The document discusses solving equations involving radicals and absolute value. It begins by outlining the specific skills and materials needed. It then provides theoretical notions on equations with radicals and absolute value, including definitions, examples, and properties. Finally, it gives instructions on how to solve problems involving each type of equation, noting steps like analyzing related theorems, identifying domains, factorizing if possible, making variable substitutions, and using critical points methods for absolute value equations with multiple terms. It includes an example problem demonstrating the full solution process.

1. TEMA 8: ECUACIONES CON RADICALES Y CON VALOR ABSOLUTO
1.1. CAPACIDADES ESPECÍFICAS:
 Identifica y analiza ecuaciones con radicales y con valor absoluto
 Aplica estrategias en la resolución de situaciones problemáticas que generan
ecuaciones con radicales y con valor absoluto.
1.2. MATERIALES O RECURSOS:
 Texto
 Separatas
 Calculadora científica
 Recursos TIC
 Libros
1.3. NOCIONES TEÓRICAS
1.3.1. ECUACIONES CON RADICALES
1.3.2. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Son aquellas en que la variable aparece bajo un signo radical. Por ejemplo,
si p(x) es una proposición que contiene a la variable x, entonces:
√𝑝(𝑥) = 𝑎 ; √𝑝(𝑥)
3
= 𝑏 ; √𝑝(𝑥)
4
= 𝑐, etc, son ecuaciones con radicales.
Si b ∈ ℝ𝑦𝑎 ∈ ℝ+𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
√𝒂 = 𝒃 ↔ 𝒂 ≥ 𝟎 ∧ (𝒃 ≥ 𝟎 ∧ 𝒂 = 𝒃𝟐)
Las ecuaciones con una variable o variables dentro de barras de valor absoluto
se conocen como ecuaciones de valor absoluto.
Ejemplos:
a) |4𝑥 − 6| = 𝑥 − 9 b) |𝑥 + 3| − |2𝑥 − 1| = 4 − 𝑥
PROPIEDADES:
- Para todo 𝑎 ∈ ℝ: |𝑎| = |−𝑎|
- Para todo 𝑎 ∈ ℝ: |𝑎|2 = 𝑎2
- Para todo 𝑎 ∈ ℝ:|𝑎| = √𝑎2
- ∀𝑎 ,𝑏 ∈ ℝ: |𝑎𝑏| = |𝑎||𝑏|
- ∀𝑎 ,𝑏 ∈ ℝ, 𝑏 ≠ 0,𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ |
𝑎
𝑏
| =
|𝑎|
|𝑏|
- Si |𝑎| = 𝑏 ↔ (𝑏 ≥ 0) ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
- Si |𝑎| = |𝑏| ↔ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
Matemático y físico
suizo, se trata del
principal matemático
del siglo XVIII y uno
de los más grandes y
prolíficos de todos los
tiempos, muy
conocido por el
número de Euler (℮),
número que aparece
en muchas fórmulas
de cálculo y física.

2. 1.4. INSTRUCCIONES:
Para resolver los problemas que involucran ecuaciones con radicales, se debe tener
en cuenta los siguientes aspectos:
 Analiza e interpreta los teoremas relacionados conla resolución de ecuaciones con
radicales.
 Identifica el dominio de cada una de las ecuaciones con radicales propuestas, para
determinar el conjunto universo.
 Si el radicando es un trinomio cuadrado, factoriza para luego simplificar el factor
común resultante y así obtener una ecuación con radicales, más sencilla y
equivalente a la original.
 Si es posible realiza cambio de variables y verifica el conjunto solución.
 Recuerda que una de las técnicas consiste en escribir una ecuación equivalente
que contenga un solo radical en un lado y todos los demás términos en el otro.
Después elimina el radical elevando al cuadrado ambos lados, si tiene la
forma√𝒂 = 𝒃, aplicando el siguiente teorema:
√𝒂 = 𝒃 ↔ 𝒂 ≥ 𝟎 ∧ ( 𝒃 ≥ 𝟎 ∧ 𝒂 = 𝒃𝟐)
Para resolver los problemas que involucran ecuaciones con valor absoluto, se debe
tener en cuenta los siguientes aspectos:
 El valor absoluto de un número es siempre positivo.
|𝑎| = {
𝑎 ; 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 ; 𝑠𝑖 𝑎 < 0
 Aplica de acuerdo al ejercicio propuesto, los teoremas siguientes:
a) Si |𝑎| = 𝑏 ↔ (𝑏 ≥ 0) ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
b) Si |𝑎| = |𝑏| ↔ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏)
 Cuando se trata de resolver ecuaciones en las que figuran dos o más términos, no
semejantes, con barras de valor absoluto, no utilices directamente los teoremas a)
y b) para su solución.
 En estos casos utiliza el método de los puntos críticos, cuyo procedimiento lo
encontrarás en la separata.
 Si es necesario realiza cambio de variable.
 Verifica el conjunto solución.
Ejemplos:
1) Resolver : √2𝑥 − √6𝑥 + 6 = 2
Solución
1. ¿Qué datos presenta el problema?
Tiene la forma: √𝒂 = 𝒃
El radicando es 2𝑥 − √6𝑥 + 6 , es decir 𝒂
2 es el valor de la variable b

