TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG

GIẢI TÍCH
12
GV: PHAN NHẬT NAM
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
CỦA NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1. Định nghĩa:
 Giả sử y  f(x) liên tục trên khoảng (a, b), khi đó hàm số y  F(x) là một nguyên hàm của hàm số y 
f(x) khi và chỉ khi F(x)  f(x), x(a, b).
 Nếu y  F(x) là một nguyên hàm của hàm số y  f(x) thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số y 
f(x) là tập hợp I   F( x ) c c R và tập hợp này còn được kí hiệu dưới dấu tích phân bất định
  I f ( x )dx F( x ) c
2. Vi phân:
2.1 Giả sử y  f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại điểm x(a,b). Cho x một số
gia x sao cho (x + x)  (a,b), khi đó ta có:
• Công thức vi phân theo số gia:
 
   
  

 
dy y x x
df x f x x
• Công thức biến đổi vi phân:
Chọn hàm số y  x  dy = dx = x’.x = x  dx = x.
Vậy ta có:
 
   
  

 
dy y x x
df x f x x

 
   
 


dy y x dx
df x f x dx
• Nếu hàm số f(x) có vi phân tại điểm x thì ta nói f(x) khả vi tại điểm x.
Do    df x f x x  nên f(x) khả vi tại điểm x  f(x) có đạo hàm tại điểm x
2.2. Tính chất: Giả sử u và v là 2 hàm số cùng khả vi tại điểm x. Khi đó:
      
      2
udv vduud u v du dv ; d uv udv vdu ; d
v v
2.3 Vi phân của hàm hợp
Nếu



y f (u )
u g( x )
và f, g khả vi thì       dy f u du f u u x dx
3. Quan hệ giữa đạo hàm  nguyên hàm và vi phân:
                 f x dx F x c F x f x dF x f x dx

4. Các tính chất của nguyên hàm và tích phân
4.1. Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì :     

 f x dx f x ;     d f x dx f x dx
4.2. Nếu F(x) có đạo hàm thì:      d F x F x c
4.3. Phép cộng: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:              f x g x dx f x dx g x dx
4.4. Phép trừ: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:              f x g x dx f x dx g x dx
4.5. Phép nhân với một hằng số thực khác 0:     kf x dx k f x dx , k  0
4.6. Công thức đổi biến số: Cho y = f(u) và u = g(x).
Nếu      f x dx F x c thì             f g x g x dx f u du F u c
5. Nhận xét: Nếu      f x dx F x c với F(x) là hàm sơ cấp thì ta nói tích phân bất định  
 f x dx
biểu diễn được dưới dạng hữu hạn. Ta có nhận xét:
tích phân bất định sau tồn tại 
    
2
x dx sin x cos x
e dx; ; sin x dx; dx; dx
ln x x x
… nhưng chúng không
thể biểu diễn được dưới dạng hữu hạn.
II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Điều kiện khả tích: Các hàm liên tục trên [a, b], các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a, b] và
các hàm đơn điệu bị chặn trên [a, b] đều khả tích trên [a, b].
2. Ý nghĩa hình học: Nếu f(x) > 0 trên đoạn [a, b] thì  

b
a
f x dx là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi
các đường: y  f(x), x  a, x  b, y  0
O
y
x0
a=x 1 1x
2 x2 ...... k-1x xk xnxn-1 =b... ...
k-1 k n-1 n
C1
2C
3C k-1N
kN
n-1C
nC nN
N1
Ck
B1
2B Bk
BnBk+1
......

3. Các định lý, tính chất và công thức của tích phân xác định:
4.1. Định lý 1: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn [a, b]
4.2. Định lý 2: Nếu f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(x)  g(x),x[a, b]
thì     
b b
a a
f x dx g x dx . Dấu bằng xảy ra  f(x)  g(x), x[a, b]
Công thức Newton - Leipnitz:
Nếu      f x dx F x c thì          
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
4.4. Phép cộng:              
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
4.5. Phép trừ:              
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
4.6. Phép nhân với một hằng số khác 0:     
b b
a a
kf x dx k f x dx , k  0
4.7. Công thức đảo cận tích phân:      
b a
a b
f x dx f x dx ;   
a
a
f x dx 0
4.8. Công thức tách cận tích phân:         
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
4.9. Công thức đổi biến số: Cho y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và hàm x  (t) khả vi,
liên tục trên đoạn [m, M] và
 
 
 
 
 
 
t m,M t m,M
Min t a; Max t b  ;     m a; M b  .
Khi đó ta có:        
b M
a m
f x dx f t t dt 
4.10. Công thức tích phân từng phần: Giả sử hàm số u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a, b],
khi đó:               
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx

III. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
  cxdx   cudu
c
x
dxx 



1
1



, 1 c
u
duudxuu 

 

1
'
1



1
Cxdx
x
 ln
1
Cudu
u
dx
u
u
  ln
1'
Cedxe xx
 Ceduedxeu uuu
  '
 
Ca
a
dxa xx
 .
ln
1
 
Ca
a
duadxau uuu
  .
ln
1
'
Cxxdx  cossin Cuuduudxu   cossinsin'
Cxxdx  sincos Cuuduudxu   sincoscos'
   Cxdxx
x
dx
tan)1(tan
cos
2
2    Cuduu
u
dxu
tan)1(tan
cos
' 2
2
   Cxdxx
x
dx
cot)1(cot
sin
2
2    Cuduu
u
dxu
cot)1(cot
sin
' 2
2
  Cxdx
x2
1
   Cudu
u
dx
u
u
2
1
2
'
III. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG :
  cxdx    1
cos ax b dx sin ax b
a
    c
  c
bax
a
dxbax 




1
1
)(
1



, 1    1
sin ax b dx cos ax b c
a

   
1dx
ln ax b c
ax b a
  
  
 
2
1dx
cotg ax b c
asin ax b

  

1ax b ax b
e dx e c
a
 
   
 
2
1dx
tg ax b c
acos ax b
  

1ax b ax b
m dx m c
aln m
 
  cbax
abaxa
baxd
dxbax 


  )cos(ln
1
)cos(.
))(cos(
)tan(

2 2
1dx x
arctg c
a aa x
 
 cbax
abaxa
baxd
dxbax 


  )sin(ln
1
)sin(.
))(sin(
)cot(
2 2
1
2
dx a x
ln c
a a xa x

 
    b
ln ax b dx x ln ax b x c
a
 
      
 
 2 2
2 2
dx
ln x x a c
x a
   


2 2 2
2 2
2 2
x a x a x
a x dx arcsin c
a

   
2 2
dx x
arcsin c
aa x
 


 
2 2
ax
ax e a sinbx bcosbx
e sinbxdx c
a b

 

2 2
1dx x
arccos c
a ax x a
 

  
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a

 

2 2
2 2
1dx a x a
ln c
a xx x a
 
  

  
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a

 

 
2 2
ax
ax e acosbx bsinbx
e cosbxdx c
a b

 

IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12
Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại
bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản
nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm
V. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN
V.1. Phương pháp sử dụng phép biến đổi đạo hàm để tính nguyên hàm :
Công thức cớ sở của phương pháp :     cxfxfddxxf   )()('.)(
Các phép biến đổi thường gặp :
          cxvxuxvxuddxxvxudxxvxu   )()()()(')()(')(')(
 cuvuvddxuvdxuvvu    )()'()''(
 c
v
u
v
u
ddx
v
u
dx
v
uvvu














 '
''
2
   cudxudx
u
u
  '
2
'

