対角線上の位相

1. (1)ハウスドルフ位相空間のコンパクト部分集合は閉集合であることを
示せ.
証明 [斎藤毅]集合と位相p163
(2) 1次元ユークリッド空間 R の部分集合 X = [0, 1],Y = [0, 1) に対し,集合
F ={(x,x)∈R2|0≤x<1}
は直積位相空間 X × Y の閉集合であることを示せ.また F が X × Y のコ
ン パクト部分集合であるかどうかを判定し,その理由を述べよ.
証明
Fの閉包がFに一致することを示せばよい。Fと(1,y)以外の点を取ってくると、
Fとその点の距離以下の開近傍を取ってくれば分離できるのでFの閉方に含まれ
ない。また(1,y)の点に対し、yを１つ取ると、やはりFと(1,y)の距離以下の
(1,y)の開集合を取れば分離できるのでFの閉包に含まれない。
Fはコンパクトでない。
なぜなら 1<𝑛 𝑈1/𝑛( 0,0 )はFの被覆であるが、有限個取るとFを被覆しなくな
る。よってコンパクトでない。