直積位相の問題

1. X,Yを位相空間とし,その直積X×Yにおいて次の部分集合族を考える.
B = {A × B | A は X の開集合, B は Y の開集合 }.
上の B を開基底とする X × Y の位相を直積位相といい,以下,X × Y に
直積位相を 与える. (3) FがX×Yの閉集合ならf(F)はXの閉集合であ
る.
また,写像f:X×Y →Xをf(x,y)=x(x∈X,y∈Y)で定める.以下の 各命題が
真か偽かを述べよ.さらに,命題が真ならば,命題を証明し,偽で
あれば, 命題の反例をあげ,それが反例であることを示せ.
(1)fは連続である.証明 [斎藤毅]集合と位相p105より基底を𝑓−1
で戻した時、開集合
になっていれば良い。Xの開集合Uは𝑓−1
でU×Yに映る。これは開集
合。よって連続。
(2) GがX×Yの開集合ならf(G)はXの開集合である.
証明 [斎藤毅]集合と位相p120