Các trường hợp riêng :
          cexuexuddxexudxexuexudxexuxu xxxxxx
  )()(')(').()(')()('
          cexuexuddxexudxexuexudxexuxu xxxxxx
 
 )()(')(').()(')()('
     

 dxexuexudxexauxu baxbaxbax
').()(')()('
    cexuexuddxexu baxbaxbax
 
 )()(')(
        cexuexuddxexuexudxexuxvxu xvxvxvxvxv
 
)()()()()(
)()(')()(')()(')('
Bài tập áp dụng :
1.  
dxx
91
1
2.  dxxex ).ln( 2
3.  
dx
xx
xe
ln3
).ln(
4.  
dx
x
x
2
1
5. 

dx
xx
x
322
)1(1
6.   dxxxex
)1tan(tan 2
7.  

dx
x
x
ex
cos1
sin1
8. 

dx
x
xxee xx
ln
9.  

dxe
x
xx x
2
2
1
1
10.  



dxe
x
x x
x
1
12
3
)1(
114
11.  





 dxxex
4
sin

12.  



dxe
x
xx x
xx
1
1
3
3
2
)1(
)2(
12.  

dxe
xx
xx x
4129
376
2
2
(HD:






























1
2
32
723
63
2323)23(
376
2
2
b
a
ba
ab
a
x
bax
x
bax
x
xx
)
V.2 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẢN NGUYÊN HÀM (các phép biến đổi thường gặp)
1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc:

1
n nx x ;  
m m
nn km mn nkx x ; x x

 
1
n n
n n
1 1
x ; x
x x
;


m
n
n m
1
x
x
;


m
nk
n k m
1
x
x
2. Biến đổi vi phân:
dx  d(x ± 1)  d(x ± 2)  …  d(x ± p)
adx  d(ax ± 1)  d(ax ± 2)  …  d(ax ± p)
    x p1 x 1 x 2dx d d d
a a aa
       
 

Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau
    
1
x 1 x 2 x 3 x 4
J dx
x x
   
  ; 2
7x 3
J dx
2x 5


 ;
2
3
3x 7x 5
J dx
x 2
 


 
3 2 2 2
4 5 6 10
2x 5x 7x 10 4x 9x 10 2x 3x 9
J dx ;J dx ; J dx
x 1 2x 1 x 1
      
  
  
  
   
3 2 3 2
7 815 30
x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4
J dx ; J dx
x 2 x 1
     
 
 
 
            dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ
332
11
152
10
3100
9
   
 
 
2 432 4 55 9
12 13 14
47
x 3x 5
J 2x 3 . x 1 dx ; J dx ; J x . 2x 3 dx
2x 1
 
     

  
 
9 3
15 16 17
4 2 2
105
x x x
J dx ; J dx ; J dx
x x 1 x x 12 3x
  
   
  
        18 19 202 2 2 2
dx dx dx
J ; J ; J
x 2 x 5 x 2 x 6 x 2 x 3
  
     
  
        21 22 232 2 2 2 2 2
x dx dx dx
J ; J ; J
x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3
  
     
  
ln 2 ln 2 ln 2 ln 22x x
x
24 25 26 27 xx x
1 0 0 0
dx e dx 1 e
J ; J ; J e 1dx ; J dx
1 ee 1 e 1

    
 
   
   
2 2
x x1 1 1 1x
28 29 30 31x 2x 2x x 3x
0 0 0 0
1 e dx 1 ee dx dx
J ; J ; J ; J dx
1 e 1 e e e e


 
   
     
ln 2 ln 4 1 e3x
32 33 34 35x 3 x x x
0 0 0 1
dx dx e dx 1 ln x
J ; J ; J ; J dx
xe e 4e 1 e

  

   
    
 
3 1 1
6
5 2 5 3 3 2
36 37 38
0 0 0
J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx       
 
2
x1 1 1 1
2x x
39 40 41 42x x x x
0 0 0 0
2 1 dxdx dx
J ; J ; J ; J e 1 e dx
4 3 4 2 4 

    
    
dxxxJ   3
6
22
43 2cottan

  
 2
0
44
sin1
1

dx
x
J  
 2
0
45
cos1
1

dx
x
J 
 2
2
46 sin1


dxxJ

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
Các công thức nguyên hàm thường dùng :
Cbax
a
dx
bax

 ln
11
Mở rộng   Cxuxud
xu
dx
xu
xu
 )(ln)(
)(
1
)(
)('
C
baxnan
bax
a
dxbaxdx
bax n
n
n
n






 


 1
1
))(1(
11
1
)(1
)(
)(
1
2 2
1dx x
arctg c
a aa x
 

2 2
1
2
dx a x
ln c
a a xa x

 

Chú ý : Với tích phân dạng :  dx
xQ
xP
)(
)(
Nếu Bậc[P(x)]  Bậc[Q(x)] thì ta thực hiệ phép chia
P(x) cho Q(x) để chuyển tích phân trên về dạng  





 dx
xQ
xs
xr
)(
)(
)( trong đó Bậc[S(x)] < Bậc[Q(x)] Sau đó
sử dụng một trong các phương pháp sau :
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT THỨC TRONG TÍCH PHÂN HỮU TỶ
Loại I : Tính nguyên hàm :  
 dx
cbxax
xP
I 2
)(
Với 02
 cbxax (1)
có acb 42

TH 1 :  < 0 {phương trình (1) vô nghiệm }
  2
)(
)(
xa
xP
Xét





 
n
m
nxmxP ĐNT
)()( 
1
2
22
.)(ln
2)()(
)(1
I
a
n
x
a
m
dx
x
n
dx
x
xm
a
I 









  


Giải I1 bằng cách đặt ẩn phụ : tx tan 
dttdt
t
dx )1(tan
cos
1 2
2
 

Ctdtdtt
t
I 

  


11
)1(tan
)1(tan
1 2
21
Ví dụ :   


















 0
1 2
2
0
1 2
0
1 2
23
22
2
1
0
222
2
1
22
dx
xx
x
x
x
dx
xx
x
xdx
xx
xxx
1
2
3
I
Giải I1 :    





0
1
0
1 221
1)1(
2
22
2
dx
x
x
dx
xx
x
I
Đặt : dxdttxt  )1(tan1tan 2
Đổi cận :
01
4
0


tx
tx

    2ln
2
1
40
cosln1tan)1(tan
1tan
1tan 44
0
4
0
2
21 


 

ttdttdtt
t
t
I
TH 2 :  = 0 {phương trình (1) có nghiệm kép x =  }
2
)(
)(
xa
xP
Xét





 




 n
m
x
n
x
m
x
xP ĐNT
22
)()(
)(

C
xa
n
x
a
m
dx
x
n
dx
x
m
a
I 










  


1
ln
)(
1
2
Ví dụ : 2
1
0 2
2
1
0 2
1
0 2
23
2
1
)1(
12
0
1
212
12
1
12
Idx
x
x
x
x
dx
xx
x
xdx
xx
xxx





















Giải I2:  















1
0 2
1
0 2
1
0 22
)1(
1
1
2
)1(
1)1(2
)1(
12
dx
xx
dx
x
x
dx
x
x
I
12ln2
0
1
1
1
1ln2 







x
x
TH 3 :  > 0 {phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x =  và x =  }
))((
)(
  xxa
xP
Xét





 




 n
m
x
n
x
m
xx
xP ĐNT
 ))((
)(
Cx
a
m
x
a
m
dx
x
n
dx
x
m
a
I 








  

lnln
1

Ví dụ : dx
xx
x
xdxdx
xx
x
xdx
xx
xxx













 3
2
3
2
3
2 2
3
2 2
23
)
2
3
)(1(2
1
352
1
352
1452
3
3
2
2
2
2
5
)
2
3
)(1(
1
2
2
3
2
Idx
xx
xx



