sin 30
b sin 450 = 5 sin 1050
5
2 . sin 1050
b . 0,707  5. 0,97 b 2 0
5. 0,97 sin 30
b  1
0,707 5. 2 .0,97
4,85 b 2
b  1
0,707 2
b  6,859 b  6,859

37. ATURAN COSINUS
C Lihat ACD
b BD = AB – AD
a AD
cos A  BD = c – b cos A
AC
D B
A AD = AC cos A
c
AD = b cos A
Lihat ACD Lihat BDC
CD 2  AC 2  AD 2 CD2  BC 2  BD 2
 b  b cos A  a  c  b cos A
2 2 2 2
CD2  b 2  b 2 cos 2 A  a 2  (c 2  2bc cos A  b 2 cos 2 A)
CD2  a 2  c 2  2bc cos A  b 2 cos 2 A

38. CD2 = CD2
a  c  2bc cos A  b cos A  b  b cos A
2 2 2 2 2 2 2
a  b  c  2bc. cos A
2 2 2
Rumus untuk mencari sisi :
a  b  c  2bc. cos A
2 2 2
b  a  c  2ac. cos B
2 2 2
c  a  b  2ab. cos C
2 2 2

39. Untuk mencari besarnya sudut :
b c a
2 2 2
cos A 
2bc
a c b2 2 2
cos B 
2ac
a 2  b2  c2
cos C 
2ab

40. Contoh 1:
Diketahui segitiga ABC dengan a = 6 cm, b = 4 cm dan
C  1200 Hitunglah panjang c.
Jawab :
A
c  a  b  2ab. cos C
2 2 2
c
b=4
1200 c  6  4  2.6.4. cos120
2 2 2 0
B
C a=6  1
c  36  16  2.6.4.  
2
 2
c  76
2
c  76  c  2 19

41. 2. Dalam segitiga ABC diketahui C  600 panjang
sisi b = 6 cm, panjang sisi c = 2 13 cm
Tentukan panjang sisi a.
C c  a  b  2.a.b. cos C
2 2 2
b=6
600 ?
2 13   a
2 2
 6  2.a.6. cos 60
2 0
1
B 52  a  36  12a 
2
A c  2 13 2
52  a  36  6a
2
a  6a  16  0
2
a  8a  2  0
a 8  a  2

42. 3. Sebuah segitiga KLM dengan panjang sisi KL = 12 cm
panjang sisi KM = 10 cm dan panjang sisi LM =2 31 cm
Tentukan besar sudut K
l 2  m2  k 2
M cos K 
2.l.m
10 2 31
10 2  12 2  (2 31) 2
cos K 
12 L 2.10.12
K 100  144  124
cos K 
240
120 1
cos K  
240 2
 K  60 0

43. FORMULA OF RELATED ANGLE
TRIGONOMETRIC RATIOS
( RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI )
A. ANGLE  WITH 900  
'

B ' X ' ,Y '  Y=X
A x'
y'
r
900   B(X,Y)
 r
y

O C X
A

44. x
sin   sin  
y
r r
y
cos   cos  
x
r r
x
tan   tan  
y
y
x
Relasi di kwadran I
 
sin 90    cos 
0
cos 90 0
    sin 
tan 90 0
    cot 

45. y
y
sin   y
sin  
r r
x
cos    cos  
x
r r
y
tan    tan  
y
x
B x
r r
y y
 
-x  o  x A x
-y r -y
r
y
y sin   
sin    r
r
x
cos   
x cos  
r r
y
tan  
y tan   
x x

46. Relasi di kwadran II
 
sin 180    sin 
0
cos 180 0
     cos  Relasi dikwadrat IV
tan 1800
     tan 
 
sin 360     sin 
0
cos 360 0
    cos 
tan 360      tan 
Relasi dikwadran III 0
 
sin 180     sin 
0
cos 180 0
     cos 
tan 1800
    tan 

47. x
sin   
r y
y sin  
cos   -x r
r x
x cos  
tan    r
y r y
y tan  
 x
r
y

x
x
sin   
r
 sin  
x
cos   
y r -y
r
r y
cos   
x x r
tan   
y y x x
-x tan   
y

48. Relasi dikwadran II :
 
sin 90    cos 
0
cos 90 0
     sin  Relasi dikwadran IV :
tan 90 0
     cot   0

sin 270     cos 
Relasi dikwadran III : cos 270 0
    sin 
 
sin 270     cos 
0
tan 270 0
     cot 
cos 270 0
     sin 
tan 270 0
    cot 

49. Matur Nuwun