3. 2. ¿Cuáles son los conceptos u operaciones que se pueden aplicar en la resolución del
problema?
Ecuación con radicales, intervalos, inecuación
3. Selecciona la estrategia a aplicar
Aplicaremos el teorema: √𝒂 = 𝒃 ↔ 𝒂 ≥ 𝟎 ∧ ( 𝒃 ≥ 𝟎 ∧ 𝒂 = 𝒃𝟐)
4. ¿Cómo calculamos el valor de x?
Para la primera parte elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación
2 > 0 ; (√2𝑥 − √6𝑥 + 6 )
2
= (2)2
2𝑥 − √6𝑥 + 6 = 4 → √6𝑥 + 6 = 2𝑥 − 4
Se observa que tiene nuevamente la forma: √𝒂 = 𝒃. Aplicando el teorema y
resolviendo las operaciones indicadas:
𝑎 = 6𝑥 + 6 ; 𝑏 = 2𝑥 − 4 ;
6𝑥 + 6 ≥ 0 ∧ 2𝑥 − 4 ≥ 0 ∧ 6𝑥 + 6 = (2𝑥 − 4)2
𝑥 ≥ −1 ∧ 𝑥 ≥ 2 ∧ 26𝑥 + 6 = 4𝑥2 − 16𝑥 + 16
𝑥 ≥ −1 ∧ 𝑥 ≥ 2 ∧ 𝑥2 − 22𝑥 + 10 = 0 → 2𝑥2 − 11𝑥 + 5 = 0
𝑥 ≥ −1 ∧ 𝑥 ≥ 2 ∧ (2𝑥 − 1)(𝑥 − 5) = 0
𝑥 ≥ −1 ∧ 𝑥 ≥ 2 ∧ ( 𝑥 =
1
2
∨ 𝑥 = 5)
Se tiene 2 inecuaciones y 2 valores de la variable x
5. ¿Cómo visualizamos mejor los valores obtenidos?
Graficamos en la recta numérica los intervalos y los puntos encontrados:
6. ¿Qué observamos?
Que la parte subrayada corresponde a los elementos comunes a los intervalos, es
decir: Dominio: [2 ; +∞[ .
Como 5 ∈ [2; +∞[, es decir a la intersección mostrada en la gráfica, entonces:
C.S. = { 5 }
-1 1
2
2 5

4. 7. ¿Cómo se puede verificar el resultado?
Reemplazamos el valor de x = 5 en la ecuación √2𝑥 − √6𝑥 + 6 = 2
√2(5) − √6(5) + 6 = 2 → √10 − √36 = 2 → √10 − 6 = 2
√4 = 2 → 2 = 2
Se cumple la igualdad
8. ¿Qué pasaría si b = - 2? , es decir si √2𝑥 − √6 + 6 = −2
No cumple lo establecido en el teorema, que 𝑏 ≥ 0, por lo tanto la ecuación
propuesta no tendría solución. Es decir, no existen valores de x que satisfaga la
igualdad.
9. ¿Podría haberse resuelto de otra manera?
Sí. Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación√6𝑥 + 6 = 2𝑥 − 4 y luego
reemplazar los valores obtenidos en la ecuación original para determinar su validez.
2) Resolver: |𝑥2 − 5| = 1 − 𝑥
Solución
1. ¿Cuáles son las relaciones restablecidas en el problema?
Tiene la forma |𝑎| = 𝑏 . Es decir, 𝑎 = 𝑥2 − 5 y b = 1 – x
Es una ecuación con valor absoluto
2. ¿Cuál es tu estrategia a aplicar?
Uso de teorema
3. ¿Cómo resuelves el problema?
Aplicando el teorema: |𝑎| = 𝑏 ↔ (𝑏 ≥ 0) ∧ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏) se tiene:
|𝑥2 − 5| = 1 − 𝑥
1 – x ≥ 0 ∧ [𝑥2 − 5 = 1 – x ∨ 𝑥2 − 5 = - (1 – x)]
−𝑥 ≥ −1 ∧ [(𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 ∨ 𝑥2 − 𝑥 − 4 = 0]
−𝑥 ≥ −1 ∧ [(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 0 ∨ x =
1 ± √17
2
]
𝑥 ≤ 1 ∧ ( 𝑥 = −3 ∨ 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 =
1 ± √17
2
)

5. 4. ¿Qué significan los valores encontrados?
Para interpretar mejor los resultados parciales obtenidos, graficamos 𝑥 ≤ 1 y los
puntos encontrados:
-3
1 –√17
2
1 2
1 + √17
2
Los valores que satisfacen la condición 𝑥 ≤ 1 son: −3;
1 − √17
2
𝐶.𝑆. = {− 3 ;
1 −√17
2
}
5. ¿Cómo verificas el resultado?
Reemplazamos los valores encontrados en la ecuación dada: |𝑥2 − 5| = 1 − 𝑥
Es decir:
Si x = -3
|(−3)2 − 5| = 1 − (−3)
|9 − 5| = 1 + 3
|4| = 4
Se cumple la igualdad. Es decir el valor de x = -3 satisface la ecuación.
Si x =
1 − √17
2
|(
1 − √17
2
)
2
− 5| = 1 − (
1 − √17
2
) → |(
1 − 4,1231
2
)
2
− 5| = 1 − (
1 − 4,1231
2
)
|(−1,5616)2 − 5| = 1—(−1,5616)
|2,4386 − 5| = 2,5616
|−2,5614| = 2,5616
Son valores aproximados, si trabajamos con mayor cantidad de decimales será más
exacta la igualdad.
6. ¿Podrías haberlo resuelto de otra manera?
Sí. Aplicando el método de ensayo y error.

6. Solución
1. ¿Qué datos presenta el problema y cuál es la incógnita?
2. ¿Cuáles son los conceptos u operaciones que se pueden aplicar en la resolución del
problema?
3. Selecciona la estrategia a aplicar
4. ¿Cómo calculamos el valor de x en ambas ecuaciones?
 Determinando por extensión el conjunto A
ACTIVIDAD Nº 15
1) Si A = {𝑥 ∈ ℚ / 2√𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 𝑥 + 7} y
B = {𝑥 ∈ ℤ / |𝑥2 + 5𝑥 − 8| = 11 − 𝑥} . Hallar el producto de los
elementos de 𝐴 ∪ 𝐵.

7.  Determinando por extensión el conjunto B:
5. ¿Qué observas en los resultados obtenidos?
¿Qué significa “A U B”?
6. ¿Podría haberse resuelto de otra manera?
Recuerda que:
(3√𝑥 + 2)
2
= 9(𝑥 + 2)
(2√𝑥 − 1
3
)
3
= 8(𝑥 − 1)
(
√2𝑥
5
)
2
=
2𝑥
25

8. 7. ¿Puedes verificar el resultado? Argumenta tu respuesta
8. ¿Qué pasaría si la pregunta fuera: Hallar el producto de los elementos de 𝐴 ∩ 𝐵?
Solución
1. ¿Qué datos presenta el problema?, ¿cuál es la incógnita?
2. ¿Cuáles son los conceptos u operaciones que se pueden aplicar en la resolución del
problema?
2) Resolver la siguiente ecuación:
√4𝑥2 + 17𝑥 + 15 − √ 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 = √𝑥2 + 2𝑥 − 3

9. 3. Selecciona la estrategia a aplicar
4. Aplica la estrategia seleccionada, justificando los pasos.

10. 5. ¿Qué observas en los resultados obtenidos?
6. ¿Puedes verificar el resultado? Argumenta tu respuesta
7. ¿Podría haberse resuelto de otra manera?
CHISTE MATEMÁTICO
La ayuda paterna
- "¡Papá, papá!, ¿me haces el
problema de Matemáticas?".
- "No hijo, no estaría bien".
- "Bueno, inténtalo de todas
formas".

11. 1) Resolver las siguientes ecuaciones y verificar el conjunto solución:
1. √𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟑𝟐 = 𝟏𝟎
2. √𝟑𝒙 + 𝟏𝟔 − √𝟐𝒙 + 𝟗 = 𝟏
3. √𝟐 + 𝒙 − √𝟐 − 𝒙 = 𝒙
4. √𝟐𝒙 + 𝟕 − √𝒙 − 𝟓 = √𝒙
5. √𝟐𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟒 + 𝟑 √ 𝟐𝒙 − 𝟏 = √𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝟏𝒙 − 𝟏𝟏
6. |𝒙 − 𝟒|𝟐 − 𝟓|𝒙 − 𝟒| + 𝟔 = 𝟎
7. |𝟐− 𝒙| = −|𝒙|𝟐 + 𝟒
8. |𝒙𝟐 − 𝟒| = 𝟒 − 𝟐𝒙
9. ||𝒙𝟐 − 𝟏| − 𝒙| = 𝒙
10. |𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏| = |𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟓|
11. ||𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟔| − 𝒙𝟐 + 𝟗| = |𝟐𝒙 + 𝟓|
12. 𝟑|𝒙 + 𝟏| − 𝟐|𝒙 − 𝟐| = 𝟐𝒙 − 𝟏
2) Sean A = {𝒙 ∈ ℝ/ |𝟑𝒙 − 𝟏| = 𝟐𝒙 + 𝟓};𝑩 = {𝒙 ∈ ℝ/ |𝒙 + 𝟏| + 𝟗 = 𝟑𝒙}, hallar la
suma de los elementos de AU B.
3) Si A es el conjunto solución de √𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑 = 𝒙 + 𝟏 y B el conjunto solución
de |𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓| = 𝟐𝒙 + 𝟓. Hallar la suma de los elementos de 𝑨 ∪ 𝑩.
4) Si A = {𝒙 ∈ ℚ / |𝟏𝟖 − 𝟒𝒙| = −|𝟐𝒙 + 𝟓|𝟐
+ 𝟗𝟏} y B = {𝒙 ∈ ℕ / √𝟐𝒙 + 𝟏 + √𝒙 =
𝟏𝟓
√𝟐𝒙 + 𝟏
} .
Hallar 𝑨 ∪ 𝑩.
5) Si A = {𝒙 ∈ ℚ / |
𝒙 + 𝟒
𝒙− 𝟓
| =
𝟗𝒙 + 𝟔
𝒙
} y B = {𝒙 ∈ ℤ / (𝒙 + 𝟔)𝟐
= 𝟑(√𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐𝟖 + 𝟐)}.
Hallar la suma de los elementos de 𝑨 ∪ 𝑩.
6) En ℝ, sean A el conjunto solución de √𝟏𝟏− 𝒙 − √𝒙 + 𝟔 = 𝟑 y B el conjunto
solución de √𝒙 + 𝟐 + √𝒙 =
𝟒
√𝒙 + 𝟐
. Hallar la suma de los elementos de 𝑨 ∪ 𝑩
7) Si A es el conjunto solución de 𝟐√𝒙 + 𝟏 = 𝒙 − 𝟐 y B el conjunto solución de
(𝒙 + 𝟒)𝟐 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝟏. Hallar el producto de los elementos de 𝑨 ∪ 𝑩.
8) Dada la ecuación
𝟏
√𝒙 + 𝟏 − √𝒙
+ √𝒙 + √𝟏 + 𝒙 = 𝟒. El valor de x que la satisface
es: x = c/d, con c y d enteros primos entre sí. Hallar c2
– d.
ACTIVIDAD Nº 16