 
Giải I3: xét ĐNT:

























5
4
1
2
3
1
2
3
)(
2
3
)1(1
m
n
nm
nm
nmxnmxnxmx
2ln43ln5
2
3
1ln4
2
3
2
3
ln5
1
1
4
2
3
1
5
2
3
)1(
)
2
3
(4)1(5 3
2
3
2
3
2
3 












  xxdx
x
dx
x
dx
xx
xx
I
Loại II : Tính nguyên hàm :  
 dx
dcxbxax
xP
I 23
)(
Với 023
 dcxbxax (2)
TH 1 : Phương trình (2) có 1 nghiệm đơn x =  duy nhất
))((
)(
2
  xxxa
xP
Xét








 






k
n
m
xx
knx
x
m
xxx
xP ĐNT
 22
))((
)(
222
1
ln
1
))((
)(1
I
a
x
a
m
dx
xx
knx
dx
x
m
a
dx
xxx
xP
a
I 











  

Giải I2 bằng phương pháp ở loại 1
Ví dụ :   





0
1 2
0
1 3
)1)(1(
2
1
2
dx
xxx
x
dx
x
x
I
Xét đồng nhất thức : ))(1()1(2 2
knxxxxmx 


















1
1
1
2
1
0
;)()(2 2
n
k
m
km
nkm
nm
Rxkmxnkmxnmx
22
0
1 2
0
1 2
2
2ln
1
0
1ln
1
1
1
1
)1)(1(
)1)(1()1(
IIxdx
xx
x
x
dx
xxx
xxxx
I 














  

Giải I2 : 









0
1 22
4
3
2
1
1
dx
x
x
I Đặt dxxdxxx )1(tan
2
3
tan
2
3
2
1 2

Đổi cận :
6
0

 tx ,
6
1

 tx
 
333
1
cosln
2
1
cos
sin
2
3
3
2
1tan
2
3
4
3
tan
2
3
2
1
tan
2
3
6
66
6
6
6
2
22






























   ttdt
t
t
dtt
t
t
I
TH 2 : Phương trình (2) có 1 nghiệm đơn x =  và 1 nghiệm kép x = 
2
))((
)(
  xxa
xP
Xét








 







k
n
m
x
k
x
n
x
m
xx
xP ĐNT
22
)())((
)(














  dx
x
k
dx
x
n
dx
x
m
axx
xP
a
I 22
)(
1
))((
)(1

C
xa
k
x
a
n
x
a
m





1
lnln
Ví dụ :   





0
1 2
2
0
1 23
2
)2()1(
374
254
374
dx
xx
xx
dx
xxx
xx
I
Xét đồng nhất thức : Rx
x
k
x
n
x
m
xx
xx









;
)1(12)2()1(
374
22
2
























3
2
1
122
532
3
;
)2()1(
22)32()(
)2()1(
374
2
2
2
2
k
n
m
knm
nmk
nm
Rx
xx
knmxnmkxnm
xx
xx
6ln
2
3
1
0
1
3
1ln22ln
)1(
3
1
2
2
10
1 2




















  x
xxdx
xxx
I
TH 3 : Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt : x =  ; x =  và x = 
))()((
)(
  xxxa
xP
xét








 







k
n
m
x
k
x
n
x
m
xxx
xP ĐNT
 ))()((
)(














  dx
x
k
dx
x
n
dx
x
m
axxx
xP
a
I

1
))()((
)(1
Cx
a
k
x
a
n
x
a
m
  lnlnln
Ví dụ :  




 dx
xxx
xx
dx
xxx
xx
I
)1)(1)(2(
1116
22
1116 2
23
2
Xét đồng nhất thức :
)1)(1)(2(
1116 2


xxx
xx
=
112 



 x
k
x
n
x
m
Rx


















3
2
1
122
113
6
;)1)(2()1)(2()1)(1(1116 2
k
n
m
knm
kn
knm
Rxxxkxxnxxmxx
Cxxxdx
xxx
I 










  1ln31ln22ln
1
3
1
2
2
1
TH 4 : Phương trình (2) có nghiệm bội ba x = 
3
)(
)(
xa
xP
xét








 







k
n
m
x
k
x
n
x
m
x
xP ĐNT
323
)()()(
)(














  323
)()(
1
)(
)(1
 x
k
dx
x
n
dx
x
m
a
dx
x
xP
a
I
C
xa
k
xa
n
x
a
m




 2
)(
1
2
1
ln


Loại III : Tính nguyên hàm : dx
x
xP
I n 

)(
)(

Xét đồng nhất thức : n
n
n
x
A
x
A
x
A
x
A
x
xP
)(
...
)()()(
)(
3
3
2
21
 








 








 dx
x
A
dx
x
A
dx
x
A
dx
x
A
dx
x
xP
I n
n
n
)(
...
)()()(
)(
3
3
2
21

C
xn
A
x
A
x
AxA n
n
12
3
21
)(
1
1
...
)(
1
2
1
ln 









Chú ý :
Trong loại này ta có thể dùng đồng nhất thức dạng đa thức :
n
nn xAxAxAAxP )(...)()()( 2
210  
Hoặc có thể sử dụng công thức khai triển taylor tại điểm x =  :
n
n
nnn
nn x
n
P
x
P
x
P
PxP )(
!
)(
...)(
!2
)("
)(
!1
)('
)()(
)(
2






 
Ví dụ :  



 dx
x
xp
dx
x
xxx
I 5050
34
)2(
)(
)2(
8753
149)2('71512)(' 23
 PxxxP 204)2(''3036)('' 2
 PxxxP
174)('''3072)('''  xPxxP 72)2(72)( )4()4(
 PxP 66)2( P
432
)2(
!4
72
)2(
!3
174
)2(
!2
204
)2(
!1
149
66)( 



 xxxxxP
432
)2(3)2(29)2(102)2(14966)(  xxxxxP
  








 dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
I 4747484950
)2(
1
3
)2(
1
29
)2(
1
102
)2(
1
149
)2(
1
66
C
xxxxx
I 









 4746474849
)2(47
1
3
)2(46
1
29
)2(47
1
)2(48
1
149
)2(49
1
66
Loại IV : Tính nguyên hàm : dx
xx
xP
I nn 

)()(
)(

Xét đồng nhất thức :
m
m
n
n
mn
x
B
x
B
x
B
x
A
x
A
x
A
xx
xP
)(
...
)()(
...
)()()(
)(
2
21
2
21
 












dx
xx
xP
I mn 

)()(
)(

 










 dx
x
B
dx
x
B
dx
x
B
dx
x
A
dx
x
A
dx
x
A
m
m
n
n
)(
...
)()(
...
)( 2
21
2
21

C
xm
B
x
BxB
xn
A
x
AxA m
m
n
n








  121121
)(
1
1
...
1
ln
)(
1
1
...
1
ln





II. KỸ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU
Công thức tổng quát :
   





 






   dx
xv
bxu
dx
xv
axu
ba
dx
xv
bxuaxu
ba
dx
xv )(
)(
)(
)(1
)(
)()(1
)(
1
Chú ý : Việc chọn u(x) và a, b phải đảm bảo được hai tích phân sinh ra đơn giản , dể tích hơn
tích phân đầu.
Các trường hợp thường gặp :
C
ax
bx
ba
dx
ax
dx
bxba
dx
bxax
bxax
ba
dx
bxax


















   ln
1111
))((
)()(1
))((
1
 




dx
bxax
bx
b
a
ax
ab
b
dx
bxax
x
))((
)()(
))((
Cax
b
a
bx
ba
dx
axb
a
dx
bxab
b

















   lnln
111













   
dx
baxx
adx
bxaxb
dx
bxax
xabxa
b
dx
bxax nkkmnkmnkm
kk
nkm
)(
1
).(
11
).(
.).(1
).(
1
1
III. KỸ THUẬT CHỐNG NHỊ THỨC
Dạng : I =  








dxdcxbax
dcx
bax
xf mh
m
n
).()(,
)(
)(
,
Dùng các phép biến đổi đại số để đưa về dạng  















dx
dcxdcx
bax
xf 2
)(
1
.,

Đặt
















act
bdt
x
dx
dcx
cbad
dt
dcx
bax
t
2
)(
I =  









dtt
act
bdt
f
cbad

,
1
Các trường hợp thường gặp :
1.
 
