Đề thi thử Đại học môn Toán

1. TRƯỜ G THPT ĐẶ G THÚC HỨA
GIÁO VIÊ : TrÇn §×nh HiÒnTrÇn §×nh HiÒnTrÇn §×nh HiÒnTrÇn §×nh HiÒn
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦ 1 - ĂM 2010
Môn thi: TOÁ ; Khối: A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.
PHẦ CHU G CHO TẤT CẢ THÍ SI H (7,0 điểm):
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số 3 2
3 4y x mx m= − + (1) , m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số (1) cùng
gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích bằng 8.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình 6 6 2
4(sin cos ) cos4 4cos2 .sin .sin
3 3
x x x x x x
π π   
+ − = − −   
   
2. Giải bất phương trình 2 2
9 9 3x x x x x+ − − − − ≤ − , ( )x R∈
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân
2
3
2
0
1
4
ln
4
x
I x dx
x
 −
=  
+ 
∫
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A; 0
60ABC = ; AB = 2a; cạnh bên
AA’ = 3a. Gọi M là trung điểm cạnh B’C’. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (A’BM) theo a và tính góc
giữa hai mặt phẳng (A’BM) và (ABC).
Câu V (1,0 điểm)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 3
a b b c c a
a b c
c a b
+ + +
+ + ≥ + + +
PHẦ RIÊ G (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chu n
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là M( - 1; 1). Gọi N là trung
điểm cạnh AC. Biết phương trình đường trung tuyến BN là x - 6y - 3 = 0 và đường cao AH là 4x – y – 1 = 0.
Hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1
1
:
1 2 2
x y z −
∆ = =
− −
; 2
3 2
:
2 1 2
x y z− +
∆ = =
−
và
mặt phẳng (P): x + y + 4z + 2 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng 1∆ và điểm N trên đường thẳng 2∆
sao cho MN song song với mặt phẳng (P) đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng MN với mặt phẳng (P)
bằng 2 .
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn 2
| | 2z z+ = và | | 2z =
B. Theo chương trình âng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2
1 : ( 1) 4C x y+ + = và ( ) 2 2
2 :( 1) 2C x y− + = .
Viết phương trình đường thẳng ∆ , biết đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn ( )1C đồng thời đường thẳng
∆ cắt đường tròn ( )2C tại 2 điểm phân biệt E, F sao cho EF = 2.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:
1 1 4
x y z −
∆ = = và điểm M(0; 3; - 2). Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng ∆, đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng
∆ với mặt phẳng (P) bằng 3.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải phương trình : 2
2 2
2
log
2
log , ( )2. x x
x Rx x
 
+ ∈ 
 
=
---------------Hết---------------
Thông báo: Trường THPT Đặng Thúc Hứa sẽ tổ chức thi thử ĐH,CĐ khối A,B,C lần 1 vào chiều Thứ 7(13/3) và
ngày Chủ nhật (14/3/2010). Mọi chi tiết xin liên hệ Thầy: guyễn Phương Kháng, Phạm Kim Chung hoặc vào
trang web http://www.dangthuchua.com
Thi th Đ i h c www.toanpt.net

2. ĐÁP Á ĐỀ THI THỬ ĐH L1 – ĂM 2010 – TRƯỜ G THPT ĐẶ G THÚC HỨA
CÂU ỘI DU G ĐIỂM
I-1 1
I-2 Đk để hàm số có cực đại, cực tiểu là: m≠0. (*)
Hai điểm cực trị của đồ thị là: A(0; 4m), B(2m;4m - 4m3
).
0,25
0,25
PT đường thẳng OA là: x = 0; OA = |4m|, d(B,OA) = d(B,Oy) = |2m|
Diện tích tam giác OAB là
1
. ( , )
2
S OA d B OA= ⇔ |2m||4m|=16 ⇔ 2m = ± (Thỏa mãn đk (*))
0,25
0,25
II-1
PT⇔
5 3cos4
cos4 2cos2 cos cos( 2 )
2 3
x
x x x
π
π
+  
− = − − 
 
⇔ 2 + cos2
2x = cos2x(1 + 2cos2x)
0,25
0,25
⇔ cos2
2x + cos2x – 2 = 0 ⇔ cos2x = 1 v cos2x = - 2 (Vô nghiệm)
⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ , (k ∈Z)
0,25
0,25
II-2 Đk: x ≥ 3.
Vì hai vế của BPT không âm nên BPT ⇔
2 2 2
2 2 ( 9)( 9) ( 3)x x x x x x− + − − − ≤ −
0,25
0,25
⇔ x2
– 8x + 15 ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 v x ≥ 5
Kết hợp Đk ta có tập nghiệm của BPT là { } [ )3 5;T = ∪ +∞
0,25
0,25
III
Đặt
2
4
2
4
3
16
4
ln 16
4
4
4
x
x du dx
u x
x
x
vdv x dx
  − ==   −
+ ⇒  
  = −= 
0,25
+0,25
Do đó ( )
12
4
2
0
11 4
16 ln 4
04 4
x
I x xdx
x
 −
= − − 
+ 
∫
= 15 3
ln 2
4 5
 
