hhhhh

1. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
1
C©u 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö
a) a(x2
+ 1) – x(a2
+ 1)
b) x – 1 + xn + 3
– xn
HD:
a). a(x2
+ 1) – x(a2
+ 1) = ax2
– a2
x + a – x = ax(x – a) – (x – a) = (x – a)
(ax – 1).
b). x – 1 + xn
(x3
– 1) = (x – 1)[1 + xn
(x2
+ x + 1)] = (x – 1)(xn+2
+ xn+1
+ 1).
C©u 2: (1,5 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
2 2
2 2 2 2
x y x y
:
y xy x xy x y xy
   −
+  ÷ ÷
− − +   
HD:
+ §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: (x 0;y 0;x y;x y≠ ≠ ≠ ≠ − ).
+
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y x y x y xy(x y) x y
A : .
xy(x y) x yy xy x xy x y xy x y
   − − + +
= + = = ÷ ÷
− −− − + −   
C©u 3: (1,5 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc:
x y
A
x y
+
=
+
HD:
+ §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: (x y≠ − ).
+ XÐt 4 trêng hîp:
x y x y
*NÕu x 0;y 0 B 1; *NÕu x 0;y 0 B 1;
x y x y
x y x y
*NÕu x 0;y 0 B ; *NÕu x 0;y 0 B
x y x y
+ − −
≥ ≥ ⇒ = = ≤ ≤ ⇒ = = −
+ +
− + −
≤ ≥ ⇒ = ≥ ≤ ⇒ =
+ +
C©u 4: (1,5 ®iÓm)
T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc
2
x 3
M
x 2
−
=
−
cã gi¸ trÞ
nguyªn.
HD:
+ M cã nghÜa khi x≠ 2
{ } { }
2 2
x 3 x 4 1 (x 2)(x 2) 1 1
M (x 2)
x 2 x 2 x 2 x 2
x Z,M Z (x 2) ¦ (1) 1;1 x 3;1
− − + − + +
+ = = = = + +
− − − −
⇒ ∈ ∈ ⇔ − ∈ = − ⇒ ∈
C©u 5: (3,5 ®iÓm)
Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn tia ®èi cña tia BA lÊy ®iÓm E, trªn tia
®èi cña tia CB lÊy ®iÓm F sao cho AE = CF.
a)Chøng minh r»ng tam gi¸c EDF vu«ng c©n.
b)Gäi O lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo AC vµ BD; I lµ trung ®iÓm cña
EF; Chøng minh r»ng ba ®iÓm O, C, I th¼ng hµng.
HD:
2 C©u 1:

2. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
Cho ®a thøc : P(x) = 2x4
– 7x3
– 2x2
+ 13x + 6
a)Ph©n tÝch P(x) thµnh nh©n tö.
b)Chøng minh r»ng P(x) chia hÕt cho 6 víi mäi x ∈ Z.
HD:
a). P(x) = 2x4
– 7x3
– 2x2
+ 13x + 6 = 2x4
– 6x3
– x3
+ 3x2
– 5x2
+ 15x – 2x +
6
= (x – 3)(2x3
– x2
– 5x – 2) = (x – 3)(2x3
– 4x2
+ 3x2
– 6x +x – 2)
=(x – 3)(x – 2)(2x2
+ 3x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1).
b). P(x) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x + 1) = (x – 3)(x – 2)(x + 1)(2x – 2 + 3)
= 2(x – 3)(x – 2)(x + 1)(x – 1) + 3(x – 3)(x – 2)(x + 1) P(x) 6⇒ M (§fcm).
C©u 2:
Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (AC > BD). VÏ CE ⊥AB, CF ⊥AD.
Chøng minh r»ng AB.AE + AD.AF = AC2
C©u 3: Cho ph©n thøc
4 3 2
4 3 2
x x x 2x 2
F(x) (x Z)
x 2x x 4x 2
+ − − −
= ∈
+ − − −
a)Rót gän ph©n thøc.
b)X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña x ®Ó ph©n thøc cã gi¸ trÞ nhá nhÊt.
C©u 4:
Cho tam gi¸c vu«ng ABC, c¹nh huyÒn BC = 289 cm vµ ®êng cao AH =
120 cm. TÝnh hai c¹nh AB vµ AC.
C©u 5: Cho 3 sè d¬ng a, b, c.
Chøng minh r»ng:
1 1 1
(a b c) 9
a b c
 
+ + + + ≥ ÷
 
C©u 6: Cho 3 sè d¬ng a, b, c.
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a b x b c x c a x 4x
1
c a b a b c
+ − + − + −
+ + + =
+ +
3
C©u 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (3x – 1)(x + 1) = 2(9x2
– 6x + 1)
C©u 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:
x 1 x 4
3
2 2
− +
≥ −
C©u 3: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
2a b 5b a
A
3a b 3a b
− −
= +
− +
BiÕt 10a2
– 3b2
+ 5ab = 0 vµ 9a2
– b2
≠ 0.
C©u 4: Cho biÓu thøc:
4 3
4 3 2
1
P
2 1
+ + +
=
- + - +
x x x
x x x x
a)T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña P.
b)Rót gän P.
c)Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc P cã gi¸ trÞ b»ng 2.
C©u 5: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (BC//AD) cã gãc ABC = gãc ACD.
BiÕt BC = 12m, AD = 27m, tÝnh ®é dµi ®êng chÐo AC.
C©u 6:
Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm c¹nh BC. Tõ mét ®iÓm E trªn c¹nh
BC ta kÎ ®êng th¼ng Ex // AM. Ex c¾t tia CA ë F vµ tia BA ë G.
Chøng minh EF + EG = 2AM.

3. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
4 C©u 1:Rót gän biÓu thøc:
4 12 9
A
2 6
+
=
− −
2
2
a a +
a a
C©u 2: Cho biÓu thøc
0,5 2 8 2
B :
1 0,5 2 2
+ + −
= +
+ + −
2 3
a a a
a a a( a)
a)T×m a ®Ó B cã nghÜa.
b)Rót gän biÓu thøc B.
C©u 3:
1) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x – 2)(x + 1) < 0.
2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 2 2 0+ + − =2
x x x + 1
C©u 4: Cho biÓu thøc: A = x2
+ 6x + 15
a)Chøng minh r»ng A lu«n d¬ng víi mäi x.
b)Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt hay lín nhÊt, t×m gi¸
trÞ nhá nhÊt hay lín nhÊt ®ã.
C©u 5: Cho tø gi¸c ABCD, gäi M, N lµ trung ®iÓm hai c¹nh ®èi diÖn
BC vµ AD. Cho
AB DC
MN
2
+
= . Chøng minh r»ng ABCD lµ h×nh
thang.
C©u 6: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, trªn ®êng chÐo AC lÊy mét ®iÓm
I. Tia DI c¾t ®êng th¼ng AB t¹i M, c¾t ®êng th¼ng BC t¹i N.
Chøng minh a)
AM DM CB
AB DN CN
= = ; b) ID2
= IM.IN.
5
C©u 1: Cho a, b, c lµ sè ®o ba c¹nh cña mét tam gi¸c, chøng minh
r»ng:
a2
b + b2
c + c2
a +ca2
+ bc2
+ ab2
– a3
– b3
– c3
> 0.
C©u 2:
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña biÓu thøc:
2 3
A
2
+ +
=
+
2
2
x x
x
C©u 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 2 3 4− + + = +x x x
C©u 4: Cho h×nh thoi ABCD cã gãc B tï. KÎ BM vµ BN lÇn lît vu«ng
gãc víi c¹nh AD vµ CD t¹i M vµ N. TÝnh c¸c gãc cña h×nh thoi ABCD
biÕt r»ng 2MN = BD.
6 C©u 1: Cho a – b = 7.
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a2
(a + 1) – b2
(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1)
C©u 2: Thùc hiÖn phÐp tÝnh b»ng c¸ch nhanh nhÊt:
2
6 37 2
2 1 6
9 3
 
− − − ÷
 
x x
C©u 3: Cho biÓu thøc B =
3
2
2 a 8 2
a :
1 0,5a a 2 2a a
− 
+ + ÷+ + − 
a)T×m x ®Ó B cã nghÜa.
b)Rót gän B.

4. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
C©u 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x – 2)(x + 2)(x2
– 10) = 72.
C©u 5: Cho h×nh thang ABCD cã ®é dµi hai ®¸y lµ AB = 5 m, CD = 15
cm, ®é dµi hai ®êng chÐo lµ AC = 16 cm, BD = 12 cm. Tõ A vÏ ®êng
th¼ng song song víi BD c¾t CD t¹i E.
1) Chøng minh ACE lµ tam gi¸c vu«ng t¹i A.
2) TÝnh diÖn tÝch h×nh thang ABCD.
C©u 6: Cho tam gi¸c ABC, ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc C c¾t c¹nh
AB t¹i D.
Chøng minh r»ng: CD2
< CA.CB
7
C©u 1:Cho a, b lµ hai sè nguyªn. Chøng minh r»ng:
NÕu a chia cho 13 d 2 vµ b chia cho 13 d 3 th× : a2
+ b2
chia hÕt cho
13.
C©u 2: Cho a, b lµ c¸c sè thùc tuú ý.
Chøng minh r»ng: 10a2
+ 5b2
+ 12ab + 4a – 6b + 13 ≥ 0. §¼ng thøc
x¶y ra khi nµo?
C©u 3: ë bªn ngoµi cña h×nh b×nh hµnh ABCD, vÏ hai h×nh vu«ng
ABEF vµ ADGH.
Chøng minh:
1) AC = FH vµ AC vu«ng gãc víi FH.
2) Tam gi¸c CEG vu«ng c©n.
C©u 4: Cho ®a thøc: P(x) = x4
+ 2x3
– 13x2
– 14x + 24 (Víi x nguyªn)
1)Ph©n tÝch ®a thøc P(x) thµnh nh©n tö.
2)Chøng minh r»ng P(x) chia hÕt cho 6.
C©u 5: Cho tam gi¸c ABC, BD vµ CE lµ hai ®êng cao cña tam gi¸c
ABC. DF vµ EG lµ hai ®êng cao cña tam gi¸c ADE. Chøng minh r»ng:
1)Hai tam gi¸c ADE vµ ABC ®ång d¹ng.
2)Chøng minh: FG//BC.
C©u 6:
1)Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh x4
– x3
– x – 1 = 0 chØ cã hai nghiÖm.
2)Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: m2
x + 1 = x + m (m lµ tham sè)
8
C©u 1: Cho ph©n thøc:
4 2
3
x 2x 1
A
x 3x 2
− +
=
− −
1) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A cã nghÜa.
2) Rót gän A.
3) TÝnh x ®Ó A < 1.
C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña ph©n thøc: 2
3
E
x 2x 4
=
− + −
C©u 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1 1
x(x 1) 2
=
−
C©u 4: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD víi ®êng chÐo AC > BD. Gäi E, F
lÇn lît lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kÎ tõ C ®Õn c¸c ®êng th¼ng AB vµ
AD; Gäi G lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kÎ tõ B ®Õn AC,
1) Chøng minh tam gi¸c CBG ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACF.

5. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
2) Chøng minh AB.AE + AD.AF = AC2
.
Bµi tËp t¬ng tù:
1)Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän, hai ®êng cao BD vµ CE c¾t
nhau t¹i H. Chøng minh r»ng BH.BD = CH.CE = BC2
.
2)Cho tam gi¸c ABC vÏ ph©n gi¸c AD.
Chøng minh : AD2
= AB.AC + BD.DC.
3)Cho tam gi¸c ABC cã: BC = a, AC = b, AB = c.
Chøng minh r»ng µ µ 2 2
A 2B a b bc.= ⇔ = +
4)Cho tam gi¸c ABC. BiÕt ®êng ph©n gi¸c ngoµi cña gãc A c¾t
c¹nh BC kÐo dµi t¹i E. Chøng minh r»ng: AE2
= EB.EC + AB.AC.
9 C©u 1: Cho ®a thøc: P(x) = x4
– 3x3
+ 5x2
– 9x + 6.
1)Trong trêng hîp x lµ sè nguyªn d¬ng. Chøng minh r»ng P(x) chia hÕt
cho 6.
2)Gi¶i ph¬ng tr×nh P(x) = 0.
9 C©u 2:Cho tø gi¸c ABCD cã chu vi lµ 2p vµ M lµ mét ®iÓm ë trong tø
gi¸c.
Chøng minh: 1) p < AC + BD < 2p;
2) p < MA + MB + MC + MD < 3p.
9 C©u 3: Cho a + b + c = 1, vµ a2
+ b2
+ c2
= 1.
1) NÕu
x y z
a b c
= = . Chøng minh r»ng: xy + yz + xz = 0.
2) NÕu a3
+ b3
+ c3
= 1. T×m gi¸ trÞ cña a, b, c.
9 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC (AB < AC). Hai ®êng cao BD vµ CE c¾t
nhau t¹i H.
1) So s¸nh hai gãc BAH vµ CAH.
2) So s¸nh hai ®o¹n th¼ng BD vµ CE.
3) Chøng minh r»ng hai tam gi¸c ADE vµ ABC ®ång d¹ng.
9 C©u 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 1 2 x 1 x+ − − =
9
C©u 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x a x b x c 1 1 1
2
bc ac ab a b c
− − −  
+ + = + + ÷
 
(Trong
®ã x lµ Èn)
10 C©u 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4
+ 2x3
– 4x2
– 5x – 6 = 0
10
C©u 2: Rót gän biÓu thøc:
2 2 3 3
2 2 2 2
x y xy x y
A :
x y x y 2xy
+ − +
=
− + −
10 C©u 3:
Chøng tá r»ng bÊt ph¬ng tr×nh sau nghiÖm ®óng víi mäi x:
2
4
5 0
x 2x 2
−
− <
− +
10
C©u 4: T×m g¸i trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
2
2
x 4x 1
A
x
− +
=

6. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
10 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC vu«ng tai A (AC > AB), ®êng cao AH. Trong
nöa mÆt ph¼ng bê AH cã chøa ®iÓm C vÏ h×nh vu«ng AHKE.
1)Chøng minh r»ng µ 0
B 45> .
2)Gäi P lµ giao ®iÓm cña AC vµ KE. Chøng minh r»ng tam gi¸c ABP
vu«ng c©n.
3)Gäi Q lµ ®Ønh thø t cña h×nh b×nh hµnh APQB vµ I lµ giao ®iÓm
cña BP vµ AQ. Chøng minh ba ®iÓm H, I, E th¼ng hµng.
4)Chøng minh r»ng HE // QK.
11 C©u 1: (3®)
Chøng minh biÓu thøc P =
2 2 2
2 2 2
(x a)(1 a) a x 1
(x a)(1 a) a x 1
+ + + +
− − + +
kh«ng phô thuéc
vµo biÕn x
11 C©u 2: (2®) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3
+ 12 = 3x2
+ 4x
11
C©u 3: (2®) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2
2
1 8x 4x 32x
0
4 8x 12x 6 3(4 16x )
+
− + =
+ − −
11 C©u 4: (5®) Cho ba ph©n thøc:
2 2 2
2 2 2
4xy z 4yz x 4xz y
A ; B ; C
xy 2z yz 2x xz 2y
− − −
= = =
+ + +
Trong ®ã x, y, z ®«i mét kh¸c nhau.
Chøng minh r»ng nÕu: x + y + z = 0 th×: A.B.C = 1.
11 C©u 5: (4®)
Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín lµ CD. Qua A kÎ ®êng th¼ng song
song víi BC c¾t ®êng chÐo BD t¹i M vµ c¾t CD t¹i I. Qua B kÎ ®êng
th¼ng song song víi AD c¾t c¹nh CD ë K. Qua K kÎ ®êng th¼ng song
song víi BD c¾t BC ë P. Chøng minh r»ng: MP//CD.
11 C©u 6: (4®)
Cho tam gi¸c ABC. Gäi O lµ mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c. Gäi M, N,
P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng: OB, OC, AC, AB.
1)Chøng minh tø gi¸c MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh.
2)§Ó tø gi¸c MNPQ lµ h×nh ch÷ nhËt th× ®iÓm O n»m trªn ®êng ®Æc
biÖt nµo cña tam gi¸c ABC? Gi¶i thÝch v× sao?
12 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: P(x) = 6x3
+ 13x2
+ 4x – 3.
12 C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x
+ 6).
12 C©u 3: Cho a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: a3
+ b3
+ c3
= 3abc.
12 C©u 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (4x + 3)3
+ (5 – 7x)3
+ (3x – 8)3
= 0.
12 C©u 5: Cho a, b, c, lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh
r»ng:
ab + bc + ac ≤ a2
+ b2
+ c2
< 2(ab + ac + bc)
12 C©u 6: Cho a, b, c, lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c.
Chøng minh r»ng nÕu ( a + b + c)2
= 3(ab + ac + bc) th× tam gi¸c ®ã lµ
tam gi¸c ®Òu

7. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
12 C©u 7: Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn c¹nh BC lÊy mét ®iÓm M tuú ý.
§êng th¼ng vu«ng gãc víi AM t¹i M c¾t CD t¹i E vµ AB t¹ F. Chøng
minh AM = FE.
12 C©u 8: Trong tam gi¸c ABC kÎ trung tuyÕn AM, K lµ mét ®iÓm trªn AM
sao cho AM = 3AK. Gäi N lµ giao ®iÓm cña BK vµ AC.
1)TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AKN. BiÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ S.
2)Mét ®êng th¼ng qua K c¾t c¸c c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i I vµ J.
Chøng minh r»ng:
AB AC
6
AI AJ
+ = .
13 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (x2
+ x)2
– 2(x2
+ x) – 15
13 C©u 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (a + b + c)3
– a3
– b3
– c3
.
13
C©u 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 3
2 1 2x 1
x 1x x 1 x 1
−
= +
+− + +
13 C©u 4:
Cho a, b, c, d lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n a≥b, c ≥d. Chøng minh: ac + bd
≥ bc + ad.
13 C©u 5:
Cho h×nh vu«ng ABCD; §iÓm E thuéc c¹nh CD, ®iÓm F thuéc c¹nh
BC. BiÕt gãc FAE = 450
. Chøng minh chu vi tam gi¸c CFE b»ng nöa
chu vi h×nh vu«ng ABCD.
13 C©u 6: Cho tam gi¸c ABC, lÊy mét ®iÓm O n»m trong tam gi¸c. C¸c tia
AO, BO, CO c¾t BC, AC, AB lÇn lît t¹i P, Q, R. Chøng minh r»ng
OA OB OC
2
AP BQ CR
+ + = .
14
C©u 1: Cho ba sè kh¸c 0 tho¶ m·n ( )
1 1 1
a b c 1
a b c
 
+ + + + = ÷
 
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: (a23
+ b23
)(b5
+ c5
)(a1995
+ c1995
)
14 C©u 2:X¸c ®Þnh ®a thøc bËc ba sao cho khi chia ®a thøc Êy cho c¸c
nhÞ thøc lÇn lît lµ: (x – 1); (x – 2); (x – 3) ®Òu cã sè d lµ 6 vµ t¹i x = –
1 th× ®a thøc nhËn gi¸ trÞ lµ (– 18).
14 C©u 3: Cho h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi c¹nh b»ng 1. Trªn c¸c c¹nh
AB, AD lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm M, N sao cho chu vi cña tam gi¸c AMN
b»ng 2. TÝnh sè ®o cña gãc MCN?
15
C©u 1: Cho biÓu thøc:
2a 1 5 a
A
3a 1 3a 1
− −
= +
− +
1)TÝnh gi¸ trÞ cña A khi
1
a
2
−
= .
2)TÝnh gi¸ trÞ cña A khi 10a2
+ 5a = 3.
15 C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4
+ 2x3
+ 5x2
+ 4x – 12 = 0.
15 C©u 3:
Cho ®o¹n th¼ng AB, gäi O lµ trung ®iÓm cña AB. VÏ vÒ mét phÝa cña
AB c¸c tia Ax, By vu«ng gãc víi AB. LÊy C trªn tia Ax, D trªn tia By sao
cho gãc COD = 900
.

8. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
1) Chøng minh tam gi¸c ACO vµ tam gi¸c BDO ®ång d¹ng.
2) Chøng minh : CD = AC + BD.
3) KÎ OM vu«ng gãc víi CD t¹i M, gäi N lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC.
Chøng minh r»ng MN//AC.
16
C©u 1: X¸c ®Þnh sè tù nhiªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
5n 11
A
4n 13
−
=
−
lµ sè tù nhiªn.
16 C©u 2:
Cho n lµ sè tù nhiªn. Chøng minh r»ng B = n3
+ 6n2
– 19n – 24 chia
hÕt cho 6.
16
C©u 3: TÝnh tæng
1 1 1
S(n) ... (n N)
2.5 5.8 (3n 1)(3n 2)
= + + + ∈
− +
16 C©u 4: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã ®êng chÐo lín AC. Tia Dx c¾t
AC, AB, CB lÇn lît t¹i I, M, N. VÏ CE vu«ng gãc víi AB, CF vu«ng gãc víi
AD, BG vu«ng gãc víi AC. Gäi K lµ ®iÓm ®èi xøng cña D qua I.
Chøng minh:
1) IM.IN = ID2
.
2)
KM DM
KN DN
= .
3) AB.AE + AD.AF = AC2
.
16 C©u 5:Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 1 x 2 x 3 14− + + + − =
16 C©u 6: T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x, y trong ®¼ng thøc: 2x3
+ xy = 7.
16 C©u 7: Cho 4 sè d¬ng a, b, c, d. Chøng minh:
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
16 C©u 8: Cho tam gi¸c ABC cã BC = a vµ ®êng cao AH = h. Tõ mét
®iÓm M trªn ®êng cao AH vÏ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t hai
c¹nh AB, AC lÇn lît t¹i P vµ Q. VÏ PS vµ QR vu«ng gãc víi BC.
1)TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c PQRS theo a, h, x (trong ®ã AM = x).
2)X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn AH ®Ó diÖn tÝch nµy lín nhÊt.
17 C©u 1: (2®) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x3
– 7x – 6
17 C©u 2: (6®)
Mét trêng tæ chøc lÇn lît cho c¸c líp trång c©y: Líp thø nhÊt trång ®îc
18 c©y vµ thªm 1/11 sè c©y cßn l¹i. Råi ®Õn líp thø hai trång 36 c©y
vµ thªm 1/11 sè c©y cßn l¹i. TiÕp theo líp thø ba trång 54 c©y vµ thªm
1/11 sè c©y cßn l¹i. Cø nh thÕ c¸c líp trång hÕt sè c©y vµ sè c©y
trång ®îc cña mçi líp b»ng nhau. Hái trêng ®ã ®· tång ®îc bao nhiªu
c©y?
17 C©u 3: (4®)
Cho biÓu thøc: 3
3
x 1 x 1
x 1 x 1A
x
1
1 x
− +
−
+ −=
+
−

9. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
H·y viÕt A díi d¹ng tæng cña mét biÓu thøc nguyªn vµ mét ph©n thøc
víi bËc cña tö thÊp h¬n bËc cña mÉu.
17 C©u 4: (4®) Chøng minh r»ng “Tæng ®é dµi ba trung tuyÕn cña mét
tam gi¸c th× lín h¬n
3
4
chu vi vµ nhá h¬n chu vi cña chÝnh tam gi¸c
Êy”.
17 C©u 5: (4®)
Gäi O lµ mét ®iÓm n»m trong tø gi¸c låi MNPQ. Gi¶ sö bèn tam gi¸c
MON, NOP, POQ, QOM cã diÖn tÝch b»ng nhau.
1) MP c¾t NO ë A. Chøng minh A lµ trung ®iÓm cña NP.
2) Chøng minh O n»m trªn ®êng chepos NQ hoÆc ®êng chÐo MP
cña tø gi¸c MNPQ.
18 C©u 1: (4®)
Rót gän biÓu thøc: A = 75(41993
+ … + 42
+ 5) + 25.
18 C©u 2: (3®)
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 2
1
B
1
=
+ +x x
18 C©u 3: (3®)
Chøng minh r»ng nÕu: abc = a + b + c vµ
1 1 1
2
a b c
+ + = th×
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
18 C©u 4: (3®) T×m c¸c sè nguyªn d¬ng n ®Ó: n1988
+ n1987
+ 1 lµ sè
nguyªn tè.
18 C©u 5: (3®)
Cho tam gi¸c ABC cã AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Gäi G lµ träng
t©m tam gi¸c ABC, O lµ giao ®iÓm cña hai tia ph©n gi¸c trong cña tam
gi¸c ABC.
Chøng minh r»ng: GO//AC.
18 C©u 6: (5®)
Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M sao cho BC = 3BM,
trªn tia ®èi cña tia CD lÊy ®iÓm N sao cho AD = 2CN. Gäi I lµ giao
®iÓm cña AM vµ BN.
Chøng minh r»ng: 5 ®iÓm A, B, I, C, D cïng c¸ch ®Òu mét ®iÓm.
19 C©u 1: Chøng minh r»ng: 2130
+ 3921
chia hÕt cho 45.
19 C©u 2: Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng.
Chøng minh r»ng:
2 2 2
a b c a b c
b c a c a b 2
+ +
+ + ≥
+ + +
19 C©u 3: Chøng minh r»ng nÕu x + y + z = 0 th×: 2(x5
+ y5
+ z5
) =
5xyz(x2
+ y2
+ z2
)
19 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn CM. Qua ®iÓm Q trªn AB kÎ ®-
êng th¼ng d song song víi DM. §êng th¼ng d c¾t BC t¹i R vµ c¾t AC
t¹i P. Chøng minh nÕu QA.QB = QP.QR th× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C.

10. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
19 C©u 5: Trªn c¸c c¹nh AB, BC, AC cña tam gi¸c ABC cè ®Þnh; Ngêi ta
lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm M, N, P sao cho
AM BN CP
k (k 0)
MB NC PA
= = = >
TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c MNP theo diÖn tÝch tam gi¸c ABC vµ theo k.
TÝnh k sao cho diÖn tÝch tam gi¸c MNP ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
20 C©u 1: BiÕt m + n + p = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
m n n p p m p m n
S
p m n m n n p p m
  − − −
= + + + + ÷ ÷
− − −  
20 C©u 2: Cho tÝch cña hai sè tù nhiªn b»ng 19851986
. Hái tæng cña haio
sè ®ã cã ph¶i lµ béi cña 1986 hay kh«ng?
20 C©u 3: Mét ngêi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B c¸ch nhau 200 km. Cïng
lóc ®ã cã mét ngêi ®i xe g¾n m¸y kh¸c tõ B ®Õn A. Sau 5 giê hai xe
gÆp nhau. NÕu sau khi ®i ®îc 1giê 15 phót mµ ngêi ®i tõ A dõng l¹i
40 phót råi míi ®i tiÕp th× ph¶i sau 5 giê 22 phót kÓ tõ lóc khëi hµnh,
hai ngêi míi gÆp nhau. TÝnh vËn tèc cua mçi ngêi?
20 C©u 4: Cho tø gi¸c ABCD cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i O. Chøng
minh r»ng nÕu c¸c tam gi¸c AOB, BOC, COD vµ DOA cã chu vi b»ng
nhau th× tø gi¸c ABCD lµ h×nh thoi.
20 C©u 5: Cho tø gi¸c ABCD cã hai dêng chÐo c¾t nhau t¹i O. KÝ hiÖu S
lµ diÖn tÝch. Cho SAOB = a2
(cm2
) vµ SCOD = b2
(cm2
) víi a, b lµ hai sè
cho tríc.
1)H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña SABCD ?
2) Gi¶ sö SABCD bÐ nhÊt. H·y t×m trªn ®êng chÐo BD mét ®iÓm M sao
cho ®êng th¼ng qua M song song víi AB bÞ hai c¹nh AD, BC vµ hai
®êng chÐo AC, BD chia thµnh ba phÇn b»ng nhau
21 C©u 1: Chøng minh r»ng víi x, y nguyªn th×:
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
lµ mét sè chÝnh ph¬ng.
21 C©u 2: Ph©n tÝch ®a thøc thanh nh©n tö: (a – x)y3
– (a – y)x3
+ (x –
y)a3
.
21
C©u 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 2
1 1 1
6x 4x 3 x 8x 15
+ =
+ + + +
21 C©u 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4
+ 2x3
+ 8x2
+ 10x + 15 = 0.
21 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A (gãc A nhän); CD lµ ®êng ph©n
gi¸c cña gãc ACB (D thuéc c¹nh AB). Qua D kÎ ®êng vu«ng gãc víi CD;
®êng nµy c¾t ®êng th¼ng BC t¹i E. Chøng minh: EC = 2BD.
21 C©u 6: Cho tam gi¸c ABC (AB = AC) cã gãc ë ®Ønh b»ng 200
; c¹nh
®¸y lµ a, c¹nh bªn lµ b. Chøng minh: a3
+ b3
= 3ab2
.
22 C©u 1:Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 2x 5 3 7− − =
22
C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
315 x 313 x 311 x
3
105 103 101
− − −
+ + =
22
C©u 3: Cho biÓu thøc:
4 3
4 3 2
x x x 1
A
x x 2x x 1
+ + +
=
− + − +

11. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
1) Rót gän A.
2) Chøng tá r»ng A kh«ng ©m víi mäi gi¸ tÞ cña x.
3) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.
22 C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi c¹nh lµ a. Gäi M, N lÇn lît lµ
trung ®iÓm cña c¹nh AB, BC. C¸c ®êng th¼ng DN, CM c¾t nhau t¹i I.
Chøng minh:
1) Tam gi¸c CIN vu«ng.
2) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c CIN theo a.
3) Tam gi¸c AID c©n.
23
C©u 1: (3®) Cho ph©n thøc:
5 4 3 2
2
x 2x 2x 4x 3x 6
M
x 2x 8
− + − − +
=
+ −
1). T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó M cã nghÜa.
2). T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó M = 0.
3). Rót gän M.
23 C©u 2: (5®) T×m x ®Ó A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt:
2
2
x 2x 1995
A (x 0)
x
− +
= >
23 C©u 3: (5®) chøng minh r»ng:( ) ( )n *
10 9n 1 27 n N− − ∈M
23 C©u 4: (7®) Cho tø gi¸c ABCD cã: AB//CD, AB < CD, AB = BC = AD,
vµ BD vu«ng gãc víi BC.
1). Tø gi¸c ABCD lµ h×nh g×? T¹i sao?
2). TÝnh c¸c gãc trong cña tø gi¸c ABCD.
2). So s¸nh diÖn tÝch cña tam gi¸c ABD víi diÖn tÝch cña tø gi¸c
ABCD.
24
C©u 1: Rót gän råi tÝnh gi¸ tÞ cña biÓu thøc:
3 2
2a 12a 17a 2
A
a 2
− + −
=
−
BiÕt r»ng a lµ nghiÖm cña ph¬ng t×nh:
2
a 3a 1 1− + =
24 C©u 2:
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cña x víi:
( )
2
B 3x 1 4 3x 1 5= − − − +
24
C©u 3: Cho a + b + c = 1. Chøng minh r»ng: 2 2 2 1
a b c
3
+ + ≥
24 C©u 4: Cho 4 ®iÓm A, E, F, B theo thø tù Êy trªn mét ®êng th¼ng.
Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB vÏ c¸c h×nh vu«ng ABCD;
EFGH.
1). Gäi O lµ giao ®iÓm cña AG vµ BH. Chøng minh r»ng c¸c tam gi¸c
OHE vµ OBC ®ång d¹ng.
2). Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng CE vµ DF cïng ®i qua O.
24 C©u 5:
Cho c¸c ®iÓm E, F n»m trªn c¸c c¹nh AB vµ BC cña h×nh b×nh hµnh
ABCD sao cho AF = CE. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AF vµ CE.
Chøng minh r»ng ID lµ ph©n gi¸c cña gãc AIC.

12. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
25 C©u 1: T×m mét sè cã hai ch÷ sè mµ b×nh ph¬ng cña nã b»ng lËp ph-
¬ng cña tæng c¸c ch÷ sè cña nã.
25 C©u 2: Cho a, b, c lµ sè ®o ba c¹nh cña mét tam gi¸c. X¸c ®Þnh h×nh
d¹ng cña tam gi¸c ®Ó biÓu thøc sau :
a b c
A
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
25 C©u 3: Cho ba sè , y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y + z = 0 vµ xy + yz +
xz = 0.
H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: S = (x – 1)1995
+ y1996
+ (z + 1) 1997
.
25 C©u 4: Cho hihf vu«ng ABCD c¹nh a. §iÓm M di ®éng trªn c¹nh AB;
§iÓm N di ®éng trªn c¹nh AD sao cho chu vi tam gi¸c AMN kh«ng ®æi
vµ b»ng 2a. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña MN ®Ó diÖn tÝch tam gi¸c CMN ®¹t
gi¸ trÞ lín nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã.
25 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC cã µ µ 0
3A 2B 180+ = . TÝnh sè ®o c¸c c¹nh cña
tam gi¸c ABC biÕt c¸c sè ®o Êy lµ ba sè tù nhiªn liªn tiÕp.
26
C©u 1:Chøng minh r»ng nÕu:
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
th× (a + b)(b + c)(a
+ c) = 0.
26 C©u 2: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3 x 3 2 x 2 x 1 4− − − + − = .
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4
+ 7x2
– 12x + 5 = 0.
26 C©u 3: Hai ®éi bãng bµn cña hai trêng A vµ B thi ®Êu giao h÷u. BiÕt
r»ng mçi ®èi thñ cña ®éi A ph¶i lÇn lît gÆp c¸c ®èi thñ cua ®éi B mét
lÇn vµ sè trËn ®Êu gÊp ®«i tæng sè ®Êu thñ cña hai ®éi. TÝnh sè
®Êu thñ cña mçi ®éi.
26 C©u 4: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Trªn c¹nh CD vµ BC lÊy ®iÓm M,
N sao cho BM = DN. Gäi I lµ giao ®iÓm cua BM vµ DN. Chøng minh
IA lµ ph©n gi¸c cña gãc DIB.
26 C©u 5: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, víi AC > DB. Gäi E vµ F lÇn lît lµ
ch©n ®êng vu«ng gãc kÎ tõ C ®Õn c¸c ®êng th¼ng AB vµ AD.
Chøng minh r»ng: AB.AE + AD.AF = AC 2
.
27 C©u 1:
Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 2a2
b + 4ab2
– a2
c + ac2
– 4b2
c
+ 2bc2
– 4abc.
27 C©u 2: T×m nghiÖm cña ®a thøc: f(x) = x2
+ x – 6.
27 C©u 3: Cho a, b, c lµ ba sè ®«i mét kh¸c nhau, chøng minh r»ng:
b c c a a b 2 2 2
(a b)(a c) (b a)(b c) (c b)(c a) a b b c c a
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
27 C©u 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: m2
x + 2m = 4x + m2
. (víi x lµ Èn).
27 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n ®Ønh A. LÊy ®iÓm M tuú ý trªn
c¹nh AC. KÎ tia Ax vu«ng gãc víi BM. Gäi H lµ giao ®iÓm cña Ax víi BC
vµ K lµ ®iÓm ®èi xøng víi C qua H. KÎ Ky vu«ng gãc víi BM. Gäi I lµ
giao ®iÓm cña Ky víi AB. TÝnh gãc AIM?
28 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

13. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
a) x4
+ 1997x2
+ 1996x + 1997.
b) bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) + 2abc.
28 C©u 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = xy + xz + yz + 2xyz.
BiÕt:
a b c
x ; y ; z
b c a c a b
= = =
+ + +
28 C©u 3: T×m bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp, biÕt tÝch cña chóng lµ: 57120.
28 C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn c¸c tia ®èi CB vµ DC, lÊy c¸c
®iÓm M, N sao cho DN = BM. C¸c ®êng th¼ng song song kÎ tõ M víi
AN vµ tõ N víi AM c¾t nhau t¹i F. Chøng minh:
1). Tø gi¸c ANFM lµ h×nh vu«ng.
2). §iÓm F n»m trªn tia ph©n gi¸c cña gãc MCN vµ gãc ACF = 900
.
3). Ba diÓm B,O,D th¼ng hµng vµ tø gi¸c BOFC lµ h×nh thang(O lµ
trung ®iÓm FA).
28 C©u 5: Cho ®o¹n th¼ng PQ = a. Dùng mét h×nh vu«ng PABC sao cho
P lµ ®Ønh vµ Q lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB.
29 C©u 1: Cho a, b, c, d lµ c¸c sè nguyªn d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: a2
–
b2
= c2
– d2
.
Chøng minh r»ng S = a + b + c + d lµ hîp sè.
29 C©u 2: chøng minh r»ng nÕu a, b lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
a + b = 1 th×:
3 3 2
a b 2(b a)
b 1 a 1 (ab) 3
−
− =
− − +
29 C©u 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x4
+ 1996x2
+ 1995x +
1996.
29 C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn c¹nh CD lÊy mét ®iÓm M bÊt kú.
C¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BAM vµ DAM lÇn lît c¾t c¹nh BC t¹i E vµ
c¾t c¹nh CD t¹i F. Chøng minh AM vu«ng gãc víi FE.
29 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC (AB kh¸c AC). Trªn tia ®èi cña tia BA lÊy
®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm E, sao cho BD = CE. Gäi N
lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC. VÏ h×nh b×nh hµnh ECNK vµ h×nh b×nh
hµnh BDFN. Gäi M lµ giao ®iÓm cña DE vµ FK. T×m quü tÝch ®iÓm
M khi D vµ E di ®éng.
30 C©u 1: Cho biÓu thøc:
4 3 2
x 10
B
x 9x 9x 9x 10
+
=
+ − + −
a). T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó B cã nghÜa.
b). Rót gän biÓu thøc B.
30 C©u 2: Chøng minh r»ng: A = n8
+ 4n7
+ 6n6
+ 4n5
+ n4
chia hÕt cho
16, víi mäi n lµ sè nguyªn.
30 C©u 3:
1). Gi¶i ph¬ng tr×nh:
3 3 3
4x 3 1 3x (3 4x)(3x 1)
−
+ =
− − − −

14. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
2). Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:
x 1 4 x
2
2 2
− +
≥ −
30 C©u 4: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh sau
x a 1 x b 1 a
x a x b (x a)(x b)
− + − +
− =
− − − −
Trong ®ã a, b lµ h»ng sè.
30 C©u 5: Cho h×nh thang vu«ng ABCD cã ®¸y CD = 9 cm; ®¸y AB = 4
cm, c¹nh xiªn BC = 13 cm. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M sao cho BM =
AB. §êng th¼ng vu«ng gãc víi BC t¹i M c¾t AD t¹i N.
1). Chøng minh r»ng ®iÓm N n»m trªn tia ph©n gi¸c cña gãc ABM.
2). Chøng minh r»ng: BC2
= BN2
+ ND2
+ DC2
.
3). TÝnh diÖn tÝch h×nh thang ABCD.
31 C©u 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
( ) ( ) ( )( )
2 22 2 2 2
2x x 1998 4 x 3x 950 4 2x x 1998 x 3x 950+ − + − − = + − − −
31 C©u 2: TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc: f(x) = 6x4
– 7x3
– 22x2
+ 7x + 2004,
víi x lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 6x2
+ 5x = 6.
31 C©u 3: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc:
2 2 2 2 2
a b c d e a(b c d e)+ + + + ≥ + + +
31 C©u 4: Chøng minh ®¼ng thøc:
b c c a a b 2 2 2
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) (a b) (b c) (c a)
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
31 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC cã AB = 4 cm, BC = 6 cm, CA = 8 cm. C¸c
®êng ph©n gi¸c trong AD vµ BE c¾t nhau t¹i I.
1). TÝnh ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng BD vµ CD.
2). Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Chøng minh IG//BC vµ suy
ra ®é dµi cña ®o¹n th¼ng IG.
31 C©u 6:
1). Cho tam gi¸c ABC cã gãc A = 300
. Dùng ra bªn ngoµi tam gi¸c ®Òu
BCD.
Chøng minh r»ng: AD2
= AB2
+ AC2
.
2). Tæng tÊt c¶ c¸c gãc trong vµ mét trong c¸c gãc ngoµi cña mét ®a
gi¸c cã sè ®o lµ 47058,50
. TÝnh sè c¹nh cña ®a gi¸c?.
32 C©u 1:
1). Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn ch½n n th×: n3
+ 20n chia hÕt
cho 48.
2). Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (x – a)b3
– (x – b)a3
+ (a – b)x3
.
32 C©u 2: Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c ta ®Òu cã:
2 2 2 19
a 9b c 2a 12b 4c
2
+ + + > + +
32 C©u 3:

15. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
Cho x, y, z lµ ba sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:
2 2 2
3 3 3
x y z 1
x y z 1
x y z 1
+ + =

+ + =

+ + =
H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 17 9 1997
P (x 1) (y 1) (z 1)= − + − + −
32 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã H lµ trung ®iÓm c¹nh BC. Gäi I
lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H trªn c¹nh AC vµ O lµ trung ®iÓm cña
IH.
Chøng minh r»ng AO vu«ng gãc víi IB.
32 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, lÊy c¸c ®iÓm E vµ K lÇn lît trªnc¸c
tia AB vµ AC sao cho AE + AK = AB + AC. Chøng minh r»ng: EK >
BC.
33 C©u 1:
1). Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x2
– 4x + 3 b»ng hai c¸ch.
2). Cho A(x) = 8x2
– 26x + m vµ B(x) = 2x – 3. T×m m ®Ó A(x) chia
hÕt cho B(x).
33 C©u 2: Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy
nhÊt:
(x a)(x 5) 0− − ≤
33 C©u 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2
x 1 a(x 1) 0− + − =
33 C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD trªn BC lÊy ®iÓm M sao cho BC =
3BM. Trªn tia ®èi cña tia CD lÊy ®iÓm N sao cho BC = 2CN. C¹nh
AM c¾t BN t¹i I vµ CI c¾t AB t¹i K. Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M trªn AC.
Chøng minh K, M, H th¼ng hµng.
33 C©u 5: Cho h×nh thang can ABCD (AB//CD) cã AC = 6 cm, gãc BDC
= 450
. Gäi O lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo. TÝnh diÖn tÝch h×nh thang
ABCD b»ng hai c¸ch.
34 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
1). x8
+ 3x4
+ 4 . 2). x6
– x4
– 2x3
+ 2x2
34 C©u 2: Cho biÓu thøc:
2
2
2x 3y 6 xy x 9
A
xy 2x 3y 6 xy 2x 3y 6 x 9
+ − +
= − −
+ − − + + + −
a). T×m x, y ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa.
b). Rót gän biÓut thøc A.
34 C©u 3:
Cho 3 sè a, b, c tho¶ m·n:
3 2 3 2 3 2 1
a b b b c c c a a
3
− − = − − = − − =
Chøng minh r»ng a = b = c.
34 C©u 4: Cho tø gi¸c låi ABCD. Qua trung ®iÓm K cña ®êng chÐo BD
dùng ®êng th¼ng song song víi ®êng chÐo AC, ®êng th¼ng nµy c¾t
AD t¹i E. Chøng minh r»ng CE chia tø gi¸c thµnh hai phÇn cã diÖn
tÝch b»ng nhau.

16. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
34 C©u 5: Dùng h×nh b×nh hµnh biÕt trung ®iÓm ba c¹nh cña nã.
35 C©u 1:
1). Chøng minh r»ng: 8351634
+ 8241142
chia hÕt cho 26.
2). Chøng minh r»ng A lµ sè chÝnh ph¬ng, biÕt r»ng A cã d¹ng:
{
ˆˆ ˆ 999 so 61998 so 1 1000 so 1
A 11.....1 11.....1 66...6 8
′′ ′
= + + +1442 443 1442 443
35 C©u 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
4
4 2
x 1
B
x 2x 1
+
=
+ +
35 C©u 3:
Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 tho¶ m·n ®¼ng thøc:
a b c a c b b c a
c b a
+ − + − + −
= =
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
(a b)(b c)(a c)
P
abc
+ + +
= .
35 C©u 4: C¸c ®êng chÐo cña tø gi¸c låi ABCD vu«ng gãc víi nhau. Qua
trung ®iÓm c¸c c¹nh AB vµ AD kÎ nh÷ng ®êng vu«ng gãc theo thø tù
víi c¸c c¹nh CD vµ CB. Chøng minh r»ng hai ®êng th¼ng vu«ng gãc
nµy vµ ®êng th¼ng AC ®ång quy.
35 C©u 5: Cho h×nh thang ABCD cã hai ®¸y lµ AB = 2a vµ CD =a. H·y
x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn ®êng th¼ng CD sao cho:
1). §êng th¼ng AM chia h×nh thang thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch
b»ng nhau.
2). §êng th¼ng AM chia h×nh thang thµnh hai phÇn mµ phÇn cã chøa
®Ønh D cã diÖn tÝch b»ng (n – 1) lÇn diÖn tÝch phÇn kia(n lµ sè tù
nhiªn lín h¬n 2).
36 C©u 1:
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 2 2 2 2
1 1 1 1
A 1 1 1 ... 1
2 3 4 1998
     
= − − − − ÷ ÷ ÷  ÷
     
36 C©u 2: Ph©n tÝch ®a høc thµnh nh©n tö:
1). x2
– x – 12
2). x2
+ 8x + 15
36 C©u 3: Chøng minh r»ng: (x 1)(x 3)(x 4)(x 6) 10 1− − − − + ≥
36 C©u 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4
+ 2x3
– 4x2
– 5x – 6 = 0.
36 C©u 5:
Cho tam gi¸c ABC (BC < AB). Tõ C vÏ ®êng vu«ng gãc víi ®êng ph©n
gi¸c BE t¹i F vµ c¾t AB t¹i K; VÏ trung tuyÕn BD c¾t CK t¹i G.
Chøng minh r»ng DF ®i qua trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng GE.
37 C©u 1: (3,5®)
Cho biÓu thøc:
2 2
2 2 3
2 x 4x 2 x x 3x
A :
2 x 2 xx 4 2x x
   + − −
= − − ÷  ÷
− +− −   
1). Rót gän biÓu thøc A.

17. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
2). T×m gi¸ trÞ cña x ®ª A d¬ng.
3). T×m gi¸ trÞ cña A trong trêng hîp x 7 4− =
37 C©u 2: (3,5®)
Cho tam gi¸c ABC cã BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm.
1). TÝnh ®é dµi ®êng cao CH cña tam gi¸c ABC.
2). Gäi CD lµ ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c ACH. Chøng minh tam gi¸c
ACD c©n.
3). Chøng minh r»ng: BC2
+ CD2
+ BD2
= 3CH2
+ 2BH2
+ DH2
37 C©u 3: (1,5®)
Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän vµ M lµ mét ®iÓm n»m trªn c¹nh
BC. Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña B vµ C xuèng ®êng th¼ng
AM. X¸c ®Þnh M trªn BC ®Ó tæng BE + CF lín nhÊt.
37 C©u 4
37 C©u 5:
38 C©u 1:
1). X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau v« nghiÖm:
2
(m 3m 2)x 3 2m− + ≤ −
2). Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh Èn x sau:
x 2 x 1
x m x 2
− −
=
− −
38
C©u 2: Cho a b c 0≥ ≥ > . Chøng minh r»ng:
a b c b a c
b c a a c b
+ + ≤ + +
38 C©u 3: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Tõ mét ®iÓm D bÊt kú trªn c¹nh
BC kÎ DE, DF vu«ng gãc víi AB, AC t¹i E vµ F. Chøng minh: EA. EB +
FA.FC = DB.DC.
38
C©u 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2 2
2 2
12x 12x 11 5y 10y 9
4x 4x 3 y 2y 2
+ + − +
=
+ + − +
38 C©u 5: Cho h×nh thoi ABCD cã gãc A = 600
. Gäi M lµ mét ®iÓm thuéc
c¹nh AD. §êng th¼ng CM c¾t ®êng th¼ng AB t¹i N.
1). Chøng minh: AB2
= DM.BN.
2). BM c¾t DN t¹i P. TÝnh gãc BPD.
38 C©u 6:
Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 3 vµ 0 a 2;0 b 2;0 c 2≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ .
Chøng minh r»ng: a2
+ b2
+ c2
≤ 5.
39 C©u 1:
1). Rót gän biÓu thøc: 2 4 8 16
1 1 2 4 8 16
A
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
= + + + + +
− + + + + +
2). Cho biÓu thøc:
22 2
2
2 2
1 1
x 9x 9 x 9B
1 1 x
x 9 x 9
−
+− += −
+
− +
a). T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó B cã nghÜa.
b). Rót gäc biÓu thøc B.

18. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
39 C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1). x3
+ 3x2
+ 2x + 6 = 0. 2).
2
x 1 a(x 1) 0− + − =
39 C©u 3: Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c.
Chøng minh r»ng:
a b c
2
b c a c a b
+ + <
+ + +
39 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC. Trªn AB lÊy ®iÓm D sao cho BD = 3DA.
Trªn BC lÊy ®iÓm E sao cho BE = 4EC. Gäi F lµ giao ®iÓm cña AE vµ
CD.
Chøng minh r»ng: FD = FC.
39 C©u 5:
Cho tam gi¸c ABC, M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC.
Chøng minh r»ng: BC < MC.AB + MB.AC.
39 C©u 6: Trong tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt cã ®é dµi ®êng chÐo kh«ng
®æi lµ d. H·y t×m diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch lín nhÊt?
40 C©u 1:
1). TÝnh: S = 12
– 22
+ 32
– 42
+ …+ 992
- 1002
+ 1012
.
1). Cho a + b + c = 9 vµ a2
+ b2
+ c2
= 53. TÝnh P = ab + ac + bc.
40 C©u 2: Cho a, b, c, d lµ bèn sè thùc tho¶ m·n: a + b + c + d = 0.
Chøng minh r»ng: a3
+ b3
+ c3
+ d3
= 3(c + d)(ab – cd).
40 C©u 3: Chøng minh r»ng víi ba sè thùc a, b, c tuú ý th×:
a2
+ 4b2
+ 3c2
> 2a + 12b + 6c – 14.
40 C©u 4: Cho gãc xOy = 600
. Trªn hai tia Ox, Oy lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm tuú
ý B vµ C. Chøng minh r»ng: OB OC 2BC.+ ≤
40 C©u 5:
Cho tø gi¸c ABCD (AB kh«ng song song víi CD). Gäi M, N lÇn lît lµ
trung ®iÓm cña c¹nh AB vµ CD.
Chøng minh r»ng nÕu: BC + AD = 2MN th× ABCD lµ h×nh thang.
41 C©u 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1).
2 2
2 2
x x x x 2
1
x x 1 x x 2
− − +
− =
− + − −
2).
2 2
x 5x 5 10x 2x 11− + = − −
41 C©u 2: Cho a, b, c lµ ba sè thùc ®«i mét kh¸c nhau.
1). TÝnh:
ab bc ac
S
(b c)(c a) (c a)(a b) (a b)(b c)
= + +
− − − − − −
2). Chøng minh r»ng:
2 2 2
2 2 2
a b c
2
(b c) (c a) (a b)
+ + ≥
− − −
.
41 C©u 3: Cho ba sè d¬ng cã tæng b»ng 4. Chøng minh r»ng tæng cña 2
sè bÊt kú trong ba sè ®ã kh«ng bÐ h¬n tÝch cña ba sè ®ã.
41 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A (¢ < 900
). Tõ B kÎ BM vu«ng gãc víi
AC.

19. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
Chøng minh r»ng:
2
AM AB
2 1.
MC BC
 
= − ÷
 
41 C©u 5: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, cã O lµ giao ®iÓm hai ®êng
chÐo. Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BO, AO. Trªn c¹nh AB lÊy
®iÓm F sao cho tia FM c¾t c¹nh BC t¹i E vµ tia FN c¾t c¹nh AD t¹i K.
Chøng minh r»ng:
AB BC
1). 4 2). BE AK BC
BF BE
+ = + ≥
42 C©u 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
1). x2
– 6x – 16. 2). x3
– x2
+ x + 3.
42 C©u 2: Rót gän biÓu thøc:
2 2 2
x yz y xz z xy
A
(x y)(x z) (y z)(y x) (z x)(z y)
− − −
= + +
+ + + + + +
42 C©u 3: Cho a 1; a c 1999; b 1 1999.< − < − < Chøng minh:
ab c 3998− < .
42 C©u 4: T×m x, y, z tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: 9x2
+ y2
+ 2z2
– 18x + 4z –
6y + 20 = 0.
42 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC (BA = BC). Trªn c¹nh AC chän mét ®iÓm K
n»m gi÷a A vµ C. Trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm E sao cho: CE =
AK.
Chøng minh r»ng BK + BE > BA + BC.
42 C©u 6: Cho tam gi¸c ®Òu ABC. Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt kú n»m trong
tam gi¸c.
Chøng minh r»ng tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ba c¹nh cña tam
gi¸c kh«ng phô thuéc vÞ trÝ cña ®iÓm M.
43
C©u 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 2 1
A x x
3
= − +
43
C©u 2: Cho biÓu thøc:
( )
2
2 3 3
2
1 x 1 x 1 x
B : x x
1 x 1 x1 x
−    − +
= + −  ÷ ÷
− ++    
a). T×m x ®Ó B cã nghÜa.
b). Rót gän B.
c). Chøng minh B lu«n d¬ng víi mäi x tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh
cña B.
43 C©u 3: Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a, vµ E lµ mét ®iÓm bÊt
kú trªn BC (E kh¸c B vµ C). Hai ®êng th¼ng AE vµ CD c¾t nhau t¹i F.
Tia Ax vu«ng gãc víi AE t¹i A c¾t ®êng th¼ng CD t¹i I.
1). Chøng minh dãc AEI = 450
.
2). Chøng minh: 2 2 2
1 1 1
AB AE AF
= +
3). Chøng minh diÖn tÝch tam gi¸c AEI kh«ng nhá h¬n
2
a
2

20. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
43 C©u 4: Cho hinh b×nh hµnh ABCD (AB > AD). Tõ C kÎ CE vµ CF lÇn l-
ît vu«ng gãc víi c¸c ®êng th¼ng AB, AD (E thuéc AB vµ F thuéc AD).
Chøng minh r»ng: AB.AE + AD.AF = AC2
.
43 C©u 5:
44 C©u 1:
Cho 4a2
+ b2
= 5ab víi 2a > b > 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
2 2
ab
P
4a b
=
−
44 C©u 2:
Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh (Èn x): (ab + 2)x + a = 2b + (b + 2a)x.
44 C©u 3: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: A = x3
+ y3
+ z3
– 3xyz.
44 C©u 4: Trong mét cuéc ®ua «t« cã 3 xe khëi hµnh cïng mét lóc. Xe
thø hai trong mét giê ch¹y chËm h¬n xe thø nhÊt 15 km vµ nhanh h¬n
xe thø ba 3 km nªn ®Õn ®Ých chËm h¬n xe thø nhÊt 12 phót vµ ®Õn
sím h¬n xe thø ba 3 phót. TÝnh vËn tèc mçi xe, qu·ng ®êng ®ua va
thêi gian ch¹y cña mçi xe.
44 C©u 5:
Cho tam gi¸c ABC c©n ®Ønh A. Mét ®iÓm M thuéc c¹nh BC. KÎ MD
vu«ng gãc víi AB, ME vu«ng gãc víi AC. Chøng minh r»ng tæng MD +
ME kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn BC.
44 C©u 6: Cho gãc nhän xAy. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M cã tæng c¸c
kho¶ng c¸ch ®Õn hai c¹nh Ax vµ Ay b»ng mét sè cho tríc.
44 C©u 7: Cho tam gi¸c ABC, qua mét ®iÓm O tuú ý trong tam gi¸c kÎ c¸c
tia AO, BO, CO c¾t c¸c c¹nh BC, CA, AB lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm M, N, vµ
P.
Chøng minh r»ng:
OM ON OP
1
AM BN CP
+ + = .
45 C©u 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1). (x + 2)(x + 3)2
(x + 4) = 12.
2). 2x 1 3 x 1 2x 6− − + = + .
45 C©u 2:
1). Cho tam gi¸c ABC cã ®êng cao BD vµ CE. Chøng minh: gãc AED =
gãc ACB.
2). Cho tam gi¸c ABC coa ®êng ph©n gi¸c AD.
Chøng minh: AD 2
= AB.AC – DB.DC.
45 C©u 3:
1). Cho ®a thøc bËc hai: P(x) = ax2
+ bx + c.
T×m a, b, c biÕt P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000.
2).Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
TÝnh ( )( )( )25 25 3 3 2000 2000
a b b c c a+ + −
45 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC (¢ < 900
). Dùng ra bªn ngoµi tam gi¸c ABC
c¸c h×nh vu«ng ABDE vµ ACFG. Dùng h×nh b×nh hµnh AEIG. Chøng

21. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
minh:
1) ABC GIA∆ = ∆ vµ CI = BF.
2) Ba ®êng th¼ng AI, BF, CD ®ång qui.
45 C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M = 5x2
+ 2y2
+ 4xy – 2x +
4y + 2005
46 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x3
– 5x2
+ 8x – 4
46
C©u 2:
x y z a b c
Cho 1 vµ 0.
a b c x y z
+ + = + + =
Chøng minh r»ng:
2 2 2
2 2 2
x y z
1
a b c
+ + =
46 C©u 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1). x2
+ 8x – 20.
2). x 2 x 1 3 x 2 4− − + − =
46 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC cã ba ®êng ph©n gi¸c AD, BE, CF. Chøng
minh r»ng:
DB EC FA
1) . . 1.
DC EA FB
1 1 1 1 1 1
2)
AD BE CF BC AC AB
=
+ + > + +
46 C©u 5:
47
C©u 1: Rót gän ph©n thøc:
3 3 3
a b c 3abc
A
a b c
+ + −
=
+ +
47 C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3
+ x2
+ 4 = 0
47 C©u 3: Chøng minh r»ng nÕu: abc = 1 th×
a b c
1
ab a 1 bc b 1 ac c 1
+ + =
+ + + + + +
47 C©u 4: 5 5 4 4
Cho x,y 0 vµx y 0. Chøng minh: x y x y xy≠ + ≥ + ≥ +
47 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC, gäi D lµ trung ®iÓm cña AB. Trªn c¹nh AC
lÊy ®iÓm E sao cho AE = 2EC. Gäi O lµ giao ®iÓm cña CD vµ BE.
Chøng minh r»ng:
1). Hai tam gi¸c BOC vµ AOC cã diÖn tÝch b»ng nhau.
2). BO = 3.EO.
48 C©u 1:
Gäi a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c ABC, biÕt
b c a
1 1 1 8
a b c
   