C
bx
ax
abbx
ax
d
bx
axab
dx
bx
ab
bx
axab
dx
bxax
I 




















  ln
11111
))((
1
21
2.
   





















bx
ax
d
bx
ax
bx
ab
dx
bx
ab
bx
ax
bx
ab
dx
bxax
I
)(1)(1
))((
1
22
Đặt






















2
1
2
t
ab
bx
bx
ax
dtdt
bx
ax
t C
bxax
bxax
C
t
t
dt
t
I 







  ln
1
1
ln
1
1
2 22

Bình luận :
Ta có thể thực hiện thao tác trên cho tích phân có dạng  
 dx
xbax
I
))((
1
3
Với I2 ta còn cách giải khác là : Đặt bxaxt  nhưng không thể áp dụng cách này cho I3
VI. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KIỂU ĐỐI XỨNG
Dạng :  dx
xg
xf
)(
)(
2
2
(Hoặc f và g là các đa thức có hệ số đối xứng)
Phương pháp :
Rút gọn phân thức (nếu có) sau đó chia tử và mẫu cho x2
để đưa về một trong 2 dạng :
 




















dx
x
x
xQ
x
xP
2
1
1
1
1
hoặc
 




















dx
x
x
xQ
x
xP
2
1
1
1
1
 Dạng 1: Với tích phân có dạng  




















 dx
x
x
xQ
x
xP
I 2
1
1
1
1
Đặt : dx
x
dx
x
xdt
x
xt 













 2
1
1
11
Khi đó :  dt
tQ
tP
I
)(
)(
là tích phân đơn giản hơn tích phân đề
 Dạng 2: Với tích phân có dạng  




















 dx
x
x
xQ
x
xP
I 2
1
1
1
1
Đặt : dx
x
dx
x
xdt
x
xt 













 2
1
1
11
Khi đó :  dt
tQ
tP
I
)(
)(
là tích phân đơn giản hơn tích phân đề

1.  

dx
xx
x
232
1
3
2
2.  
dx
xx )3(
1
2
3.  
1
0 2
2
252
4
dx
xx
xx
4.  

dx
xxx
xx
)315)(1(
210
3
2
5.  
3
2 3
2
)1(
1
dx
x
xx
6.   310
)1(xx
dx
7.  
1
0 2
2
1
)1(
dx
x
x
8.  
1
0 24
34
1
dx
xx
9.  
2
1 5
5
)1(
1
dx
xx
x
10.  
2
0 42
)4(
1
dx
x
11.  
3
1 26
)1(
1
dx
xx
12.   xx
dx
53 50
13.   250
)72( xx
dx
14.  
2
1 8
5
1
dx
x
xx
15.  

dx
x
x
6
4
)1(
)73(
16.  

dx
x
x
10
7
)1(
)3(
17.   35
)1()2( xx
dx
18.   43
)43()12( xx
dx
19. dx
x
x
 

1
1
4
2
20. dx
x 1
1
4 21. dx
xx  45
)14()23(
1
22. dx
x
x
 

1
1
4
2
23.  

dx
xxx
xx
144 246
3
24. dx
xx  1
1
24 25. dx
x
x
 

1
1
6
4
26. dx
xxxx
x
 

1545
1
234
2
27. 


2
51
1 24
2
1
1
dx
xx
x
28.  
dx
x
x
10
2
)32(
29.  

)13)(15(
)1(
22
2
xxxx
dxx
30. dx
x
x
  10072
2011
)1(
31.   59
3xx
dx
32.
ln5
ln3
2 3x x
dx
e e
 

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Công thức nguyên hàm cớ bản :
Cbax
a
dxbax  )cos(
1
)sin( Cbax
a
dxbax  )sin(
1
)cos(
  Cbax
a
dx
bax
dxbax 

  )tan(
1
)(cos
1
1)(tan 2
2
  Cbax
a
dx
bax
dxbax 

  )cot(
1
)(sin
1
1)(cot 2
2
    Cbax
a
baxd
baxa
dx
bax
bax
a
dxbax 




  )cos(ln
1
)cos(
)cos(
11
)cos(
')cos(1
)tan(
    Cbax
a
baxd
baxa
dx
bax
bax
a
dxbax 




  )sin(ln
1
)sin(
)sin(
11
)sin(
')sin(1
)cot(
Các tích phân sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm cớ bản :
   dxnmxbaxf )cos(;)sin( { Trong đó cos)(sin,f không chứa sin, cos ở trong căn và
dưới mẫu và không nằm trong hàm hợp}
Khi đó ta cần sử dụng 2 loại công thức (hạ bậc , tích thành tổng) cho đến khi sin, cos đều ở
dạng bậc 1 và không có dạng tích thì ta sử dụng các công thức trong bảng nguyên hàm.
Ví dụ : 

 xdx
xxx
xdxxxdxxx 5sin
2
2cos1
.
4
cos33cos
5sincoscos.5sin.cos 235
  





 dxxxxxxxdxxxx 2sin54sin106sin108sin510sin
32
1
5sincos53cos
2
5
5cos
2
1
8
1
Cxxxxx 





 2cos
2
5
4cos
2
5
6cos
3
5
8cos
8
5
10cos
10
1
32
1
Các phương pháp đặt ẩn phụ của tích phân lượng giác cơ bản :
Dạng 1 :  dxxxfI )cos,(sin1 {Trong đó : )cos,(sin)cos,sin( xxfxxf  }
Khi đó dùng các phép biến đổi lượng giác để biến I1 về dạng :  dxxxgI sin).(cos1
Đặt xdxdtxt sincos   dttgI ).(1

Dạng 2 :  dxxxfI )cos,(sin1 {Trong đó : )cos,(sin)cos,(sin xxfxxf  }
Khi đó dùng các phép biến đổi lượng giác để biến I1 về dạng :  dxxxgI cos).(sin1
Đặt xdxdtxt cossin   dttgI ).(1
Dạng 3 :  dxxxfI )cos,(sin1 {Trong đó : )cos,(sin)cos,sin( xxfxxf  (
*)
}
Khi đó dùng các phép biến đổi lượng giác để biến I1 về dạng :
 dx
x
xgI 21
cos
1
).(tan
Đặt dx
x
dtxt 2
cos
1
tan   dttgI ).(1
Chú ý :
 Ta có thể đặt xt cot nếu I1 dể biến đổi được về dạng  dx
x
xg 2
sin
1
).(cot
 Với bài toán chứa căn đôi khi không cần thỏa (*) ta cũng có thể giải bằng phương pháp đặt
xt tan hoặc xt cot
Bình luận : Ở bài trên ta có thể giải bằng cách khác đơn giản hơn :
Đặt : dx
x
x
tdt
x
t 22
cos
tan
1
cos
1
 CxCtdttdt
t
I   2tan
1 2
Dạng 4 : 













 dx
x
x
xx
xxxxxxfI
)
4
cos(
)
4
sin(
cossin
cossin;)
4
cos(,)
4
sin(,cossin1





Dùng công thức








)
4
cos(2sincos
)
4
sin(2cossin


xxx
xxx
để đưa tích phân về dạng :
   dxxxxxxxgI )sin.(coscossin;cossin1 
Đặt :