− − 
 
0,25
0,25
IV
2 3AC a= ; BC = 4a, A’M = 2a;
Gọi A’H là đường cao của tam giác vuông A’B’C’
⇒AH= 3a và AH ⊥ (BCC’B’)
Diện tích tam giác MBC là
2
6MBCS a=
Thể tích khối chóp A’.MBC là
3
'.
1
' . 2 3
3
A MBC MBCV A H S a= =
Gọi B’I là đường cao của tam giác đều A’B’M.
⇒ ' 3B I a= ; BI ⊥ A’M và BI = 2 3a .
Diện tích tam giác A’BM là
2
'
1
. ' 2 3
2
A BMS BI A M a= =
Do đó thể tích khối chóp C.A’BM là
3
. ' '
1
( ,( ' )). 2 3
3
C A BM A BMV d C A BM S a= = ⇒ d(C,(A’BM))= 3a.
0,25
0,25
0,25
Góc giữa hai mặt phẳng (A’BM) và (ABC) bằng góc giữa hai mặt phẳng (A’BM) và (A’B’C’) bằng góc BIB’
0'
tan ' 3 ' 60
'
BB
BIB BIB
B I
= = ⇒ =
0,25
V
Áp dụng BĐT Côsi và BĐT Bunhiacopsky ta có 3 3a b c a b c+ + ≥ = (1)
( )
( )
2
2
(2)
(3)
a b ca b c
a b c
c a b c a b
b c ab c a
a b c
c a b c a b
+ +
+ + ≥ = + +
+ +
+ +
+ + ≥ = + +
+ +
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có đpcm. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.
0,25
0,25
0,25
0,25
A
B
C
A’ C’
B’
3a
2a
M
600
I
H

3. VIa-1 Gọi A(a;4a-1)∈ AH; B(6b+3; b)∈ BN. Do M(- 1;1) là trung điểm của AB nên a =1; b = - 1
A(1; 3), B(- 3; - 1). Phương trình cạnh AB là: x – y + 2 = 0.
0,25
0,25
Phương trình cạnh BC là: x + 4y +7 = 0. Gọi C(- 4c - 7;c)∈BC. Trung điểm cạnh AC là
3
2 3;
2
c
c
+ 
− − 
 
Do N∈ BN nên c = - 3. Hay C(5; - 3) và phương trình cạnh AC là 3x + 2y – 9 = 0.
0,25
0,25
VIa-2 Gọi M(t; - 2t; 1- 2t)∈ 1∆ ; N(2k; 3-k;- 2+ 2k)∈ 2∆ . Ta có (2 ; 2 3;2 2 3)M k t k t k t= − − + + + −
Một vectơ pháp tuyến của (P) là (1;1;4)Pn = . Từ giả thiết MN//(P) và d(MN,(P))= 2 ta có hệ PT
0,25
0,25
4
9 9 9 0
. 0 0 3
| 6 9 |
2 1 1( ;( )) 2
3 2
3
P
t k t
M n t
vt
kd M P k
+ − = = = =  
⇔ ⇔−   
= ==    = − 
M(0;0;1), N(2;2; 0) hoặc
4 8 5 2 10 8
( ; ; ), ( ; ; )
3 3 3 3 3 3
M − − − −
0,25
0,25
VIIa Gọi số phức z = x+ yi (x,y ∈ R). Ta có z2
= x2
– y2
+ 2xyi; z x yi= − . Từ giả thiết ta có hệ phương trình 0,25
2 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2
( ) (2 ) 2 (2 4) (4 )(2 1) 4
42
x y x xy y x x x x
y xx y
 − + + − =  + − + − − = 
⇔ 
= −+ = 
0,5
1 12
0 3 3
x xx
v v
y y y
= = = −  
⇔   
= = = −   
. Vậy có 3 số phức thỏa mãn là 2; 1 3 ; 1 3z z i z i= − = + = − 0,25
VIb-1 Đường tròn (C1) có tâm I1(0;- 1), Bán kính R1 = 2. Đường tròn (C2) có tâm I2(1; 0), bán kính R2 = 2
Từ giả thiết ta có ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C1) và cách tâm I2 một khoảng bằng
2
2
2
EF
1
2
R
 
− = 
 
0,25
TH1: Nếu đường thẳng ∆ vuông góc với trục Ox: ∆ có pt dạng x – m = 0.
Từ gt ta có d(I1, ∆ ) = R1 và d(I2; ∆ ) = 1 ta có m = 2. Vậy pt đường thẳng ∆ : x – 2 = 0. 0,25
TH2: Nếu đường thẳng ∆ không vuông góc với trục Ox: ∆ có pt dạng kx – y + b = 0
Từ gt ta có d(I1, ∆ ) = R1 và d(I2; ∆ ) = 1 ta có hệ
2
2
2
|1 |
2 |1 | 2 1 01
2 1| | 11 21 3
1
b
b k kk
kk b bb k v b
k
+
=  + = + =+ 
⇔ ⇔  − −+ == − =  =  +
. Phương trình đường thẳng ∆ : y – 1 = 0.
0,25
0,25
VIb-2 Gọi
2 2 2
( ; ; ),( 0)n a b c a b c+ + ≠ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Một vectơ chỉ phương của
đường thẳng ∆ là (1;1;4)u = .Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0;0;1).
Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz – 3b + 2c = 0.
0,25
0,25
Từ gt ta có
2 2 2
4 0
4. 0
3| |
3 2 8( ;( )) ( ,( )) 3
a b c
a b cn u
c b
b c v b cd P d A P
a b c
+ + =
 = − −= 
⇔ ⇔−  = = − = −∆ = =  
+ +
Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) là: 2x + 2y – z - 8 = 0 và 4x – 8y + z + 26 = 0.
0,25
0,25
VIIb ĐK: x > 0.
Đặt 2log 2t
t x x= ⇔ = . Phương trình trở thành
( ) ( )
222 1 2 2
2. 2 ( 1) 2 2 1 2 2
tt t t t
t t t+
+ − = ⇔ + + = + (1)
0,25
0,25
Xét hàm số ( ) 2 ; '( ) 2 ln 1 0x x
f x x f x x x R= + = + > ∀ ∈ .
Hàm số f(x) đồng biến trên R.
PT(1) ⇔ t2
+ 1 = 2t ⇔ t = 1 ⇔ x = 2.
0,25
0,25