unj fmipa-fisika

1. StatistikaMatematika II Suyono Sesion #05 JurusanMatematika FakultasMatematikadanIlmuPengetahuanAlam

2. Outline EstimasiTitik Metode-metodeEstimasi MetodeMomen MetodeMaksimum Likelihood © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id | 2 05/01/2011

3. EstimasiTitik(bagian 2) © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id | 3 05/01/2011

4. 3. Metode-metodeEstimasi 3.1 MetodeMomen Prinsipdarimetodemomenadalahmenyamakanmomenkekdaripopulasi, yakniE(Xk), denganmomenkek darisampel, yakni EstimasiTitik 05/01/2011 4 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

5. Estimator untuk parameter diperolehdenganmenyelesaikansistempersamaan (3.1) danakandinotasikandengan 05/01/2011 5 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

6. Contoh 3.1 Misalkan X1, X2, …, Xn, merupakan sampel acak dari distribusi eksponensial, X~EXP() dengan fungsi densitas 05/01/2011 6 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

7. Karena E(X)= maka, dengan menggunakan rumus (3.1) dengan mengambil j=1, diperoleh 05/01/2011 7 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

8. Contoh 3.2 Misalkan X1, X2, …, Xn, merupakan sampel acak dari sebarang distribusi dengan mean  dan variansi 2, maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa dan 05/01/2011 8 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

9. Perhatikan bahwa dimana S2 adalah sampel varians 05/01/2011 9 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

10. 3.2 MetodeMaksimum Likelihood Idedasardarimetodemaksimum likelihood adalahmencarinilai parameter yang memberikemungkinan (likelihood) yang paling besaruntukmendapatkan data yang terobservasisebagai estimator. Estimasi Titik 05/01/2011 10 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

11. Definisi 3.1 Fungsi densitas bersama f(x1,…,xn; ) dari variabel-variabel acak X1, X2, …, Xn dinamakan fungsi likelihood. 05/01/2011 11 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

12. Untuk x1,…,xn yang tetap fungsi likelihood merupakan fungsi dari  dan akan dinotasikan dengan L( ), yakni L( )= f(x1,…,xn; ). Jika X1, X2, …, Xn adalah sampel acak dari f(x,) maka 05/01/2011 12 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

13. Definisi 3.2 Misalkan L( )= f(x1,…,xn; ), , merupakan fungsi densitas bersama dari variabel-variabel acak X1, X2, …, Xn. Estimator maksimum likelihood (Maximum Likelihood Estimator / MLE) untuk , dinotasikan dengan adalah nilai yang memaksimumkan fungsi likelihood L( ). 05/01/2011 13 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

14. Jika  merupakan interval terbuka dan jika L( ) terdiferensialkan dan mencapai nilai maksimum pada  maka MLE merupakan penyelesaian dari persamaan maksimum likelihood 05/01/2011 14 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

15. atausecaraekuivalenmerupakanpenyelesaiandaripersamaanmaksimum likelihood Persamaaniniumumnyalebihmudahdigunakanuntukmencari estimator maksimum likelihood 05/01/2011 15 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

16. Contoh 3.3 Misalkan X1, X2, …, Xn, merupakan sampel acak dari distribusi Poisson, X~POI() dengan fungsi densitas 05/01/2011 16 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

17. Fungsi likelihood dan fungsi log likelihood 05/01/2011 17 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

18. Persamaan maksimum likelihoodnya adalah yang mempunyai penyelesaian Jadi MLE dari  adalah 05/01/2011 18 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

19. Terdapat kasus dimana estimator maksimum likelihood ada tetapi tidak dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan likelihood. 05/01/2011 19 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

20. Contoh 3.4 Misalkan X1, X2, …, Xn, merupakan sampel acak dari distribusi eksponensial dengan dua parameter, X~EXP(1,) dengan fungsi densitas 05/01/2011 20 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

21. Fungsi likelihood jika x1:n dan L( )=0 untuk kasus selainnya. Disini jelas bahwa MLE untuk  adalah 05/01/2011 21 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

22. Teorema 3.3 Jikaadalah MLE daridanu( ) adalah fungsidarimaka adalah MLE dariu( ). 05/01/2011 22 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |