En este archivo se muestran las consideraciones preliminares para entender limites, tal como factorización, racionalización y valor absoluto. El tema es iniciado con la definición intuitiva, los diferentes teoremas que se aplican en límites, la indeterminación 0/0 y los diversos ejemplos al respecto

1. Universidad Nacional Experimental
Francisco de Miranda
Programa: Ing. Biomédica
Unidad Curricular: Matemática I
Profesora: Ing. Jocabed Pulido T (Esp.)
Coro, septiembre de 2021

2. Nota: Las consideraciones preliminares conforman un repaso sobre los aspectos básicos del
Cálculo que debemos conocer para resolver el límite de una función

3. CONSIDERACIONES PREELIMINARES
FACTORIZACIÓN
Para la aplicación de la factorización debemos tener un polinomio de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Donde se cumplen las siguientes condiciones
 El coeficiente del primer término es 1
 El primer término es una letra elevada al cuadrado
 El segundo término tiene la misma letra que el primero y su coeficiente es una cantidad
positiva o negativa
 El tercero es un término independiente y puede ser positivo o negativo
Procedimiento a seguir en la factorización:
Paso 1: Se establecen dos factores generales cada uno con la variable x
(𝑥 + )(𝑥 + )
Fíjate que ya obtuviste el primer término 𝒙𝟐
las dos casillas son indicadores que faltan los
otros dos términos del polinomio.
Colocamos solo signos positivos porque el polinomio es positivo y sus factores también.
Paso 2: Buscamos dos números cuya suma de como resultado el segundo término y la
multiplicación de ellos genere el tercer término
Fíjate que hablamos de suma porque el polinomio es positivo en caso que sea negativo
emplearíamos una resta
Para entender mejor veamos los siguientes ejemplos
Ejemplo:
Factorizar 𝑥2
+ 5𝑥 + 6
Paso 1: Se establecen dos factores generales cada uno con la variable x
(𝑥 + )(𝑥 + )
Recuerda como si el polinomio es positivo lógicamente sus factores también son positivos
Paso 2: Buscamos dos números cuya suma de como resultado el segundo término y la
multiplicación de ellos genere el tercer término
Buscamos dos números cuya suma sea 5 y la multiplicación sea 6
2 + 3 = 5 2 x 3 = 6

4. Ya hemos encontrado los números que estarán en nuestros factores
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
Ejemplo:
Factorizar 𝑥2
+ 2𝑥 − 15
Paso 1: Se establecen dos factores generales cada uno con la variable x
(𝑥 + )(𝑥 − )
Paso 2: Buscamos dos números cuya suma de como resultado el segundo término y la multiplicación
de ellos genere el tercer término
Fíjate que el primer factor es positivo porque el término 2x es positivo y el segundo es negativo
porque la multiplicación de los signos del segundo y tercer término da negativo
5 - 3 = 2 5 x 3 = 15
𝑥2
+ 2𝑥 − 15 = (𝑥 + 5)(𝑥 − 3)
Ejemplo:
Factorizar 𝑥2
− 7𝑥 + 12
Paso 1: Se establecen dos factores generales cada uno con la variable x
(𝑥 − )(𝑥 − )
Fíjate que en el primer factor se coloca – porque el segundo término tiene signo negativo y el
segundo factor es negativo debido a la multiplicación de los signos del segundo y tercer termino
Paso 2: Buscamos dos números cuya suma de como resultado el segundo término y la multiplicación
de ellos genere el tercer término
-3 + -4 = -7 -3 x -4 = 12
𝑥2
− 7𝑥 + 12 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 4)
RACIONALIZACIÓN
Es un proceso el cual se cambia una indeterminación en la cual aparecen radicales mediante la
multiplicación y división de una expresión conjugada.
La conjugada está conformada por el opuesto de la expresión radical original. Debes recordar que
en el tema anterior conocimos las funciones radicales, pero acá vamos a obtener conocimientos
importantes sobre como simplificar ese tipo de funciones. Veamos el siguiente ejemplo

5. Ejemplo:
Racionalizar
Conjugada de la función racional
Para racionalizar la clave es multiplicar y dividir la función racional dada por la conjugada
√𝑥 + 1 − 1
𝑥
∗
√𝑥 + 1 + 1
√𝑥 + 1 + 1
=
√𝑥 + 1
2
+ √𝑥 + 1 − √𝑥 + 1 − 1
𝑥(√𝑥 + 1 + 1)
=
𝑥 + 1 − 1
𝑥(√𝑥 + 1 + 1)
𝑥
𝑥(√𝑥 + 1 + 1)
=
1
(√𝑥 + 1 + 1)
Propiedades de Valor Absoluto:
El Valor Absoluto de un número se define como sigue: el valor absoluto de un número real positivo
es el mismo número. En cambio, el Valor Absoluto de un número real negativo es el mismo
número con signo opuesto.
Se representa con el símbolo |𝑥| y simboliza la distancia entre el número x y el origen , por tal
razón siempre se concibe como un valor positivo.
La definición de Valor Absoluto se resume en las siguientes preposiciones
Si |𝑥| ≥ 0 entonces |𝑥| = 𝑥
Por ejemplo:
|1| = 1
Si |𝑥| < 0 entonces |𝑥| = −𝑥
Por ejemplo:
|−1| = −(−1) = 1
Los ejemplos anteriores se basan en el hecho que los números 1 y -1 se encuentran a 1 unidad de
distancia con respecto al origen por lo tanto el valor absoluto de ellos es el mismo
𝑓(𝑥) =
√𝑥 + 1 − 1
𝑥
√𝑥 + 1 + 1
El valor absoluto
de cualquier
número diferente
de cero siempre
será el mismo
número positivo y
el valor absoluto
del número cero
es 0

6. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

7. Definición Intuitiva del Límite de una Función
Consideremos la siguiente función
𝑓(𝑥) =
𝑥3
− 1
𝑥 − 1
La cual está definida para todo número real excepto para 𝑥 = 1.
Aunque la función no está definida en 1 nos interesamos por los valores de la función cuando x se
aproxima a 1, sin llegar a ser 1 tal como se muestra en la tabla
Tabla 1. Resultados de la Función
x 0.9 0.99 0.999 1.001 1.01 1.1
f(x) 2.71 2.970 2.997 3,003 3.030 3.31
Según los datos mostrados en la tabla observamos que cuando x se aproxima a 1 el resultado de la
función se aproxima a 3. Esta relación se expresa en Matemática de la siguiente manera
El límite de la función cuando x tiende a 1 es 3 y se abrevia
lim
𝑥→1
𝑥3
− 1
𝑥 − 1
= 3
A partir de las observaciones realizadas a esta función podemos concluir aspectos básicos
importantes en este tema
Para que el límite de una función exista no es necesario que la función está definida en el valor
exacto en la cual es evaluada. Esto se debe a que el límite implica una tendencia y se evalúa en las
cercanías del punto en cuestión por lo que la condición necesaria y suficiente para que el límite
exista es que se genere una tendencia en las aproximaciones tal como pudimos ver en la tabla.
Más adelante vamos a profundizar en aspectos interesantes sobre más condiciones para la
existencia del límite de una función.
El límite de una función es único. Es decir, la tendencia siempre se llevará a cabo hacia un valor fijo
tal como se fundamenta en el siguiente teorema.
Teorema de Existencia y Unicidad
El límite de una función puede o no existir, pero en el caso de que exista es un valor único.
Parece contradictorio que luego de tantas aproximaciones el resultado sea único, pero una
explicación sencilla a este hecho consiste en que el límite se basa en los llamados puntos de
acumulación que son valores aproximados a un conjunto sin llegar a los extremos, tal como paso en
el caso del ejemplo anterior.

8. Teoremas sobre Límites
Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 y el lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐺 se cumple lo siguiente
lim
𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 ± 𝐺 (Límite de una suma o resta)
lim
𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∗ lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 ∗ 𝐺 (Límite de un producto)
lim
𝑥→𝑎
(
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
) =
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
=
𝐿
𝐺
lim
𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥))
𝑛
= (lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥))
𝑛
= 𝐿𝑛
lim
𝑥→𝑎
√𝑓(𝑥)
𝑛
= √lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑛
= √𝐿
𝑛
(Límite de una función radical)
Si k es una constante entonces se cumple lo siguiente
lim
𝑥→𝑎
𝑘 ∗ 𝑓(𝑥) = 𝑘 ∗ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑘 ∗ 𝐿
lim
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘 (Límite de una constante)
Si 𝑓(𝑥) es un polinomio entonces se cumple que : lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
Veamos los siguientes ejemplos donde se aplican los teoremas
Ejemplos:
1)Calcular lim
𝑥→2
√5𝑥3
lim
𝑥→2
√5𝑥3 = √lim
𝑥→2
5𝑥3 (Límite de una función radical)
√lim
𝑥→2
5𝑥3 = √5 ∗ lim
𝑥→2
𝑥3 = √5 ∗ 23 = 40 (Límite de una constante y un polinomio)
2)Calcular
lim
𝑥→−1
8𝑥2
− 4𝑥 + 2
𝑥3 + 5
=
lim
𝑥→−1
8𝑥2
− 4𝑥 + 2
lim
𝑥→−1
𝑥3 + 5
=
7
2
(Límite de una división)
(Límite de una potencia)
lim
𝑥→−1
8𝑥2
− 4𝑥 + 2
𝑥3 + 5
Como puedes observar el
resultado del límite es
una fracción en ese caso
tienes dos opciones como
respuesta
7
2
o 3.5 ambas
son válidas.
Como puedes observar el
resultado del límite es una
fracción en ese caso tienes
dos opciones como
respuesta
7
2
o 3.5 ambas
son válidas.

9. 3)Calcular lim
𝑥→0
[(2𝑥 + 1) ∗ (𝑥 − 3)]
lim
𝑥→0
[(2𝑥 + 1) ∗ (𝑥 − 3)] = lim
𝑥→0
2𝑥 + 1 ∗ lim
𝑥→0
𝑥 − 3 (Límite de un producto)
lim
𝑥→0
2𝑥 + 1 ∗ lim
𝑥→0
𝑥 − 3 = 1 ∗ (−3) = −3 (Límite de un polinomio)
4)Resolver lim
𝑥→−2
(5𝑥 + 7)4
lim
𝑥→−2
(5𝑥 + 7)4
= ( lim
𝑥→−2
5𝑥 + 7)
4
( lim
𝑥→−2
5𝑥 + 7)
4
= (5 ∗ (−2) + 7)4
= (−3)4
= 81 (Límite de un polinomio)
Forma Indeterminada
𝟎
𝟎
Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0 , y buscamos lim
𝑥→𝑎
(
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
)
En este caso no se puede aplicar el límite de una división ya que la sustitución nos lleva a una
expresión indeterminada
𝟎
𝟎
la cual no da información suficiente para encontrar el límite. La
indeterminación se salva recurriendo a métodos algebraicos como simplificación, factorización y
racionalización.
Ejemplo:
Resolver lim
𝑥→4
𝑥2−16
𝑥−4
lim
𝑥→4
𝑥2
− 16
𝑥 − 4
=
lim
𝑥→4
𝑥2
− 16
lim
𝑥→4
𝑥 − 4
lim
𝑥→4
𝑥2
− 16
lim
𝑥→4
𝑥 − 4
=
42
− 16
4 − 4
=
0
0
Fórmula de Simplificación usada: 𝑥2
− 𝑎2
= (𝑥 − 𝑎) ∗ (𝑥 + 𝑎)
Nota: Esta fórmula se emplea para todo número a y variable x elevado al cuadrado en los recursos
didácticos ofreceremos una tabla sobre los casos más comunes a los cuales es aplicable esta
fórmula.
(Límite de una potencia)
(Límite de una división)
¡Indeterminación!

10. 𝑥2
− 𝑎2
= (𝑥 − 𝑎) ∗ (𝑥 + 𝑎)
𝑥2
− 16 = 𝑥2
− 42
= (𝑥 − 4) ∗ (𝑥 + 4)
Sustituyendo los factores en el límite se tiene los siguiente
lim
𝑥→4
𝑥2
− 16
lim
𝑥→4
𝑥 − 4
=
(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)
(𝑥 − 4)
= 𝑥 + 4 = 4 + 4 = 8
lim
𝑥→4
𝑥2
− 16
𝑥 − 4
= 8
Ejemplo:
Resolver
lim
𝑥→4
𝑥2
+ 4𝑥 − 32
𝑥 − 4
=
lim
𝑥→4
𝑥2
+ 4𝑥 − 32
lim
𝑥→4
𝑥 − 4
lim
𝑥→4
𝑥2
+ 4𝑥 − 32
lim
𝑥→4
𝑥 − 4
=
42
+ 4(4) − 32
4 − 4
=
0
0
Aplicando factorización tenemos lo siguiente:
𝑥2
+ 4𝑥 − 32 = (𝑥 − 4)(𝑥 + 8)
Para repasar factorización te invitamos a ver Consideraciones Preliminares
Sustituyendo los factores en el límite original tenemos
lim
𝑥→4
𝑥2
+ 4𝑥 − 32
𝑥 − 4
=
(𝑥 − 4)(𝑥 + 8)
𝑥 − 4
= 𝑥 + 8 = 4 + 8 = 12
lim
𝑥→4
𝑥2
+ 4𝑥 − 32
𝑥 − 4
(Límite de una división)
¡Indeterminación!

11. lim
𝑥→4
𝑥2
+ 4𝑥 − 32
𝑥 − 4
= 12
Ejemplo:
Calcular
lim
𝑥→2
𝑥2
− 4
𝑥2 + 𝑥 − 6
=
lim
𝑥→2
𝑥2
− 4
lim
𝑥→2
𝑥2 + 𝑥 − 6
lim
𝑥→2
𝑥2
− 4
lim
𝑥→2
𝑥2 + 𝑥 − 6
=
22
− 4
22 + 2 − 6
=
0
0
Fórmula de Simplificación usada: 𝑥2
− 𝑎2
= (𝑥 − 𝑎) ∗ (𝑥 + 𝑎)
𝑥2
− 4 = 𝑥2
− 22
= (𝑥 − 2) ∗ (𝑥 + 2)
Aplicando factorización tenemos lo siguiente:
𝑥2
+ 𝑥 − 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
Sustituyendo los factores obtenidos se tiene:
lim
𝑥→2
𝑥2
− 4
lim
𝑥→2
𝑥2 + 𝑥 − 6
=
lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
lim
𝑥→2
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
=
lim
𝑥→2
(𝑥 + 2)
lim
𝑥→2
(𝑥 + 3)
=
4
5
lim
𝑥→2
𝑥2
− 4
𝑥2 + 𝑥 − 6
=
4
5
Ejemplo:
Resolver lim
𝑥→1
√𝑥 + 3 − 2
𝑥 − 1
lim
𝑥→1
√𝑥 + 3 − 2
𝑥 − 1
=
lim
𝑥→1
√𝑥 + 3 − 2
lim
𝑥→1
𝑥 − 1
=
0
0
¡Indeterminación!
lim
𝑥→2
𝑥2
− 4
𝑥2 + 𝑥 − 6
(Límite de una división)
¡Indeterminación!

12. Aplicando el proceso de racionalización que repasamos en Consideraciones Preliminares tenemos el
siguiente resultado:
Conjugada de la función racional
√𝑥 + 3 − 2
𝑥 − 1
∗
√𝑥 + 3 + 2
√𝑥 + 3 + 2
=
(𝑥 + 3) − 4
(𝑥 − 1)√𝑥 + 3 + 2
=
𝑥 − 1
(𝑥 − 1)√𝑥 + 3 + 2
=
1
√𝑥 + 3 + 2
lim
𝑥→1
√𝑥 + 3 − 2
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
1
√𝑥 + 3 + 2
=
lim
𝑥→1
1
lim
𝑥→1
√𝑥 + 3 + 2
=
1
4
lim
𝑥→1
√𝑥 + 3 − 2
𝑥 − 1
=
1
4
Ejemplo:
Calcular
lim
𝑥→0
𝑥
√𝑥 + 2 − 2
=
lim
𝑥→0
𝑥
lim
𝑥→0
√𝑥 + 2 − √2
=
0
0
Aplicando el proceso de racionalización que repasamos en Consideraciones Preliminares tenemos
el siguiente resultado:
Conjugada de la función racional √𝑥 + 2 + 2
𝑥
√𝑥 + 2 − 2
∗
√𝑥 + 2 + √2
√𝑥 + 2 + √2
=
𝑥(√𝑥 + 2 + √2)
(𝑥 + 2) − 2
=
𝑥(√𝑥 + 2 + √2)
𝑥
= √𝑥 + 2 + √2
lim
𝑥→0
𝑥
√𝑥 + 2 − √2
= lim
𝑥→0
√𝑥 + 2 + √2 = 2√2
Limites Laterales
Tal como se observó en la definición intuitiva de limites nos podemos aproximar a un número desde
dos direcciones, desde valores mayores a él, específicamente a la derecha o desde valores inferiores
√𝑥 + 3 + 2
(Límite de una división)
(Límite de una constante)
lim
𝑥→0
𝑥
√𝑥 + 2 − √2
¡Indeterminación!

13. a él, es decir desde la izquierda. En base a lo mencionado anteriormente podemos encontrar los
siguientes límites laterales
Límite Lateral Derecho: Sea f una función definida en un intervalo abierto de la forma (𝑎, 𝑏). Diremos
que el límite de 𝑓(𝑥) cuando x tiende al número a por la derecha es L tal como se muestra
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
Límite Lateral Izquierdo: Sea f una función definida en un intervalo abierto de la forma (𝑎, 𝑏).
Diremos que el límite de 𝑓(𝑥) cuando x tiende al número a por la izquierda es L tal como se muestra
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿
Nota: El límite lateral izquierdo no implica que el número a sea negativo ni el límite lateral derecha
que el número a sea positivo, solo se relaciona con la ubicación del número en la recta real.
Ejemplo:
Si Hallar: lim
𝑥→0−
𝑥
|𝑥|
lim
𝑥→0+
𝑥
|𝑥|
Cuando x está a la izquierda de cero, es decir 𝑥 < 0 se cumple que
|𝑥| = −𝑥 y
Entonces; lim
𝑥→0−
𝑥
|𝑥|
= −1
Cuando x está a la derecha de cero, es decir 𝑥 > 0 se cumple que
|𝑥| = 𝑥 y
Entonces; lim
𝑥→0+
𝑥
|𝑥|
= 1
Existencia de Límite
El límite de una función existe si y solo sí sus límites laterales existen y son iguales.
Esta afirmación se resume en el límite que se presenta a continuación:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 ↔ lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑓(𝑥) =
𝑥
|𝑥|
𝑓(𝑥) =
𝑥
|𝑥|
=
𝑥
−𝑥
= −1
𝑓(𝑥) =
𝑥
|𝑥|
=
𝑥
𝑥
= 1
Si tienes
dudas
sobre la
función
Valor
Absoluto
Recuerda
revisar
Consideracio
nes
Preliminares

14. Ejemplo:
Dada la función 𝑓(𝑥) = {
𝑥3
𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
𝑥2
+ 4 𝑠𝑖 𝑥 > 2
Hallar lim
𝑥→2
𝑓(𝑥)
Nota: La función del ejemplo es conocida como función a trozo ya que presenta una ecuación con
un comportamiento para valores mayores a 2 y otra ecuación con otro comportamiento para valores
menos a 2.
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2+
𝑥2
+ 4 = 8
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
𝑥3
= 8
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 8 lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 8
↔ Este
símbolo se lee
Si y solo si
Ejemplo:
Demuestra que el límite que se muestra a continuación
no existe lim
𝑥→0
𝑥
|𝑥|
Por las propiedades de valor absoluto se obtendrían los
siguientes resultados (Ver ejemplo anterior)
lim
𝑥→0−
𝑥
|𝑥|
= −1
lim
𝑥→0+
𝑥
|𝑥|
= 1
Los límites laterales
son diferentes por lo
tanto se demuestra
que el límite dado no
existe
Los límites laterales son
iguales por lo tanto el
límite existe