เอกสารให้ความรู้

1. ปราณี มาสตูล การแปลงทางเรขาคณิต กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

2. การแปลงทางเรขาคณิต

3. การแปลงทางเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณิตบนระนาบสามแบบ คือ การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งอย่างทั่วถึงระหว่างจุดที่สมนัยกันบนระนาบซึ่งเป็นจุดบนรูปต้นแบบกับจุดบนภาพที่ได้จากการแปลงนั้น ได้แก่ การเลื่อนขนาน การสะท้อนและการหมุน ภาพที่ได้จากการแปลงเหล่านี้มีรูปร่างเหมือนกันและขนาดเท่ากันกับรูปต้นแบบ

4. การเลื่อนขนาน ( Translation) การ เลื่อนขนานต้องมีรูปต้นแบบ ทิศทางและระยะทางที่ต้องการเลื่อนรูป การ เลื่อนขนานเป็นการแปลงที่จับคู่จุดแต่ละจุดของรูปที่ได้จากการเลื่อนรูปต้น แบบไปในทางทิศทางใดทิศทางหนึ่งด้วยระยะทางที่กำหนด จุดแต่ละจุดบนรูปที่ได้จากการเลื่อนขนานระยะห่างจากจุดที่สมนัยกันบนรูปต้น แบบเป็นระยะทางเท่ากัน การเลื่อนในลักษณะนี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “ สไลด์ ( slide)”

5. การเลื่อนขนานบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีการเลื่อนจุดทุกจุดไปบนระนาบตามแนวเส้นตรงในทิศทางเดียวกันและเป็นระยะทางที่เท่ากันตามที่กำหนดในการบอกทิศทางและระยะทางของการเลื่อนขนาน จะใช้เวกเตอร์เป็นตัวกำหนด เช่นเวกเตอร์ OP เขียนแทนด้วย ซึ่ง จะมีทิศทางจากจุดเริ่มต้น O ไปยังจุดสิ้นสุด P และมีขนาดเท่ากับความยาวของ ดังรูป

7. จากรูป จะได้ว่า , , และ จะขนานกับ และ = = = = OP การกำหนดเวกเตอร์ของการเลื่อนขนานอาจให้จุดเริ่มต้นอยู่บนรูปต้นแบบหรืออยู่นอกรูปต้นแบบได้จากตัวอย่างข้างต้น สรุปการเลื่อนขนานได้ดังนี้ 1. รูปต้นแบบกับภาพที่เกิดจากการเลื่อนขนานเท่ากันทุกประการ 2. ระยะห่างระหว่างจุดที่สมนัยกันของรูปต้นแบบกับภาพที่เกิดจากการเลื่อน ขนานหรือขนาดของการเลื่อนขนานเท่ากัน 3. ส่วนของเส้นตรงที่สมนัยกันของรูปต้นแบบกับภาพที่เกิดจากการเลื่อน ขนานจะเท่ากันหรือขนานกัน 4. การเลื่อนขนานจะต้องมีทิศทาง

8. การสะท้อน ( Reflection) การสะท้อนเป็นการแปลงที่มีการจับคู่กันระหว่างจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุด แต่ละจุดบนรูปสะท้อน โดยที่รูปที่เกิดจากการสะท้อนมีขนาดและรูปร่างเช่นเดิม หรือกล่าวว่ารูปที่เกิดจากการสะท้อนเท่ากันทุกประการกับรูปเดิม เส้น สะท้อนจะแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดแต่ละจุด บนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปสะท้อนที่สมนัยกัน นั่นคือระยะระหว่างจุดต้นแบบและเส้นสะท้อนเท่ากับระยะระหว่างจุดสะท้อนและ เส้นสะท้อน

9. การสะท้อนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีเส้นตรง m ที่ตรึงเส้นหนึ่งเป็นเส้นสะท้อนโดยแต่ละจุด P บนระนาบจะมีจุด P ? เป็นภาพที่ได้จากการสะท้อนจุด P โดยที่ 1. ถ้าจุด P ไม่อยู่บนเส้นตรง m แล้วเส้นตรง m จะแบ่งครึ่ง และตั้งฉากกับ 2. ถ้าจุด P อยู่บนเส้นตรง m แล้วจุด P และจุด P ? เป็นจุด เดียวกัน

10. ตัวอย่าง การสะท้อนที่มีเส้นตรง m เป็นเส้นสะท้อน กรณีที่ 1 ทุกจุดบนรูปต้นแบบไม่อยู่บนเส้นตรง m

11. กรณีที่ 2 มีบางจุดบนรูปต้นแบบอยู่บนเส้นตรง m

12. สมบัติของการสะท้อน มีดังนี้ 1. รูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการสะท้อนเท่ากันทุกประการ 2. ส่วนของเส้นตรงบนรูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการสะท้อนของ ส่วนของเส้นตรงนั้น ไม่จำเป็นต้องขนานกันทุกคู่ 3. ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดที่สมนัยกัน บนภาพทีได้จากการสะท้อนจะขนานกันและไม่จำเป็นต้องยาว เท่ากัน

13. การหมุน ( Rotation) การหมุนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีจุด O ที่ตรึงจุดหนึ่งเป็นจุดหมุนแต่ละจุด P บนระนาบมี P ? เป็นภาพที่ได้จากการหมุนจุด P รอบจุด O ตามทิศทางที่กำหนดด้วยมุมที่มีขนาด K โดยที่ 1. ถ้าจุด P ไม่ใช่จุด O แล้ว OP = OP' และขนาดของ เท่ากับ k 2. ถ้าจุด P เป็นจุดเดียวกันกับจุด O แล้ว P เป็นจุดหมุน

14. สมบัติของการหมุนมีดังนี้ 1. รูปต้นแบบกับภาพที่ได้จากการหมุนเท่ากันทุกประการ 2. ส่วนของเส้นตรงบนรูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการหมุนส่วนของ เส้นตรงนั้นไม่จำเป็นต้องขนานกันทุกคู่ 3. จุดบนรูปต้นแบบและภาพที่ได้จากการหมุนแต่ละคู่จะอยู่บนวงกลม ที่มีจุดหมุนเป็นจุดศูนย์กลางเดียวกัน แต่วงกลมเหล่านี้ไม่ จำเป็นต้องมีรัศมียาวเท่ากัน

15. ตัวอย่างที่ 1 กำหนด D ABC เป็นรูปต้นแบบ จุด O เป็นจุดหมุน จงหา D A' B' C' ซึ่งเป็นภาพที่ได้จาก การหมุน D ABC ทวนเข็มนาฬิกาด้วยมุมที่มีขนาด k

16. สร้าง , และ ทวนเข็มนาฬิกาให้มีขนาดเท่ากับ k และให้ OA = OA OB = OB , OC = OC ดังนี้

17. 1. ลาก 2. สร้าง ให้มีขนาดเท่ากับ k 3 . ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี OA เขียนส่วนโค้งตัด ที่จุด A ? 4. ลาก 5. สร้าง ให้มีขนาดเท่ากับ k 6 . ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี OB เขียนส่วนโค้งตัด ที่จุด B ?

18. 7. ลาก 8. สร้าง ให้มีขนาดเท่ากับ k 9 . ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี OR เขียนส่วนโค้งตัด ที่จุด C ? 10. ลาก , และ จะได้ D A' B' C' เป็นภาพที่ได้จากการหมุน D ABC ทวนเข็มนาฬิการอบจุด O ด้วยมุมที่มีขนาด k