2
1
cos.sin
)sin(cos
cossin 2
t
xx
dxxxdt
xxt

 




 
 dt
t
tgI .
2
1
;
2
1

Dạng 5 : Phương pháp hữu tỷ hóa tích phân lượng giác.
 dxxxfI )cos,(sin1
Đặt : dt
t
dxdx
x
dx
x
dt
x
t
1
2
1
2
tan
2
1
2
cos2
1
2
tan 2
2
2 







2
2
2
1
1
cos;
1
2
sin
t
t
x
t
t
x




  


 dx
tt
t
t
t
fI
1
2
).
1
1
,
1
2
( 22
2
21
Trường hợp riêng :
  dx
x
I n
sin
1
1 Đặt : dt
t
dx
x
t
1
2
2
tan 2

 và
1
2
sin 2


t
t
x
   


















 dttCdt
t
tC
dt
t
t
dt
tt
t
I
n
k
nkk
nnn
n
k
kk
n
nn
n
nnn
n 1
0
2
11
1
0
2
1
1
12
12
2
1
2
1
2
11
2
1
1
2
2
1
Sử dụng công thức : 









1ln
1
1
1





khiCx
khiC
x
dxx
  dx
x
I n
cos
1
2 Đặt : dxdtxt 
2

 

 dt
t
dx
x
I n
n sin
1
)
2
(cos
1
2
 Giải tương tự I1
   dx
x
xdx
xx
dx
x
I
n
n
n 2
2
22222
cos
1
.1tan
cos
1
.
cos
1
cos
1
 





 
Đặt : dx
x
dtxt 2
cos
1
tan    dttI n
.)1( 2
3

KỶ THUẬT ĐỒNG NHẤT THỨC TRONG TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Dạng cơ bản :
Dạng 1:  
 dx
bxax
I
)sin()sin(
1
 
 






 dx
bxax
bxaxbxax
ba
dx
bxax
bxax
ba
I
)sin()sin(
)sin()cos()cos()sin(
)sin(
1
)sin()sin(
)()(sin
)sin(
1
    C
ax
bx
baax
axd
bx
bxd
ba
















  )sin(
)sin(
ln
)sin(
1
)sin(
)sin(
)sin(
)sin(
)sin(
1
Bình luận : Bằng phép biến đổi tương tự như trên ta có thể giải các dạng tương tự sau :
 
 





 ...
)cos()cos(
)()(sin
)sin(
1
)cos()cos(
1
1 dx
bxax
bxax
ba
dx
bxax
I
 
 

















 dx
bx
bx
ax
ax
ba
dx
bxax
bxax
ba
dx
bxax
I
)cos(
)sin(
)sin(
)cos(
)sin(
1
)cos()sin(
)()(cos
)sin(
1
)cos()sin(
1
2
Dạng 2:  

xbxa
dx
I
cossin
C1:  




 dx
xxba
dx
xxbaxba
I
2
cos
2
tan2
11
2
cos
2
sin2
11
)sin(
11
2
222222 
C
x
bax
x
d
ba










 

  2
tanln
1
2
tan
2
tan
1
2222



C2:  




 dx
x
x
baxba
I
)(sin
)sin(1
)sin(
11
22222 


  C
x
x
bax
xd
ba








  1)cos(
1)cos(
ln
2
1
)(cos1
)sin(1
22222 



Bình luận : Ngoài rat a còn có cách giải khác là đặt
2
tan
x
t 
Loại I : Tính nguyên hàm :  

dx
xnxm
xbxa
cos.sin.
cos.sin.
Xét đồng nhất thức : )'cos.sin.()cos.sin.(cos.sin. xnxmxnxmxbxa  
)sin.cos.()cos.sin.( xnxmxnxm  
2222
;
nm
anbm
nm
bnam
bmn
anm











 



Loại II : Tính nguyên hàm :  

dx
pxnxm
cxbxa
cos.sin.
cos.sin.
Xét đồng nhất thức:   )'cos.sin.()cos.sin.(cos.sin. pxnxmpxnxmcxbxa
  )sin.cos.()cos.sin.( xnxmpxnxm
p
nm
bnam
c
nm
anbm
nm
bnam
cp
bmn
anm
222222
;;

















 



Loại III : Tính nguyên hàm :  

 dx
xnxm
xbxa
I k
)cos.sin.(
cos.sin.
3
Xét đồng nhất thức : )'cos.sin.()cos.sin.(cos.sin. xnxmxnxmxbxa  
)sin.cos.()cos.sin.( xnxmxnxm  
2222
;
nm
anbm
nm
bnam
bmn
anm











 


bakk
II
xnxm
xnxmd
dx
xnxm
I  




  
)cossin(
)cossin(
)cossin(
1
13
Giải Ia : Nếu k – 1 là số chẳn ta đặt xt tan .
Nếu k – 1 là số lẻ ta đặt
2
tan
x
t 
Giải Ib : Nếu k =1 thì CxnxmIb  cossinln
Nếu 1k thì
  C
k
xnxm
I
k
b 




1
cossin
1
1.  
2
3
2
)cos1(
cos

dx
x
x
2.  
2
0 2
cos1
4sin

dx
x
x
3.  
dx
xcos1
1
4. 3
0
3
coscos
sin

dx
xx
x
5. 

dx
x
xx
2cos
sinsin 3
6.  
4
0 2sin1
sin

dx
x
x
7. 
3
4
22
cossin
1

dx
xx
8.  dx
x6
cos
1
9.  
dx
x
x
cos1
sin4 4

10.  dx
xx 3
cossin
1
11.  
dx
xx sin22sin
1
12.  
2
0 2cos

x
dx
13.  
2
0
cos31
sin2sin

dx
x
xx
14.  xx
dx
cossin
15.  
dx
x
x
2sin2
sin
16.  
dx
xx
xx
cossin
cossin
17.  xdxx 24
cossin 18.  
dx
xtan1
1
19.  

dx
xx
xx
cos4sin3
cos3sin2
20.   x
dxx
2cos42
.cos
21.  
dx
xx
x
3
)cos(sin
sin4
22.  

dx
xx
xx
22
cos4sin3
cos4sin3
23.   3sin5cos3 xx
dx
24. dxx
4
tan
25. 

dxx
x
xx
.cot.
sin
sinsin
3
3 3
26.  dx
xx 53
cossin
1
27.  dx
xx4 53
cossin
1
28.  
dx
xx cossin2
1
29.  
dx
xx
x
cos3sin
cos2
30.  
2
2 2cos
1cos

dx
x
x
31.  
2
0 cos31
sin1

dx
x
x
32.  
2
0 1cossin
sin

dx
xx
x
33. 
3
6
2
sincos


xx
dx
34. dx
x
xx

3
0 5
8
cos
1cos.5sin

35.  

dx
xx
xx
5sin4cos3
1cos2sin3
36.  
dx
xx 3cos5sin2
1
37.  
2
0 cos31
sin1

dx
x
x
38. 