+ + + = ÷ ÷ ÷
   
. Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c
®Òu.
48 C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2
x 3x 2 x 1 0− + + − =
48 C©u 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x2
y + xy2
+ x2
z + xz2
+ y2
z +
yz2
+ 2xyz
48 C©u 4:

22. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña x, y ®Ó cã ®¼ng thøc: 5x2
+ 5y2
+ 8xy + 2y –
2x + 2 = 0.
48 C©u 5: Trªn c¹nh AB cña h×nh vu«ng ABCD ngêi ta lÊy mét ®iÓm tuú
ý E. Tia ph©n gi¸c cña gãc CDE c¾t BC t¹i K. Chøng minh: AE + KC =
DE.
49 C©u 1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2
2 2 6
x 1 x 1 2(x 2)
x x 1 x x 1 x 1
+ − +
− =
+ + − + −
49 C©u 2:
T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc 2
x
A(x)
(x 1999)
=
+
(víi x > 0) ®¹t gi¸
trÞ lín nhÊt.
49 C©u 3:
1). Chøng minh r»ng nÕu x > 0, y > 0 th×:
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
2). Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c th×:
1 1 1 1 1 1
a b c b c a a c b a b c
+ + ≥ + +
+ − + − + −
49 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC (¢ = 900
) ®êng cao AH, trung tuyÕn BM,
ph©n gi¸c CD c¾t nhau t¹i mét ®iÓm.
1). Chøng minh:
BH CM AD
. . 1
HC AM BD
= .
2). Chøng minh: BH = AC.
49 C©u 5: Cho a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vµ x, y, z lµ ®é
dµi c¸c ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c ®ã. Chøng minh:
1 1 1 1 1 1
x y z a b c
+ + > + + .
50 C©u 1: Trong mét c¸i hép ®ùng mét sè t¸o. §Çu tiªn ngêi ta lÊy ra mét
nöa sè t¸o vµ bá l¹i 5 qu¶, sau ®ã lÊy ra thªm 1/3 sè t¸o cßn l¹i vµ lÊy
thªm 4 qu¶. Cuèi cïng trong hép cßn l¹i 12 qu¶. Hái trong hép lóc ®Çu
cã bao nhiªu qu¶ t¸o.
50 C©u 2: Cho a > 0, b > 0 vµ c > 0. Chøng minh:
1 1 1 3
b c a c a b a b c
+ + >
+ + + + +
50 C©u 3:
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®êng cao AH. Cho biÕt AB = 5 cm,
BH = 3 cm. TÝnh BC ?
50 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC. Mét ®êng th¼ng song song víi BC c¾t AC
t¹i E vµ c¾t ®êng th¼ng song song víi AB kÎ tõ C ë F. Gäi S lµ giao
®iÓm cña AC vµ BF.
Chøng minh r»ng: SC2
= SE.SA

23. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
50 C©u 5:
51 C©u 1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 3
1 9x 1
x 3x 3x 9 x 27
− =
+− + +
51 C©u 2: Chøng minh ®¼ng thøc sau:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
a 3ab 2a 5ab 3b a an bn ab
a 9b 6ab a 9b 3bn a an 3ab
+ − − + + +
+ =
− − − − − +
51 C©u 3: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã ®êng chÐo AC lín h¬n ®êng
chÐo BD. Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña B vµ D xuèng ®êng
th¼ng AC.
1). Tø gi¸c BEDF lµ h×nh g×? chøng minh ®iÒu ®ã.
2).Gäi CH vµ CK lÇn lît lµ ®êng cao cña tam gi¸c ACB vµ ACD.
a). Chøng minh:
CH CK
CB CD
= .
b). Chøng minh hai tam gi¸c CHK vµ ABC ®ång d¹ng víi
nhau.
c). Chøng minh r»ng: AB.AH + AD.AK = AC 2
.
51 C©u 4: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Trªn c¹nh AB vµ CD lÇn lît lÊy c¸c
®iÓm M vµ K sao cho AM = CK. Trªn ®o¹n AD lÊy ®iÓm P tuú ý. §o¹n
th¼ng MK lÇn lît c¾t PB vµ PC t¹i E vµ F. Chøng minh r»ng:
PFE BME CKFS S S= +
51 C©u 5:
52 C©u 1: Ph©n tÝch thµnh tÝch: a3
+ b3
+ c3
– 3abc.
52 C©u 2:T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A = x + y + xy – x2
– y2
vµ
c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng cña x vµ y.
52 C©u 3:
1). Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x3
+ 4x2
+ 5x – 6 = 0.
2). Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:
x 3
2
x 2
−
>
+
.
52 C©u 4: Cho ®o¹n th¼ng AC = m. LÊy ®iÓm B bÊt kú thuéc ®o¹n AC
(B≠ A, B ≠ C). VÏ tia Bx vu«ng gãc víi AC, trªn tia Bx lÇn lît lÊy c¸c
®iÓm D vµ E sao cho BD = AB vµ BE = BC.
1). Chøng minh r»ng: CD = AE vµ CD vu«ng gãc víi AE.
2). Gäi M lµ trung ®iÓm cña AE, N lµ trung ®iÓm cña CD, I lµ trung
®iÓm cña MN. Chøng minh r»ng kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn AC kh«ng ®æi
khi B di chuyÓn trªn ®o¹n AC.
3). T×m vÞ trÝ cña ®iÓm B trªn ®o¹n AC sao cho tæng ®iÖn tÝch hai
tam gi¸c ABE vµ BCD cã gi¸ trÞ lín nhÊt. TÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt nµy theo
m.
52 C©u 5: Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm M. VÏ CH
vu«ng gãc víi CM. VÏ HN vu«ng gãc víi DH (N thuéc BC).
1). Chøng minh r»ng hai tam gi¸c DHC vµ NHB ®ång d¹ng víi nhau.
2). Chøng minh r»ng: AM.NB = NC.MB.

24. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
53 C©u 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
2
2 2
3 2 2
x 25 y 2
A : BiÕt: x 9y 4xy 2xy x 3
x 10x 25x y y 2
− −
= + − = − −
− + − −
53 C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x3
+ 3x2
+ 2x – 2 = 0.
53 C©u 3:
1). Chøng minh r»ng: x2
+ xy + y2
– 3x – 3y + 3 ≥ 0.
2). Chøng minh r»ng: (a + b – c)(a – b + c)(b + c – a) ≤ abc, víi a, b, c
lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c.
53 C©u 4: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm
cña BC vµ AD. K lµ mét ®iÓm bÊt kú n»m gi÷a C vµ D. Gäi P vµ Q
theo thø tù lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña K qua t©m M vµ N.
1). Chøng minh r»ng Q, A, B, P th¼ng hµng.
2). Gäi G lµ giao ®iÓm cña PN vµ QM. Chøng minh GK lu«n ®i qua
®iÓm I cè ®Þnh khi K thay ®æi tªn ®o¹n CD.
53 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän, c¸c ®êng cao AD, BE, CF
c¾t nhau t¹i H. Chøng minh r»ng:
1). Tam gi¸c FHE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BHC.
2). H lµ giao ®iÓm c¸c ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c FED.
54 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
1). x3
– 5x2
+ 8x – 4
2). 2 21 2 1
3x y y
3 3 3
− + −
54 C©u 2: T×m x, y, z tho¶ m·n ®¼ng thøc: x2
+ 4y2
+ z2
= 2x + 12y – 4z
- 14
54 C©u 3:
Cho biÓu thøc:
2
2 2 3 3
x 1 2 3 x 2 6x 3x
A : 2 x
x 1 xx 1 x 1 x 2x
+ + − 
= + − + − + ÷
+− − + 
1). Rót gän biÓu thøc A.
2). T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ ©m.
54 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. VÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c ta
vÏ c¸c h×nh vu«ng ABDE vµ ACGH.
1). Chøng minh r»ng tø gi¸c BCHE lµ h×nh thang c©n.
2). KÎ ®êng cao AH1 cña tam gi¸c ABC. Chøng minh c¸c ®êng th¼ng
AH1, DE vµ GH ®ång quy.
54 C©u 5: Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, kÎ BH vu«ng gãc víi AC t¹i H. Gäi M
vµ K lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AH vµ CD. Chøng minh r»ng BM vu«ng
gãc víi MK.
55 C©u 1: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:
1). x2
– 3x > 0.
2). x 2 1− >
55 C©u 2: Chøng minh c¸ bÊt ®¼gn thøc:
1). a4
+ b4
≥ a3
b + ab3
.
2). a4
+ b4
+ c4
≥ a2
b2
+ b2
c2
+ a2
c2

25. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
55 C©u 3:
T×m c¸c sè nguyªn x, y tho¶ m·n ®¼ng thøc sau:
2
x x 6
y
x 1
+ +
=
+
55 C©u 4:
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®êng cao AH. Cho biÕt AH = 3 cm,
CH = 4 cm.
1). TÝnh AC vµ AB.
2). VÏ ®êng ph©n gi¸c trong AD cña gãc A cña tam gi¸c ABC. TÝnh
diÖn tÝch tam gi¸c ABD.
55 C©u 5: Cho h×nh thang ABCD cã AD//BC vµ BC = 10 cm, AD = 6 cm,
AB = 4 cm vµ CD = 6 cm. C¸c ®êng ph©n gi¸c cña gãc A vµ B (trong
h×nh thang) c¾t nhau t¹i M. C¸c ®êng ph©n gi¸c cña gãc C vµ D (trong
h×nh thang) c¾t nhau t¹i N. TÝnh MN?
56 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
1). ab + ac + b2
+ 2bc + c2
.
2). x4
+ 2x2
– 3.
3). (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1.
56 C©u 2: Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A víi x + y = 2005.
x(x 5) y(y 5) 2(xy 3)
A
x(x 6) y(y 6) 2xy
+ + + + −
=
+ + + +
56 C©u 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a b b c a c
(b c)(c a) (c a)(c b) (a b)(b c)
+ + +
+ +
− − − − − −
56 C©u 4:
Cho a + b + c = 1 vµ
1 1 1
0
a b c
+ + = . Chøng minh: a2
+ b2
+ c2
= 1
56 C©u 5: Cho h×nh thang ABCD (AB//CD). §iÓm M bÊt kú n»m trong
h×nh thang, vÏ c¸c h×nh b×nh hµnh MDPA, MCQB. Chøng minh r»ng:
PQ//CD.
57 C©u 1:
Cho a, b, c lµ 3 sè kh¸c 0 tho¶ m·n a + b + c = 2002 vµ
1 1 1 1
a b c 2002
+ + = .
Chøng minh r»ng trong 3 sè a, b, c tån t¹i hai sè ®èi nhau.
57 C©u 2:
Cho x, y, z lµ 3 sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: x + y + z = 0 vµ x2
+ y2
+ z2
=
14.
H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = 1 + x4
+ y4
+ z4
.
57 C©u 3: T×m 3 sè x, y, z sao cho:
2 2
x 5y 4xy 10x 22y x y z 26 0+ − + − + + + + =
57 C©u 4: Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau:
1). ( )( )2 2 2 2
a b a 1 4a b+ + ≥ , víi mäi a,b.

26. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
2).
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
, víi mäi a,b > 0.
3).
1 1 1 1 1 1
a 3b b 3c c 3a a 2b c b 2c a c 2a b
+ + ≥ + +
+ + + + + + + + +
,víi a,b,c
> 0.
57 C©u 5:
Cho tø gi¸c låi ABCD. Trªn hai c¹nh AB vµ CD ta lÇn lît lÊy hai ®iÓm E
vµ F sao cho:
AE CF
BE DF
= . Chøng minh r»ng nÕu ®êng chÐo AC ®i qua
trung ®iÓm I cña ®o¹n FE th× AC chia ®«i ®iÖn tÝch cña tø gi¸c
ABCD.
57 C©u 6:
Cho h×nh thoi ABCD biÕt ¢ = 1200
. VÏ tia Ax t¹o víi tia AB mét gãc BAx
= 150
vµ c¾t c¹nh BC t¹i M, c¾t ®êng th¼ng CD t¹i N.
Chøng minh r»ng: 2 2 2
3 3 4
AM AN AB
+ = .
58 C©u 1: Ph©n tÝch thµnh tÝch:
1). 3x2
– 2x – 1.
2). x3
+ 6x2
+ 11x + 6
58 C©u 2:
1). Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 2 1 2
0
x 2 x x(x 2)
+
− − =
− −
2). Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:
4x 7
2
2x 1
+
<
−
.
58 C©u 3:
Chøng minh r»ng nÕu: xyz = 1 th× :
1 1 1
1
1 x xy 1 y yz 1 z xz
+ + =
+ + + + + +
58 C©u 4:
1). Chøng minh r»ng: a4
+ a3
b + ab3
+ b4
≥ 0, víi a,b Q∀ ∈ .
2). Cho : 7x2
+ 8xy + 7y2
= 10. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña A
= x2
+ y2
.
58 C©u 5: Cho tø gi¸c ABCD. §êng th¼ng qua A vµ song song víi BC c¾t
BD t¹i P, ®êng th¼ng qua B vµ song song víi AD c¾t AC t¹i Q. Chøng
minh r»ng: PQ//CD.
58 C©u 6: Cho tam gi¸c ABC. Trªn c¹nh BC, AC vµ AB lÇn lît lÊy c¸c
®iÓm M, N, P.
1). Chøng minh:
ANP
ABC
S AN.AP
S AB.AC
=
2). Chøng minh: ( )
3
ANP MPB MNC ABC
1
S .S .S . S
64
≤
59 C©u 1: Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:

27. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
2 2
2 2
xy (x y) x y(x y) 1
A ví i x 2;y
32y 2x
+ + +
= = =
−
59 C©u 2: Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
3 3 2 2
2 2
(27x y )(16y x ) 1
A ví i x 1; y .
2(x 4y)(9x 3xy y )
− −
= = − =
+ + +
59 C©u 3: X¸c ®Þnh th¬ng vµ d cña phÐp chia: (x4
– 1) : (2x2
+ 1).
59 C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi M, N, P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm
c¸c c¹nh AB, BC, CD, AD. §êng th¼ng AN lÇn lît c¾t DM, BP t¹i I vµ J.
§êng th¼ng CQ lÇn lît c¾t BP, DM t¹i H, K. Hái tø gi¸c IJHK lµ h×nh
g×?
59 C©u 5:
60
C©u 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x3
– 3x2
– 9x – 5.
C©u 2: Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh: x4
– 3x3
+ 8x – 24 = 0 cã ®óng
hai nghiÖm.
C©u 3:
Cho biÓu thøc:
3 3
2 2
x x x x 1 x 1 x
A :
1 x 1 x1 x 1 x
 + − + − 
= − − ÷  ÷
− +− +   
1). T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A cã nghÜa.
2). Rót gän biÓu thøc A.
C©u 4:
Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. VÏ ph©n gi¸c AM cña gãc A (M thuéc
c¹nh CD), vÏ ph©n gi¸c CN cña gãc C (N thuéc c¹nh AB). C¸c ph©n gi¸c
cña gãc A vµ C c¾t BD lÇn lît t¹i E vµ F. Chøng minh diÖn tÝch hai tø
gi¸c AEFN vµ CFEM b»ng nhau.
61
C©u 1: T×m x tho¶ m·n ®¼ng thøc:
3 2
2
6x 7x 5x 2
x 5
2x x 1
+ + +
= −
+ +
61 C©u 2:
Rót gän biÓu thøc:
2
2 2
2 3x x x
A 1
3 xx x 2xy 2y xy 2y
   +
= + − ÷ ÷
++ − − −  
61 C©u 3: Cho h×nh thang ABCD (AB//CD, AB < CD). Gäi M, N lÇn lît lµ
trung ®iÓm cña c¹nh BC, AD, vµ I lµ trung ®iÓm cña MN. Mét ®êng
th¼ng bÊ kú qua I c¾t hai ®¸y AB, CD lÇn lît t¹i E vµ F. CHøng minh
r»ng hai tø gi¸c AEFD vµ BEFC cã diÖn tÝch b»ng nhau.
62 C©u 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2
– 9)(x2
+ 4x) = 0.
62
C©u 2: Gi¶i ph¬ng t×nh:
x x 2
x 1 x 3
+
=
− +
62
C©u 3: T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó
3 2
2x 5x 5x 5
A
2x 1
+ − +
=
−
cã gi¸ trÞ lµ
sè nguyªn.
62 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän vµ hai ®êng cao AM vµ BN
c¾t nhau t¹i H. Gäi D lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña

28. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
BC.
1). Chøng minh tø gi¸c BHCD la h×nh b×nh hµnh.
2). Chøng minh hai gãc BDC vµ BAC bï nhau.
62 C©u 5:
63
C©u 1: Cho biÓu thøc:
2
2
3x 9 9 x
A :
5x 5 x 2x 1
+ −
=
+ + +
.
1). T×m x ®Ó A cã nghÜa.
2). Rót gän biÓu thøc A.
63
C©u 2: Rót gän biÓu thøc: ( )
x y z x x y
B : : x y, y z, x z
y z y z z x
− − −
= ≠ ≠ ≠
− − −
63 C©u 3:
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
3
2 2
x x
C khi x 12, y 99.
(1 xy) (x y)
−
= = − =
+ − +
63 C©u 4: Cho h×nh thang c©n cã hai ®ay dµi 3 cm vµ 11 cm, gãc cña
c¹nh bªn vµ ®¸y lín b»ng 450
. TÝnh diÖn tÝch h×nh thang ®· cho.
63 C©u 5: Mét h×nh vu«ng vµ mét h×nh thoi cã cïng chu vi. Hái diÖn
tÝch h×nh nµo lín h¬n? Gi¶i thÝch v× sao?
64
C©u 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2
2
x 2x
2x 0
x 1
+
− =
+
64
C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2
3 2
1 2x 5 4
x 1 x 1 x x 1
−
+ =
− − + +
64
C©u 3: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh (Èn x):
a x a
5
10 2
−
= + .
64
C©u 4: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh (Èn x):
x a b x b a
b a a b
+ −
− = +
64 C©u 5: Cho h×nh thang c©n ABCD víi AB//CD. Gäi I,J,K,L lÇn lît lµ
trung ®iÓm cña AB, BC, CD, DA.
1).Chøng minh tø gi¸c IJKL lµ h×nh thoi.
2). Cho biÕt diÖn tÝch ABCD b»ng 20 cm2
. TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c
IJKL.
65 C©u 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1). 2x3
+ 5x2
= 7x.
2).
x 11 x 12 x 33 x 67 x 88 x 89
89 88 67 33 12 11
− − − − − −
+ + = + +
3). 2 2 2
2 1 x 4
4 x x 2x x 2x
−
+ =
− − +
65 C©u 2:
1). Cho x, y tho¶ m·n x > y > 0 vµ x2
+ 3y2
= 4xy. TÝnh:
2x 5y
A
x 2y
+
=
−
2). Cho a, b, c, d tho¶ m·n: a + b = c + d vµ a2
+ b2
= c2
+ d2
.
Chøng minh r»ng: a2002
+ b2002
= c2002
+ d2002

29. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
65 C©u 3: Cho x 0≠ . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
2
2
2002x 2x 1
B
x
− +
=
65 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC (¢ = 900
), D lµ mét ®iÓm di ®éng trªn BC.
Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm D trªn AB vµ AC.
1). X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm D ®Ó tø gi¸c AEDF lµ h×nh vu«ng.
2). X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm D ®Ó tæng 3.AD + 4.FE ®¹t gi¸ trÞ nhá
nhÊt.
65 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän, BD vµ CE lµ hai ®êng cao
c¾t nhau t¹i H. Chøng minh r»ng:
1). HD.HB = HE.HC.
2). Hai tam gi¸c HDE vµ HCB ®ång d¹ng víi nhau.
3). HB.BD + CH.CE = BC2
.
66 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
1). a3
– b3
+ c3
+ 3abc.
2). (a + 2)(a + 3)(a2
+ a + 6) + 4a2
.
66 C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1). x8
– 2x4
+ x2
– 2x + 2 = 0.
2). 2 2 2
1 2 3 6
0
5x 5x 6 x 8x 15 x 13x 40
+ + + =
+ + − + − +
66 C©u 3:
1). Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: a2
+ b2
+ c2
+ d2
+ e2
≥ ab + ac + ad +
ae.
2). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x2
+ x.
3). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
2
2
3x 4x
B
x 1
+
=
+
66 C©u 4:Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i C. KÎ ®êng ph©n gi¸c AA1 cña gãc A
vµ ®êng trung tuyÒn CC1 cña tam gi¸c ABC. BiÕt AA1 = 2CC1. TÝnh
sè ®o gãc ACB?.
66 C©u 5: Cho tø gi¸c ABCD cã AC = 10 cm, BD = 12 cm. Hai ®êng chÐo
AC vµ BD c¾t nhau t¹i O. BiÕt sè ®o gãc AOB = 300
. TÝnh diÖn tÝch
tø gi¸c ABCD.
66 C©u 6: Trªn hai c¹nh AB vµ BC cña h×nh vu«ng ABCD lÊy hai ®iÓm P
vµ Q theo thø tù sao cho BP = BQ. Gäi H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kÎ
tõ B xuèng CP. Chøng minh r»ng sè ®o gãc DHQ = 900
.
67 C©u 1:
Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 3
2x x 4
2x 1
− + =
−
.
67 C©u 2:
Cho c¸c biÓu thøc:
2 2
2 3 2
x 2x 1 2x 8x 10
A vµ B
x 4x 5 x x 5x 3
+ + − +
= =
− + − − −
1). T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó B cã nghÜa.
2). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cña x.

30. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
3). T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A.B < 0.
67 C©u 3:
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®êng cao AH vµ ®êng ph©n gi¸c BD
c¾t nhau t¹i I. Chøng minh r»ng:
1). Tam gi¸c ADI c©n.
2). AD.BD = BI.DC.
3). Tõ D kÎ DK vu«ng gãc víi BC t¹i K. Tø gi¸c ADKI lµ h×nh g×? chøng
minh?
67 C©u 4:
Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän vµ AD lµ ®êng ph©n gi¸c.
Chøng minh r»ng: AD2
< AB.AC.
68 C©u 1:
T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc
3 3
4x 6x 8x
A
2x 1
− +
=
−
cã gi¸ trÞ
nguyªn.
68 C©u 2:
T×m gi¸ trÞ cña a, b ®Ó biÓu thøc B = a2
– 4ab + 5b2
– 2b + 5 ®¹t gi¸
trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã.
68 C©u 3:
Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2
3x 1 2x 5 4
2
x 1 x 3 x 2x 3
− +
− + =
− + + −
68
C©u 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
2002 2001 2000 1999 1998 1997
+ + + + + +
+ + = + +
68 C©u 5: Trªn qu·ng ®êng AB dµi 72 km, hai ngêi khëi hµnh cïng mét
lóc ®i tõ A ®Ó ®Õn B. VËn tèc cña ngêi thø nhÊt lµ 12 km/h, vËn tèc
cña ngêi thø hai lµ 15 km/h. Hái sau lóc khëi hµnh bao l©u th× ngêi
thø nhÊt cßn c¸ch B mét qu·ng ®êng gÊp ®«i qu·ng ®êng tõ ngêi thø
hai ®Õn B.
68 C©u 6: Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh lµ a. Gäi M, N theo thø tù lµ
trung ®iÓm cña AB vµ BC.
1). TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c AMND theo a.
2). Ph©n gi¸c cña gãc CDM c¾t BC t¹i P, chøng minh DM = AM + CP.
68 C©u 7: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, D lµ mét ®iÓm n»m gi÷a A vµ
C, qua C dùng CE vu«ng gãc víi ®êng th¼ng BD t¹i E. Chøng minh:
1). Tam gi¸c ADE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BDC.
2). AB.CE + AE.BC = AC.BE.
69 C©u 1:
Cho x y 0, y 0+ ≠ ≠ vµ x2
– 2y2
= xy. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
x y
A
x y
−
=
+
.
69 C©u 2:
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2
2x 2x 1 m x− − = − , víi m lµ tham sè.

31. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
69
C©u 3: Cho a, b lµ hai sè tho¶ m·n:
2
2
2
1 b
2a 4
4a
+ + = . Chøng minh:
ab 2 0+ ≥ . DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi nµo?
69 C©u 4: Cho c¸c sè [ ]a,b,c 0;1 .∈ Chøng minh r»ng:
2 3
a b c ab bc ca 1+ + − − − ≤ .
69 C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = x4
+ 2x3
+ 3x2
+ 2x +
1.
69 C©u 6: Cho tam gi¸c ABC, gäi D lµ ®iÓm thuéc c¹nh BC.
Chøng minh r»ng: AB2
.CD + AC2
.BD – AD2
.BC = CD.BD.BC (HÖ
thøc Stewart).
(+) NÕu D lµ trung ®iÓm cña BC, h·y t×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a trung
tuyÕn AD vµ c¸c c¹nh cña tam gi¸c.
(+) NÕu AD lµ ph©n gi¸c, h·y t×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a ph©n gi¸c AD
vµ c¸c c¹nh cña tam gi¸c.
70 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x2
– 10x + 16.
70 C©u 2:
T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc
2
10x 7x 5
A
2x 3
− −
=
−
cã gi¸ trÞ
nguyªn.
70 C©u 3: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: m2
x + 1 < m – x.
70 C©u 4:
1). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña:
2
2
5x 4x 4
B (x 0)
x
− +
= ≠ .
2). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 2
4x 1
C
x 5
+
=
+
.
70 C©u 5: Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, N, P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c
c¹nh AB, BC, CD vµ AD.
1). Chøng minh r»ng:
AB CD
NQ
2
+
≤ .
2). Trong trêng hîp
AB CD
NQ
2
+
= th× tø gi¸c ABCD lµ h×nh g×? VÏ ®-
êng th¼ng song song víi AB c¾t AD t¹i E, c¾t MP t¹i O vµ c¾t BC t¹i F.
Chøng minh O lµ trung ®iÓm cña EF.
70 C©u 6: Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt kú. Gäi
P lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng AM vµ CD.
Chøng minh r»ng: 2 2 2
1 1 1
AB AM AP
= +
71 C©u 1:
Cho
1 1 1
0
x y z
+ + = . TÝnh 2 2 2
yz xz xy
x y z
+ +
71 C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3
+ 2x2
– x – 2 = 0

32. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
71
C©u 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2
x 3 x 1 2
x 4 x 2 6x 8 x
+ −
+ =
− − − −
71 C©u 4: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: a2
+ b2
+ c2
≥ ab + ac + bc.
71 C©u 5:
Cho a,b,c lµ 3 sè d¬ng. Chøng minh:
a b c 1 1 1
bc ac ab a b c
+ + ≥ + +
71 C©u 6: Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M, ®êng
th¼ng AM c¾t DC t¹i P. Chøng minh r»ng: 2 2 2
1 1 1
AB AM AP
= +
71 C©u 7: Cho tam gi¸c ABC cã c¸c ®êng trung tuyÕn AD vµ BE vu«ng
gãc víi nhau t¹i O. Cho AC = b, BC = a. TÝnh diÖn tÝch h×nh vu«ng
cã c¹nh lµ AB.
72 C©u 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
1). 4x2
– 9y2
+ 4x – 6y.
2). x2
– x – 2001.2002.
72 C©u 2: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0.
Chøng minh r»ng: a3
+ a2
c – abc + b2
c + b3
= 0.
72 C©u 3: Chøng minh: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 ≥ 0 víi mäi gi¸ trÞ
cña x.
72
C©u 4: Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
2
3 2
x 4x 4
A
x 2x 4x 8
+ +
=
+ − −
víi
x = 2002.
72 C©u 5:
Cho tø gi¸c ABCD. Gäi E, F lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC.
1). T×m ®iÒu kiÖn cña tø gi¸c ®Ó 2EF = AB + CD.
2). Gäi M, N, P, Q theo thø tù lµ trung ®iÓm cña DF, EB, FA vµ EC.
Chøng minh tø gi¸c MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh.
73 C©u 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1 1
1). x 0. 2). x 2.
x x
+ = + =
73 C©u 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau:
A = 3x2
+ 2x + 1; B = x – x2
.
73 C©u 3:
1). Chøng minh r»ng: (a3
+ 11a – 6a2
– 6) chia hÕt cho 6, víi mäi a
nguyªn.
2). Chøng minh r»ng tæng c¸c lËp ph¬ng cña ba sè nguyªn liªn tiÕp
chia hÕt cho 9.
73 C©u 4: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc:
1). Cho a > 0, b > 0. Chøng minh:
12ab
a b
9 ab
+ ≥
+
.
2). Cho a, b, c lµ sè ®o ®é dµi c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c.
Chøng minh: (a + b – c)(b + c – a)(a + c – b) ≤ abc.

33. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
73 C©u 5: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, vÏ ph©n gi¸c AH. Gäi I lµ trung
®iÓm cña AB, ®êng vu«ng gãc víi AB t¹i I c¾t AH t¹i O. Dùng M lµ
®iÓm sao cho O lµ trung ®iÓm cña AM.
1). Chøng minh tø gi¸c IOMB lµ h×nh thang vu«ng.
2). Gäi K lµ trung ®iÓm cña OM. Chøng minh tam gi¸c IKB c©n.
Chøng minh tø gi¸c AIKC cã tæng c¸c gãc ®èi b»ng 1800
.
73 C©u 6: Cho tam gi¸c ABC nhän. KÎ ba ®êng cao AD, BE vµ CF.
1). Chøng minh: Gãc FEA = gãc ABC.
2). Chøng minh EB lµ ph©n gi¸c cña gãc FED.
74 C©u 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 1 x 5 4− + − =
74
C©u 2: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 2
(x 1)(x 3)
1
x 2x 3
− −
≤
+ +
.
74 C©u 3: Chøng minh r»ng: x2
+ 4y2
+ z2
+ 14 ≥ 2x + 12y + 4z, víi mäi
x,y,z.
74 C©u 4:
Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng. Chøng minh r»ng:
bc ac ab
a b c
a b c
+ + ≥ + +
74 C©u 5:
1).T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M = x2
+ x + 3.
2). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: N 5 x 1= − −
C©u 6: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®é dµi c¹nh huyÒn b»ng 2
(®¬n vÞ). Gäi AM, BN vµ CP lµ c¸c trung tuyÕn cña tam gi¸c.
1). TÝnh: AM2
+ BN2
+ CP2
.
2). Chøng minh: 4 < AM + BN + CP < 5.
74 C©u 7: Cho tam gi¸c ABC. Trªn tia ®èi cña tia BA vµ CA lÊy hai ®iÓm
di ®éng M vµ N sao cho BM = CN. Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN. Hái
®iÓm I di ®éng trªn ®êng nµo?.
75 Bµi 1:
Cho a, b, c lµ 3 sè h÷u tØ tho¶ m·n: abc = 1 vµ
2 2 2
2 2 2
a b c b c a
a b cb c a
+ + = + + .
Chøng minh r»ng mét trong ba sè a, b, c lµ b×nh ph¬ng cña mét sè
h÷u tØ.
75 Bµi 2:
Cho hai sè x, y tho¶ m·n ®¼ng thøc:
2
2
2
1 y
2x 4
4x
+ + = . X¸c ®Þnh x, y
®Ó tÝch xy ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
75 Bµi 3: Cho a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vµ a + b + c =2.
Chøng minh: 2 2 252
a b c 2abc 2
27
≤ + + + <
75 Bµi 4: Cho tø gi¸c låi ABCD cã diÖn tÝch lµ 32 (®¬n vÞ), tæng AB +
BD + CD = 16 (®¬n vÞ). TÝnh BD.

34. Ch¬ng tr×nh luyÖn thi HSG THCS Biªn so¹n GV Hoµng
Xu©n Th×n
75 Bµi 5: BiÕt c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c lµ ba sè tù nhiªn liªn tiÕp. T×m
®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c ®ã nÕu: 3¢ + 2 ˆB= 1800
.
75 Bµi 6: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã AB = 6 cm, AC = 8 cm. Gäi I lµ
giao ®iÓm cña c¸c ®êng ph©n gi¸c trong, M lµ trung ®iÓm cña BC.
TÝnh sè ®o gãc BIM.
75 Bµi 7: Cho BE vµ CF lµ hai ®êng ph©n gi¸c trong cña tam gi¸c ABC.
Gäi O lµ giao ®iÓm cña BE vµ CF.
Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A khi vµ chØ khi 2OB.OC =
BE.CF.
75 Bµi 8: Cho tam gi¸c ABC cã ®é dµi c¸c c¹nh lµ 5cm, 6cm, 7cm. TÝnh
kho¶ng c¸ch gi÷a giao ®iÓm c¸c ®êng ph©n gi¸c vµ träng t©m cña tam
gi¸c.
75 Bµi 9: Cho tam gi¸c ABC, hai ®iÓm M, N theo thø tù di ®éng trªn hai
c¹nh AB vµ AC sao cho BN = CM. Gäi I lµ giao ®iÓm cña BN vµ CM.
Chøng minh r»ng ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc BIC lu«n ®i qua mét
®iÓm cè ®Þnh.
75 Bµi 10: Trªn hai c¹nh gãc vu«ng AC, BC cña tam gi¸c vu«ng ABC dùng
ra bªn ngoµi tam gi¸c lÇn lît c¸c h×nh vu«ng ACKL vµ BCMN. Gäi R, P
lÇn lît lµ giao ®iÓm cña BL víi AN vµ AC. Gäi Q lµ giao ®iÓm cña BC
vµ AN.
Chøng minh r»ng diÖn tÝch tø gi¸c CPRQ vµ diÖn tÝch tam gi¸c ABR
b»ng nhau.
75 Bµi 11: Cho tam gi¸c ®Òu ABC, Gäi O lµ träng t©m cña tam gi¸c vµ M
lµ ®iÓm bÊt kú thuéc c¹nh BC (M kh«ng trïng víi trung ®iÓm cña BC).
KÎ MP vµ MQ lÇn lît vu«ng gãc víi AB vµ AC, c¸c ®êng vu«ng gãc nµy
lÇn lît c¾t OB, OC t¹i I vµ K.
1). Chøng minh r»ng tø gi¸c MIOK lµ h×nh b×nh hµnh.
2). Gäi R lµ giao ®iÓm cña PQ vµ OM. Chøng minh R lµ trung ®iÓm
cña PQ.
75 Bµi 12: Tø gi¸c ABCD cã trung ®iÓm hai ®¬ng chÐo M, N kh«ng trïng
nhau. §êng th¼ng MN c¾t AD t¹i P vµ c¾t BC ë Q. Chøng minh r»ng:
PA.QB = PD.QC.
75 Bµi 13: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, cã gãc ABC = 200
. KÎ ph©n gi¸c
trong BI vµ vÏ gãc ACH = 300
vÒ phÝa trong tam gi¸c. TÝnh sè ®o gãc
CIH.
75 Bµi 14:
Gäi AA1, BB1, CC1 lµ c¸c ®êng ph©n gi¸c trong cña tam gi¸c ABC. L lµ
giao ®iÓm cña AA1, vµ B1C1 ; K lµ giao ®iÓm cña CC1 vµ A1B1.
Chøng minh r»ng: BB1 lµ ph©n gi¸c cña gãc LBK.