2
2 2cos
1cos

dx
x
x
39.  
2
0 cos1
cos1

dx
x
x
40.  
2
0 1cossin
.cos

xx
dxx
41. dx
xxx
x
 







4
0 )cos(sin22sin
4
sin

42.  
4
0 3
)2cos(sin
2cos

dx
xx
x
43.  
3
4 2sin3
sincos

dx
x
xx
44.  
4
0
44
cossin
cossin

dx
xx
xx
45.  
4
0 2sin1
sin

dx
x
x

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN VÔ TỶ (CHỨA CĂN)
 dxxxfI n
 ))(,(1 
 Cách 1 : Đặt : n xt )(
Nhận xét : Để đặt được
n xt )( ta cần thực hiện việc kiểm tra các bước như sau :
 Kiểm tra xem trong I1 có chứa dxx)(' . Nếu chưa có ta cần phải nhân, chia thêm lượng
)(' x (chú ý:  baxx ,,0)('  - đoạn cận của tích phân)
 Sau khi nhân, chia cho )(' x ta cần kiểm tra phần dư ra có thể thay t vào được không.
dxxxxgI n
 )('))(,(1 
Đặt :







)(
)('
)()(
1
tx
dxxdtnt
xtxt
n
nn



dxtttgnI n


 1
1 )),((. 
Trường hợp riêng :
 Với dạng   dxbaxxf ),( ta luôn giải được bằng cách đặt baxt 
 Với một số tích phân ta không thể đặt m n
baxt  thì ta thử đặt m
n
x
b
at  (Chú ý với
thao tác này thì tích phân không được xét trên đoạn cận có chứa số 0)
 Với các tích phân có chứa căn thức của tích hoặc thương hai nhị thức (mx + n) thì ta dùng
phép biến đổi đại số để đưa về dạng  








dx
dcxdcx
bax
xf 2
)(
1
., . Sau đó đặt



















act
dtb
x
dx
dcx
dt
bcad
t
dcx
bax
t
dcx
bax
t
2
2
2
2 )(
12
   dxxxxxf knnn
)(')(,...,)(,)( 21
 .
Đặt : )(xtm
 {trong đó m = BSCNN(n1, n2, …, nk)}
  
dx
cbxax2
1
biến đổi về dạng  
dt
mt2
1
Bằng cách đặt mttu  2
ta có:
Cmttdt
mt



2
2
ln
1
  
dx
cbxaxnmx 2
)(
1
Đặt
t
nmx
1
 để chuyển về dạng:  
 dx
tt  2
1
   baxnmx
dx
22
)(
Đặt baxxt  2
.

1.  
3
1 7
1
dx
x
xx
2.
4
2
7 9
dx
I
x x


 3.
2 3
2
5
dx
I .
x x 4



4. dx
x
x
I  

2
0 5
4
1
5.  
1
0
25
1 dxxxI 6.
/ 2
0
sin2x sin x
I dx
1 3cosx




7.
e
1
1 3ln x ln x
I dx.
x

  8.
2
1 1 1
xdx
I
x

 
 9.
 
16
2
4
1 1
dx
I
x x



10.  
1
5
2 4
4
0
1I x x dx  11. dx
xx
I  

63
0 3
11
1
12. 16 2
1 1 ln
e
I
dx
x x
 

13.
2 3
5 2
5 4
dx
I
x x


 14.
7 3
6 3 2
0 1
x dx
I
x


 15.
2
7 3
1 1
dx
I
x x



16.  
1
0
2
1
dx
e
e
x
x
17.  
2ln
0
.1 dxex
18.
2
2 2
10
1
1I x x dx 
19.
3
2
11
2
1I x dx  20.
3 2
12 2
1
1 x dx
I
x

  21.
5 33
13 2
0
2
1
I
x x
dx
x




22.
3 2
15
1
ln
ln 1
e x
I dx
x x
 

23. dx
x
I  

3
2 2
1
1
23.  

3
1 2
2
4
1
dx
xx
I
25. dx
x
xx
I 


2
1 4
3 3
3 26. dx
x
x
I  

1
2
1 34
1
27. 



2
1 2
5
134
52
dx
xx
x
I
28.  
3
4
2
cos1cos
tan

 dx
xx
x
29.  

1
0
dx
ee
e
xx
x
30.  2
0
56 3
cossincos1

xdxxx
31.  


6
4
5
2
1
.
2
4
dx
xx
x
I 32.  

dx
xx
x 1
.
1
1
33.  
2
0
)2)(1(
1
dx
xx
34. dx
xx
  33 3
.2
1
35. dx
xx
  24
1.
1
36. dx
x
x
 

3
11
11

37. dx
x
x
x
x
x 
























5
3
2
2
1
1
1
1
1
1 38.  

dx
xx
x
3 2
1
39.   23
1)1( xx
xdx
40.  
3
2 2
22)1( xxx
dx
41.  
2
1 2
13)32( xxx
dx
42.  
1
0 2
54
4
dx
xx
x
43.  
1
0 2
4)52(
76
dx
xxx
x
44.  
1
0 2
22)1(
32
dx
xxx
x
45.  

dx
xx
x
2
469
118
46. dx
xx
 
3
2 22
3)2(
1
47.  
3
2 22
563)42(
)34(
xxxx
dxx
48. dx
x
x
 
2
1 2
2
2
5
 Cách 2 : Dùng các công thức để biến đổi biểu thức trong căn về dạng lủy thức theo bậc của căn .
  dxxxfdxxxfdxxxfI n nn
  ))(,())(,())(,(1 
Thông thường tích phân loại này thì biểu thức trong căn là hàm lượng giác (khi đó công thức lượng
giác thường dùng là công thức nhân đôi nhân ba)
Các công thức thường dùng :
2
222
)
4
sin(2)
2
cos
2
(sin
2
cos
2
cos
2
sin2
2
sin
2
2sin1sin1 







x
xxxxxxx
x
2
2
2
cos211
2
cos21
2
2cos1cos 






xxx
x
2
2
2
sin2)
2
sin21(1
2
2cos1cos1 






xxx
x
22222
)cot(tancot.tan2cottan2cottan xxxxxxxx 
1.  3
6
22
.2cottan

 dxxx 2. dxx 4
3
4
12cos


3. dxx 
2
0
sin1 4. 
2
2
3
coscos.cos

 dxxxx
 Cách 3 : Dùng các phép biến đổi đại số để tách thành nhiều tích phân để có thể sử dụng trực tiếp
công thức nguyên hàm .

dxbxabxadxxxfI mnn )..())(,( 1111  
Sử dụng công thức nguyên hàm :
    Cbax
na
n
Cbax
n
n
a
dxbaxdxbax nn
n
n
n
n




 


1
11
)(
)1(1
1
..
Phép biến đổi đại số thường dùng : Nhân liên hợp
Chú ý : Khi nhân liên hợp cần phải để ý đại lương liên hợp phải khác 0 khi biến chạy trên
cả đoạn tích phân
 Cách 4 : Phép lượng giác hóa tích phân vô tỷ :
Dạng 1:   dxxaxfI ),( 22
1
Đặt : tax sin.  tdtadx cos Điều kiện : 




2
,
2

t
tatataxa coscos)sin1( 222222

 dttatatafI .cos)cos,sin(1
Dạng 2:   dxaxxfI ),( 22
2
Đặt :
t
a
x
cos
  dt
t
ta
dx 2
cos
sin
 Điều kiện : 










2
3
,
2
,0



t
tata
t
aax tantan)1
cos
1
( 22
2
222

 dt
t
ta
ta
t
a
fI .
cos
sin
)tan,
cos
( 22
Dạng 3:   dxaxxfI ),( 22
3
Đặt : dttadt
t
a
dxtax )1(tan
cos
tan 2
2
 Điều kiện : 





2
,0

t
t
a
t
ataxa
cos
1
cos
1
)1(tan 2
22222


 dt
t
a
t
atafI .
cos
)
cos
1
,tan( 23
Dạng 4:  

 dx
xa
xa
xfI ),(4
Đặt : dttadxtax .2sin22cos  Điều kiện : 






2
,0

t
t
t
t
t
t
t
xa
xa
sin
cos
sin
cos
2cos1
2cos1
2
2






 dtta
t
t
atafI .2sin2)
sin
cos
,2cos(4
1. 
1
2
1 3
32
)1(
dx
x
x
2.  2
3
0
22
.3)3( dxxx 3.  
2
1
0 52
2
)1(
dx
x
x
4. 



21
31 22
23)1(
dx
xxx
x
5.  
1
0 22
4)4(
1
dx
xx
6.  
2
2 2
1
1
dx
xx
7. 



23
1 322
)54()2(
1
dx
xxx
8. 
8
4
2
16
dx
x
x
9. dx
x
x

1
3
1 8
52
)1(
10.
2222
22
2
2
1` 2
2


 xx
dx
xxx
xxx
11. dx
x
x

2/3
2/3 2
2
29
12. dx
x
x
.
1
12
1
0 

13. dx
x
xx

1
3
1 3
22
1)1(
14.  
2
3
0
2
3
3
dx
x
x
x 15. dx
x
x
.
5
52
5
0 

16.  
1
0 22
2
1)1(
dx
xx
x
17.  
1
0
3
2
2
dx
x
x
x

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I. Công thức tích phân từng phần :
Cho u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm và liên tục trên miền D, khi đó ta có :
  udvudvuvudvudvuvdvduudvuvd )()(
Từ đó ta có các công thức sau:
Công thức nguyên hàm từng phần :   vduuvudv
Công thức tích phân từng phần :  
b
a
b
a
vdu
a
b
uvudv
Nhận dạng : hàm số dưới dấu tích phân thường là tích của hai loại hàm khác nhau.
Chú ý : khi thực hiện thao tác tích phân từng phần ta phải để ý đến các chú ý sau :
 Chọn biểu thức u sao cho du dơn giản.
 Chọn dv sao cho dv đơn giản
 Tích phân kết quả 
b
a
vdu phải đơn giản hơn tích phân ban đầu 
b
a
udv
Mục đích :
Hường 1: Nếu tích phân có dạng   dxxxfI k
)(ln)(1  (hoặc  dxxfxPI )()(2 )
{trong đó )(xP là một đa thức theo biến x và )(xf là một hàm tùy ý theo biến x}
Thì mục đích tích phân từng phần là khử  )(ln xk
 ở tích phân I1 bằng cách chọn
 )(ln xu k
 (hoặc khử )(xP ở tích phân I2 bằng cách chọn )(xPu  )
Khi đó số bậc của ln (hoặc của P(x) )là số lần lấy tích phân từng phần
Hường 2 : thực hiện tích phân từng phần ít nhất hai lần để trở về lại tích phân I ban đầu
khi đó ta có được phương trình sau :  
a
m
ImaIaaImI


1
)1(1
{Hường 2 thường được sử dụng khi cả hai loại hàm số dưới dấu tích phân
không thể mất di khi thực hiên đạo hàm mọi cấp }

Các dạng tích phân từng phần cơ bản :
Dạng 1:




















bax
bax
bax
bax
m
e
dxbax
bax
dv
xPu
dx
m
e
bax
bax
xP )cos(
)sin(
)(
)cos(
)sin(
).(
Với P(x) là một đa thức
Dạng 2:













dxxfdv
bax
bax
u
dx
bax
bax
xf m
m
)(
)(log
)ln(
)(log
)ln(
)(
Dạng 3: Tích phân từng phân luân hồi (Biến đổi tích phân về dạng I = m – aI
1

a
m
I )
Loại 1:












dxxdv
x
x
x
x
u
dx
x
x
x
x
x
m
xa
a
xa
a
m
)cos(log
)sin(log
)cos(ln
)sin(ln
)cos(log
)sin(log
)cos(ln
)sin(ln
Loại 2:























dxnmx
dxnmx
dv
k
e
u
dxnmxk
dxnmxk
dxnmxe
dxnmxe
bax
bax
bax
bax
bax
bax
)cos(
)sin(
)cos(
)sin(
)cos(
)sin(
1.  xdxx cos3
2.  xdxx 23
cos 3. 

dxex x 153
4. 
4
0
2
sin

dxxx
5.  
1
0
2
)1ln( dxxx 6.  
1
0 2
2
1
)1ln(
dx
x
xxx
7. 
e
xdxx
1
22
ln 8.  
2
1
0 1
1
ln dx
x
x
x
9.  
1
0 2
2
1
)1ln(
dx
xx
xxx
10.  
1
0
2
)1ln( dxxxx 11.  
3
1 22
)1(
ln
x
xdxx
12. 

0
1
1)1(
1ln
xx
dxx

13.  
3
1 2
)1(
ln3
dx
x
x
14.  dxxx )sin(ln2
15. 

0
22
sin xdxe x
16.  

dxe
x
x x
cos1
sin1
17. 2
0
3sin
cossin
2

xdxxe x
18.  
dx
x
x
cos1
19.  
dx
x
x
cos1
20.  
dx
x
x
sin1
21.  2
3
)cos1ln(cos


dxxx 22. 
3
4
)ln(tansin


dxxx 23.  
4
0 cos1
sin

dx
x
xx
24.  4 2
sin1
cos
tan

o
dxx
x
x
25.
  
3
0 2
2
cossin

dx
xxx
x
26.  






e
xdx
x
x
1
ln
3
2 27. 

dx
x
xxee xx
ln
28.  

dxe
x
xx x
2
2
1
1
29.  



dxe
x
x x
x
1
12
3
)1(
114
30.  



dxe
x
xx x
xx
1
1
3
3
2
)1(
)2(
MỘT SỐ TÍCH PHÂN CÓ ĐẶC BIỆT
Dạng I : 

a
a
dxxfI )(1
Nếu f(x) là hàm số chẵn vá liên tục trên đoạn  aa , thì : 
a
dxxfI
0
1 )(2
Nếu f(x) là hàm số lẻ vá liên tục trên đoạn  aa , thì : 01 I
Dạng II:  



aa
a x
dxxfdx
b
xf
I
0
2 )(
1
)(
(với f(x) là hàm số chẵn và lien tục trên aa , )
Dạng III: 

 2
0
2
2
0
)sin,(cos)cos,(sin



dtttfdxxxfI
xt
Dạng III:  
  

000
)(sin
2
)(sin)()(sin dxxfIdttftdxxxfI
xt
Dạng IV:  
 

2
0
2
0
22
0
)cos,(sin)cos,(sin)2()cos,(sin dxxxfIdtttftdxxxxfI
xt
1.  dxxxx

1
1
22
1sin 2.   

1
1
2010
2
1ln dxxx
3. dx
xxx
xxxx
xx
x 3
24
35
1
1 44
4
cos1
sin
cossin
sin



4.
  dx
xx 
1
1 2
112
1
5.  
2
2
1
5cos2sinsin

 dx
e
xxx
x
6.
 

1
1 2
2
11
)1ln(
dx
xe
xxx
x
7.
  
1
1
22
1
)1ln(
dx
e
xx
x
8.  
2
2
2
1
cos

 dx
e
xx
x
9.
 
 


dx
xxx
x
12
cossin 88
10. 2
0
)ln(tan

dxx 11. 

0
3 7cos
3sin
5sin
xdx
x
x

BÀI TẬP ÔN TẬP
1. I x x x x dx
2
4 4 6 6
0
(sin cos )(sin cos )

   2.
x
I dx
x
4
0
2 1
1 2 1


 
 3. x
I e x x dx
22
sin 3
0
.sin .cos .

 
4.  
1
0
1
2 ln 1
1
 
     

x
I x x dx
x
5.
2
2
6
1
sin sin
2


  x x dx 6.
6
2 2 1 4 1

  

dx
I
x x
7. 2
1
ln
3 ln
1 ln
 
  
 

e
x
I x x dx
x x
8.
2
2
0
( sin )cos

 I x x xdx 9. 
xx
dx
I 53
cos.sin
10.
1
2
0
ln( 1)  I x x x dx 11.
2
3
0
sin
(sin cos )



xdx
I
x x
12.
1
3 2
0
1 I x x dx
13. J =
1
1
( ln )


e x
x
xe
dx
x e x
14.
2
0
1 sin
.
1 cos

 
 
 

xx
e dx
x
15.  
2
cos
0
sin .sin 2

 
x
I e x xdx
16.
6
2 2 1 4 1

  

dx
I
x x
17.
3
6 2
1
(1 )
dx
x x
18.
1
2
ln
 
  
 

e
I x xdx
x
19.
4
3
4
1
1
( 1) dx
x x
20.
2
ln .ln
e
e
dx
x x ex
21.
4
2
0
2
1 tan

  
 
 
x
x e
e x dx
x
22.  
2
0
1 sin 2

 I x xdx 23.
2
3
0
7sin 5cos
(sin cos )



x x
dx
x x
24.
4
0
cos sin
3 sin 2





x x
I dx
x
25.
x
x x
e
dx
e e
ln6 2
ln4 6 5
 
 26. x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4

  27.
x
dx
x
8
2
3
1
1



28.
x
dx
x x
2 2
2
1 7 12 
 29.
2 2
6
1
sin sin .
2


  x x dx 30. x x dx
2
3 2
0
(cos 1)cos .


31. Tìm nguyên hàm của hàm số
 
 



x
f x
x
2
4
1
( )
2 1
. 32.
x
I dx
x
8
3
ln
1


 33.
6
0
sin
cos2


x
dx
x
34.
3
2
2
1
log
1 3ln
e
x
I dx
x x


 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
x x x
f x
x
2 3
2
ln( 1)
( )
1
 


36.  

1
0 1
1
dx
x
x
37. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
x x x x
f x
x x
4 3 2
2
4 8 8 5
( )
2 2
   

 

38.
x
I dx
x x
4
2
4
sin
1




 
 39 .  
2
4 4
0
cos2 sin cosI x x x dx

 
40.
3
2
2
1
2
1
dx
A
x x


 41.  

2
0
2
6sin5sin
cos

dx
xx
x
I 42.  
4
0
3
)2cos(sin
2cos

dx
xx
x
43.
0
I x(1 cosx)dx

  44.  
2
4 4
0
cos2 sin cosI x x x dx

  45.
/2 2
/6
sin
sin3
x
B dx
x


  46.
3 2
0
2 1
1
x x
I dx
x
 



47.
3
2
3
x sin x
I dx.
cos x


  48.
2xln 3
x x
ln 2
e dx
I
e 1 e 2

  
 49.  


5
1
2
13
1
dx
xx
x
I 50.
 
2
3
0
sinxdx
sinx + 3 osxc


51.
6 64
x
4
sin x cos x
dx
6 1




 52.
4
2 4
0
sin 4x
I dx
cos x. tan x 1



 53.
4
0
sin
4
sin 2 2(sin cos ) 2
x dx
x x x
  
 
 
  
54. I =
12
1
2
1
( 1 )
x
x
x e dx
x

  . 55. I
  


4
0
2
211
1
dx
x
x
56.  

2ln3
0
23
)2( x
e
dx
I 57.
 
 
1
3
0
ln 1
2
x
dx
x



58.
 
2
4
2009
cos sinx sin
dx
x x

  59.   
0
3 2 2 2
1
. 1 4 4x x x x x dx

    60.
2
2 2
0
sin
3sin 4
x
dx
x cos x


61. 
1
1-
32
2
dx
)x-(4
x
62.
1
2
0
ln(1 )I x x dx  63.
1
3 33
0
dx
I
(1 x ). 1 x

 
 64.
2
2 2
0
cos .cos 2 .I x x dx

 
65.  
2
2
0
)]4ln()2([ dxxxxI 66.  

1
0 2
2
)2(
dx
x
ex
I
x
67.
2
3
0
sin
1 cos2
x x
I dx
x




68.
3
2
0
sin .I x tgxdx

  69.
2 2
3
1
1
.
x
I dx
x x


 70. 


2
1
2
2
4
dx
x
x
I 71.
4
2
0
2
1 tan

  
 
 
x
x e
e x dx
x
72.
3
2
2
1
2
1
dx
A
x x


 73.
8
15 1
dx
x x

  73.
  
1
2
1
3 33
11 xx
dx
74.
2
2 2
0
cos .cos 2 .I x x dx

 

75. 3
4
42
cos.sin


xx
dx
76.  
2
2
0
)]4ln()2([ dxxxxI 77. 


221
3
2
1
12
dx
x
xx
78.  


4/
0
2
)cos(sin
cos3sin

dx
xx
xx
I 79.
2
3
0
sin
1 cos2
x x
I dx
x



 80.
3
2
0
sin .I x tgxdx

 
81.  

dx
x
x
12cos
12cos
82.
2 2
3
1
1
.
x
I dx
x x


 83. 


2
1
2
2
4
dx
x
x
I 84.
3
2 3sinx-cosx
dx
I





85.
ln5
ln 2 (17 1) 1x x
dx
I
e e

 
 86.
  


4
0
2
211
1
dx
x
x
87.
ln 2 3 2
3 2
0
2 1
1
 
  
x x
x x x
e e
dx
e e e
88.
2
3
2
1
ln( 1)x
I dx
x

  89.
1
2
1 1 1
dx
x x   
 90.  

2ln3
0
23
)2( x
e
dx
I 91.
 
4
2 3x
4
dx
I
cos x 1 e






92.
3
1 4
2
0
( )
1
x x
x e dx
x


 93. 24
0
( sin 2 )cos2x x xdx

 94. dx
x
xxe


1
3 2
ln2ln
95. Tính diện tích của miền phẳng giới hạn bởi các đường
2
| 4 |y x x  và 2y x .
96. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x.sin2x, y=2x, x=
2

.
97. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
e 1 , trục hoành và hai đường thẳng x = ln3,
x = ln8.
98. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
1
0, , x,
2
x x O  và đường cong
4
1
x
y
x


.
99. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
 
x
2
xe
y 0, y ,x 1
x 1
  

.
100. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường :      2
: 4 3P y x x và hai tiếp tuyến của (P) tại hai điểm
   0 ; 3 , 3 ; 0A B
101. Tính thể tích khối tròn xoay do miền phẳng : y = 0; y = 2x  ; y = 8 x quay một vòng quanh Ox
102. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn đồ thị (C) của hàm sô y = x3
– 2x2
+ x + 4 và tiếp tuyến của (C) tại điểm có
hoành độ x0 = 0. Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh
trục Ox.
103. Cho parabol (P): y = x2
. Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2. Gọi (H) là hình giới hạn
bởi (P), (d) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) khi quay quanh trục Ox.

TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Recently uploaded

TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG